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2.2二维拉普拉斯方程的边值问题

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二维拉普拉斯方程的边值问题

二维拉普拉斯方程的边值问题

(33)
将(33)代入方程(30),分离变量得
X ''( x) Y ''( y)
X(x) Y( y)
其中 是常数。 因此我们得到两个常微分方程
2
X ''(x) Y ''( y)
X (x) Y (y)
X ''(x) X (x) 0, (34) Y ''( y) Y ( y) 0, (35)
1 2 a0
(an cos n
n1
bn sin n )r0n
f ( ),
(0 2 ),
16
u(r0 , )
1 2
a0
(an
n1
cos n
bn
sin n )r0n
f ( ),
(0 2 ),
由傅里叶级数理论，知
an r0n
2
2
2
f ( ) cosnd
0
(n 0,1, 2, ),
bn r0n
求板内稳恒状态下的温度分布规律。 我们用 u(x, y) 来表示板上点 (x, y) 处的温度，即
1
解下列定解问题：
uu(xxx,0)uyy
0 (0 x f (x), u(x,b)
a, 0 y g(x),
b),
u(0, y) 0, u(a, y) 0.
(30) (31) (32)
应用分离变量法，设 u(x, y) X (x)Y (y),
其通解为
R0 (r) C0 ln r D0 ,
其中C0 , D0 是任意常数。只有当 C0 0 时，函数 R0
才满足有界性条件 | R(0) | .
因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R0 (r) D0.

解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..

解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..

摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。

用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。

本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。

对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。

人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。

事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。

对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。

一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。

本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。

Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。

本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。

对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。

本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。

2.3二维拉普拉斯方程的边值问题

2.3二维拉普拉斯方程的边值问题
u yy ( u rr r y u r y ) r y u r r yy ( u r r y u y ) y u yy
6
u rr
1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r0 ),
u | r r f ( ).
A 0
(4 1) B0 ,
0
其中A 0 , B 0 是任意常数。 只有当 A 0 0 时，函数 才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题(41) ( ) B . 的解为 2 0 代入问题(42)中的方程 r R ' ' rR ' R 0 , 再将 R 0 ( r ) C 0 ln r D 0 , 其通解为 其中C 0 , D 0 是任意常数。只有当 C 0 0 时，函数 R 0 才满足有界性条件。 | R ( 0 ) | . 因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R 0 ( r ) D 0 . 1 从而得原方程(39)的一个非0解 u ( r , ) B D a .
2
' ' 0 .
由于温度函数 u ( r , ) 是单值的，所以当 从 变到 2 时，u ( r , 2 ) u ( r , ) 成立， 从而有
( 2 ) ( ).
同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度 应该是有界的，因而 | u ( 0 , ) | R (r ) 应满足条件
2 2
( n 1, 2 , )
解 作变换 r e t 则有
Rr Rt 1 r ,
t ln r
R rr ( R tt 1 r ) 1 r Rt ( 1 r

1拉普拉斯方程边值问题的提法

1拉普拉斯方程边值问题的提法

1拉普拉斯方程边值问题的提法第四章拉普拉斯方程的格林函数法在第二、三两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法，本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法。

先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式。

§4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法在第一章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程22222220.u u u u x y z o++=??? 作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件。

至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。

（1）第一边值问题在空间(,,)x y z 中某一区域W 的边界G 上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它的闭域W +G （或记作W ）上连续，在W 内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，在G 上与已知函数f 相重合，即 . (4.1)u f G =第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。

拉普拉斯方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数，称为调和函数。

所以狄氏问题也可以换一种说法：在区域W 内找一个调和函数，它在边界G 上的值为已知。

（2）第二边值问题在某光滑的闭曲面G 上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在G 内部的区域W 中是调和函数，在W +G 上连续，在G 上任一点处法向导数u n存在，并且等于已知函数f 在该点的值： , (4.2)uf n G=?这里n 是G 的外法向矢量。

第二边值问题也称牛曼（Neumann ）问题。

以上两个边值问题都是在边界G 上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解，这样的问题称为内问题。

