第七节 拉普拉斯方程的边值问题.

三维拉普拉斯方程第二边值外问题三维拉普拉斯方程是数学中的偏微分方程，描述了三维空间中的物理现象。

它的一般形式为：Δu = 0其中Δ是拉普拉斯算子，定义为Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²。

这里我们考虑三维拉普拉斯方程的第二边值外问题，即在给定边界条件下求解方程的解。

具体来说，我们考虑有界区域Ω内的拉普拉斯方程，在边界上给定了边界条件：u(x,y,z) = g(x,y,z)，(x,y,z) ∈ ∂Ω其中∂Ω表示Ω的边界，g(x,y,z)是已知函数。

这个问题的解决方法是通过将Ω离散化为网格上的有限点，并将拉普拉斯方程以离散的形式表示为线性方程组。

通常使用有限差分法或有限元方法来离散化方程。

在使用有限差分法离散化时，我们可以将连续区域Ω离散为n个网格点，将拉普拉斯方程在每个网格点处进行近似：∂²u/∂x² ≈ (u[i+1,j,k] - 2u[i,j,k] + u[i-1,j,k])/Δx²∂²u/∂y² ≈ (u[i,j+1,k] - 2u[i,j,k] + u[i,j-1,k])/Δy²∂²u/∂z² ≈ (u[i,j,k+1] - 2u[i,j,k] + u[i,j,k-1])/Δz²这样，原方程就变成了一个由差分方程组成的线性方程组：(u[i+1,j,k] - 2u[i,j,k] + u[i-1,j,k])/Δx²+ (u[i,j+1,k] - 2u[i,j,k] + u[i,j-1,k])/Δy²+ (u[i,j,k+1] - 2u[i,j,k] + u[i,j,k-1])/Δz² = 0其中i、j、k分别表示空间网格的索引，Δx、Δy、Δz表示网格间距。

根据边界条件，将方程组中的边界点进行特殊处理。

§2-8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式 310120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ： 1042=M , M 的余子式为 1020='M .例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中,454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a aM ='是一对互余的子式. 定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。

拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。

[1]拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。

中文名拉普拉斯方程外文名Laplace's equation别称调和方程、位势方程提出者拉普拉斯关键词微分方程、拉普拉斯定理涉及领域电磁学、天体物理学、力学、数学目录.1基本概述.▪在数理方程中.▪方程的解.2二维方程.3人物介绍基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。

通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。

若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。

在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。

三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中∇²称为拉普拉斯算子。

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。

拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。

偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。

方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。

任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。

关于拉普拉斯算子和格林函数的数学理论和应用拉普拉斯算子和格林函数是数学中的两个重要概念，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍拉普拉斯算子和格林函数的基本概念、性质和应用。

一、拉普拉斯算子拉普拉斯算子是向量算子，用于描述向量场的散度。

在三维空间中，拉普拉斯算子的表达式为：$$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$$其中，$\phi$ 为标量函数。

在二维平面和一维线性空间中，拉普拉斯算子的表达式分别为：$$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}$$$$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}$$拉普拉斯算子的性质很重要，其中最重要的性质是齐次性。

齐次性指的是，对于任意的标量函数 $\phi$，有如下等式成立：$$\Delta (af) = a \Delta f, \quad a \in \mathbb{R}$$也就是说，拉普拉斯算子可以与标量函数的加法和数乘交换顺序。

这个性质非常有用，因为它使得拉普拉斯算子可以应用于线性微分方程的解析和求和问题等。

二、格林函数格林函数是一种特殊的函数，用于求解偏微分方程的边界值问题。

偏微分方程的边界值问题是指，在某个空间区域内，给定方程的解在该区域边界上的特定值，解决方程在整个区域内的解。

例如，要求在一个矩形区域中求解波动方程的解。

格林函数的概念最早由数学家 George Green 提出，后来由格林本人描述，并被称为“格林函数”。

格林函数的实质是一个函数，它表示在某个点上的函数值，是由在其他所有点上的函数值共同决定的。

拉普拉斯方程求解技巧拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，被广泛运用于物理领域，尤其在电场、热传导、流体力学等领域。

