下载文档原格式
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:诱导定向;内容提要:诱导定向; Green公式;内容提要:诱导定向;Green公式;简单闭曲线所围区域的面积;内容提要:诱导定向;Green公式;简单闭曲线所围区域的面积; 代数基本定理.考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.如果(y (t),−x (t))为相对于区域Ω的外法向量,则参数t决定的边界方向称为诱导定向.直观上看,从外法向到切向的旋转方向是逆时针的,这种确定边界定向的方法又称为“右手法则”.考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.如果(y (t),−x (t))为相对于区域Ω的外法向量,则参数t决定的边界方向称为诱导定向.直观上看,从外法向到切向的旋转方向是逆时针的,这种确定边界定向的方法又称为“右手法则”.利用诱导定向,沿边界的第二型曲线积分有时可以化为区域中的重积分.(Green公式)设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则Ω ∂Q∂x−∂P∂yd x d y=∂ΩP d x+Q d y.(Green公式)设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则Ω ∂Q∂x−∂P∂yd x d y=∂ΩP d x+Q d y.Green公式是一元微积分中Newton-Leibniz公式在平面上的推广.(Green公式)设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则Ω ∂Q∂x−∂P∂yd x d y=∂ΩP d x+Q d y.Green公式是一元微积分中Newton-Leibniz公式在平面上的推广.Green公式的传统证明方法是将被积区域分割为两种特殊类型的小区域,在每一小区域上验证公式成立,最后合起来就得到整个区域上的公式.若Ω的边界是简单闭曲线γ(t)=(x(t),y(t))(t∈[α,β]),在Green公式中代入P(x,y)=−y,Q(x,y)=x,可得如下面积公式σ(Ω)=12∂Ω−y d x+x d y=12βα[x(t)y (t)−x (t)y(t)]d t,其中,参数t选取的方向沿逆时针.若Ω的边界是简单闭曲线γ(t)=(x(t),y(t))(t∈[α,β]),在Green公式中代入P(x,y)=−y,Q(x,y)=x,可得如下面积公式σ(Ω)=12∂Ω−y d x+x d y=12βα[x(t)y (t)−x (t)y(t)]d t,其中,参数t选取的方向沿逆时针.例如,考虑椭圆x2a2+y2b2=1所围成的面积.椭圆的参数方程为x(t)=a cos t,y(t)=b sin t,t∈[0,2π],于是其面积为σ=122π(a cos t b cos t+a sin t b sin t)d t=πab.设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.考虑f d g−g d f f2+g2=P d x+Q d y,其中P=fg x−gf xf2+g2,Q=fg y−gf yf2+g2.容易验证Q x−P y=0.设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.考虑f d g−g d f f2+g2=P d x+Q d y,其中P=fg x−gf xf2+g2,Q=fg y−gf yf2+g2.容易验证Q x−P y=0.在单位圆盘上应用Green公式,有S1f d g−g d ff2+g2=D(Q x−P y)d x d y=0,(1)另一方面,在S1上,记z=e iθ,则f(z)=cos nθ+1Ra1cos(n−1)θ−b1sin(n−1)θ+···,g(z)=sin nθ+1Ra1sin(n−1)θ+b1cos(n−1)θ+···,其中a1,b1分别为c1的实部和虚部.另一方面,在S 1上,记z =e i θ,则f (z )=cos n θ+1R a 1cos(n −1)θ−b 1sin(n −1)θ+··· ,g (z )=sin n θ+1Ra 1sin(n −1)θ+b 1cos(n −1)θ+··· ,其中a 1,b 1分别为c 1的实部和虚部.由此可见,当R →∞时,f 2+g 2=1+O (1/R ),且f d g −g d f =(fg θ−gf θ)d θ= n +O (1/R ) d θ.这说明,当R 充分大时 S1f d g −g d f f 2+g 2= 2π0 n +O (1/R ) d θ=2πn +O (1/R )=0,这与(1)式相矛盾!另一方面,在S 1上,记z =e i θ,则f (z )=cos n θ+1R a 1cos(n −1)θ−b 1sin(n −1)θ+··· ,g (z )=sin n θ+1Ra 1sin(n −1)θ+b 1cos(n −1)θ+··· ,其中a 1,b 1分别为c 1的实部和虚部.由此可见,当R →∞时,f 2+g 2=1+O (1/R ),且f d g −g d f =(fg θ−gf θ)d θ= n +O (1/R ) d θ.这说明,当R 充分大时 S1f d g −g d f f 2+g 2= 2π0 n +O (1/R ) d θ=2πn +O (1/R )=0,这与(1)式相矛盾! 代数基本定理是由Gauss 首先证明的.有趣的是,至今还没有纯代数的证明.。
