中考数学一轮复习讲义第10讲-直角三角形与锐角三角函数(培优)-学案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10cos B =. (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10BF B == （2）连接DG ，∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3，∴FG=13，∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10=10；3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∵AD=AD，CD=ND，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AB=AC，∴AB=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．【答案】（1）∠BME=15°；（2BC=4；（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，当h≥2时，S=18﹣3h．【解析】试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴，∴，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形4．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD的高约为86.9米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin BCAAB=．∴sin152sin311520.5279.04BC AB A︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈（米）答：主塔BD的高约为86.9米．【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.5．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝43．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴EH FH FHAB BE CH==；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝8463 FH EHCH AB===，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝43．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．6．如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点A的坐标为（4，0），点D在边AB上，且tan∠AOD＝12，点E是射线OB上一动点，EF⊥x轴于点F，交射线OD于点G，过点G作GH∥x轴交AE于点H．（1）求B，D两点的坐标；（2）当点E在线段OB上运动时，求∠HDA的大小；（3）以点G为圆心，GH的长为半径画⊙G．是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标．【答案】（1）B（4，4），D（4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣42，8﹣42）或（8+42，8+42）或42164216,⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭或16421642,77⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 12得AD=12OA=2，据此可得点D 坐标； （2）由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=12OF ，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ，即GF=12EF ，根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点，结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线，即HD ∥BE ，据此可得答案；（3）分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况，设PG=x ，结合题意建立关于x 的方程求解可得． 【详解】解：（1）∵A （4，0）， ∴OA ＝4，∵四边形OABC 为正方形， ∴AB ＝OA ＝4，∠OAB ＝90°， ∴B （4，4），在Rt △OAD 中，∠OAD ＝90°， ∵tan ∠AOD ＝12， ∴AD ＝12OA ＝12×4＝2， ∴D （4，2）；（2）如图1，在Rt △OFG 中，∠OFG ＝90°∴tan∠GOF＝GFOF ＝12，即GF＝12OF，∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，∴GF＝12EF，∴G为EF的中点，∵GH∥x轴交AE于H，∴H为AE的中点，∵B（4，4），D（4，2），∴D为AB的中点，∴DH是△ABE的中位线，∴HD∥BE，∴∠HDA＝∠ABO＝45°．（3）①若⊙G与对角线OB相切，如图2，当点E在线段OB上时，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2x，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，则x＝22x，解得：x＝22，∴E（8﹣2，8﹣2如图3，当点E在线段OB的延长线上时，x＝2x﹣2，解得：x＝2+2，∴E（8+42，8+42）；②若⊙G与对角线AC相切，如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，过点G作GQ⊥AC于点Q，则GQ＝PM＝3x﹣2∴3x﹣2＝22x，∴227x=，∴42164216,77E⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；如图5，当点E在线段OM上时，GQ＝PM＝22﹣3x，则22﹣3x＝2﹣2x，解得422x-=，∴16421642,77E⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；如图6，当点E在线段OB的延长线上时，3x﹣22x﹣2，解得：4227x=（舍去）；综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216++⎝⎭或16421642--⎝⎭．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．7．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数≈≈）．据：2 1.414,3 1.73【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度．【解析】AB=-73.2 (米)．…6分解：（1）100(31)(2) 此车制速度v==18.3米/秒8．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP ＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．9．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.(1)求的面积；(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)(参考数据：，，，，，，)【答案】（1）560000（2）565.6【解析】试题分析：（1）过点作交的延长线于点，，然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到△ABC的面积；（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.试题解析：(1)过点作交的延长线于点，在中，，所以米.所以(平方米).(2)连接，过点作，垂足为点，则.因为是中点，所以米，且为中点，米，所以米.所以米，由勾股定理得，米.答：、间的距离为米.考点：解直角三角形10．如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是O 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】 解：（1）AB 是O 的直径，且D 为O 上一点，90ADB ∴∠=︒， CE DB ⊥， 90DEC ∴∠=︒， //CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒. （2）①如图，连接OC . OA OC =，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠， 321∴∠=∠.42BDC ∠=∠，1BDC ∠=∠， 421∴∠=∠， 43∴∠=∠， //OC DB ∴. CE DB ⊥， OC CF ∴⊥.又OC 为O 的半径， CF ∴为O 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠， 3tan tan 4BAD F ∴∠==，34BD AD ∴=. 6BD =483AD BD ∴==，10AB ∴==，5OB OC ==.OC CF ⊥， 90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==，解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．。

中考数学人教版专题复习：锐角三角函数定义一、考点突破1.理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义。

2.能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值。

二、重难点提示重点：掌握一个锐角的正弦、余弦、正切的定义，能在具体图形中求锐角三角函数。

难点：学会在综合性问题中应用三角函数定义解决问题。

考点精讲1. 锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把[①∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A，即sin A A的对边a斜边c；②∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即cos A A的邻边b斜边c；③∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A，即tan A A的对边a＝A的邻边b。

∠A的正弦、余弦、正切叫作∠A的锐角三角函数。

2. 锐角三角函数定义的理解①sin A、cos A、tan A是一个整体而不是sin、cos、tan与A的乘积关系。

②锐角三角函数的大小当∠A的大小为一个确定值时，根据相似知识，我们知道∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是确定的。

也就是说，锐角三角函数的大小只与角的大小有关，与边的长短无关。

③锐角三角函数的单位锐角三角函数表示的是两个正数的比值，因而，锐角三角函数没有单位。

3. 锐角三角函数的书写要求在书写锐角三角函数时，要因角的不同表示方法而采用不同的书写方式，不能随意改变。

具体要求如下：①用顶点字母表示的锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。

例如∠B的锐角三角函数，可以分别记作：s inB、cosB、tanB。

②用希腊字母表示的锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。

例如∠β的锐角三角函数，可以分别记作：sinβ、cosβ、tanβ。

③用三个英文字母表示的锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。

例如∠ABC的锐角三角函数，可以分别记作：sin∠ABC、cos∠ABC、tan∠ABC。

一.教学目标：1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．5.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 二、教学重难点： 1．重点:（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住． （2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点 :（1）锐角三角函数的概念．（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力．三、知识点梳理知识点1．正弦：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即；可得a= ；c=余弦：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角∠A 的邻边与斜边的比 叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 ，可得b= ；c=正切：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，课题 锐角三角函数学生姓名年级 初三日期即，可得a= ；b=特殊角的锐角三角函数角度 函数0° 30° 37° 45° 53° 60° 90°sinαcos αtan α锐角三角函数值的变化情况 : （1）锐角三角函数值都是正值（2）正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α ，cos α0°≤∠A≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 0≤cosA≤1（3）正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

