最新2020年中考数学几何全套复习讲义

2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）参考答案与试题解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是60°；（2）如果＝，那么＝1；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF＝∠ABD，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠F AB＝∠FBA，∴F A＝FB，∴＝1．故答案为1．（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴＝①，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝②，①÷②得到：＝，∴＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45°，推出∠F AC＝∠EAC＝135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题；（2）由△ACF∽△AEC，推出＝，可得AC2＝AE•AF，求出AC即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠F AC＝∠EAC＝135°，∵∠FCA＝∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∵AG＝AC＝1，∴AC＝，∵∠F AC＝∠EAC＝135°，∴∠ACF+∠F＝45°，∵∠ACF+∠ACE＝45°，∴∠F＝∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴＝，∴AC2＝AE•AF，∴AE•AF＝2．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．【分析】（1）根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）作过点A作AF⊥BE于点F，根据AB＝AE可知BF＝BE，由∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，得出△ABF∽△BEC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠CEB．（2）a＝b．证明：如图2，作过点A作AF⊥BE于点F，∵AB＝AE，∴BF＝BE，∵∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，∴△ABF∽△BEC∴＝，∴＝，即a＝b．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解是解答此题的关键．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF＝∠2，F A＝FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE＝F A，∠1＝∠BAF，则∠5＝∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6＝∠3+∠4，则∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：由△AFG∽△BF A，易得∠AGF＝∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG＝∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：＝＝．即＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，则GD＝a，FD＝a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得＝，则＝＝．设EG＝2k（k＞0），所以BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，又由FQ∥ED，易证得＝＝，所以FM＝FN．【解答】（1）证明：如图1，连接FE、FC．∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE＝FC，∴∠1＝∠2．∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），∴AB＝CB，∠4＝∠3，∵在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠2，F A＝FC，∴FE＝F A，∠1＝∠BAF，∴∠5＝∠6．∵∠1+∠BEF＝180°，∴∠BAF+∠BEF＝180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE＝360°，∴∠AFE+∠ABE＝180°．又∵∠AFE+∠5+∠6＝180°，∴∠5+∠6＝∠3+∠4，∴∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：如图2，由（1）知，∠EAF＝∠ABD．又∵∠AFB＝∠GF A，∴△AFG∽△BF A，∴∠AGF＝∠BAF．又∵∠MBF＝∠BAF，∴∠MBF＝∠AGF．∵∠AGF＝∠MBG+∠BMG，∴∠MBG＝∠BMG，∴BG＝MG．∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠EAF．又∵∠FGA＝∠AGD，∴△AGF∽△DGA，∴＝＝．∵AF＝AD，∴＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，∴GD＝a，∴FD＝a∵∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠ADB，∴BE∥AD，∴＝，∴＝＝．设EG＝2k（k＞0），∴BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，∴GQ＝QE，∴GQ＝EG＝k，MQ＝3k+k＝k．∵FQ∥ED，∴＝＝，∴FM＝FN．【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和是360度等知识点．难度较大，综合性较强．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．【解答】解：（1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC＝BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°；（2）连接DA．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD＝10，∵DE＝8，DE⊥AB，∴AE＝6，∴BE＝4，∵∠F AE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠EAF，∵∠AEF＝∠DEB＝90°，∴△AEF∽△DEB，∴＝，∴EF＝3；（3）①当交点E在O、A之间时，若∠EOF＝∠BAC，此时，∵，∴，∴OE＝AE，则OE＝；若∠EOF＝∠ABC，此时，∴，则OE＝；②当交点E在O、B之间时，OE＝．综上所述，OE＝或或．【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【分析】（1）根据已知条件得出∠BEC＝∠ACB，以及∠BCE＝∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出结论；（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；②根据∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝∠2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，即可得出各内角的度数．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝AB，∴CD＝BD，∴∠BCE＝∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点；（2）①如图所示，作法：①在∠ABC内，作∠CBD＝∠A，②在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角度数为：，，．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是EF＝EG；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF＝EG；（2）根据已知首先求出∠ENG＝∠FEM，再得出∠ENG＝∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，∴EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，∴，∴△EGM≌△EFN，（ASA）∴EG＝EF（2）证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠1+∠2＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵，∴．（3）∴证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠2+∠3＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵∴，故答案为：（1）EF＝EG，（3）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【分析】此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．【解答】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP＝∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF上取或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．（说明：其他解法请参照给分）【点评】此题主要是考查三角形相似的判定，属中等难度．。

范文2020年中考数学总复习初中数学全套基础知识复1/ 6习讲义(精心整理)2020 年中考数学总复习初中数学全套基础知识复习讲义（精心整理）第 1 课时实数的有关概念【知识梳理】 1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数. 2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6. 科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7. 大小比较：正数大于 0，负数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小.8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9. 平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a 那么这个数x 就叫做 a 的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互—◇◇ 1 ◇◇—为相反数；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根． 10. 开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方． 11. 算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，0 的算术平方根是 0． 12. 立方根：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a,即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0 的立方根是 0． 13. 开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例 1.下列运算正确的是（） A． 3 3 B． (1)1 3 C． 9 3 3 例 2. 2 的相反数是（） D． 3 27 3 A． 2 B． 2 C． 2 2 D． 2 2 例 3.2 的平方根是（） A．4 B． 2 C． 2 D． 2 例 4.《广东省 2009 年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资 726 亿元，用科学记数法表示正确的是（）A． 7.261010 元 C． 0.7261011 元 B． 72.6109 元 D． 7.261011 元—◇◇ 2 ◇◇—3/ 6例 5.实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（） b 1 0 a 1 0 例5图 A． a b 0 B． a b 0 C． ab 0 例 6.（改编题）有一个运算程序，可以使： D．a 0 b a ⊕ b = n ( n 为常数)时，得（ a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3 现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．【当堂检测】 1.计算1 2 3 的结果是（） A． 1 6 B． 1 6 C． 1 8 2. 2 的倒数是（） A． 1 2 B． 1 2 C． 2 3.下列各式中，正确的是（） D． 1 8 D． 2 A． 2 15 3 B． 3 15 4 C． 4 15 5 D．14 15 16 4.已知实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简 |1 a | a2 的结果为（） A．1 B． 1 C．1 2a a 1 0 1 D． 2a1 第 4 题图 5.2 的相反数是（ A． 2 B． 2 ） C． 1 2 D． 12 —◇◇3 ◇◇—6.-5 的相反数是____,- 1 的绝对值是____, 42 =_____. 27.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1 的数 .8.如果( 2) 1，则“ ”内应填的实数是（） 3 A． 3 2 B． 2 3 C． 2 3 D． 3 2 第 2 课时实数的运算【知识梳理】 1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相加，仍得这个数． 2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积仍为 0． 4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0 除以任何非 0 的数都得 0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的． 6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a、b 为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数) —◇◇ 4 ◇◇—5/ 6【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例 1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午 4 点至 5 点，初二年级 240 名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的 3 倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的 2 倍，那么参加美术活动的同学其有____________名. 例 2.下表是 5 个城市的国际标准时间（单位：时）。