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
GREEN公式范文GREEN公式是一种用于计算两个圆内夹角的公式，它通过计算各个圆的半径、象限等信息来确定夹角的大小。
GREEN公式的全称是格林公式，也有人称之为格林定理。
它是一种广泛应用于物理、数学等领域的基本公式。
θ = arcsin[(r1+r2)/d] - arcsin[(r1-r2)/d]其中，d表示两个圆心之间的距离，也可以通过勾股定理计算得出：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]这个公式的推导较为复杂，我这里只给出结论。
下面我将对GREEN公式进行详细解释。
首先，GREEN公式的分子部分[(r1+r2)/d]和[(r1-r2)/d]分别代表两个圆心到其中一点P的距离与两个圆半径之差的比值。
这里的P是圆AB 的切点，切点处的角为θ。
接下来，我们可以用三角函数来计算这两个比值。
根据三角函数的定义，我们可以知道：sin(α) = 对边/斜边其中，α为其中一角度，对边为α角的对立边，斜边为α角的斜边。
在GREEN公式中，r1和r2分别为ΔP1A和ΔP1B的对立边，d为ΔP1P2的斜边。
所以，我们可以写出两个比值的计算公式：(r1+r2)/d = sin(α1)(r1-r2)/d = sin(α2)综上所述，我们可以得到：θ = arcsin[(r1+r2)/d] - arcsin[(r1-r2)/d]根据这个公式，我们可以计算得到任意两个圆内夹角的大小。
例如，当两个圆的半径相等时，即r1=r2，我们可以得到：θ = arcsin[(r1+r1)/d] - arcsin[(r1-r1)/d]= arcsin[(2r1)/d] - arcsin[0]= arcsin[2r1/d]这个结果表明，在两个半径相等的圆相交的情况下，夹角θ的大小只与圆心之间的距离d有关，而与半径r1的大小无关。
这符合我们平常观察到的情况，即无论两个圆的大小如何，它们相交时夹角的大小可以通过计算得到。
偏微分方程green公式偏微分方程（PartialDifferentialEquations，简称PDE）在数学和物理学中有着重要的作用，它可以描述多元函数的变化，进而用于解决实际问题。
其中，green公式是一种有用的方法，用于把复杂的PDES（偏微分方程组）转化为更容易求解的形式。
本文将介绍green 公式的定义、推导以及应用，并结合一些实例进行说明。
一、green公式的定义green公式是一种把偏微分方程组转化为更容易求解的形式的方法，由英国数学家George Green在19世纪发现，因此也称为green 公式。
它的形式为：$$ oint_{sp} left[f frac {partial u}{partialn}-frac{partial f}{partial n} Uright]ds=0 $$其中，U代表未知函数，f为边界条件，n为法向量，sp代表边界曲线。
二、green公式的推导green公式的推导可以分为四个步骤：1.先考虑f=0的特殊情况，即特征值方程。
2.令U(x,y)构成 Green数，写出 Green数的偏微分方程；3.给出 Green数 U(x,y)特解，并写出特解的表达式；4.根据Green函数U(x,y)的特解，推导出green公式。
三、green公式的应用Green公式可以用于许多应用领域，如热传导、电磁场、气流模拟等。
1.Green公式在热传导中的应用：热传导是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解温度场的变化问题。
如果将温度场用U(x,y)表示，则可以将热传导问题转化为求解green公式的问题。
2.Green公式在电磁场中的应用：电磁场是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解电和磁场分布的变化问题。
如果将电场用U(x,y)表示，则可以把电磁场变化问题转化为求解green公式的问题。
3.Green公式在气流模拟中的应用：气流模拟是一种应用green公式求解流体力学问题的方法。
green公式法摘要：1.引言2.Green 公式法的定义和原理3.Green 公式法的应用领域4.Green 公式法的优缺点5.结论正文：1.引言Green 公式，又称Green 恒等式，是由英国数学家George Green 在1828 年提出的。
这个公式在数学、物理以及工程领域中有着广泛的应用，尤其在解决一些偏微分方程和波动方程的问题时，具有重要的意义。
2.Green 公式法的定义和原理Green 公式法是一种求解偏微分方程的数值方法。
其基本原理是将偏微分方程中的积分操作用离散求和来代替，从而将偏微分方程转化为一个巨大的线性方程组，进而求解。
具体来说，对于一个在区域D 上的函数f(x, y)，如果它在区域D 上有一个连续的一阶偏导数，那么可以通过Green 公式法来求解该函数在区域D 上的值。
公式如下：D f(x, y) dA = D f(x, y)/n * dA，其中，n 为区域D 的边界单位法向量，dA 为区域D 的面积元素。
3.Green 公式法的应用领域Green 公式法在许多领域都有广泛的应用，如在电磁场问题的求解、热传导问题的求解、波动方程的求解等。