考点16锐角三角函数及其应用【命题趋势】中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。

其中，锐角三角函数的性质及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主。

整体难度不大，但是所占分值有3~12分，还是需要考生对这块易拿分的考点多加重视。

【中考考查重点】一、锐角三角函数的定义及其性质二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形四、解直角三角形的应用考向一：锐角三角函数的定义及其性质一．锐角三角函数的定义：在Rt △AABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b 则：∠A 正弦：caA A =∠=斜边的对边sin ；∠A 余弦：c bA A =∠=斜边的邻边cos ；∠A 正切：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan ；二．锐角三角函数的函数关系当∠A ＋∠B=90°时，有以下两种关系：（1）.同角三角函数的关系：AAA cos sin tan =；1cos sin 22=+A A （2）互余两角的三角函数的关系：B A B A sin cos ;cos sin ==;)90(1tan tan ︒=∠+∠=∙B A B A 【同步练习】1．（2021•句容市模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（）A ．c ＝b sin BB ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan BACBabc2．（2021•饶平县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝m，∠B＝β，那么AB＝（）A．m⋅sinβB．C．m⋅cosβD．3．（2021•张湾区模拟）如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sin C＝（）A．B．C．D．4．（2021•商河县校级模拟）当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°5．（2021•桓台县一模）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．6．（2021•蒙阴县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sin A＝，则cos∠BCD的值为．考向二：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值表αsin αcos αtan α30°21233345°2222160°23213【同步练习】1．（2021•宜兴市模拟）已知cos α＝，且α是锐角，则α＝（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．（2022•龙岗区一模）Rt △ABC 中∠C ＝90°，sin A ＝，则tan A 的值是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021•邵阳模拟）在△ABC 中，若|sin A ﹣|+（cos B ﹣）2＝0，则∠C 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．（2022•无为市校级一模）计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．考向三：解直角三角形解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b 三边关系：222cba=+两锐角关系：︒=∠∠90BA＋边与角关系：caBA==cossin，cbBA==sincos，baanA=t，abanB=t锐角α是a、b的夹角面积：αsin21abS=【方法提炼】与三角函数有关的倍半角问题倍半角模型①知“半角”求“倍角”→知θ，截取使相等（或中垂线），得2θ②知“倍角”求“半角”→知2θ，延长使相等(或做角平分线），得θ（等腰出，半角现）解题主要思想特别记忆：1.“倍半角”模型也可用于“角平分线”类问题2.“倍半角模型”常常转化为“θ”的正切值来计算3.☆【同步练习】1．（2021•樊城区一模）如图，A 、B 、C 是3×1的正方形网格的三个格点，则tan ∠ABC 的值为（）A ．B ．C ．D ．2．（2021•滨江区校级三模）如图，点A 为∠B 边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示tan B 的值，错误的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021•榆阳区模拟）如图，点A ，B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点，分别在直径的两侧，其中点A 是的中点，若tan ∠ACB ＝2，AC＝，则BC 的长为（）A ．B ．2C ．1D ．2时，③当时，②当时，①当7242tan 43tan 432tan 31tan 342tan 21tan ======θθθθθθ相等角倍角半角常构造（或选择）Rt △延长直角边=斜边，得半角作斜边的中垂线，得2倍角可构造K 型相似，得矩形当有特殊tan α值时，可转化为“倍半角”问题主要思想变“求点的坐标”为“求直线与函数图象交点”抓本质——对称全等＋l 1⊥l 2此处k 型相似比已知，矩形对边相等是列方程的等量关系4．（2021•阿城区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（）A．B．C．D．h•cosα考向四：解直角三角形的应用解直角三角形的应用：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作lhi=坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，αtan=i坡度越大，坡角越大，坡面越陡【方法提炼】1.在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③2.常用结论：【同步练习】1．（2022•鹿城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点A，B分别在墙面ED和地面FD上，且斜边BC∥ED，若AC＝1，∠CBA＝α，则AD的长为（）A．cosα×tanαB．C．D．2．（2022•无为市校级一模）如图，给出了一种机器零件的示意图，其中CE＝1米，BF＝米，则AB＝（）A．（1+）米B．（﹣1）米C．（2﹣）米D．（2+）米3．（2020•秦皇岛一模）如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m1．在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为（）A．B．C．D．13．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°4．下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°；②sin245°+cos245°＝1；③；④．A．1B．2C．3D．45．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．6．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面的切点，∠CAB＝60°．若量出AD＝6cm，则圆形螺母的外直径是（）A．cm B．12cm C．cm D．cm7．计算tan30°•sin60°的结果是．8．如图所示，在一次数学活动课上，初三1班的同学们利用长杆来测量某段城墙的倾斜角α，把一根长为6.6米的长杆AC斜靠在城墙旁，量出杆长2米处在地面投影AE的长约为1米，长杆的底端与墙角的距离AB约为2.7米，则倾斜角α的正切值约为．（结果精确到0.01，参考数据≈1.73）9.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是cm．10．计算：tan30°sin60°﹣cos245°+tan45°．11．计算：（1）sin60°•cos30°﹣1；（2）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．12．如图，在△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．13．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为0.5米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．（1）则篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为；（2）求底座BC的长（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈026，cos15°≈097，tan15°≈027，≈1.732，≈1.414）．1.（2021·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是．2.（2021·浙江金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米3.（2021·浙江丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD ＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα4.（2021·浙江温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+15.（2021·浙江绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．26.（2021·浙江杭州）计算：sin30°＝．7.（2021·浙江金华）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．8.（2021·浙江嘉兴）计算：2﹣1+﹣sin30°；9.（2021·浙江绍兴）计算：4sin60°﹣+（2﹣）0．10.（2021·浙江衢州）计算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．11.（2021·浙江金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．12.（2021·浙江台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）13.（2021·浙江嘉兴）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）14.（2021·浙江宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC ＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）15.（2021·浙江绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．16.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）1．（2021•余杭区二模）若sinα＝，则锐角α＝（）A．30°B．45°C．50°D．60°2．（2021•吴兴区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tan A的值为（）A．B．C．D．3．（2021•杭州二模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则AB的长为（）A．8B．12C．6D．124．（2021•婺城区模拟）若∠A，∠B都是锐角，且tan A＝1，sin B＝，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．锐角三角形D．直角三角形5．（2021•余杭区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．6．（2021•宁波模拟）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（）A．3B．2C．2D．37．（2021•北仑区一模）如图，点A在半径为6的⊙O内，OA＝2，P为⊙O上一动点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）A．3B．2C．D．28．（2021•吴兴区二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．2B．C．D．9．（2021•金华模拟）如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值为（）A．B．C．D．10．（2021•越秀区校级三模）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．D．11．（2021•拱墅区二模）如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（）A．B．C．D．12．（2022•温州模拟）一个长方体木箱放置在斜面上，其端点A落在水平地面上，相关数据如图所示，则木箱端点C距地面m的高度是（）A．a•cosα+b•sinαB．a•sinα+b•cosαC．a•sinα+b•sinαD．a•cosα+b•cosα13．（2021•下城区校级四模）在直角三角形ABC中，若cos C＝，则＝．14．（2022•温州模拟）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E 绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为cm，CD′的长为cm．15．（2021•杭州校级模拟）计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°．16．（2021•鹿城区校级三模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．17．（2021•宁波模拟）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．求：（1）∠B'EE'的度数；（2）∠DAC的正切值．18．（2022•宁波模拟）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了多少cm？（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）19．（2021•宁波模拟）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求DE的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．。

