中考第一轮总复习 《解直角三角形》

第13课 解直角三角形=========⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=∠=∠=∠000000000000060tan ;45tan ;30tan 60cos ;45cos ;30cos 60sin ;45sin ;30sin :)900()900(tan ,cos ,sin 特殊三角函数值平方关系：正切：余弦：正弦：：取值范围越大，正切值正切：越大，余弦值余弦：越大，正弦值正弦：：增减性αααααA A A中考真题练习1.在Rt △ABC 中，∠C=900，若sinA=513,则cosA 的值为（ ） A.512B.813C.23D.12132.式子2000)160(tan 45tan 30cos 2---的值是（ ） A.232-B.0C.32D.23.在△ABC 中，若0)21(cos 21sin 2=-+-B A ,则∠C 的度数是（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 4.如图,在△ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3,则sinA 的值是（）A.34B.43C.35 D.455.如图,在直角坐标系中,P 是第一象限内的点,其坐标是（3,m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

的值是( )A.45 B.错误！未找到引用源。

C.35D.错误！未找到引用源。

6.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ） A.23B.32C.21313 D.31313第6题图 第7题图 第8题图7.如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的坡角为a,那么滑梯长l 为( )A.h sina B.h tana C.h cosaD.h ·sina 8.如图,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交成的锐角为α,若AC=a ，BD=b ，则□ABCD 的面积是（ ） A.αsin 21ab B.αsin ab C.αcos ab D.αcos 21ab 9.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC=10.如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=300，则该山坡的高BC 的长为 米．第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成750角的方向飞行,25分钟后到达C 处,此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为300，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 米．12.如图,在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为300，底部D 处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E,BC=6,sinA=35，则DE= ．第13题图第14题图14.如图，点E（0,4），O（0,0），C（5,0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=________．16.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．第16题图第17题图第18题图17.如图,某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD=300,∠ACD=600，则直径AD= 米.18.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD平分AC,若BD=8,AC=6,∠BOC=1200，则四边形ABCD 的面积为．（结果保留根号）19.如图,是一张宽m的矩形台球桌ABCD,一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC,然后反弹到边AB上的P点.如果MC n=，CMNα∠=.那么P点与B点的距离为 .第19题图第20题图20.如图,正方向ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°，M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于cm．21.已知α是锐角,且sin(α+150)=32.计算1184cos( 3.14)tan3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值.22.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=450，sinB=13,AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．23.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向,办公楼B 位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C 处,此时测得教学楼A 恰好位于正北方向,办公楼B 正好位于正南方向.求教学楼A 与办公楼B 之间的距离.24.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直,测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=300，∠CBD=600．（1）求AB 的长； （2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．25.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为600．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为450，已知山坡AB 的坡度3:1=i ，AB=10米,AE=15米．（3:1=i 是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比） （1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD 的高度．