中考经典几何题讲义系列：截长补短有一类儿何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。

这一类题Ll一般可以釆取“截长”或“补短”的方法来进行求解。

所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。

所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。

然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。

有的是釆取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。

截长法：(1)过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

・••・・•补短法(1)延长短边。

(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

・・••••几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面儿种类型;类型①a±b=c 类型②a ÷ b=kc类型③—C类型④c2=a ∙ b对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。

或者化为类型②证明。

对于②，可以将a±b与C构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。

对于类型③，一般将截长或补短后的a±b与C构建在一个三角形中，与类型②相同。

实际上是求类型②中的k值。

C b对于类型④，将c2=a∙ b化为匕二上的形式，然后通过相似三角形的比例关系进 a C行证明。

在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。

例：在正方形ABCD中，DE=DF, DG丄CE,交CA于G, GH丄AF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG, GH, CH的数量关系方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）(1)正方形ABCD 中，点E 在CD ±,点F 在BC ±, ZEAF=45" o求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，ZEAF=45" o 请问现在EF、DE、BF 乂有什么数量关系？（1）变形bF正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，ZEAF=45" o 请问现在EF、DE、BF 乂有什么数量关系？（1）变形CA正三角形 ABC 中，E 在 AB ±, F 在 ACjtZEDF 二45 J DB=DC, ZBDC=I20" □请问 现在EF 、BE 、CF 乂有什么数量关系？（1）变形d正方形 ABCD 中，点 E 在 CD ±,点 F 在 BC ±, ZEAD=I5‰ ZFAB 二30°。

2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图第一部分：知识点精准记忆一、直线、射线、线段1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、相交线1．三线八角1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．四、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行． 3．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．五、五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段。

2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线； 1．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，2），点M 的坐标为39(1,)44m m −−−(其中m 为实数)，当PM 的长最小时，m 的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A (1，4)，B (3，2)，C (m ，－4m ＋20)，若OC 恰好平分四边形．．．OACB ．．．．的面积，求点C 的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交边BC 或CD 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为___________.ABDCEFPM ABDCEFPM yxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长； （2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积． 变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。