第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数（1）一、知识点1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2）的关系是和222111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________.B 1B 2AC 1C 2它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=_ _____.3、锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A的三角函数.温馨提示（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA 的关系： sinA 越大，梯子 ； cosA 越 ，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC 和cosB.通过上面的计算，你发现sinA 与cosB 有什么关系呢? sinB 与cosA 呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的 .设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备. 六、 归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°, BC=3，AB=5，求A 的三个三角函数值. 类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6 ，求BC 的长 七、 总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA ，cosA ，tanA ， 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)； （2）sinA ，cosA ，tanA 是一个完整的符号，表示∠A 的正切，习惯省去“∠”号； （3）sinA ，cosA ，tanA 都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA 均大于0,无单位； （4）sinA ，cosA ，tanA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系； （5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等. 3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.八、 随堂小测1、下图中∠ACB=90° ，CD ⊥AB 指出∠A2、1题中如果CD=5，AC=10，则sin ∠ACD= sin ∠DCB=3、如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB设计意图：设计各种题型，可以检验学生的方法掌握情况，同时巩固学生的知识，提高学生的运用能力，若时间不允许该部分也可作为课后作业完成.BCABCsin a A c=cos b A c =sin b B c=cos a B c=bABCa┌csinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90。

《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边a b ，c 222a b c +=(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB. 同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．Rt △ABC由求∠A ，∠B=90°－∠A ，由求∠A ，∠B=90°－∠A ，sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c c b a====sin ,cos ,tan ,cot b a b a B B B B c c a b====，∠B=90°－∠A，，∠B=90°－∠A，，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

-X 锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1. 如图，山坡上有一棵树AB,树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6jj 米，山坡的坡角 为30。

・小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的髙，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=I 米，【解析】解：・・・底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30。

・CF=I 米, ・•・ DC=9+l=10 米, /. GE=IO 米, •・・ Z AEG=45∖・•・ AG=EG=I0 米， 在直角三角形BGF 中，BG=GF ∙tan20o=10×0.36=3.6 米， ・•・ AB=AG-BG=IO-3.6=6.4 米, 答：树髙约为6.4米首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直 角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高2. 如图，等腰AABC 中，AB=AC, ZBAC=36。