26.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．27.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？28.如图,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,23 DB DCDP DO==．（1）求证:直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．29.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角,长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离．30.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48）31.解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（1）如图①,已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启,则AC开启至A/C/的位置时,A/C/的长为m；（2）如图②,某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ,在观景平台M处测得∠PMQ=540，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=730，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．32.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)第13课解直角三角形测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A.1,2,3B.1,1,2C.1,1,3D.1,2,32.在Rt△ACB中,∠C=900，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.53.点M （-sin600，cosn600）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（32，12） B ．（32-，12-） C ．（32-，12） D ．（12-，32-） 4.如图,P 是∠α的边OA 上一点,点P 的坐标为（12，5），则tan α等于（ ） A.513B.1213C.512D.125第4题图 第5题图 第6题图5.如图,在△ABC 中,∠C=900，AD 是BC 边上的中线,BD=4,52=AD ,则tan ∠CAD 的值是（ ） A.2B.2C.3D.56.如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC /B /，则tanB /的值为（ ） A.12B.13C.14D.247.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（ ） A.34米B.56米C.512米D.24米8.如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB=4，BC=5,则tan ∠AFE 的值为（ ） A.43 B.35 C.34 D.459.△ABC 中,∠C=900，AB=8,cosA=43,则BC 的长 10.若a=3-tan600，则196)121(2-+-÷--a a a a =11.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,∠B=370，BC=32,则AC= ．（sin370≈0.60，cos370≈0.80,tan370≈0.75）第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=_____13.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．2,则AB的长为．14.如图,在△ABC中,∠A=300,∠B=450,AC=315.如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75）16.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．17.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD 方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．。

初三数学《解直角三角形》第一轮复习一、填空题1.已知，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝10，那么BC ＝ ．2.如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60度，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米（结果保留根号）.A C (B ′)BA ′C ′第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 3.如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 . 4.如图，△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=32，AC=23，则AB ＝ ． 5. 如图，小亮在操场上距离旗杆AB 的C 处，用测角仪测得旗杆顶端A 的仰角为30°.已知BC=9米，测角仪的高CD 为1.2米，那么旗杆AB 的高为____米(结果保留根号).6.如图河对岸有一古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔前进S ｍ到达D ，在D 处测得A 的仰角为β，则塔高为米.7.在△ABC 中，2AB =，AC =，B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是 ． 二、选择题8.已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．50° Ｂ．60° Ｃ．70° Ｄ．80° 9.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝15，则tanA 等于（ ）A 、62B 、26 C 、562 D 、 2410在Rt ABC △中，90C∠=，BC =，AC =A ∠=（ ） A ．