二维拉普拉斯方程的基本解

二维拉普拉斯方程的基本解

二维拉普拉斯方程的基本解一、引言二维拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程等领域。

本文将介绍二维拉普拉斯方程的基本解，包括定义、性质及求解方法。

二、定义二维拉普拉斯方程是指以下形式的偏微分方程：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$$其中，$u=u(x,y)$是未知函数，$x,y$是自变量。

三、性质1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。

2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。

3. 最大值原理：设$D$为平面上一个有界区域，如果在$D$内有一个点$(x_0,y_0)$使得在该点处的函数值最大（或最小），则该函数在整个区域内的函数值都不会超过（或低于）该点处的函数值。

4. 无穷远边界条件：当$x^2+y^2\rightarrow \infty $时，解趋近于常数。

四、求解方法1. 分离变量法假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则可以将二维拉普拉斯方程化为两个一维的常微分方程：$$\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。

然后分别解出$X(x)$和$Y(y)$，再将其乘起来即可得到原方程的解。

2. 用格林函数求解格林函数是指满足以下条件的函数$G(x,y;x_0,y_0)$：（1）在$x\neq x_0$或$y\neq y_0$时，它满足二维拉普拉斯方程；（2）在$x=x_0$且$y=y_0$时，它满足以下边界条件：$$G(x,y;x_0,y_0)=\begin{cases}1 & \text{$x=x_0$, $y=y_0$}\\0 & \text{其他情况}\end{cases}$$利用格林函数可以求出任意一个边值问题的解。

二维拉普拉斯方程的边值问题

二维拉普拉斯方程的边值问题

un
x, y
n y
( An e a

Bn
e

n a
y
)
sin
n
a
x
方程(2.3.1)和边界条件(2.3.3)都是线性齐次的，由 叠加原理
u
x, y


n y
( An e a
n1

Bn
e

n a
y
)
sin
n
a
x
仍满足方程(2.3.1)和条件(2.3.3)。
考虑到 (2.3.2)：u(x,0) = f (x), u(x,b) = g (x), 得
0, 0 ,
0 0,
2R R R 0,

R0

.
特征值 n n2, n 1,2,...
特征函数 n bn sin n , n 1,2,...
R( ) cn n, n 1,2,...
a0 2

n1

n
an
cos
n

bn
sin
n

其中 a0 2a0' c0 , an an' cn , bn bn' cn.
应用条件 u |0 f ,
f
( )

a0 2

n1
0n
an cos n bn sin n
因此，a0 , 0nan , 0nbn 就是 f ( ) 展为Fourier 级数
2u
2

1

u


1
2

第三章 边值问题的解法


解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B


U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)


q
4π0


(r
2

2dr
1
cos

d
)2 1/ 2

(d
2r2

a
2dra2 cos

a4 )1/ 2

导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q

1
b1

a12 d1
q1
q1

二维laplace方程dirichlet问题的数值解法

二维laplace方程dirichlet问题的数值解法本文从理论上研究二维Laplace方程Dirichlet问题的数值解法，目的是开发一种可以快速求解问题的数值方法。

首先回顾了二维Laplace方程的基本概念，它是描述物理系统的变量随空间变化的基础，其标准型为：$$frac{partial^{2} phi}{partial x^{2}} + frac{partial^{2} phi}{partial y^{2}} = 0$$其中Φ是函数空间中的变量，其在X、Y方向上的二阶导数表明空间变量的变化趋势，而Dirichlet问题相当于给出了此方程在边界处的边界条件，可以求出满足此边界条件的解，如下式所示：$$phi(x,y)= Psi(x,y) + int_{Omega}G(x,y,xi,eta)Phi(xi,eta)dxi deta$$其中，Ψ(x，y)是被称为Dirichlet函数的边界函数，G(x，y，ξ，η)是称为格拉德积分核的偏微分方程的同一分量解，σ是有界的较小的空间域Ω。

