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2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习专题三：归纳猜想问题一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）（2013•武昌区校级模拟）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在（）A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左上角D．第504个正方形的右下角2．（3分）（2011•台湾）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办．若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（）A．公元2070年B．公元2071年C．公元2072年D．公元2073年3．（3分）（2011•安顺）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，5）D．（5，5）4．（3分）（2011•德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（）A．2n B．4n C．2n+1D．2n+25．（3分）（2011•黔南州）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想210的末位数字是（）A．2 B．4 C．8 D．6二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）6．（3分）（2011•保山）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n个数是．7．（3分）（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．2请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？8．（3分）（2014•永嘉县校级模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式=．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=．2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习专题三：归纳猜想问题参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）（2013•武昌区校级模拟）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在（）A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左上角D．第504个正方形的右下角【分析】观察图形得到一个正方形从左上角开始按逆时针标四个数，而2013=4×503+1，则可判断数2013应标在第504个正方形的左上角．【解答】解：∵2013=4×503+1，∴数2013应标在第504个正方形的左上角．故选C．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．2．（3分）（2011•台湾）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办．若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（）A．公元2070年B．公元2071年C．公元2072年D．公元2073年【分析】由已知，我们可总结出每4年举办一次，只要每个选项与2009，2010，2012的差有一个是4的倍数，则能在这一年此项运动会，否则这三项运动会均不在这一年举办．【解答】解：A、2070﹣2009=61，2070﹣2010=60，2070﹣2012=58，其中60是4的倍数，所以亚运会能在2070年举办，则世运会在2069年、奥运会在2072年举办．B、2071﹣2009=62，2071﹣2010=61，2071﹣2012=59，均不是4的倍数，所以，这三项运动会均不在2071年举办．C、2072﹣2009=63，2072﹣2010=62，2072﹣2012=60，60是4的倍数，所以奥运会能在2072年举办，则世运会在2069年、亚运会在2071年举办．D、2073﹣2009=64，2073﹣2010=63，2073﹣2012=61，64是4的倍数，所以世运会能在2073年举办，则亚运会在2074年、奥运会在2076年举办．故选：B．【点评】此题考查的知识点是数字变化类问题，解题的关键是要通过每4年举办一次，求出每个选项与2009，2010，2012的差，看是否有4的倍数确定答案．3．（3分）（2011•安顺）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，5）D．（5，5）【分析】由题目中所给的质点运动的特点找出规律，即可解答．【解答】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（5，0）．故选：B．【点评】本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．4．（3分）（2011•德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（）A．2n B．4n C．2n+1D．2n+2【分析】从图1到图3，周长分别为4，8，16，由此即可得到通式，利用通式即可求解．【解答】解：下面是各图的周长：图1中周长为4；图2周长为8；图3周长为16；所以第n个图形周长为2n+1．故选C．【点评】本题考查了图形的变化规律，首先从图1到图3可得到规律，然后利用规律得到一般结论解决问题．5．（3分）（2011•黔南州）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想210的末位数字是（）A．2 B．4 C．8 D．6【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出210的末位数字．【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…∴210的末位数字是4．故选B．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，根据题意找出规律是本题的关键．二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）6．（3分）（2011•保山）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n个数是．【分析】根据题意，首先从各个数开始分析，n=1时，分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=（﹣1）3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n个数为【解答】解：∵n=1时，分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=（﹣1）3•22，分母：5=2×2+1；n=3时，分子：8=（﹣1）4•23，分母：7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=（﹣1）5•24，分母：9=2×4+1；…，∴第n个数为：故答案为：【点评】本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分子、分母与n的关系．7．（3分）（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．2请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1．（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成分数的形式，据此可以得到答案；（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律；【解答】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：a=2n+1；（2）有理数b=（n≠0）；（3）①当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=1时，y=1，当x=时，y=．故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…②当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=时，y=，当x=时，y=，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…【点评】本题考查了二次函数的性质及实数的性质，解题的关键是发现规律并利用规律解题．8．（3分）（2014•永嘉县校级模拟）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=1．【分析】（1）根据规律能得出（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的值，即可推出（a+b）5的值；（2）根据规律得出原式=（2﹣1）5，求出即可．【解答】解：（1）∵（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，故答案为：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2﹣1）5=15=1（根据（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5的逆运用得出的），故答案为：1．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解此题的关键是找出规律，题目比较好，但是有一定的难度．参与本试卷答题和审题的老师有：gsls；马兴田；lbz；Liuzhx；ZHAOJJ；sjzx；zjx111（排名不分先后）菁优网2016年6月8日。