90B ．60C ．45D ．3011.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高（如图6）AB ＝1.8m ，要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC ，使午间阳光不能直接射入室内，那么挡光板AC 的宽度应为（ ）A. 1880.tan om B. 1880.cos om C. 18sin80°m D. 1880.cot om 12.如图，电线杆AB 的中点C 处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B 的距离为a ，则电线杆AB 的长可表示为（ ） A. aB. 2aC. 32aD. 52a13图，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，则tan ∠OPA 等于（ ）A ．23B ．23C ．2D ．2114知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒8015正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43B ．34 C ．45D ．35ABCDAOPB ．检测：1. （2010湖州）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A．sin 2A =B ．1tan 2A =C．cos B = D．tan B =2. （2010温州）△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=43，则AC 的长是 ； 3. （2010衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为（ ）4. （2010仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28) 5．在ABC △中，90C ∠=，若2B A ∠=∠，则cos A 等于（ ）Ｂ．2Ｃ．12Ｄ．36、ABC △中，90C ∠=，AC BC =，则sin A 的值等于（ ）Ａ．12Ｂ．2Ｃ．2Ｄ．17、中，90C ∠=，3sin 5A =，则:BC AC 等于（ ） Ａ．3:4Ｂ．4:3 Ｃ．3:5 Ｄ．4:58、图4，Rt ABC △中，90C ∠=，D 为BC 上一点，30DAC ∠= ，2BD =，AB =AC 的长是（ ）Ｂ．Ｃ．3B CA9、图1，某车间的人字屋架为等腰三角形，跨度14AB =米，CD 为中柱，则上弦AC 的长是________米（用A ∠的三角函数表示）．10、图2，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，1EC =，5cos 13B =，则这个菱形的面积是________．11、：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30++-+=________．12、图3，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm ，则山顶P 的海拔高度约为________m ．1.732）．13、 ABC △中，90C ∠=，A B C ∠∠∠，，所对的边分别是a b c ，，，且3c a =， 则cos A =________．14 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A ．11.5米B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米15α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒8016图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =， 则sin B 的值是（ ） A ．23B ．32 C ．34D ．43作业：指导书：P80 例7、8、9、10 指导书：P84 T7、8、9、10、11CAB D。

浙江考情分析解直角三角形（一）典型考题考点一成比例线段与比例的基本性质若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则a＋b的值是( ) c－2bA．2 B．－2 C．3 D．－3变式：(2015·乐山)如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C 和D，E，F.已知AB＝3，则DE的值为( )BC 2 DFA.32B.23C.25D.35考点二 相似多边形的性质如果两个相似多边形面积的比为 1∶5，则它们的相似比为()A ．1∶25B ．1∶5C ．1∶2.5D ．1∶ 5变式 1： 如图 1 所示的两个四边形相似，则∠α的度数是()A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°图 1图 2变式 2：如图 2，四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似， AB ＝12，CD ＝15，A 1B 1＝9，则边 C 1D 1 的长是() A ．10B ．12C.454考点三 相似三角形的性质与判定D. 365(·庆阳)如图，在△ABC 中，两条中线 BE ，CD相交于点 O ，则 S △DOE ∶S △COB ＝()A ．1∶4B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶2变式 1： (2015·重庆)已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与 △DEF 的相似比为 2∶3，则△ABC 与△DEF 对应边上的中 线的比为.变式2：(·南京)如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且CD2＝AD·DB.(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB 的大小.考点四相似图形的应用(·菏泽)如图，M，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N 两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C 分别在AM，AN 上，现测得AM＝1 千米、AN＝1.8 千米、AB＝54 米、BC＝45 米、AC＝30 米，求M，N 两点之间的直线距离．