，BC=I l 点 D 在边 AC 上且 BD 平分ZABC, 设 CD=×.(1) 求证：△ ABC- ∆ BCD ： (2) 求X 的值：(3) 求 cos36o-cos72°的值.DC=BC ∙cos30o==6√3×√3 2【答案】6.4米 （参考【答案】⑴证明见解析：（2） 土JE ： （3） 7近+ X.216【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD 为角平分线 求出ZDBC 的度数，得到Z DBC=Z A,再由ZC 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得 到三角形ABC 与三角形BCD 相似：（2） 根据（1）结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC 表示出AC,由（1）两三角形相似得比 例求岀X 的值即可；（3） 过B 作BE 垂直于AC,交AC 于点E,在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中，利用 锐角三角函数左义求出∞s360与cos72o的值，代入原式计算即可得到结果. 试题解析：（1） T 等腰AABC 中，AB=AC, Z BAC=36o, ・•・ Z ABC=Z C=72% ••・BD 平分Z ABC, ••・ Z ABD=Z CBD=36% ∙/ Z CBD=Z A=36% Ze=Z C, ・•・△ ABC - A BCD ； （2） V Z A=Z ABD=36∖ .∙. AD=BDf ∙.∙ BD=BC, ・•・ AD=BD=CD=I, 设 CD=x,则有 AB=AC=×+l, •・• △ ABc - △ BCD,AB BC _x+l 1整理得：×2+×-l=0, ≡=E 舍去2（3） IiB 作BE 丄AC,交AC 于点E,BD = CD, i 1~Γ = 7：.E 为 CD 中点，即 DE=CE=二4BC 14√5+l -l + √5 _£2 ,2・等腰三角形的性质：3•黄金分割；4•解直角三角 3. 如图，在AABC 中，ZABC=90\以AB 的中点0为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点 D, E 是BC 的中点，连接DE, OE.(1) 判断DE 与OO 的位置关系，并说明理由： (2) 求证：BC 2=2CD ∙0E:3 14 (3) 若COSZBAD = —，BE = -,求 OE 的长.53【答案】(1)DE 为Oo 的切线，理由见解析：(2)证明见解析：(3) OE=^-・6【解析】试题分析：(1)连接0D, BD,由直径所对的圆周角是直角得到ZADB 为直角，可得岀 ∆BCD 为宜角三角形，E 为斜边Be 的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,I +Ξ!±√ΣZIAE4在 Rt ∆ ABE 中，COSA=COS36°=——一 分 AB√5+l4在 Rt ∆ BCE 中,COSC=COS72°= EC土逅+ 1 2 _i+7? 4 -1 + \/5 9则 cos36o-cos72°= =4 4【考点】1.相似三角形的判左与性质; 形・得到CE=DE f从而得Z C=Z CDE,再由OA=OD.得Z A=Z ADO l由Rt∆ ABC中两锐角互余，从而可得ZADO与ZCDE互余，可得出ZODE为直角，即DE垂直于半径0D,可得岀 DE为C)O的切线：(2)由已知可得OE是AABC的中位线，从而有AC=20E,再由ZC=ZC, Z ABC=Z BDC, 可得AABO ABDC,根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得：(3)在直角AABC中，利用勾股左理求得AC的长，根据三角形中位线左理OE的长即可求得. 试题解析：(i) DE为C)O的切线，理由如下：连接0D, BD,∙.∙ AB为C)O的直径，・•・ Z ADB=90%在Rt∆ BDC中，E为斜边BC的中点，1 ∙∙∙ CE=DE=BE=-BC,2・•・ Z C=Z CDE,•・・ OA=OD,・•・ Z A=Z ADO,T Z ABC=90o,・•・ Z C+Z A=90o,・•・ Z ADO+Z CDE=90∖・•・ Z ODE=90∖.∙. DE丄OD,又OD为圆的半径,.∙. DE为C)O的切线；(2)∙.∙E是BC的中点，O点是AB的中点,.∙. OE ⅛Δ ABC的中位线,・•・ AC=20EtT Z C=Z C t Z ABC=Z BDC,••・△ ABC- BDC,BC AC Un 7・•・——=——,即BC2=AC∙CD.CD BC：.BC2=2CD∙OE;3(3)解：∙.∙ COSZ BAD= τ,BC 4.∙. SinZ BAC= = —»AC 5]斗28又TBE=*, E是BC的中点，即BC=学，3 335.∙. AC=—•3又・・• AC=20E,135.・・ OE=-AC=—.2 6考点：1、切线的判泄：2、相似三角形的判定与性质：3、三角函数4.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 分）已知：如图，AB是半圆0的直径，弦CDlIAB ,动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ = OP . AP的延长线与射线O0相交于点E、与弦CD相交于点F （点F与（1）求证：AP = OQ.（2）求y关于X的函数关系式，并写出它的定义域：（3）当PE是直角三角形时，求线段OP的长.【答案】（1）证明见解析；（2） y=3・「-6（）工+ 30（）（巴＜牙＜]0）；（S）OP = EX13【解析】【分析】（1）IiE明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP = DQ,联结OD后还有OA = DO ,再结合要证明的结论AP = OQ ,则可肯泄需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即ZPoA = ZQD O即可：（2）根据APFC-ΔΛ4O,将而积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分4成三种情况讨论，充分利用已知条件CoSZAOC = -.以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中泄义域的答案舍去.【详解】2，(1) 联结 OD, ∙.∙ OC = OD,∙∙. Z0CD = Z(9DC,∙.∙ CDlIAB.：.ZOCD = ZCOA,.∙. ZPOA = ZQDO.在SAOP 和'ODQ 中，OP = DQ {ZPOA = ZQDO,OA = DO ∙. SAOP^ ^ODQ t •・ AP = OQ.(2)作PH 丄04,交OA 于H ,4.∙ COSZAoC =—,443m UoP 卡,Pr ，・ SMoP =丄 Ao ・ PH = 3x .2・• CDIIAB, ∙. APFCs MA0、Jy=3√-60A÷300t 当F 与点D 重合时,・・ CD = 2OC ∙CoS ZOCD = 2×10×⅛ = 16.51⅛Γ护解得"罟3X 2-60X + 300 z 50 InX・•・ y = --------- ( VX<10)：X13(3) ①当ZOPE = 90 时，ZOPA = 90 ,4・・・ OP = OA cOSZAOC = ∖0×- = S;CC- - -- -IQ 25 ②当 ZPOE = 90」时， CoS ZQCO CoS ZAOC 4 25 25 7 ・・・ OP = DQ = CD-CQ = CD-- =16- — = -2 2 2OC 10•・•一VOPVlO,137・•・OP = -（舍去）：2③当APEO = 90 时，V CDIIAB ,・・・ ZAOQ = ZDQO ,∙.