中考数学——几何综合（讲义）➢ 知识点睛1. 几何综合问题的处理思路①标注条件，合理转化 ②组合特征，分析结构 ③由因导果，执果索因 2. 常见的思考角度304560 1 ↔⎧⎪↔⎪⎪↔⎨⎪↔⎪⎪︒︒︒↔⎩，，同位角、内错角、同旁内角平行内角、外角、对顶角、余角、补角转化计算角圆心角、圆周角在圆中，由弧找角，由角看弧直角互余、勾股定理、高、距离、直径特殊角等在直角三角形中，找边角关系（） 2 ↔⎧⎪⎧⎪↔⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪↔⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪↔⎩、角平分线、垂直平分线轴对称性质勾股定理放在直角三角形中边角关系遇弦，作垂线边、线段连半径转移边放在圆中遇直径找直角遇切线连半径结合全等相似线段间比（例关系） 3 n ⎧⎧⎪⎪⎪⎪→⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩倍长中线中位线中点三线合一特殊点斜边中线等于斜边的一半相似等分点面积转化（） 4 ⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩公式法相似规则图形转化法同底面积共高分割求和不规则图形割补法）补形作差（3. 常见结构、常用模型⎧→⎧⎪⎪→⎪⎪⎨⎪→⎪⎪⎪→⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩中点结构中点的思考角度直角结构斜转直常见结构旋转结构全等变换折叠结构轴对称的思考层次角平分线模型弦图模型常用模型相似基本模型三等角模型半角模型 ➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．若∠AEF =55°，则∠EAF=________．F EDCBA提示：倍长中线，构造全等三角形转移条件．具体操作：D 为中点，延长AD 到G 使DG =AD ，连接BG ．得到△ADC ≌△GDB ．2. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC =90°，∠C =70°，点E 是BC的中点，CD =CE ，则∠EAD 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°提示：平行夹中点，构造全等三角形补全图形．AD CE B具体操作：AB ∥CD ，E 为BC 的中点，延长AE 交直线CD 于点F ．得到△ABE ≌△FCE ．3. 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB =66°，∠CAD =20°，则∠EFG =____．AB CD FEG提示：多个中点考虑中位线，利用中位线性质转移角、转移边．具体操作：GF ，GE 分别为△CDA ，△ABC 的中位线．4. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =DC =3，sin C =45，则△ABC 的周长为______．提示：等腰三角形底边上的的中点——通过等腰三角形三线合一，构造直角三角形．具体操作：连接AD ，得到Rt △ADC ．5. 如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 是BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ．则以下结论：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ；④当∠ABC =45°时，BNPC ．其中正确的有（ ）具体操作：在Rt △BMC 中，MP 为斜边中线；在Rt △BNC 中，NP 为斜边中线．6. 如图，正方形ABCD 边长为9，点E 是线段CD 上一点，且CE 长为3，连接BE ，作线段BE 的垂直平分线分别交线段AD ，BC 于点F ，H ，垂足为G ，则AF 的长为______．H G F EDCBA方法1：提示：从边的角度考虑直角，往往先表达，然后用勾股定理建等式． 具体操作：连接BF ，EF ，则BF =EF ，设AF 为x ，分别在Rt △BAF 和Rt △EDF 中表达BF 2，EF 2，再利用BF 2=EF 2求解． 方法2：提示：从角度转移考虑直角，往往先找角相等，然后证相似或全等． 具体操作：过点F 作FM ⊥BC 于点M ，则可证△FMH ≌△BCE ，则MH =CE =3，连接EH ，利用勾股定理求解EH （BH ），则AF =BH -MH ． 7. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于D ．则AD 的长为_______________．DCBA提示：①特殊角+直角；②直角两边可看做是面积中的底或高．具体操作：①过点C 作CE ⊥AB ，交BA 延长线于点E ，在Rt △CAE 中利用特殊角60°求解；②将AD 看成高，求出BC 后，利用CE AB AD BC ⋅=⋅求解．8. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，则BD =________．ABECD提示：直角+角平分线，逆用三线合一构造出等腰三角形．具体操作：BE 既是角平分线、又是高．延长BA ，CE 交于点F ，可证△CAF ≌△BAD ．9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，BD =2，AD =8，则CD =_________．DC提示：多个直角（直角三角形斜边上的高），考虑母子型相似．具体操作：由∠ACB =∠ADC =90°，考虑△BDC ∽△CDA ∽ △BCA ．10. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若∠AED =90°，则CE =_____．ABCDE提示：多个直角（一线三等角），考虑三等角模型．具体操作：∠ABE =∠ECD =∠AED =90°，考虑△ABE ∽△ECD ．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC=BC 的长为________．CB OAED提示：多个直角（斜放置的正方形、等腰直角三角形），考虑弦图．具体操作：过点D 作DF ⊥CB ，交CB 延长线于点F ，连接OF ．由弦图可知，△OCF 是等腰直角三角形．12. 如图，将三角板放在矩形ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点B ，三角板的直角顶点E 落在矩形对角线AC 上，另一边交CD 于点F ．若AB =3，BC =4，则EF EG=________． FEDCG (B )A提示：斜直角要放平（关键是与其他直角配合），利用互余转移角后，寻找三角形相似或全等．具体操作：过点E 分别作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥BC 于N ，则△EMF ∽△ENG ．13. 已知直线l 1：y =112x b -+与直线l 2垂直，且直线l 2经过定点A (3，0)，则直线l 2表达式为________________．提示：坐标系下的垂直，优先考虑121k k ⋅=-． 具体操作：由121k k ⋅=-求得k 2，再利用A (3，0)求b 2．14. 如图，在⊙O 中，弦AB，弦ADACB =45°，则弦AD 所对的圆心角为_______．CA提示：圆背景下，要构造直角，考虑：①直径所对的圆周角是直角；②垂径定理．具体操作：连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接DE ，BE ．