变式1：如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M 处的运动员林丹把球从N 点击到了对方内的B 点，已知网高OA ＝1.52 米，OB＝4 米，OM＝5 米，则林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM＝米．变式2：有一支夹子如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ 为6 cm，如果想用夹子的尖端A，D 两点夹住P，Q 两点，那么手握的地方EC 至少要张开cm.随堂巩固1．(·安顺)如图，▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC交对角线BD 于点F，则EF∶FC 等于( )A．3∶2 B．3∶1C．1∶1 D．1∶2第1 题第2 题2．如图，等边三角形ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP＝1，D 为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD 的长为.3．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P 所在的格点为( ) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4第3 题第4 题4．(2015·南通)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC，交BC 于点E，AB＝6，AD＝5，则AE 的长为( )A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.25．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上的一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2 6，则MF 的长是( )A. 15B.1510C．1 D.1515第5 题第6 题6．(2015·金华外国语学校模拟)如图，已知矩形ABCD 中，AB＝1，在BC 上取一点E，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD＝.7．(·绍兴鲁迅中学模拟)如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E，点F，M 分别是AB，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB＝AC＝BD，连结MF，NF.(1)判断△BMN 的形状，并证明你的结论；(2)判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．8．(·安徽)如图①，在四边形ABCD 中，点E，F 分别是AB ，CD 的中点．过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G，连结GA，GB，GC，GD，EF.若∠AGD＝∠BGC.(1)求证：AD＝BC；(2)求证：△AGD∽△EGF；AD(3)如图②，若AD，BC 所在的直线互相垂直，求的值．EF。

2023年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线kyx=（k≠0）上，则k的值为（）A．4B．﹣2C D．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分△BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，△ADC=60°，122AB BC==，则下列结论：①△CAD=30°；②14OE AD=；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④27BD=⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5 3．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。

若△BAC=α，则此车的速度为()A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．5tanα米/秒D．80tanα米/秒二、填空题4．如图，在 ABC 中，AD 是BC 上的高， cos tanB DAC =∠ ，若 1213sinC =， 12BC = ，则AD 的长 ．5．某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 6．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，点D 到BC 的距离为20m ，在点D 处观察旗杆顶部A 的仰角为52°，观察底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度为 m ．（精确到0.1m ，参考数据：520.79sin ︒≈，52 1.28tan ︒≈ 1.41≈ 1.73≈．）三、综合题7．在Rt△ACB 中，△C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AB 、AC 分别交于点D 、E ，且△CBE=△A.（1）求证：BE 是△O 的切线； （2）连接DE ，求证：△AEB△△EDB ；（3）若点F 为 AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ，若AO=5，3sin 5CBE ∠= ，求OG 的长.8．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板 ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒ ，若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2）， AB 与 DF 、 DE 分别交于点P 、M ， AC 与 DE 交于点Q ，其中 AC DF ==，设三角板 ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ 的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？9．已知AB 是△O 的切线，切点为B 点，AO 交△O 于点C ，点D 在AB 上且DB=DC ．