∙ SAOP里'ODQ,：.ZDQO = ZAPO ,・•・ ZAOQ = ZAPO,∙∙∙ ZAEO = ZAOP = 90 ,此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去; 综上，线段OP 的长为8・5.如图，已知二次函数y = [x'+bΛ∙ + c的图象经过点A (-3, 6),并与X轴交于点8 (- 1，0)和点C,顶点为点P.(1)求这个二次函数解析式；(2)设D为X轴上一点，满足Z DPC=Z BAC,求点D的坐标；(3)作直线&P,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP±是否存在点Λ/,使AM+M∕V 的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1)点C坐标为(3, 0),点P (1, -2) : (2)点P (7, 0): ⑶点N (・5 5【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解：1I BH O «</2 1 J (2)利用SΔ ABC= —×AC×BH= —×BC×yA> 求出 Sina= = 一= —= ♦则 tana=—, 在2 2 AB2√10√5 2MD X 1Δ PMD 中，tana= --- = ---- ,即可求解；PM x + 2√2 2(3>作点A关于对称轴的对称点A，(5, 6),过点A，作AN丄AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小，即可求解.13 故：抛物线的表达式为：X=-X 2-X--.22 3令尸0,则X=.或3,令x=0,则y=-— »2故点C 坐标为（3, 0）,点P （1, -2）:（2）过点3作BH 丄AC 交于点H,过点P 作PG 丄X 轴交于点G,由题意得：AB=2 √10 > ∕AC=6√2 > BC=4, PC=2 √2 »1 1S Δ ABC= — ×AC×BH= — ×BC×VA ^22解得：BH=2BHSina= ------- 2√2 1nιl1=——F = = 一T=,贝IJ tana=—, 由题意得： GC=I=PG.故Z PCB=AS 09延长PC,过点D 作DM 丄PC 交于点M,则 MD=MC=X,八 IMD X 1 ∏.∆ PMD ψ, tanα= = ------ T ==—PM x+2√2 2解得：×=2Λ∕2 ,则 CD=TJX 二4, 故点 P （7, 0）:（3）作点A 关于对称轴的对称点A （5, 6）,过点A 作AN 丄AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N,此时AM^M N 最小,【详解】（1）将点人、B 坐标代入二次函数表达式得:.96 = _-3/? + 32 O = - — -/? +C2b = -∖解得： 3C =——2Q 1直线AP表达式中的k值为：—=-2,则直线AN表达式中的k值为丄，-4 2设直线AN的表达式为：y=*χ+b,将点A坐标代入上式并求解得：b=[,21 7故直线AN的表达式为：y=-x÷-...①，2 2当E时,y=4,故点 M (1, 4 ),同理直线AP的表达式为：y=-2x...②，联立①②两个方程并求解得：X=-L714故点N§)・【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中(3),利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法.6.如图，正方形ABCD的边长为√2+l.对角线AC、BD相交于点O, AE平分ZBAC分别交 BC、BD 于 E、F,(1)求证：△ ABz △ ACE：(2)求 tanZ BAE 的值;(3)在线段AC上找一点P,使得PE÷PF最小，求出最小值.【答案】(1)证明见解析；(2) tanZ EAB=JJ - 1：(3) PE+PF的最小值为√2 + √2 ∙【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图i中，作EH丄AC于H.首先证明BE=EH=HC,设BE=EH=HC=X,构建方程求出X 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时 PF+PE 的值最小，最小值为线段EH的长：【详解】（1）证明：T四边形ABCD是正方形，・•・ Z ACE = Z ABF=Z CAB=45%••• AE 平分Z CAB,・•・Z EAC = Z BAF = 22.5°,・•・△ ABF- ∆ ACE.（2）解：如图1中，作EH丄AC于H・D C图1∙/ EA 平分Z CAB, EH丄AC, EB丄AB,・•・ BE = EB,•・・ Z HCE = 45o, Z CHE=90%・•・ Z HCE = Z HEC = 45%・•・ HC=EH,・•・ BE = EH = HC,设 BE = HE = HC=x,则 EC=JJx,T BC=√2+1»・•・x+x=匝+1，.∙. X=I t在 Rt∆ ABE 中，∙/ Z ABE=90%BE _ 1 _ ZT・•・ta∩Z EAB = ——=—7=——=72 -I.AB√2 + l（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF÷PE的值最小.•・• AC= √AB 2 3+BC 2=2÷√2 >・•・ OA=OC = OB=丄 AC= $ + 忑,2 2HM = OH+OM =••・PE+PF 的最小值为J2 + √Σ・・ 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型・7. 在矩形ABCD 中，AD>AB,点P 是CD 边上的任意一点（不含C, D 两端点），过点P 作PFIl BC,交对角线BD 于点F.2 如图1，将ZkPDF 沿对角线BD 翻折得到ZkQDF, QF 交AD 于点E.求证：Δ DEF 是等 腰三角形; 3如图2,将APDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△ P ,DF,连接PC, F ,B.设旋转角为α（0o<a<180o）・,1・•・ OH = OF = OA ∙tanZ OAF = OA ∙tanZ EAB =2 +√2~~2在 Rt ∆ EHM 中，EH=JEM$+ HNf = C（备用图）②如图3,若点P 是CD 的中点，ADFB 能否为直角三角形？如果能，试求出此时 ta∩Z DBF I的值，如果不能，请说明理由・1 /T【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析：②亍或字. 【解析】【分析】（2）根据翻折的性质以及平行线的性质可知ZDFQ=Z ADF,所以ADEF 是等腰三 角形；（2）①由于PFIl BC,所以△ DPF 〜△ DCB,从而易证厶DPF-厶DCB ；②由于ADFB 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分 类讨论.【详解】（I ）由翻折可知：ZDFP=ZDFQ, ・・ PFIl BC, •・ Z DFP=Z ADF t •・ Z DFQ=Z ADF, •・△ DEF 是等腰三角形；(2)①若(TVaVZ BDC,即DF 1在Z BDC 的内部时,・• Z P ,DF Z=Z PDF, •・ Z P ZDF Z- Z F ZDC=Z PDF - Z FDC,•・ Z P ,DC=Z F zDB, 当ZDBF=90。