在Rt △ABE 中，求解直径AE ；在Rt △ADE 中，利用边角关系，求解∠AED 进而得到∠AOD ． 15. 如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边上的点B ′处．若AE =2，DE =6，∠EFB =60°，则矩形ABCD 的面积是__________．B'A'F EDCBA提示：折叠，考虑：①利用对应边、对应角相等，考虑转移边、转移角；②矩形中的折叠常出现等腰三角形．具体操作：由折叠∠EFB =∠EFB′=60°，AE =A′E =2，∠B =∠A′B′F =90°，结合内错角∠B′EF =∠BFE =60°，可在Rt △A′B′E 中求解A′B′，即AB 的长．16. 如图，将长为4cm ，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长为__________．BCFAEMD提示：折叠，考虑折痕是对应点连线的垂直平分线．具体操作：连接BE ，BM ，ME ，则BM =ME ，在Rt △BAM 和Rt △MDE 中表达BM 2，ME 2，利用相等建等式求解．17. 如图，已知直线l ：y =122x -+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则点C 的坐标为_________．提示：折叠，可考虑折痕垂直平分对应点连线．函数背景下的折叠可以考虑121k k ⋅=-和中点坐标公式的组合应用．具体操作：连接OC ，先利用原点坐标和121k k ⋅=-求得OC 解析式；联立OC 和AB 解析式求出OC 的中点坐标后，进而求出点C 坐标．18. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，ACACB =90°，∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为__________．（结果保留π）19.的位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB′的度数为（ ） A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°C'B'ABC提示：旋转是全等变换，对应边相等，对应角相等；会出现等腰三角形． 具体操作：由旋转可知AC =AC′（对应边相等），∠BAB′=∠CAC′（旋转角相等）．20. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接P A ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接PQ ，CQ ．若P A :PB :PC =3:4:5，则∠PQC =________．QBCPA提示：利用旋转可以重新组合条件．当看到等腰结构时往往会考虑利用旋转思想构造全等．具体操作：由等腰结构AB =BC ，PB =BQ ，先考虑△APB 和△BQC 的旋转关系，证明△APB ≌△CQB 后验证，重新组合条件后利用勾股定理进行证明．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE =12∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________． FEDBA2. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，点E 是AD 上一点，且AE =4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，交AB 于点H ，连接EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是_______．HGOB A DEC F3. 如图，在□ABCD 中，AB :BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 边上，且AE :EB =1:2，F 是BC 的中点，过点D 分别作DP ⊥AF 于点P ，DQ ⊥CE 于点Q ，则DP :DQ 等于（ ） A ．3:4BCD．QDCFBPEACBGFEDA第3题图 第4题图4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE ⊥BD于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG ，DF ．若AG =13，CF =6，则四边形BDFG 的周长为________．5. 如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB =CD，AD =CD 中点，连接AE，且AE =BF =________．BCEADF6. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =3，BC =5，将腰DC 绕点D 逆时针方向旋转90°并缩小，恰好使DE =23CD ，连接AE ，则△ADE 的面积是________．7. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P (1，1)，C 为y 轴上一点，连接PC ．线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ．若直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的坐标为__________．8. 如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ．若DE :AC =3:5，则ADAB的值为_________． ED C B AEDCBA9. 如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ；如图2，展开再折叠一次，使点C 落在线段EF 上，折痕为BM ，BM 交EF 于O ，且△NMO的周长为3，展开再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为P ，EP 交AB 于Q ，则△AQE 的周长为_______．图1BAD FC EMN图2OBAD F CE PHG 图3Q BA D F CE10.如图，在边长为的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE =DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE ，BH ．若BH =8，则FG =_______．GHBA D F CE11.顺时针旋转得到△A B′C′，连接CC ′并延长，交AB 于点O ，交BB ′于点F ．若CC ′=CA ，则BF =_____．C'O B AFC B'12. 如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ，连接BP ．若AE =AP =1，PB =APD ≌△AEB ；②BE ⊥DE ；③点B 到直线AE；④1△△APD APB S S +=⑤4ABCD S =正方形 ） A ．③④⑤B ．①②⑤C ．①③⑤D ．①②④⑤PDA B CE【参考答案】 ➢ 课前预习1. 55°2. A3. 23°4. 165. B6. 27.7 8. 10 cm 9. 410. 1或6 11. 712. 4313. 26y x =-14.120°15.16.138cm17.816 () 55，18.(4π19.C20.90°➢精讲精练1.12.73.D4.205.4-6.27.99 () 44，8.1 29.1210.11.5 212.B。