（1）求证：DC 为△O 的切线；（2）当AD=2BD ，CD=2时，求AO 的长．10．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为 35︒ ，此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60︒ ，房屋的顶层横梁 12EF m = ，//EF CB ， AB 交 EF 于点G （点C ，D ， B 在同一水平线上）.（参考数据：sin350.6︒≈ ， cos350.8︒≈ ， tan350.7︒≈ ，1.7≈ ）（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到 1m ）.11．如图，直线 (0)y mx n m =+≠ 与双曲线 (0)ky k x=≠ 交于 A B 、 两点，直线AB 与坐标轴分别交于 C D 、 两点，连接 OA ，若 OA = ，1tan 3AOC ∠= ，点 (3,)B b - .（1）分别求出直线 AB 与双曲线的解析式； （2）连接 OB ，求 AOBS.12．如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A 、B 处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.（2）若“远航”号沿北偏东60︒方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由.13．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60︒ ，沿山坡向上走到p 处再测得点C 的仰角为 45︒ ，已知 100OA = 米，山坡坡度 1:2i = ，且O A B 、、 在同一条直线上，其中测倾器高度忽略不计.（1）求电视塔OC 的高度；(计算结果保留根号形式)（2）求此人所在位置点 P 的铅直高度.(结果精确到0.1米，参考数据：1.41= ， 1.73= )14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高度．如图，运载火箭海面发射站点M 与岸边雷达站N 处在同一水平高度。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章第四节解直角三角形的实际应用知识精练基础题1.(2023天津)sin 45°＋22的值等于()A.1B.2C.3D.22.(2023河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观，如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的()第2题图A.南偏西70°方向B.南偏东20°方向C.北偏西20°方向D.北偏东70°方向3.(2023南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两点相距()A.x sin α米B.x cos α米C.x ·sin α米D.x ·cos α米第3题图4.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，则cos ∠CAB 的值为()第4题图A.55B.255C.22D.255.(2023包头)如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为()A.34B.43C.35D.45第5题图6.(2023十堰)如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)()第6题图A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米7.(北师九下P20第2题改编)如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD，BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3∶4，则大坝底端增加的长度CF为()第7题图A.7米B.11米C.13米D.20米8.(2023武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm.(结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第8题图9.[新考法—跨学科](2022凉山州)如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为________．第9题图10.[新考法—数学文化](2023枣庄改编)桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处．如图所示是桔槔汲水的简单示意图，若已知杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号)第10题图11.成都第31届世界大学生夏季运动会代表建筑主火炬塔，其构造设计理念为“大运之光”，塔身整体采用钢结构制作，造型呈细腰型，底座为直径约13米的内外同心圆环，内环延伸出4根主管呈螺旋上升型，外环12根副管与主管反向螺旋上升，象征着十二条太阳光芒螺旋升腾聚集于阳燧，寓意“东进兴川之光”．某数学活动小组利用课余时间测量主火炬塔的高度，在点A 处放置高为1米的测角仪AB ，在B 处测得塔顶F 的仰角为30°，沿AC 方向继续向前行38米至点C ，在CD 处测得塔顶F 的仰角为65°(点A ，C ，E 在同一条直线上)，依据上述测量数据，求出主火炬塔EF 的高度．(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47)第11题图拔高题12.[新考法—跨学科](2023甘肃省卷)如图①，某人的一器官后面A 处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图第12题图①第12题图②说明如图②，新生物在A 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠DBN ；再在皮肤上选择距离B 处9cm 的C 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠ECN .测量数据∠DBN ＝35°，∠ECN ＝22°，BC ＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A 处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)13.