2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数一、单选题1．如图，一座厂房屋顶人字架的跨度12AC =m ，上弦AB BC =，25BAC ∠=︒．若用科学计算器求上弦AB 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）A ．1225cos ÷=B ．625cos ÷=C ．625tan ÷=D ．625sin ÷=2．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内） 。

已知AB=a ，AD=b ，⊥BCO=θ，则点A 到OC 的距离等于（ ）A ．asinθ+bsinθB ．acosθ+bcosθC ．asinθ+bcosθD ．acosθ+bsinθ3．如图，在⊥ ABC 中，⊥C ＝90°，以OA 为半径的半圆经过Rt ⊥ABC 的顶点B ，交直角边AC 于点E ，且B ，E 是半圆的三等分点，弧BE 的长为43π，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．38π B ．83π C ．38πD ．83π二、填空题4．在 Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， 6BC = ， 3sin 5A =，则 AB = . 5．计算： ()0212014()2sin 6012π----︒+= .6452sin 60︒-︒= .三、综合题7．如图，在⊥ABC 中，AB=AC ，以AC 边为直径作O 交BC 边于点D ，过点D 作DE⊥AB 于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F.（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若EB=6，且sin⊥CFD=35，求O 的半径.8．如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BD 、CE.（1）求证：四边形BCED 是平行四边形；（2）若DA ＝DB ＝4，cosA ＝14，求点B 到点E 的距离. 9．（1）计算：02012460sin ⨯︒（2）求代数式的值：2222(2)42x x x x x x -÷++-+，其中12x =.10．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB ，从地面上D 点处观测旗杆顶点A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2).（1）若已知CD ＝20米，求建筑物BC 的高度； （2）若已知旗杆的高度AB ＝5米，求建筑物BC 的高度.11．随着精准扶贫政策的落地实施，小亮家所在的村落进行了整村搬迁，小亮同家人一起告别了祖辈们世代居住的窑洞，搬进了宽敞明亮的新房．他家的新房全部安装的是内倒式窗户．为帮助家人确定窗边家具摆放位置，小亮想要知道开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的水平距离．如图，小亮测得窗扇高度AB＝80cm，开启时的最大张角⊥A＝22.5°，窗扇开启后的位置为AB'．（1）请根据这些数据帮助小亮计算开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离（不考虑窗扇的厚度，参考数据sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41）；（2）小亮的爸爸说：“咱家安装窗户总共花了4800元，隔壁小明家安装的是平移式窗户，他家窗户总面积比咱家多3平方米，但他家总共才花了3680元，咱家安装的这种内倒式窗户每平方米的价格是小明家安装的平移式窗户每平方米价格的1.5倍.”请你根据以上信息求出小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米多少元？12．有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝16cm，⊥ADB＝30°.（1）试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把⊥BCD 与⊥MEF 剪去，将⊥ABD绕点A顺时针旋转得⊥AB1D1，边AD1交FM 于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当⊥AFK 为等腰三角形时，求β的度数；（3）若将⊥AFM沿AB方向平移得到⊥A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP⊥AB时，求平移的距离.13．如图，在⊥ABC中，以BC为直径的⊥O交AC于点D，点E在⊥O上，且BD DE=，连接BE交AC于点F，已知BA＝BF．（1）求证：AB是⊥O的切线；（2）若AF＝6，35ABAC=，求⊥O的直径．14．如图，在⊥O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，交AB于C、D，点E，G，F，H在⊥O上.（1）若EG＝8，AC＝2，求⊥O半径；（2）求证：AE＝BF；（3）若C，D分别为OA，OB的中点，则AE＝EF＝FB成立吗？请说明理由.15．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A 处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行到达C 处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．（1）求⊥AMC与⊥ACM度数．（2）现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短，且AC＝2000米，求A小区与支管道连接点N的距离．16．在平面直角坐标系中，一次函数()0y ax b a=+≠的图形与反比例函数()0ky kx=≠的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH y⊥轴，垂足为H，3OH=，4tan3AOH∠=，点B的坐标为()2m-，.（1）求 AHO 的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；（3）写出不等式 kax b x+≥ 的解集.17．（1）计算： ()(04116tan 303--+︒-- ；（2）已知 ()223400x xy y y --=≠ ，试求代数式2x yx y-+ 的值. 18．如图，ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE=DF ，连结AE ，CF 。

【填空题】必考重点10 解三角形解三角形是指已知三角形的部分边和角，求出三角形中其他未知的边和角。

通常利用勾股定理、相似三角形的性质或者锐角三角函数的边角关系进行求解，是江苏省各地市中考的必考点，考查形式多样，既有选择题、填空题，也会考查解答题，选择和填空考查时，难度中等或者偏难，综合题考查时难度中等。