目录第一单元数与式第1课有理数-------------------------------01第2课实数--------------------------------06第3课整式-----------------------------------10第4课分式-----------------------------------15第5课二次根式--------------------------------18第二单元方程与不等式第6课一次方程（组）--------------------------22第7课分式方程---------------------------------27第8课一元一次不等式（组）---------------------31第9课一元二次方程-----------------------------36第三单元三角形第10课图形初步---------------------------------41第11课三角形与多边形-----------------------------------------49第12课全等三角形-----------------------------------------------56第13课特殊三角形-----------------------------------------------63第14课相似三角形------------------------------------------------70第15课解直角三角形---------------------------------------------76第四单元四边形第16课平行四边形-----------------------------------------------83第17课特殊的平行四边形--------------------------------------89第五单元函数第18课函数基础知识-----------------------------------------------96第19课一次函数-----------------------------------------------------109第20课反比例函数--------------------------------------------------111第21课二次函数-----------------------------------------------------119第六单元圆第22课圆的基本性质-----------------------------------------------126第23课圆的证明------------------------------------------------------135第24课圆的计算-------------------------------------------------------142第七单元图形变化第25课图形变换--------------------------------------------------------149第26课视图与投影-----------------------------------------------------156第27课尺规作图---------------------------------------------------------164第八单元统计与概念第28课统计---------------------------------------------------------------171第29课概率---------------------------------------------------------------178微专题1实数的运算-------------------------------------------------------186微专题2整式的运算-------------------------------------------------------187微专题3分式的运算-------------------------------------------------------188微专题4方程与方程组-----------------------------------------------------189微专题5分式方程----------------------------------------------------------190微微专题6不等式与不等式组-----------------------------------------191微微专题7求函数解析式----------------------------------------------192微微专题8方程（组）与不等式应用------------------------------193微微专题9一元二次方程应用--------------------------------------195微微专题10分式方程应用--------------------------------------------196微微专题11函数应用--------------------------------------------------197微微专题12解直角三角形的应用-----------------------------------199微微专题13统计--------------------------------------------------------201微微专题14概率---------------------------------------------------------204微微专题15三角形----------------------------------------------------205微微专题16平行四边形---------------------------------------------206微微专题17特殊平行四边-------------------------------------------207微微专题18圆的证明-------------------------------------------------208微微专题19图形的折叠----------------------------------------------209微微专题21规律探究与猜想----------------------------------211微微专题22阅读理解题----------------------------------------215微微专题23选择填空压轴题----------------------------------218第2课时与几何有关的压轴题----------------------------222微微专题24代数综合题------------------------------------------225微微专题25几何综合题------------------------------------------229微微专题26代数与几何综合题（1）---------------------------232微微专题27代数与几何综合题（2）--------------------------234第一单元数与式第1课有理数有理数是中考命题的重要内容之一，是初中数学基础知识，在中考中点有一定比例，它通常以选择、填空、计算的形式出现，这部分试题难度不大，主要考查学生对概念的理解及基础知识的运用能力。