雨量监测站是一款以物联网为基础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来雨量情况，从而安排合理的农业作业．如图①是雨量监测站的实物图，如图②是该监测站的简化示意图，其中支杆AB，CD与支架MN 的夹角分别为∠BAM＝45°，∠DCM＝30°，支杆AB与太阳能供电板的夹角∠ABD＝85°，且支杆AB，CD的端点A，C的距离为14cm，支杆CD的端点D到支架MN的水平距离为16cm，求支杆AB，CD的端点B，D之间的距离．(结果精确到0.1cm.参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73)图①图②第13题图参考答案与解析1.B【解析】原式＝22＋22＝2.2.D【解析】∵南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．3.B 【解析】∵在Rt △ABC 中，cos α＝AB AC ，∴AC ＝AB cos α.∵AB ＝x ，∴AC ＝x cos α.4.B 【解析】如解图，连接BD ，在△ABD 中，AB ＝32＋12＝10，AD ＝22＋22＝22，BD ＝12＋12＝2，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴△ABD 是直角三角形，∴cos ∠CAB ＝AD AB＝255.第4题解图5.D 【解析】如解图，∵两个正方形的面积分别为1，25，∴两个正方形的边长分别为CD ＝1，AB ＝5，设Rt △ABC 的AC 边为x ，则x 2＋(x ＋1)2＝52，解得x 1＝3，x 2＝－4(舍去)，∴BC ＝4，∴cos α＝BC AB ＝45.第5题解图6.D 【解析】根据题意可知，∠BAD ＝90°，∠BCA ＝45°，AB ＝5，∴AC ＝AB ＝5，在Rt △ABD中，∠D ＝30°，∴tan 30°＝AB AD ，∴AD ＝AB tan 30°＝5tan 30°＝53，∴CD ＝AD －AC ＝53－5≈3.66(米).7.C 【解析】如解图，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N .由题意可知DM ＝EN ＝15，∵背水坡CD 的坡度i ＝1∶0.6，∴DM CM ＝53，∴CM ＝9.∵DE ＝MN ＝2，∴CN ＝7.∵背水坡EF 的坡度i ＝3∶4，∴EN NF ＝157＋CF＝34，解得CF ＝13.第7题解图8.2.7【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，过点C 作CE ⊥OA 于点E .在△BOD 中，∠BDO ＝90°，∠DOB ＝45°，∴BD ＝OD ＝2cm ，∴CE ＝BD ＝2cm.在△COE 中，∠CEO ＝90°，∠COE ＝37°，∵tan 37°＝CE OE≈0.75，∴OE ≈2.7cm.∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为2.7cm.第8题解图9.43【解析】由平面镜反射知识可知α＝∠A ＝β＝∠B ，∴tan α＝tan B ＝OD BD.易知△ACO ∽△BDO ，∴AC BD ＝OC OD ＝36＝12.∵CD ＝12，∴OD ＝8，∴tan α＝tan B ＝43.10.(3＋2)【解析】如解图，过点O 作OC ⊥BT ，垂足为C ，由题意得BC ∥OM ，∴∠AOM ＝∠OBC ＝45°，∵AB ＝6米，AO ∶OB ＝2∶1，∴AO ＝4米，OB ＝2米，在Rt △OBC 中，BC ＝OB ·cos 45°＝2×22＝2(米).∵OM ＝3米，∴此时点B 到水平地面EF 的距离＝BC ＋OM ＝(3＋2)米．第10题解图11.解：如解图，设BD 的延长线与EF 交于点G ，由题意可得∠FDG ＝65°，∠FGD ＝90°，∴∠DFG ＝25°.AB ＝CD ＝EG ＝1米，AC ＝BD ＝38米，设FG ＝x 米，在Rt △BFG 中，∠FBG ＝30°，tan 30°＝FG BG ＝x BG ＝33，解得BG ＝3x ，在Rt △DFG 中，∠DFG ＝25°，tan 25°＝DG FG ＝DG x≈0.47，解得DG ＝0.47x ，∴BD ＝BG －DG ＝3x －0.47x ＝38，解得x ≈30，∴EF ＝FG ＋EG ＝30＋1＝31(米).∴主火炬塔EF 的高度约为31米．第11题解图12.解：如解图，过点A 作AF ⊥MN ，垂足为点F ，设BF ＝x cm ，∵BC ＝9cm ，∴CF ＝BC ＋BF ＝(x ＋9)cm.在Rt △ABF 中，∠ABF ＝∠DBN ＝35°，∴AF ＝BF ·tan 35°≈0.7x cm.在Rt △ACF 中，∠ACF ＝∠ECN ＝22°，∴AF ＝CF ·tan 22°≈0.4(x ＋9)cm ，∴0.7x ＝0.4(x ＋9)，解得x ＝12，∴AF ＝0.7x ＝8.4cm ，∴新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm.第12题解图13.解：如解图，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点D 分别作DF ⊥MN 于点F ，作DG ⊥BE 于点G ，则易得四边形DGEF 是矩形，DF ＝16cm ，∴EF ＝DG ，DF ＝GE .在Rt △CDF 中，∠CFD ＝90°，tan ∠DCF ＝DF CF ，∴CF ＝DF tan ∠DCF ＝16tan 30°＝1633＝163cm.∵∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，AE＝BE.∵∠ABD＝85°，∴∠DBG＝∠ABD－∠ABE＝85°－45°＝40°.在Rt△DBG中，∠BGD＝90°，sin∠DBG＝DGBD，cos∠DBG＝BGBD，∴DG＝BD·sin∠DBG＝BD·sin40°≈0.64BD，BG＝BD·cos∠DBG＝BD·cos40°≈0.77BD，∴AE＝BE＝BG＋GE＝(0.77BD＋16)cm.∵AF＝AE＋EF＝AC＋CF，∴0.77BD＋16＋0.64BD＝14＋163，解得BD≈18.2cm.答：支杆AB，CD的端点B，D之间的距离约为18.2cm.第13题解图。