接此类题目时，要善于运用勾股定理、相似三角形的对应边成比例的性质求三角形的边长，能够运用锐角三角函数的基本知识进行边角互化，从而解出三角形。

【2022·江苏南通·中考母题】如图，B 为地面上一点，测得B 到树底部C 的距离为10m ，在B 处放置1m 高的测角仪BD ，测得树顶A 的仰角为60︒，则树高AC 为___________m （结果保留根号）．【考点分析】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【思路分析】在Rt ADE △中，利用tan 10∠===AE AE ADE DE AE =1m 即为AC 的长．【2022·江苏常州·中考母题】如图，在四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，DB 平分ADC ∠．若1AD =，3CD =，则sin ABD ∠=______．【考点分析】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．【思路分析】过点D 作BC 的垂线交于E ，证明出四边形ABED 为矩形，BCD △为等腰三角形，由勾股定理算出DE BD【2022·江苏南通·中考母题】如图，点O 是正方形ABCD 的中心，AB =Rt BEF △中，90,︒∠=BEF EF 过点D ，,BE BF 分别交,AD CD 于点G ，M ，连接,,OE OM EM ．若1,tan 3=∠=BG DF ABG ，则OEM △的周长为___________．【考点分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．【思路分析】连接BD ，则BD 过正方形ABCD 的中心点O ，作FH ⊥CD 于点H ，解直角三角形可得BG＝AG ＝13AB ，然后证明△ABG ≌△HFD （AAS ），可得DH ＝AG ＝13AB ＝13CD ，BC ＝HF ，进而可证△BCM ≌△FHM （AAS ），得到MH ＝MC ＝13CD ，BM ＝FM ，然后根据等腰三角形三线合一求出DF ＝FM ，则BG ＝DF ＝FM ＝BM ＝出OM 、EM 和OE 即可解决问题．【2022·江苏无锡·中考母题】△ABC 是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD 与直线AE 交于点F ．如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC =20°，则∠BAF ＝________°；现将△DCE 绕点C 旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF 长度的最小值是________．【考点分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【思路分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC=∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．1．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边4AB =，6BC =，若不改变矩形ABCD A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半轴上随之上下移动，当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，则此时点A 的横坐标为______ ．2．（2022·江苏·阳山中学一模）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，有一个锐角为60°，AB ＝4，若点P 在线段AB上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为______．3．（2022·江苏·无锡市天一实验学校三模）如图，平面内几条线段满足10AB BC ==．AB 、CD 的交点为E ，现测得AD BC ⊥，AD DE =，3tan 4DAE ∠=，则CD 的长度为___________．4．（2022·江苏苏州·二模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，4BC =．将ABC 绕点A 旋转得AB C ''△，连接B C '，B ′B ，则B CB '△面积的最大值为________．5．（2022·江苏镇江·二模）如图，在等腰直角△ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在△ABC 内部，连接BD 、CD ，将△BDC 绕点C 逆时针旋转90°得到△AEC ，点M 在边AE 上，若=90BDC ∠︒，24AC CD ==，则线段BM 的最小值为______．6．（2022·江苏苏州·一模）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AC =，点P 是边AB 上的一动点．A B C ABC ''△△≌，将A B C ''△绕点C 按逆时针方向旋转，点E 是边A C '的中点，则PE 长度的最小值为______．7．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC BC ==．矩形DEFG 的顶点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，若3tan 4DEC ∠=，则当EC ＝______时，矩形DEFG 面积的最大值＝______．8．（2022·江苏南通·二模）某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸，图纸中AB CD ∥，均与水平方向垂直．根据图中数据，机翼外缘CD 的长为______cm ．（结果取整数，参考sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）9．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图，AB BC ⊥，5AB =，点E 、F 分别是线段AB 、射线BC 上的动点，以EF 为斜边向上作等腰Rt DEF △，90D ∠=︒，连接AD ，则AD 的最小值为______．10．（2022·江苏泰州·二模）如图，在等边ABC 外侧作直线AD ，点C 关于直线AD 的对称点为M ，连接CM ，BM ．其中BM 交直线AD 于点E ．若60120CAD <∠<︒︒，当3BE =，4ME =时，则等边ABC 的边长为______．11．（2022·江苏·无锡市河埒中学二模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是CD 边上的一点，连接BP ，以BP 为一边在正方形内部作45PBQ ∠=︒，过点A 作AE BP ∥，交BQ 的延长线于点E ，则BP BE ⋅=______．12．（2022·江苏宿迁·二模）如图，在ABC 中，21530AC A B =∠=︒∠=︒，，，则ABC 的面积为_______．13．（2022·江苏常州·二模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =．D 是边BC 的中点，点E 在AB 边上，将BDE △沿直线DE 翻折，使点B 落在同一平面内点F 处，线段FD 交边AB 于点G ，若FD AB ⊥时，则AE BE=______．14．（2022·江苏南京·一模）如图Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点P 为BC 上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为 _____．15．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长是3．BP CQ =，连接AQ 、DP 交于点O ，并分别与边CD 、BC 交于点F 、E ，连接AE ，下列到结论：①DF CE =；②2OQ OA OF =⋅；③AOD OECF S S ∆=四边形；④222AO OE BC +=；⑤当1BP =时，1an 136t OAE ∠=，其中正确结论是：__．16．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）如图，将两块三角板OAB （∠OAB =45°）和三角板OCD （∠OCD =30°）放置在矩形BCEF 中，直角顶点O 重合，点A 、D 在EF 边上，AB =6．（1）若点O 到BC ，则点O 到EF 的距离为_________；（2）若BC =3AD ，则△OCD 外接圆的半径为_________．17．（2022·江苏·苏州草桥中学一模）如图，将Rt ACB 绕斜边AB 的中点O 旋转一定的角度得到Rt FAE ，已知3AC =，2BC =，则cos CAE ∠=________．18．（2022·江苏徐州·二模）如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，AC 边上的动点，则DEF 周长的最小值是______．19．（2022·江苏南通·一模）如图，△ABC 中，90ACB ∠=，3sin 5B =，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转，得△DCE ，点D ，点E 分别与点A ，点B 对应，边CE ， DE 与边AB 相交，交点分别为点F ，点G ，若32AF BF =，则EG BC的值为_________．20．（2022·江苏无锡·一模）如图，在四边形ABCD 中，AD CD ==6CB AB ==，90BAD BCD ∠=∠=︒，点E 在对角线BD 上运动，⊙O 为△DCE 的外接圆，当⊙O 与AD 相切时，⊙O 的半径为__________；当⊙O 与四边形ABCD 的其它边相切时，其半径为__________．21．（2022·江苏无锡·一模）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是BC 的中点，连接AD ，过点C 作CF ⊥AD 交AB 于F ，则△ABD 的面积为______，BF ＝______．22．（2022·江苏无锡·一模）一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC =CE AB 中点O ，连接OF .∠FCE 在∠ACB 内部绕点C 任意转动(包括边界)，则CE 在运动过程中扫过的面积为____；在旋转过程中，线段OF 的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为____．23．（2022·江苏·靖江市实验学校一模）在△ABC 中，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点，AE ＝6，把AD 绕点A 逆时针旋转120°，得到AF ，若CF ＝7，∠ACF ＝∠AEC ，则AC ＝________．24．（2022·江苏连云港·一模）如图，在矩形ABCD 和Rt BEF △中，6,5,4AB BC BE BF ====，将BEF △绕着点B 顺时针旋转，连接,CE AF ，当BCE ∠最大时，ABF △的面积为___________．25．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E是矩形ABCD对角线AC上的动点，连接DE，过点E作EF DE⊥交BC所在直线与点F，以DE、EF为边作矩形DEFG，当92DEFGS=矩形时，则AE长为______．【填空题】必考重点10 解三角形解三角形是指已知三角形的部分边和角，求出三角形中其他未知的边和角。

《锐角三角函数》导学案一、学习目标1、理解锐角三角函数的定义，能够准确说出正弦、余弦、正切的概念。

2、掌握锐角三角函数的求值方法，会利用已知条件求出锐角的三角函数值。

3、能够运用锐角三角函数解决与直角三角形相关的实际问题。

二、学习重难点1、重点（1）锐角三角函数的概念，包括正弦、余弦、正切的定义。

（2）特殊锐角（30°、45°、60°）的三角函数值及其应用。

2、难点（1）理解锐角三角函数的本质，以及如何在直角三角形中准确地表示出三角函数值。

（2）运用锐角三角函数解决实际问题时，如何将实际问题转化为数学模型。

三、知识回顾1、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（勾股定理）。

2、相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

四、新课导入在生活中，我们常常会遇到需要测量高度、距离等问题，比如测量大树的高度、河流的宽度等。

而这些问题往往可以通过直角三角形的知识来解决。

今天，我们就来学习一种新的数学工具——锐角三角函数，它将帮助我们更方便、更准确地解决这类问题。

五、知识讲解1、锐角三角函数的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正弦，记作 sinA。

即 sinA ＝对边／斜边。

同理，如果一个锐角的邻边与斜边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的余弦，记作 cosA。

即 cosA ＝邻边／斜边。

如果一个锐角的对边与邻边的比值是一个固定值，那么这个比值就叫做这个锐角的正切，记作 tanA。

即 tanA ＝对边／邻边。

例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 为锐角，BC 为∠A 的对边，AC 为∠A 的邻边，AB 为斜边。