其公式表达如下：$\nabla ^{2}\phi = 0$其中，$\phi$表示速度或电势等物理量，$\nabla ^{2}$则是拉普拉斯算符，表示二阶偏导数之和。

该方程的解又被称为调和函数，其具有良好的性质和广泛的应用价值。

在实际应用中，由于拉普拉斯方程的复杂性，其求解并不容易。

下面就介绍几种常用的求解方法，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一方程的求解技巧。

1. 分离变量法该方法是最为常用的一种求解拉普拉斯方程的方法，其基本思想是将解函数分解成多个单变量函数之积，进而降低求解难度。

具体步骤如下：（1）假设拉普拉斯方程解为$\phi$，引入一组坐标系$x_{1}, x_{2}, x_{3}$，从而有$\nabla ^{2}\phi = \frac {\partial^{2}\phi }{\partial x_{1}^{2}}+\frac {\partial ^{2}\phi }{\partialx_{2}^{2}}+\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{3}^{2}}$。

（2）将解函数按各自的坐标进行分解，即假设$\phi=X(x_{1})Y(x_{2})Z(x_{3})$。

（3）将分离后的函数代入原方程，并将各变量项分别移项整理，得到三个方程：$\frac {\partial ^{2}X}{\partialx_{1}^{2}}+\lambda X = 0$，$\frac {\partial ^{2}Y}{\partialx_{2}^{2}}+\mu Y = 0$，$\frac {\partial ^{2}Z}{\partialx_{3}^{2}}+\nu Z = 0$。

（4）记分离后的函数分别为$X_{n}(x_{1}), Y_{m}(x_{2}),Z_{l}(x_{3})$，则原方程的解为：$\phi(x_{1}, x_{2}, x_{3})=\sum _{n, m, l}C_{nml}X_{n}(x_{1})Y_{m}(x_{2})Z_{l}(x_{3})$。

分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的拉普拉斯方程的边值问题33 隋沆锐34 程文博29袁盼盼分离变量法又称fourier 级数法，是求解数学物理定解问题问题的一种最普遍最基本的方法之一。

从数学的角度来说，其基本的思想是降低自变量的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。

● 分离变量法的主要步骤：（1） 根据区域边界的形状，适当选择坐标系。

选取的原则是使坐标面与边界面一致，这样可使边界条件简化，即使在该坐标系中边界条件的表达式最为简单。

（2） 将满足齐次偏微分方程和齐次边界的解通过变量分离，使其转化为常微分方程的定解问题。

（3） 确定特征指和特征函数。

当边界条件是齐次时，求特征值和对应的特征函数就是求一个满足常微分方程和零边界条件的非零解。

（4） 定出特征值和特征函数后，再求其他常微分方程的解，然后把该解与特征函数相乘，得到变量分离的特解。

（5） 为了得到原定解问题的解，将所有变量分离的特解叠加成级数，成为形式解，其中任意常数有其他条件确定。

（6） 为了使形式解成为古典解，必须对定解条件附加适当的光滑性要求和相容性要求，以保证微分运算得以进行，并使微分后的级数任然是收敛的。

● 用分离变量法解拉普拉斯方程的边值问题常用的结论和规律： 1.设)(),...,('),(x f x f x f n 在区间【0，L 】上连续，)0(1+m f在【0，L 】上分段连续，,22....2,0,0)()0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡===m n L f f n n其中【x 】表示不超过x 的最大整数。

那么，如果函数f （x ）在区间【0，L 】上可以张开傅里叶正弦级数)1(],,0[,sin~)(1L x Lxn b x f n n ∈∑∞=π 则级数∑∞=1||n n mb n是收敛的。

类似的，如果)(x f 在],0[L 上可以展开成傅里叶余弦级数)2(],,0[,cos 2~)(10L x Lx n a a x f n n ∈+∑∞=π则级数||1n n m a n ∑∞=是收敛的。

拉普拉斯方程 cos拉普拉斯方程（Laplace's equation）是数学领域中一个重要的偏微分方程，常用于描述稳态情况下的电势分布、温度分布、流体力学中的势流等问题。