专题40几何综合型聚焦考点【题型特征】以几何知识为主体的综合题，简称几何综合题，主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心，以圆为重点，常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用 .【解题策略】解答几何综合题应注意：(1)注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路；(3)运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.一名师点睛【例1】(2020?宝山区一模)如图，OC是ABC中AB边的中线，ABC 36，点D为OC上一点，如果OD kgOC，过D作DE //CA交于BA点E ,点M是DE的中点，将ODE绕点O顺时针旋转度(其中0 180 )后，射线OM交直线BC于点N .⑴如果ABC的面积为26,求ODE的面积(用k的代数式表示)；(2)当N和B不重合时，请探究ONB的度数y与旋转角的度数之间的函数关系式；(3)写出当ONB为等腰三角形时，旋转角的度数.【分析】⑴通过证明ODEs OCA,可得S2E^ (OD)2即可求解;S OAC OC(2)通过证明OEMs BAC ,可得EOM ABC 36 ,分两种情况讨论可求解;(3)分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解.【解答】解：（1）QOC 是 ABC 中AB 边的中线，ABC 的面积为26,S OAC13,Q DE / /AC ,ODEs OCA , OEM OAC ,144 时，若 OB ON ,贝U ABC BNO 36DEOOACOD 2 「(OC)，且 OD kcOC ,S ODE 13k(2)Q ODEs OCA OE ODOA OCDE ACk,QOC 是 ABC 中AB 边的中线，点 M 是DE 的中点, 1 __AB 2AO , EM —DE, 2 OE k AB 2 OEM s幽，且ACOEMEOM ABC 36 ,如图2,当0144时，Q AONBONB ,AOE EOM BONBQ BNOABCNOB 36(144 ) 180⑶当0 y)NOB 144若OB BN ,则ONB 180-36- 72 ,2若ON BN ,贝U ABC BON 36 ,ONB 180 2 36 108 ,当144 180 时，若OB BN ,贝U N NOB 18 180 , 162 .【例2】（2020?嘉定区一模）已知：点P在ABC内，且满足APB APC （如图），APB BAC ⑴求证：PABs PCA；PC-（2）如果APB 120 , ABC 90 ,求——的值；PB⑶如果BAC 45，且ABC是等腰三角形，试求tan PBC的值.【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.(2)证明PABs PCA,利用相似三角形的性质解决问题即可.(3)分三种情形：AB AC, AB BC , AC BC分别求解即可解决问题.BAP APB 180 , APB BAC 180 ,ABP BAP APB APB BAC ,即ABP BAP APB APB BAP CAP ,ABP CAP,又Q APB APC ,PABs PCA .(2)如图1中,180【解答】证明：(1)Q ABPQ APB BAC 180 , APB 120 ,BAC 60 ,在 ABC 中，Q ABC 90 , BAC 60 ,1八AB -AC , 2又Q PABs PCA ,PB PA AB 1 PA PC AC 2 'PB PB PA 1 口口 PC , ————g- 二即—— 4 . PC PA PC 4 PB⑶ Q BAC 45 , APB BAC 180 , APB APC ,APB APC 135 . BPC 360 APB APC 360 135 135 90 ,Q PCAs PAB ,PA PC AC PB PA ABPC PC PA ,AC 、2 --- -------- g— ( ------- ) • PB PA PB AB②如图3中,A AC 时，tan PBCPC (空)2 1 PB AB①如图2中，当ABC 是等腰三角形，且 ABBM AC 于M .解直角三角形求出 BM , AM 即可解决问题.tan PBC PC (AC)1 2 PB AB(1)求cos A 的值;(2)当 A 2 ACD 时，求AD 的长;(3)点D 在边AB 上运动的过程中，AD : BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求 AD : BE 的值；如果变八 PC AC 2 tan PBC ——(——)PB ABAB BC 时， ACBBAC 45 ABC90 ,易得竺AB【例3】(2020?徐汇区一模 )如图，在 ABC 中, AB AC点D 是边AB 上的动点(点D 不与 点AB 重合)，点G 在边AB 的延长线上， CDE ABCDE 与边BC 交于点F .AC BC 时， ABCBAC 45 ACB90 ,易得空 AB当ABC 是等腰三角形，且③如图10 4,化，请说明理由.【分析】⑴作AH BC 于H,(2)设AH 交CD 于K .首先证明 AK CK ,设AK CK x ,在Rt CHK 中，理由勾股定理求出 x ,再证明 ADKs CDA ,理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题.【解答】解： ⑴作AH BC 于H , BMQ AB AC , AH BC , BH CH 3 , AH JA?BH^ 后^ 4 , …1 ”… QS ABCgB CgAH2BCgAH 24 ,AC 5 .AB^—BM 2 . 52 (24)2(2)设AH 交CD 于K . Q BAC 2 ACD , BAHCAK ACK ,CK AK ,设 CK AK x ,222在 Rt CKH 中，则有 x (4 x) 3 , 解得x 型， 8AK CK ”, 8 Q ADK ADC , DAK ACD ,ADKs CDA ,m 5 25 8 则有n T ,解得m 125 c 39m 2n(n 25) 8AD AK CD AC25DAD t I 设ADm ，DK n ，⑶结论：AD : BE 5:6值不变.证明一「AD ACDs BCE ,可得 AD BE AC 5BC 61 …-gACgBM , 2BMAM cos AAM 7 AB 25625 31239⑶结论：AD: BE 5:6值不变.理由：Q GBE ABC , BAC 2 ABC 180 , GBE EBC ABC 180 ,EBC BAC , QEDC BAC , EBCEDC ,D , B ,E , C 四点共圆，EDB ECB,QEDB EDC ACD DAC , EDC DAC , EDB ACD , ECB ACD , ACDs BCE ,AD AC 5 BE BC 6能力提升1 . （2020?金山区一模）如图，已知在 Rt ABC 中,125 AD6 ,点P 、Q 分别在边AC 、射线CB上，且AP CQ ,过点P作PM AB ,垂足为点M ,联结PQ ,以PM PQ为邻边作平行四边形PQNM ，设AP x ,平行四边形 PQNM 的面积为y .(1)当平行四边形PQNM 为矩形时，求 PQM 的正切值；(2)当点N 在 ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形 PQNM 一边的中点时，直接写出 x 的值.【分析】(1)当四边形PQMN 是矩形时，PQ//AB .根据tan PQM EM 求解即可. PQ(2)如图1中，延长QN 交AB 于K .求出MK , PM ,根据y PM gMK 求解即可.(3)分两种情形：①如图3 1中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作NE //BC 交PQ 于E ,作NH CB 交 1CB 的延长线于 H , EG BC 于G .根据EG — PC 构建万程求解.②如图3 2中，当平分NQ 时，D 是NQ 2的中点，作DH CB 交CB 的延长线于H .根据PC GH 构建方程求解即可. 【解答】解：(1)在 Rt ACB 中，Q C 90 , AC 8 , BC 6 ,AB V AC 2~BC 2 也2 62 10 ,当四边形PQMN 是矩形时，PQ//AB .