特别是在求解无界区域上的偏微分方程时，Green 公式法具有独特的优势。
4.Green 公式法的优缺点Green 公式法的优点在于它将复杂的偏微分方程转化为一个线性方程组，求解起来更加简便。
同时，它适用于许多不同的应用领域，具有较强的通用性。
然而，Green 公式法也存在一些缺点。
首先，它的适用性依赖于函数的一阶偏导数存在。
其次，当区域D 的边界形状复杂或者边界条件复杂时，求解难度会大大增加。
5.结论总的来说，Green 公式法是一种求解偏微分方程的有力工具，尤其在求解无界区域上的偏微分方程时，具有独特的优势。
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
第一边值问题的等价说法：在区域Ω内求一调和函数u ，使它在Ω=Ω+Γ上连续，并且在边界Γ上与已知函数相等。
2. 第二边值问题 Neumann 问题uf n Γ∂=∂ n r 为Γ的外法线方向 3.第三边值问题()uu f nαβ∂+=∂ 其中α、β 不全为零 三维Laplace 方程的边值问题可统一写为：0()u u u f n αβ∆=⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩三维Poisson 方程的边值问题可统一写为：()u h u u g n βα∆=-⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩其中g 、h 均为连续的三元函数内问题：以上所讨论的边值问题都是在边界Γ上给定某些约束条件，并在Ω的内部求Laplace 方程或Poisson 方程的解，这样的问题称为内问题。
7.1.2 外问题物理中，在确定物体外部的稳恒温度场时，人们常常将它归结为某一区域Ω的外部求调和函数(,,)u x y z ，并满足边界条件uf Γ=，这里Γ表示Ω的边界，f表示物体表面的温度。
类似这样的定解问题称为Laplace 方程的外问题。
1. Dirichlet 外问题设f 是定义在曲面Γ上已知的连续函数，求一函数(,,)u x y z ，使得它是Γ的外部区域'Ω内的调和函数，并在'Ω+Γ上连续，而且当(,,)u x y z →∞时，u 满足lim (,,)0r u x y z u f →∞Γ=⎧⎪⎨=⎪⎩(r = 物理上看，引入上述极限的条件是因为电学上总是规定无穷远点处的电位为零。
数学上看，有了这个条件可以保证外问题解的唯一性。
如：单位球面Γ外求一调和函数(,,)u x y z ，使其满足1u Γ=，则1(,,)1u x y z =与21(,,)u x y z r=都是上述问题的解。
2.Neunmann 外问题lim (,,)0r u x y z →∞=，u f nΓ∂=∂本章我们仅讨论内问题，所用方法也适合外问题。
7.1.3 Laplace 方程的球对称解球坐标下Laplace 方程 0u ∆= 外下述形式：22222222221cos 1()0sin sin u u u u ur r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++++=∂∂∂∂∂ 或2211[(sin )(sin )()]0sin sin u u ur r r r θθθθθϕθϕ∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂若具有球对称性，u 不依赖于θ和ϕ，仅与r 有关，则方程简化为：2()0d du r dr dr =,2p dur C dr=,21()p p C dr du C d r r ==-∴12(0)C u C r r =+≠ 1C 、2C 为任意常数，取114C π=，20C =则得球对称解为1(0)4u r rπ=≠。
7.2 Green 公式 调和函数的基本性质Green 公式是研究Green 函数的工具，本节先介绍Green 公式，再对调和函数的基本性质加以说明。
7.2.1 Green 公式Green 公式可视为微积分学中Gauss 公式的两个推论，有了Green 公式就可推出Laplace 方程解的积分形式，并讨论解的性质。
设Ω是以足够光滑的（分片光滑）曲面Γ为边界的有界连通区域，(,,)x y z P 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 为ΩΓU 上连续且在Ω内有连续偏导数的任意函数，则Gauss 公式（奥斯特洛格拉法斯基）公式：()(cos cos cos )()Q RdV Q R ds x y z dydz Qdzdx Rdxdy αβγΩΓΓ∂P ∂∂++=P ++∂∂∂=P ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中dV 是体积之和（Ω内），(cos ,cos ,cos )n αβγ=r为Γ的外法线方向，ds是Γ上的面积微元。
设函数(,,)u x y z 和(,,)V x y z 在闭区域Ω=ΩΓU 是具有连续的一阶偏导数，在Ω内具有连续的所有二阶偏导数，在Gauss 公式中，令vux∂P =∂，v Q u y ∂=∂，vR uz∂=∂。