第35课时 解直角三角形一、知识点导航解直角三角 形的应用已知斜边和一直角边已知两直角边已知直角边和一锐角已知斜边和一锐角三边的关系边角的关系两锐角的关系课题学习四种类型三种关系解直角三角形1.解直角三角形的应用题对于解直角三角形的应用题,首先要认真反复读题,弄清题意, 特别是关键的字、词,其次要准确地画出图形. 2.解斜三角形对于斜三角形要通过作高把斜三角形转化为直角三角形.四、中考题型例析1、解直角三角形例 1 (2004²四川)如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AD 是∠BAC 的平分线,已知AB=4,那么AD=_________.分析:在Rt △ACD 中,可得∠CAD=30°,则再需设法找出另一条件,可以先解Rt △ACB,求出AC,从而求出AD.解:在Rt △ABC 中,∠B=30,C BA∴AC=12∵∠CAB=90°-∠B=90°-30°=60°, ∴∠CAD=12∠CAB=30°, 在Rt △ACD 中,cos ∠CAD=ACAD, ∴AD=cos AC CAD =∠ 答案:4.2.解斜三角形例2 (2003²兰州)如图所示,在△ABC 中,∠B=45°,AC=5,BC=3. 求:sinA 和AB.分析:涉及到特殊角常常需把特殊角放在直角三角形中,因此需过C 点作CD ⊥AB,利用解直角三角形的知识即可解决. 解:过C 作CD ⊥AB,D 为垂足.在Rt △BCD 中,∠B=45°,BC=3,∴DC=BC ²sin45°∴在Rt △ADC 中∴, ∴3.解直角三角形的应用题例3 (2004²青岛)青岛位于北纬36°4′,通过计算可以求得: 在冬至日正午时分的太阳入射角为30°30′.因此,在规划建设楼高为20m 的小区时,两楼间的距离最小为_________m,才能保证不挡光?(结果保留四个有效数字)(提示:sin30°30′=0.507,tan30°30′=0.589 0)分析:两楼间的最小距离应为0'20tan3030. 答案:33.96或33.95.例4 (2003²青岛)如图,人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只,正以24海里/小时的速度向D CBA正东方向航行.为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/ 小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问①需要几小时才能追上?(点B为追上时的位置),②确定巡逻艇的追赶方向(精确到0.1°).参考数据:sin66.8°≈0.919 1 cos66.8°≈0.393 9sin67.4°≈0.923 1 cos67.4°≈0.384 6sin68.4°≈0.929 8 cos68.4°≈0.368 1sin70.6°≈0.943 2 cos70.6°≈0.332 2分析:解题的关键是根据题意计算△ABO的各边长, 然后利用勾股定理列方程即可解得.对于第(2)问借助sin∠AOB=ABOB,可求出∠AOB的大小.解:(1)如图,设需要t小时才能追上,则AB=24t,OB=26t.在Rt△AOB中,OB2=OA2+AB2,即(26t)2=102+(24t)2.解得t=±1.t=-1不合题意,舍去.∴t=1.(2)在Rt△AOB中,∵sin∠AOB=24120.92312613AB tOB t==≈,∴∠AOB=67.4°.即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4°.基础达标验收卷一、选择题1.(2003²黄石)每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们体会到了国旗的神圣.某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法.在地面距杆脚5m远的地方, 他用测倾器测得杆顶的仰角为a,则tana=3,则杆高(不计测倾器高度)为( ).A.10mB.12mC.15mD.20m2.(2003²恩施)如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°, 沿着倾角为30°的山坡前进1 000m到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°, 则山的高BC大约是(精确到0.01)( ).A.1 366.00m;B.1 482.12m;C.1 295.93m;D.1 508.21m3.(2003²孝感)铁路路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为2:3,顶宽6m, 路基高4m,则路基的下底宽( ).A.18mB.15mC.12mD.10m4.(2003²昆明)已知:Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=35,AB=15,则东北OBA60︒30︒EDCBAAC 的长是( ).A.3B.6C.9D.125.(2004²黄冈)如图,测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度,选M 点作为观测点,从M 点测量山顶P 的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30°, 在比例尺为1:50 000的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm, 则山顶P 的海拔高度为( ) A.1 732m; B.1 982m; C.3 000m; D.3 250m二、填空题1.(2004.上海)某山路的路面坡度沿此山路向上前进200m, 升高了____m.2.(2004.潍坊)某落地钟钟摆的摆长为0.5m,来回摆动的最大夹角为20°. 已知在钟摆的摆动过程中,摆锤离地面的最低高度为am,最大高度为bm,则b-a= ____m(不取近似值).3.(2003.鄂州)如图,△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上,BD=6,AD=BC,cos ∠ADC=35,则DC 的长为______. 三、解答题1.(2004²泉州)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坡角α=28°,斜坡AB= 9m,求拦水坝的高BE.(精确到0.1m,供选用的数据:sin28°=0.469,cos28°=0.8829, tan28°=0.5317,cos28°=1.880 7)E DCBA2.(2003.连云港)如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,tanB=cos ∠DAC. (1)求证:AC=BD;(2)若sinC=1213,BC=12,求AD 的长. MDCB AD CBA3.(2004²辽宁)已知,如图,A 、B 、C 三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在B 村的正北方向有一个D 村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°, 今将△ACD 区域进行规划,除其中面积为0.5km 2的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地,试求绿化用地的面积.