(2)如图1中，延长QN 交AB 于K .tan PQMPM PQ3 PA _5_5CQ 3 25B由题意BQ 6 x, QN PM4AM -x , 54KQ BQ524 4xBK -BQ 518 3xMK AB AM BK32 x QQN24 4x24三'PMgMK 96x 3x2 25( ,⑶①如图3 1 中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE//BC交PQ于E, 作NH CB交CB的延长线EG0 B HQPD//BC, EN//BC,PD / /NE ,Q PE //DN ,四边形PDNE是平行四边形,PE DNQ DN DM , PQ MN ,PE EQ ,Q EG//PC ,CG GQ ,1 EG -PC , 2Q 四边形EGHN 是矩形,33 NH EG NQ -PM 5 5②如图3 2中，当平分 NQ 时，D 是NQ 的中点，作 DH CB 交CB 的延长线于 H .综上所述，满足条件x 的值为200或400 . 43 592. （2020?普陀区一模）如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC , C 90 , AD 2 , BC 5 , DC 边BC 上，tan AEC 3,点M 是射线DC 上一个动点(不与点D 、C 重合)，联结BM 交射线 设 DM x, AN y.(1)求BE 的长;9 —x, PC 8 x, 25 9 —x 25 2肥 x ）,解得x 200 解得x 40059Q DH PC ,(2)当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45 ,请直接写出这时线段DM的长.(2)延长AD交BM的延长线于G.利用平行线分线段成比例定理构建关系式即可解决问题.(3)分两种情形：①如图3 1中，当点M在线段DC上时，BNE ABC 45 .②如图3 2中,ABE 45 ,利用相似三角形的性质即可解决问题.Q AD //BCAHC四边形AHCD是矩形,Q tan AEC 3AH 3, EHBE BC CE(2)延长AD交BM的延长线于G .Q AG / /BC ,DG BC DM CM 'DG5DG5x 6 3xAN Q - AGNE BE 当点M在线段DC的延长线上时，ANB【解答】解: (1)如图1中，作AH BC 于H ，AD CH 2 AHEH 1, CE 3,【分析】⑴如图1中，作AH BC于H ,解直角三角形求出EH , CH即可解决问题.6 3xy 3 x- ------ ,10 y 23 10x 6 .而小yx 12 (BNE ABC 45 ,⑶①如图3 1中，当点M在线段DC上时,Q EBNs EAB ,__ 2 _ _EB ENgAE,4道色辿gW12 x解得x -.2②如图3 2中，当点M在线段DC的延长线上时，ANB ABE 45 , Q BNAs EBA_2 一AB AEgAN ,(3.2)2 .100 10 2 10(x 3)12 x解得x 13 ,综上所述DM的长为1或13.25 3. (2019?闵行区一模)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC , AB CD , AD 5 , BC 15, cos ABC — . E13 为射线CD上任意一点，过点A作AF / /BE ,与射线CD相交于点F .连接BF ,与直线AD相交于点G .设CE x,9 y.DG⑴求AB的长;(2)当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;⑶如果:边形ABEF2 ,求线段CE的长.S四边形ABCD 3DN BC ,垂足为点M、N ,根据三角函数解答即可;(2)根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可；(3)根据两种情况，利用勾股定理解答即可.【分析】(1)分别过点A、D作AM BC【解答】解：⑴分别过点A、D作AM BC、DN BC ,垂足为点M、N.QAD//BC, AB CD , AD 5, BC 15,1 C 1BM -(BC AD) —(15 5) 5,2 2在Rt ABM 中，AMB 90 ,cos ABMBM 5 5AB AB 13AB 13.(2)Q AG yDGAG DGDGy 1. 即得DGQ AFD ADFADFs BCE .FD AD 5 1EC BC 15 3又QCE x, FD 1 r『-x , AB CD 13 ,即得FC 31-x 13 .3Q AD / /BC , FD DGFC BC3x 135y 11539 2x3x所求函数的解析式为39 2x3x函数定义域为392⑶在Rt ABM中，利用勾股定理，得AM ,AB2 BM 2 12 .- 1 … 1 / …S® 形ABCD -AD BC AM - 5 15 12 120 .2 2-S3边形ABEF 2Q ---------- -，边形设S ADF S .由ADF s BCE , EC 3,得S AEC(ii)如果点G 在边DA 的延长线上，则 S 四边形ABCD S 四边形ABEF S ADF 9S.过点E 作EH BC ,垂足为点由题意，本题有两种情况:(i )如果点G 在边AD 上，则 S 四边形ABCD Sffl 边形ABEF 8s 40.S AEC 9s 45._ 1 _ 1S BEC -BC EH — 15 EH 45.2 2又 CD AB 13,CE13 2由 DN BC , EH BC ,易得 EH //DN .CD DN 12 2在 Rt AEF 中，tan A 2 , AE m8s 200 .解得 S 25 .S BEC 9 s 225.1 1 S BEC -BCgEH - 15 EH 225.解得 EH 30.2 2(1)当点E 在边AD 上时，①求 CEF 的面积；(用含m 的代数式表示)②当S DCE 4S BFG 时，求AE:ED 的值；(2)当点E 在边AD 的延长线上时，如果 AEF 与 CFG 相似，求m 的值.【分析】(1)①先根据三角函数表示出 EF ,再用勾股定理表示出 AF ,再判断出 AEFs BGF ,得出比例 式表示出CG ,即可得出结论；②先表示出FG ,再用S DCE 4S BFG 建立方程求出m ,即可得出结论；(2)分两种情况：①当 AEFs CGF 时，得出 AFE CFG ,进而得出BG - BC —, 22 一2 2一5一. 515FG BG tan CBF 而，再根据勾股定理得，BF 寸BG 2 FG 2 —,进而彳#出AF AB BF 5 --,2 22 最后判断出 BGFs AEF ,得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当 AEFs CGF 时，先判断出 AFC 90 ,进而得出CF 2BF ,再根据勾股定理得，求出 BF 1 ,得 出AF AB BF 6,同理：BG 45 ,再判断出 BGFs AEF ,得出比例式建立方程求解即可得出结论.5 【解答】解：⑴①Q EF AD,AEF 90 , CE CD EH DN 3012CE 65CE13f 65 一或一. 4. (2020?奉贤区一模)如图，已知平行四边形 ABCD 中，AD V 5, AB 5 , tan A 2 ,点 E 在射线 AD 上, 过点E 作EF AD ,垂足为点 E ,交射线 AB 于点F , 交射线CB 于点G ,联结CEEF AE tan A 2 m根据勾股定理得，AF J AE 3 4 EF 2 厮, Q AB 5 ,BF 5 d 5m,Q 四边形ABCD 是平行四边形， BC AD 而，AD//BC,G AEF 90 ,AEFs BGF ,AE AFBG BF 'm .. 5mBG 5 75mBG J 5 m ,CG BC BG 押 J 5 m 2 新 m ,1 1 — — 2S CEF — EFgCG —g2mg(2q5 m) 245m m ;2 2 ②由①知，AEFs BGF ,FG BFEF AF-BF 5 . 5m-FG -gEF —=-g2m 2(V5 m), AF .5m EG EF FG 2m 2( j5 m) 275 ,1 1 - - - S CDE —DEgEG — (V 5 m)g275 5 V5m2 25m 4( 531 — — —2 S BFG -BGgFG—(而 m)g235 m) (J5 m)2 , 4 2S DCE 4s BFG 时5。