《第二十四讲 直角三角形》基础演练【基础演练】1．(2012·湖州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是 ( )A ．20B ．10C ．5D ．52解析 ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝5.答案 C2．(2012·广州)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( ) A.365B.1225C.94D.3 34解析 AB ＝ 92＋122＝15，设点C 到AB 的距离为x ，∵S △ABC ＝12×9×12＝12×15×x ∴x ＝365.答案 A3．(2012·绵阳)如图，将等腰直角三角形沿虚线剪去顶角后，∠1＋∠2＝( )A ．225°B ．235°C ．270°D ．与虚线的位置有关解析 ∵∠A ＋∠B ＝90°，∠1＋∠2＋∠A ＋∠B ＝(4－2)·180°， ∴∠1＋∠2＝360°－90°＝270°. 答案 C4．(2011·肇庆)在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝9，则AB ＝________． 解析 根据勾股定理，直接得出结果：AB ＝BC 2＋AC 2＝122＋92＝225＝15.答案155．(2012·嘉兴)在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为________．解析如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)，∵CD＝4，∴DE＝4.答案 46．如右图，∠BAC＝110°，如果MP和NQ分别垂直平分AB和AC，那么∠PAQ＝________．解析∵MP与NQ分别垂直平分AB和AC∴∠B＝∠BAP，∠QAC＝∠C∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝70°又∵∠APQ＝∠B＋∠BAP∠AQP＝∠C＋∠QAC∴∠APQ＋∠AQP＝2∠B＋2∠C＝140°在△APQ中∠PAQ＝180°－∠APQ－∠AQP＝180°－140°＝40°答案40°7．(2012·黔东南州)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为________．解析AC＝AM＝32＋12＝10，∴AM＝10答案10－18．如图，已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E 点，BE ＝3 cm ，则CD ＝________cm ，△DEB 的周长为________cm. 解析 在等腰Rt △BDE 中∵BE ＝3 cm ，∴BD ＝3 2 cm ，DE ＝3 cm ∴CD ＝DE ＝3 cm△DEB 周长为DE ＋DB ＋BE ＝6＋3 2 cm 答案 3 6＋3 29．(2012·无锡)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8 cm ，D 是AB 的中点，现将△BCD 沿BA 方向平移1 cm ，得到△EFG ，FG 交AC 于H ，则GH 的长等于________cm. 解析 ∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8 cm ，D 是AB 的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ＝4 cm ；又∵△EFG 由△BCD 沿BA 方向平移1 cm 得到的，∴GH ∥CD ，GD ＝1 cm ，∴GH CD ＝AG AD ，即GH 4＝4－14，解得，GH ＝3 cm. 答案 310．(2012·枣庄)如图，长方形纸片ABCD ，沿折痕AE 折叠边AD ，使点D 落在BC 边上的F 处，已知AB ＝8，S △ABF ＝24，求EC 的长．解 ∵S △ABF ＝12AB ·BF ＝24，AB ＝8，∴BF ＝6，∴AF ＝AD ＝BC ＝ 62＋82＝10， ∴FC ＝10－6＝4.设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ， 在Rt △EFC 中，(8－x )2＝42＋x 2 解得x ＝3，∴EC ＝3.11．如图， 已知四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积．解 连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝25, ∴AC ＝5.在△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝169，而AD 2＝132＝169，∴AC 2＋CD 2＝AD 2， ∴∠ACD ＝90°. 故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝12×3×4＋12×5×12＝6＋30＝36. 【能力提升】12．如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为5和11，则b 的面积为( )A ．4B ．6C ．16D ．55解析 ∵∠ACB ＋∠ECD ＝90°，∠DEC ＋∠ECD ＝90°， ∴∠ACB ＝∠DEC ，∵∠ABC ＝∠CDE ，AC ＝CE ， ∴△ABC ≌△CDE ，∴BC ＝DE .∴(如上图)，根据勾股定理的几何意义，b 的面积＝a 的面积＋c 的面积，∴b 的面积＝a 的面积＋c 的面积＝5＋11＝16.故选C.答案 C 【能力提升】13．(2012·宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A．90 B．100 C．110 D．121解析如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB＋AC＝3＋4＝7，所以，KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110.答案 C14．在水平的操场上，小明从A点出发，沿直线前进10米后，向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了________米．解析小明每次向左转30°，再前进10米，相当于在平面内画了一个正多边形，每个30°角是这个正多边形的一个外角，由于多边形的外角和为360°，所以360°÷30°＝12，即小明走了一个边长为10米的正十二边形，他共走了120米．答案12015．(2012·菏泽)如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE.(1)求证：DA⊥AE；(2)试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论． (1)证明 ∵∠DAB ＝12∠BAC ，∠BAE ＝12∠BAF .∴∠DAB ＋∠BAE ＝12(∠BAC ＋∠BAF )＝12×180°＝90°，即∠DAE ＝90°，∴DA ⊥AE .(2)解 AB ＝DE ，证明如下；∵AB ＝AC ，且AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BD ，由(1)知AD ⊥AE ，又∵BE ⊥AE ，∴四边形ADBE 是矩形，∴AB ＝DE .。