拉普拉斯方程在物理学、工程学以及应用数学中都有广泛应用。

拉普拉斯方程描述了一个函数的二阶导数之和等于零的情况。

对于一个二元变量的拉普拉斯方程，在直角坐标系下可以写成：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0其中，u是关于自变量x和y的函数。

类似地，在三维空间中，拉普拉斯方程可以写成：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²+ ∂²u/∂z² = 0对于调和函数即满足拉普拉斯方程的函数，也可以简写成Δu= 0，这里Δ是拉普拉斯算子，表示二阶导数之和。

拉普拉斯方程的性质使得它在数学和物理学上都具有重要的应用。

例如，在电学中，拉普拉斯方程被用来描述给定电势下的电荷分布。

在这种情况下，拉普拉斯方程可以用来计算电势分布，进而找到电场的分布。

同样，在热传导的问题中，拉普拉斯方程可以用来描述热量分布。

拉普拉斯方程的解通常需要使用特定的数学工具和技巧，如分离变量法、复变函数理论、格林函数等。

尽管解析解并不总是易于获得，但在特定几何形状或边界条件下，拉普拉斯方程的解可以通过数值方法或近似方法求得。

这些方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等。

除了直角坐标系下的拉普拉斯方程，还存在其他坐标系下的拉普拉斯方程，如球坐标系、柱坐标系等。

这些方程在不同的物理问题中有广泛的应用。

例如，球坐标下的拉普拉斯方程被用来描述球对称电势分布的问题；柱坐标下的拉普拉斯方程可以应用于具有轴对称性的问题。

总结起来，拉普拉斯方程是数学和物理学中的一个重要方程，广泛应用于描述稳态下的电势、温度、流体力学势流等分布。

它是解决这些问题的基础，并且涉及到许多数学工具和技巧。

在实际应用中，通过适当的数值方法或近似方法，可以获得拉普拉斯方程的解，从而解决现实生活中的实际问题。

求解在上半平面的拉普拉斯方程的边值问题
问题：求解在上半平面的拉普拉斯方程的边值问题，其中边界条件为 y=0, x=0 或 x=1。

解：首先，拉普拉斯方程为Δu = 0，其中Δ 是拉普拉斯算子。

对于上半平面，我们可以使用分离变量法。

假设解的形式为 u(x, y) =
X(x)Y(y)。

将这个形式代入拉普拉斯方程，得到：
X''Y + XY'' = 0
这意味着 X'' 和 Y'' 必须同时为0，或者 X 和 Y 必须满足某种关系。

由于我们要求解的是在边界 y=0, x=0 或 x=1 上的问题，我们可以选择 X(x) = 1，这样 Y(y) 就只与 y 有关。

因此，我们得到 Y'' = 0，这意味着 Y(y) = C1y + C2。

现在我们需要确定 C1 和 C2 的值。

根据边界条件，我们知道：
1. 当 y=0, x=0 时，u = C2
2. 当 y=0, x=1 时，u = C2
3. 当 y=1, x=0 时，u = C1 + C2
4. 当 y=1, x=1 时，u = C1 + C2
通过解这个方程组，我们可以找到 C1 和 C2 的值。

[整理]拉普拉斯方程拉普拉斯方程求助编辑百科名片拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplace'sequation)，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。

因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。

求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质。

目录拉普拉斯方程(Laplace equation)在数理方程中狄利克雷问题诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的解二维拉普拉斯方程解析函数三维情况下二维拉普拉斯方程解析函数在流场中的应用在电磁学中的应用三维拉普拉斯方程基本解格林函数在流场中的应用拉普拉斯人物介绍展开拉普拉斯方程(Laplace equation)在数理方程中狄利克雷问题诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的解二维拉普拉斯方程解析函数三维情况下二维拉普拉斯方程解析函数在流场中的应用在电磁学中的应用三维拉普拉斯方程基本解格林函数在流场中的应用拉普拉斯人物介绍展开编辑本段拉普拉斯方程(Laplace equation)拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。

一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。

通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。

若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差?P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为:?p=γ(1/R1+1/R2)式中γ是液体表面张力。

该公式成为拉普拉斯方程。

在数理方程中拉普拉斯方程为:Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。

能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。

能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。

理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。

会判定系统的稳定性。

知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。

0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。

0σ与函数()f t 的性质有关。

2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。