1人教版2020年中考数学 代数与几何综合复习本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合.数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题.方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力.模块一 数形结合思想【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为21， 41，81，…，n 21的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++814121…+n 21=___________. （2）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式()2222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2a b + 就可以表示正方形的面积．同样，a 2、ab 、b 2也可以表示相应部分的面积，那么利用这种方法，就可以证明公式的正确性．①请你根据上述材料推导乘法公式()2a b c ++ 的展开结果．②若a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2、d 1、d 2均为正数，且a 1+a 2=b 1+b 2=c 1+c 2=d 1+d 2=k ， 求证：a 2b 1+b 2c 1+c 2d 1+d 2a 1≤k 2，并写出等号成立的条件．aba ba【解析】（1）112n-；此题也可以用圆来解决，如图：（3）①由下左图可得：()2a b c++=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．②由题意，可以构造边长为k的正方形，由下右图可得：a2b1，b2c1，c2d1，d2a1表示4个矩形的面积，它们之和小于正方形的面积，∴a2b1+b2c1+c2d1+d2a1≤k2，当a1=a2=b1=b2=c1=c2=d1=d2时等号成立．【例2】阅读：如图1，在ABC∆和DEF∆中，90ABC DEF∠=∠=︒，,AB DE a== BC EF b==()ba<，B、C、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合.连接AE、FC，我们可以借助于ACES∆和FCES∆的大小关系证明不等式：222a b ab+>（0b a>>）.证明过程如下:∵,,.BC b BE a EC b a===-∴11(),22ACES EC AB b a a∆=⋅=-11().22FCES EC FE b a b∆=⋅=-∵0b a>>,∴FCESACES∆∆>.即aabbab)(21)(21->-.∴22b ab ab a->-.∴222a b ab+>.解决下列问题：（1）现将△DEF沿直线m向右平移，()BD k b a=-,且01k≤≤.如图2,当BD EC=时, k= .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：222a b ab+>（0b a>>）.（2）用四个与ABC∆全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个．．示意图，并简要说明理由.mFE CBA图1D EAB CFm图223【解析】（1）12k =； 证明：连接AD 、BF .可得1()2BD b a =-. ∴()()11112224ABD S BD AB b a a a b a ∆=⋅=⨯⨯-⋅=-，()()11112224FBD S BD FE b a b b b a ∆=⋅=⨯⨯-⋅=-.∵ 0>>a b ， ∴ FBD ABD S S ∆∆<， 即 ()14a b a -()14b b a <-. ∴ab b a ab -<-22.∴ ab b a 222>+. （2）答案不唯一， 举例：如图，理由： 延长BA 、FE 交于点I . ∵ 0>>a b ，∴ IBCE ABCD S S >矩形矩形，即 )()(a b a a b b ->-. ∴ 22a ab ab b ->-. ∴ ab b a 222>+. 举例：如图，理由：四个直角三角形的面积和11422S a b ab =⨯⋅=， 大正方形的面积222S a b =+.∵ 0>>a b ，∴ 21S S >. ∴ ab b a 222>+.【点评】例1、例2主要体现用“形”的方法解决“数”的问题，此类题型往往以阅读理解的形式出现，也是近年模考、中考的热点.【例3】 （1）如图，在O e 中，直径CD 与弦AB 垂直，垂足为E ，若CE=AB ，且DE =2，求O e 的半径.（2）如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x(2<x<4)． ① 当x=52时，求弦PA 、PB 的长度； ② 当x 为何值时PD ·CD 的值最大？最大值是多少？lC4【解析】（1）如图，连结AO ，设半径为x ，则OE=x -2，CE= AB =2x -2，由垂径定理可知，AE =x -1，在Rt AOE △中，()()22221x x x =-+- ， 解得11x =（不符题意，舍去），25x =，所以半径为5. （2）①∵O e 与直线l 相切于点A ，AB 为O e 的直径，∴AB l ⊥.又∵PC l ⊥，∴AB PC ∥.∴CPA PAB ∠=∠. ∵AB 是O e 的直径，∴90APB ∠=︒. ∴PCA APB ∠=∠.∴PCA △∽APB △.∴PC PAAP AB=,即2PA PC AB =g . ∵52PC =，4AB =，∴PA =∴在Rt APB △中，由勾股定理得：PB =. ②过O 作OE PD ⊥，垂足为E .∵PD 是O e 的弦，OE PD ⊥，∴PE ED =.在矩形OECA 中，2CE OA ==，∴2PE ED x ==-. ∴2(2)4CD PC PD x x x =-=--=-∴222(2)(4)212162(3)2PD CD x x x x x =--=-+-=--+gg . ∵24x <<，∴当3x =时，PD CD g 有最大值，最大值是2.【例4】 在ABC △中，90C ∠=︒，AD 是中线，P 为AD 的中点，连接CP 并延长交AB 于E ，过E 作EF AC ∥交AD 于F ，求证：13CF AB =.PF EDC AB【解析】以C 为原点，CA 、CB 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设A 点坐标为(0)a ，，B 点坐标为(0)b ，，则D 点坐标为02b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，P 点坐标为24a b ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线AB 的方程为b y x b a =-+，直线AD 的方程为22b by x a =-+，直线CP 的方程为2b y x a =，则E 点坐标为233a b ⎛⎫⎪⎝⎭，，5∵EF AC ∥，∴F 点的坐标为33a b ⎛⎫⎪⎝⎭，，显然13CF AB =.【点评】例3、例4主要体现用“数”的方法解决“形”的问题，例3（2）是用函数最值解决了线段最值问题，这也是几何最值问题的一种解决方法；例4则体现了解析几何的思路，中考虽然对此方法不做要求，但是让学生体会、感受一下，更能加强他们对“数形结合”的理解.模块二 方程、函数与几何的综合【例5】 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． （1）用含p 的代数式表示q ；（2）求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；（3）设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．【解析】（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++= 整理，得 25q p =--（2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>． ∴ 0∆>．∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-，且开口大小相同，抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到，（如图所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1． ∴ 四边形FEMN 是平行四边形． 由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±【例6】 已知：将函数y x =的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． （1）求这个新的函数的解析式；（2）若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A两点，与直线x =C 、By 2y 16AOCB两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由； （3）若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数21222++-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．【解析】⑴323y x =+．⑵ 答：四边形AOCB 为菱形．由题意可得AB//CO ，BC//AO ，AO=2．∴四边形AOCB 为平行四边形易得A(0，2)，B (3,1)-．由勾股定理可得AB=2， ∴AB= AO ∴平行四边形AOCB 为菱形．⑶ 二次函数22122y x bx b =-++化为顶点式为：21()2y x b =-+．∴ 抛物线顶点在直线12y =上移动．假设四边形的边界可以覆盖到二次函数，则B 点和A 点分别是二次函数与四边形接触的边界点， 将B (3,1)-，代入二次函数，解得23b =--，23b =-+（不合题意,舍去）． 将A （0，2），代入二次函数，解得6b =，6b =-（不合题意,舍去）． 所以实数b 的取值范围：263b --<<．【思维拓展训练】训练1. 类比学习：有这样一个命题：设x 、y 、z 都是小于1的正数， 求证：x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1．小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC ，并分别在其边上截取AD =x ，BE =z ，A OCB7CF =y ，设△ADF 、△CEF 和△BDE 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则 ()112S x y =1-sin60o ， ()212S y z =1-sin60o ，()312S z x =1-sin60o ．由 1S +2S +3S ＜ABC S ∆，得12x y （1-）sin60o +12y z （1-）sin60o +12z x （1-）sin60o所以 x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1．类比实践：已知正数a 、b 、c 、d ，x 、y 、z 、t 满足a x +=b y +=c z +=d t +=k ．求证：ay ＋bz ＋ct ＋dx ＜22k ．【解析】证明：如图，作边长为k 的正方形ABCD ． 并分别在各边上截取：AE =a ，DH =b ,CG =c ,BF =d ,∵ a x b y c z d t k +=+=+=+=， ∴ BE =x ，AH =y ,DG =z ，CF =t . ∵ 90A B C D ????°,∴ 112S ay =，212S dx =，312S ct =，412S bz =．∵ 1234ABCD S S S S S +++<正方形, ∴211112222ay dx ct bz k +++<. ∴ 22ay bz ct dx k +++<．训练2. 我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ,半圆与y 轴的正半轴交于点C . （1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式； （2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点B 重合），点E 关于x 轴的对称点是F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标.【解析】（1）由题意得：()10A -，，()30B ，，()03-D ，，()10M ，∴AM ， ∴OC ==B y t db aS 4H x S 3S2S 1FD A B CE z8∴(0C∵GC 是⊙M 的切线， ∴90GCM ∠=o∴cos OM MCOMC MC MG∠==， ∴122MG=， ∴4MG =， ∴()30G -，，∴直线GC的表达式为y x =+. （2）设过点D 的直线表达式为3y kx =-，∴2323,y kx y x x =-⎧⎨=--⎩，∴()220x k x -+=，则1202x x k ==+，0)]2([2=+-=∆k ，或12x x =，∴2k =-，∴ 过点D 的“蛋圆”的切线的表达式为23y x =--.（3）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设()E m n ，，则点F 的坐标为()m n -，. EF 与x 轴交于点H ，连接EM . ∴222HM EH EM +=， ∴()2214m n -+=，……①∵点F 在二次函数223y x x =--的图象上， ∴223m m n --=-，……② 解由①②组成的方程组得：11m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩；11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩0n =舍去)由对称性可得：11m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩；11m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴()11E，()21E，()311E +-，()411E --.第25题图。

中考经典几何题讲义系列：截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。

这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。

所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。

所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。

然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。

有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。

截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

……补短法（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

……几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型；类型①a±b=c类型②a±b=kc类型③±a b c类型④c²=a·b对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。

或者化为类型②证明。

对于②，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。

对于类型③，一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型②相同。

实际上是求类型②中的k值。

对于类型④，将c²=a·b化为ca=bc的形式，然后通过相似三角形的比例关系进行证明。

在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。

例：B A在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）B A方法二（好证不好想）B AM例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）E（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45o。