则 sinA ＝ BC ／ AB，cosA ＝ AC ／ AB，tanA ＝ BC ／ AC。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第10讲-----直角三角形与锐角三角函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①熟练掌握直角三角形的性质与判定；②熟练掌握特殊角的三角函数值；③熟练应用锐角三角函数计算高度。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理二、知识概念（一）直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角________．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（二）直角三角形的判定1．有一个角等于________的三角形是直角三角形．2．有两角________的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．体系搭建4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．（三）锐角三角函数定义在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．∠A 的正弦：sin A ＝∠A 的对边斜边＝________；∠A 的余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝________；∠A 的正切：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝________.它们统称为∠A 的锐角三角函数．锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．（四）特殊角的三角函数值（五）解直角三角形1．定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角) 2．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ． (1)三边之间的关系：____________； (2)锐角之间的关系：____________；(3)边角之间的关系：sin A ＝ac ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a. 3．解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sin A ，b ＝atan A(或b ＝c 2－a 2)；(2)已知斜边和一个锐角(如c ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，a ＝c ·sin A ，b ＝c ·cos A (或b ＝c 2－a 2)；(3)已知两直角边a ，b ，其解法为：c ＝a 2＋b 2， 由tan A ＝ab，得∠A ，∠B ＝90°－∠A ；(4)已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为：b ＝c 2－a 2，由sin A ＝a c，求出∠A ，∠B ＝90°－∠A ．（六）解直角三角形的应用（测高）1．仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点________与水平距离之比，常用i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________．考点一： 直角三角形的性质例1、△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）A ．∠A +∠B=∠CB ．∠A ：∠B ：∠C=1：2：3C ．a 2=c 2﹣b 2D ．a ：b ：c=3：4：6 【解析】D ．例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，若点A 关于CD 所在直线的对称点E 恰好为AB 的中点，则∠B 的度数是（ ） A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°【解析】C ．例3、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．13【解析】C．例4、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16B．17C．18D．19【解析】设正方形S1的边长为x，AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．考点二：锐角三角函数例1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【解析】C．例2、一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2【解析】在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；故选：D．例3、已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．【解析】∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．考点三：利用锐角三角函数测高例1、如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）mC．16（）m D．16（）m【解析】A．例2、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（）A．3000m B．3000（）mC．3000（）m D．1500m【解析】C．例3、如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A．20海里B．40海里C．20海里D．40海里【解析】C．例4、某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．【解析】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，i=tan∠BAF==，∴∠BAF=30°，∴BF=AB=5，AF=5．∴BG=AF+AE=5+15．在Rt△BGC中，∵∠CBG=30°，∴CG：BG=，∴CG=5+5．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CG+GE﹣DE=5+5+5﹣15=（5﹣5）m．答：宣传牌CD高约（5﹣5）米．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对【解析】A．2、如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A．10m B．15m C．5m D．20m【解析】B．3、如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6【解析】C．4、如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的面积是（）A．3B．6C．10D．12【解析】∵△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC交BC于点E，∴AE⊥BC，且BE=CE，∴AE===4，∴S△ABC=×BC×AE=×6×4=12，∵点D为AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，且DE=AC，∴==，∴S△BDE=S△ABC=×12=3，故选A．5、△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8 C．3. 8D．5【解析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，∴12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．6、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里【解析】D．7、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【解析】①②③正确，④错误．故选B8、如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD．求证：GD⊥DE．【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠BED=∠FDC=90°，∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°，∴∠1=∠3，∵G是直角三角形FDC的斜边中点，∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠FDC=∠2+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°，∴∠2+∠FDE=90°，∴GD⊥DE．9、如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）【解析】（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC====米，BD=BF=x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，解得：x=4+4，则AB=（6+4）米．➢课后反击1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】C．2、如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【解析】B．3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD=30°B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED【解析】D．4、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【解析】连接AC、CF，H是AF的中点，CH=AF=×2=．选：B．5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（）A．2B．3C．3D．2【解析】A．6、如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）A．（）2013B．（）2014C．（）2013D．（）2014【解析】∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，∴S n=．当n=2016时，S2016==．故选C．7、如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．【解析】∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，解得x=﹣2±2（负值舍去），∴AE=﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA===．故选C．8、已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：2CD2=AD2+DB2．【解析】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△AEC≌△BDC（SAS）；（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度．∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°；∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2．由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．9、如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【解析】过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，∴设EF=x，则FC=x，∵CE=20米，∴x2+（x）2=400，解得：x=10，则FC=10m，∵BC=25m，∴BF=NE=（25+10）m，∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10=（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．直击中考1、【2014•泰州】如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，【解析】D．2、【2010•苏州】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（）A．B．2C．D．【解析】设菱形ABCD边长为t．∵BE=2，∴AE=t﹣2．∵cosA=，∴．∴=．∴t=5．∴AE=5﹣2=3．∴DE==4．∴tan∠DBE===2．故选B．3、【2015•日照】如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【解析】：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故选D．4、【2016•攀枝花】如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．【解析】连接CD，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．5、【2014•威海】如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．【解析】D．6、【2011•黄石】计算：．【解析】2．7、【2013•威海】操作发现：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．【解析】（1）证明：由图①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD，∵∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°，∵∠ACB=45°，∴∠DCO+∠BCO=75°∴∠DCO=30°；∵∠DCO+∠CDO+∠DOC=180°，∴∠DOC=30°+45°=75°，∴∠DOC=∠BDC，∴△CDO是等腰三角形；（2）解：作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=4，HF=4，在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=8，BF=16，∴BC=BD=8，∵AG⊥BC，∠ABC=45°，∴BG=AG=4，∴AG=DH，∵AG⊥BC，DH⊥BF，∴AG∥DH，又∵AD∥BF，∠AGC=90°，∴四边形AGHD为矩形，∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣4﹣4=12﹣4．8、【2016•昆明】如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【解析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．9、【2016•乐山】如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．【解析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°，∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质与判定2、锐角三角函数及其应用名师点拨该部分是中考考查的热点之一，主要考查直角三角形的判定和性质的应用、运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力；运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是重中之重。