则[()()()][cos cos cos ]v v v u u u dV x x y y z zv v vu u u dSx y z αβγΩΓ∂∂∂∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰即222222[()()][(cos cos cos )]v v v u v u v u v u dV x y z x x y y z z v v vu dS x y zαβγΩΓ∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰()()u v u v u v vu v dV dV u dS x x y y z z n ΩΩΓ∂∂∂∂∂∂∂∆+++=∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴()()v u v u v u vu v dV uds dV n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆=-++∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ——Green 第一公式其中∆：三维Laplace 算子，n∂∂表示S 的外法线方向导数。
也可以写为：()vu v dV udS u vdV n ΩΓΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （1） 其中u gradu ∇=，表示函数u 在点(,,)x y z 处的梯度。
将u 和v 的位置互易，得()uv u dV vdS u vdV n ΩΓΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （2） 两式相减有：()()v uu v v u dV uv dS n nΩΓ∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ——Green 第二公式7.2.2 调和函数的积分形式利用Green 公式推导调和函数的积分形式定理：设曲面Ω是Γ的边界，若函数(,,)u x y z 在Ω内具有二阶连续偏导数，在闭区域Ω=ΩΓU 上有一阶连续偏导数，则(,,)u x y z 在Ω内任一点0M 处函数值可表示为01()111()[]44u ur u M u dS dV r n n r ππΓΩ∂∂∆=--∂∂⎰⎰⎰⎰⎰其中n r为Γ的外法线矢量，r 是0M 到定点M 的距离0()MM rr = :()u u M[证] 由于函数1r 在Ω内有奇异点0M ，故不能直接利用Green 公式，需要将奇异点挖掉：作一以0M 为球心，充分小的正数ρ为半径的球面ρΓ，并在Ω内挖去ρΓ所围的球形区域ρΩ。
这时1r在区域ρΩ-Ω及边界ρΓ+Γ上任意处可微，且可验证1r在ρΩ-Ω内处处满足Laplace 方程1()0r ∆= 令1V r =在区域1ρΩ=Ω-Ω上，利用Green 第二公式：111()()1111[()][][]ur r u u dV u u dS r r n r n n r n ξΩΓ+Γ∂∂∂∂∆-∆=-+-∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 在1Ω内1()0r∆=上式左端11111[()]udV u u dV r r r ΩΩ=-∆=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∴111()()111[][]u ur r udV u dS u dS r n r n n r n ρΩΓΓ∂∂∂∂-∆=-+-∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算沿球面ρΓ内法线方向的方向导数：211()()1r r rnrρρρΓ=∂∂=-=∂∂ （n r 与半径r r方向相反）所以21()1r u dS udS n ρρρΓΓ∂=∂⎰⎰⎰⎰得121()1111[]u u r u dS udS dS udV n r n r n r ρρρΓΓΓΩ∂∂∂-+-=-∆∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由积分中值定理：2112211()()44()u M dS u M u M ρπρπρρΓ==⎰⎰同理：22211144M M u u u u dS dS r n n n nρρπρπρρρΓΓ∂∂∂∂===∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰1M ，2M 是球面ρΓ某两点，让0ρ→，则10M M →，20M M →。
同时u n∂∂在0M 的邻域内是有界的，所以当0ρ→时240M unπρ∂→∂。
01()11[]4()u r u dS M udV n r n r πρΓΩ∂∂-+=-∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ∴01()1111()[]44u r u M u dS udV r n n r ππΓΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 若(,,)u u x y z =是Ω内的调和函数，则01()11()[]4ur u M u dS r n nπΓ∂∂=-∂∂⎰⎰ ——调和函数的积分表达式（调和函数性质之一） 表明：对于在闭区域Ω=Ω+Γ上一阶偏导数连续的调和函数u ，它在Ω内任一点0M 处的值可用该函数在Ω的边界Γ上的值及其在Γ上法向导数值来表示。