(结果精确到0.1km 2,sin28°=0.469 5,cos28°=0.882 9, tan28°=0.531 7,cos28°=1.880 7)4.(2003²汕头)我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据2.24≈≈)i=1:2i=1:11.6mEDCB能力提高练习一、开放探索题1.(2003.海南)如图,在Rt △ABC 中,a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边,c 为斜边,如果已知两个元素a 、∠B,就可以求出其余三个未知元素b 、c 、∠A.(1)求解的方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:cb CB A第一步:由条件:用关系式求出第一步:由条件:用关系式求出求出用关系式由条件:、∠B第一步:(2)请你分别给出a 、∠B 的一个具体数值,然后按照(1)中的思路,求出b 、c 、 ∠A 的值.二、实际应用题2.(2004.沈阳)某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为 (如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光, 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β 的相应数据:∠α=24 °36′,∠β=73°30′,小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1) 当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图), 帮助小明算一算,遮阳篷BCD 中,BC 和CD 的长各是多少?(精确到0.01m) 以下数据供计算中选用sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184 sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.2963.(2004.常德)高速公路旁有一矩形坡面,其横截面如图所示,公路局为了美化公路沿线环境,决定把矩形坡面平均分成11段相间种草与栽花.已知该矩形坡面的长为550m,铅直高度AB 为2m,坡度为2:1,若种草每平方米需投资20元, 栽花每平方米需投资15元,求公路局将这一坡面美化最少需投资多少元?( 结果保留三个有效数字).2m i=2:1CBA4.(2004.南京)如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A 点测得C 点的仰角为45°,从地面B 点测得C 点的仰角为60°.已知AB=20m.点C 和直线AB 在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留根号).60︒45︒CBA答案:基础达标验收卷一、1.C 2.A 3.A 4.C 5.B二、1.10 2.12(1-cos10°) 3.9三、1.在Rt△ABE中,AB=9m,a=28°,∵sina=BEAB,∴BE=AB.sinα=9³sin28°≈9³0.47=4.23≈4.2(m).答:拦水坝的高BE约为4.2m. 2.(1)证明:在Rt△ABD和Rt△ADC中,∵tanB=ADBD,cos∠DAC=ADAC,又tanB=cos∠DAC,∴ADBD=ADAC,∴AC=BD.(2)解:在Rt△ADC中,由sinC=12 13,可设AD=12k,则AC=13k,由勾股定理,得CD=5k, 又由(1)知BD=AC=13k,∴13k+5k=12,解得k=23,∴AD=8.3.解:在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°,∴∠ADB=45°,∴BD=AB=2km.在Rt△BCD中,∵cot∠BCD=BCBD,∠DCB=28°,∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28°≈3.75(km).∴S△ACD=12AC²BD≈5.76(km2).∴S绿地≈2.6km2.答:绿化用地的面积约为2.6km2.4.解:如图,作EG⊥FB于G,DH⊥FB于H,记堤高为h,则EG=DH=h.由tan∠DAH=1:1=1,得∠DAH=45°.∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8=∴AH=DH=由tan∠F=EG:FG=1:2,得FG=2EG=2h=,∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(∴海堤断面增加的面积S梯形FADE=12(ED+FA)²h≈ 1.41+16≈25.0(m2)∴工程所需土方=96³S梯形FADE≈96³25.0=2 400=2.4³103(m3).答:完成这工程约需土方2.4³103m3. 能力提高练习.1.(1)cosB=ac,c; ∠B,∠A+∠B=90°,∠A;a、∠B,tanB=ba,b.(2)略2.解:在Rt△BCD中,tan∠CDB=BCCD,∠CDB=∠α,∴BC=CD²tan∠CDB=CD²tanα.在Rt△ACD中,tan∠CDA=ACCD,∠CDA=∠β,∴AC=CD²tan∠CDA=CD²tanβ∵AB=AC-BC=CD²tanβ-CD²tanα=CD(tanβ-tanα).∴CD=1.65tan tan 3.3760.458ABαβ=--≈0.57(m).∴BC=CD²tan∠CDB≈0.57³0.458≈0.26(m).答:BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.3.解:∵AB=2m,tan∠ACB=2:1,∴BC=1m,∴∵550m长的坡面平均分成了11块,故每块坡面长为50m,为减少投资,应用6 块坡面种花,5块坡面种草.∴公路局要将这块坡地美化最小需投资6³5015+5³50³20=9 ≈2.12³104(元).答:公路局要将这块坡地美化最小需投资2.12³104元. (提示:先确定种花、 种草的块数,才能确定投资大小) 4.解:作CD ⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是xm. 在Rt △ACD 中,∠CAD=45°, ∴AD=CD=x.在Rt △CBD 中,∠CBD=60°,∴cos60°=BDCD.∴x,∵AB=AD-BD,∴∴答:气球离地面的高度是。