2014年浙江省温州市永嘉县瓯渠中学中考数学复习卷23：等腰三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共3小题，共9.0分)1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选：D．由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．2.等腰三角形的两内角度数之比是1：2，则顶角的度数是（）A.90°B.45°C.36°D.90°或36°【答案】D【解析】解：分两种情况，一种是底角与顶角之比为1：2时，则顶角为°×2=90°，另一种情况是顶角与底角之比为1：2时，则顶角为°=36°，∴顶角为90°或36°．故选：D．根据已知条件，根据等腰三角形的性质进行讨论，即可得出顶角的度数．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；本题通过设适当的参数，根据三角形内角和定理建立方程求解．注意要分类讨论：那个角为顶角，那个角为底角．3.在钝角三角形ABC中，若AB=AC，D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（）A.150°B.124°C.120°D.108°【答案】D【解析】解：设∠ABC为x．（180°-x）÷2+x+2x=180°解得x=36°∴180°-36°×2=108°．故选D．从已知条件结合图形，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理列出方程求解即可．本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解决本题的关键．题目比较简单，属于基础题．二、填空题(本大题共7小题，共21.0分)4.一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为______ cm．【答案】22或20【解析】解：当三边是8cm，8cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是22cm；当三边是8cm，6cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是20cm．因此等腰三角形的周长为22或20cm．故填22或20．本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ______ ．【答案】3【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，∴BD=BC=×6=3．故答案为：3．直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．6.如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为______ ．【答案】2【解析】解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，∴BC=AB=6，∵BC=3BD，∴BD=BC=2，∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=2．故答案为：2．由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度．此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质．此题难度不大，注意旋转中的对应关系．7.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于______ ．【答案】8【解析】解：∵BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，∴CD=BD，∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AD+BD+AC=AC+AB，而AB=5，AC=3，∴△ADC的周长=8．故填空答案：8．已知中BC的垂直平分线交AB于D，根据线段的垂直平分线的性质可以得到CD=BD，由此推出△ADC的周长=AC+CD+AD=AD+BD+AC=AC+AB，然后利用已知条件就求出△ADC的周长．此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，进行线段的等效代换是正确解答本题的关键．8.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= ______ 度．【答案】15【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E 的度数．本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．9.若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为______ 度．【答案】35【解析】解：∵等腰三角形的一个外角为70°，∴与它相邻的三角形的内角为110°；①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和=220°＞180°，不合题意，舍去；②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角=（180°-110°）÷2=35°．因此等腰三角形的底角为35°．故答案为：35．本题可先求出与70°角相邻的三角形的内角度数，然后分两种情况求解即可．本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．10.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______cm．【答案】3【解析】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=3cm．故答案为：3．由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)11.如图，在R t△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）【答案】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠BAC=90°，∴∠C=180°-90°-60°=30°，∵AB=2，∴BC=2AB=4，在R t△ABC中，由勾股定理得：AC===2，∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2．答：△ABC的周长是6+2．【解析】根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即可求出答案．本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．四、解答题(本大题共3小题，共24.0分)12.已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．【答案】（1）证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC=∠CDB=90°，∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠CBD，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠BAF=∠CAF，∴点O在∠BAC的角平分线上．【解析】（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．13.如图，CD是等边△ABC的角平分线，延长CB到E，使BE=BD，F是AE的中点，已知CD=6cm，求DF的长．【答案】解∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，又∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=30°，且CD⊥AB，D是AB的中点，又∵F是AE的中点，∴DF是△AEB的中位线，∴DF=EB，又∵BE=BD，∴DF=DB，R t△DBC中，∵∠DCB=30°，CD=6，∴BD=CD•tan∠DCB=6×=2∴DF=×2=（cm）．【解析】首先根据等腰三角形的性质可得∠DCB=30°，且CD⊥AB，D是AB的中点，再根据三角形中位线定理可得DF=EB=BD，再根据三角函数可得BD=CD•tan∠DCB，进而得到答案．此题主要考查了三角形中位线，以及三角函数的应用，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．【答案】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∠ABD=∠ABC-15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC．（2）如图，连接MC．∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM．在△ADC与△EMC中，∠∠∠∠，∴△ADC≌△EMC（AAS），∴ME=AD=BD．【解析】（1）根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°即可．（2）连接MC，可得△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC．再证明△ADC≌△EMC 即可．此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．。