求解二维Laplace方程的Dirichlet问题的一般方法有两种：一是准极限法(PML)，二是有限元法(FEM)。

PML是一种四阶精确的数值求解方法，二维空间Laplace方程Dirichlet问题的多项式系数矩阵是方阵，可以使用Gauss-Seidel迭代求解解析解。

此外，有限元法也可以用于解决二维Laplace方程的Dirichlet问题，它是一种广泛应用于有限元和曲面建模的技术，将实际场景抽象为有限个元素，用有限元函数描述空间中的变量特性，经过迭代求解可以获得问题的数值解。

本文将介绍一种称为“自适应积分网格法”的新型数值求解方法，它使用自适应网格可以更好地求解准确度要求较高的Laplace方程Dirichlet问题。

首先，根据二维Laplace方程的基本原理，构建网格系统，将问题划分为一系列的小型网格，网格的形状可以是正方形、三角形或混合形，划分的小型网格由带有不同边界条件的方程构成。

第五章 拉普拉斯方程

HUST 应用偏微分方程
第5章 拉普拉斯方程
第五章 拉普拉斯方程 5.1 二维拉普拉斯方程的边值问题
5.1.1 矩形域上拉普拉斯方程的分离变量法
2u 2u 0 x a ,0 y b 2 2 0, y x 0 yb u (0, y ) u (a, y ) 0, u ( x,0) ( x), u ( x, b) ( x), 0 x a 0 xa X X 0, 解： XY X XY 0 u Y X (0) X (a) 0 X Y 由例1中的方法知，以上特征值问题 X Y 的特征值和特征函数分别为 2 X X 0 Y Y 0 n n , n 1,2,3, u (0, y ) X (0)Y ( y ) 0 a n u (a, y ) X (a)Y ( y ) 0 X n An sin x a X (0) 0, X (a) 0
2 2 例1 求下列定解问题 u u Y X Y X X 0 Y Y 0 u (0, y ) X (0)Y ( y ) 0 x u (a, y ) X (a)Y ( y ) 0 x X (0) 0, X (a) 0
n n n n y y y y n n a a un X nYn Cn e a Dn e a Bn cos x Cn e Dn e cos x a a 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线 性方程的叠加原理，设原问题的解为 n n y y n a a cos u u n C0 y D0 Cn e Dn e x a n 0 n 1

圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题


这个解，称为圆域内的泊松公式，它的理论 意义是把解写成了积分的形式，方便研究
2 Euler 方程 R R R 0 的通解为 R 0 c0 d 0 ln , 0 R n cn n d n n , n2
(n 0,1,2,3,)
为了保证 R (0) ，那么只有 d n 0 (n 1,2,)，即
为了应用方便，我们将求出的系数代入： a0 n u ( , ) (an cos n bn sin n ) 2 n 1 经过简化后得到：
u ( , ) 1
2ຫໍສະໝຸດ 01 n f ( t ) ( ) cos n ( t ) d t 2 n 1 0
本题可写为求以下方程组的解：
2 1 u 1 2u ( ) 0 , 0 , 0 2 u 2 2 u ( 0 , ) f ( ) , 0 2 u ( 0 , ) u ( , ) u ( , 2 ) ① ② ③ ④
式中： a0 a c 0 0 2 a n a n cn bn bn cn
（4）. 确定系数 a0,an,bn。 利用边界条件 u ( 0 , ) f ( ) , 0 2 , 得
a0 n f ( ) 0 (an cos n bn sin n ) 2 n 1
2 R R R 0
u ( 0 , ) ③
R (0)
u ( , ) u ( , 2 ) ④ ( 2 ) ( )
因此，得到两个常微分方程的定解问题：
0 ( 2 ) ( )
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nπx = f ( x) a
u
y = 0 = f ( x ),
⇒∑
n =1
∞
{ An + Bn } sin
⇒ A + B = 2 a f (ξ ) sin nπ ξdξ n n ∫
a
0
a
u
y =a
= g (x). ⇒
∑
⇒
n =1
∞
nπb nπb nπx { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin = g ( x). a a a
真空静电势满足拉普拉斯方程： 真空静电势满足拉普拉斯方程：
方程
∆u ( x, y ) = 0
边界条件
或
∂ 2u ∂ 2 u + 2 =0 2 ∂x ∂y
云、地、导线。
导线的表面是等势面，取其为电势零点： 导线的表面是等势面，取其为电势零点： 零点
u u
x 2 + y 2 =a 2
= f 有限
a为导线半径
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + 2 =0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
⇒
R' ' Φ + R' Φ / ρ + RΦ' ' / ρ 2 = 0
ρ 2 R' ' / R + R' ρ / R + Φ ' ' / Φ = 0
ρ R ' ' / R + R ' ρ / R = −Φ ' ' / Φ = λ
nπb nπb 2 nπξ An exp[ ] + Bn exp[− ] = ∫ g ( x) sin dξ a a a0 a
aห้องสมุดไป่ตู้
2.2.1 圆域上拉普拉斯方程的边值问题
导线
⇒
求电场强度
解：
建立如右图坐标系，Z-轴沿导线。
z
无限长导线的情况，可将电场看作沿z 方向不变。 只需要研究 x-y 平面的状态 ⇒ 平面问题。 导线的存在，如何改变电场？
∞ m =1
ρ =a
⇒
A0 ∞ m f (ϕ ) = + ∑ a ( Am cos mϕ + Bm sin mϕ ) 2 m =1
2π
2 An = m πa 2 Bn = m πa
∫ f (ϕ ) cos mϕdϕ.(m = 0,1,2,− − −)
0
2π
∫ f (ϕ ) sin mϕdϕ.(m = 1,2,− − −)
0
n 2π 2 Y ' '− 2 Y = 0; a
nπy nπy Y ( y ) = A exp[ ] + B exp[− ] a a nπy nπy nπx un ( x, y ) = { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin a a a
u ( x, y ) = ∑
n =1
∞
nπy nπy nπx { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin a a a
Rm = Cm ρ + Dm ρ
m
−m
u ( ρ , ϕ ) = C0 + D0 ln ρ + ∑ (Cm ρ m + Dm ρ − m )( Am cos mϕ + Bm sin mϕ )
m =1
∞
u
ρ →0
有限 ⇒ Dm = 0(m = 0,1,2,− − −)
u ( ρ , ϕ ) = C0 + ∑ ( Am cos mϕ + Bm sin mϕ ) ρ m
X ( x)Y (0) = f ( x) X ( x)Y (b) = g ( x)
Y ' ' ( y ) X ' ' ( x) − = = −λ Y ( y) X ( x)
n 2π 2 λ= 2 a
X ' '+ λX = 0;
X (0) = 0
和
X ( a ) = 0.
n = 1,2,L
nπx X ( x) = C2 sin a
= f ( x), u
y =b
= g (x).
从数学上讲，边界条件与初始条件并无区别，都是 确定积分常数的代数公式。尽管本题只涉及边界 条件，但可将其一视为初始条件。
分离变量： 分离变量：
u ( x, t ) = X ( x)Y ( y )
X ' ' Y + XY ' ' = 0
X (0)Y ( y ) = 0 X (a )Y ( y ) = 0
2.2 二维拉普拉斯方程的边值问题
2.2.1 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题
y
解：
U b
0
0
如图，散热片横截面为矩形。温度满足 U > u0 。 求稳定温度分布。 稳定分布温度满足拉氏方程：
0
u0
a
x
边界条件： 边界条件：
u xx + u yy = 0
u
x =0
= 0,
u
x =a
= 0, u
y =0
2
∂ R ∂R ρ +ρ − λR = 0 2 ∂ρ ∂ρ
2 2
Φ ' '+λΦ = 0
自然周期边界条件
u ( ρ , ϕ + 2π ) = u ( ρ , ϕ )
R( ρ )Φ (ϕ + 2π ) = R( ρ )Φ (ϕ )
或
Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ )
Φ ' '+λΦ = 0
ϕ
ρ
m>0
ρ
2
∂2R ∂R ρ +ρ − m2R = 0 ∂ρ 2 ∂ρ
2
ρ
∂R = C ρ m m − D ρ −m m ∂ρ
∂2R = C ρ m m ( m − 1) + D ρ − m m ( m + 1), ∂ρ 2
∂2R ∂R ρ2 +ρ − m 2 R = C ρ m m ( m − 1) + D ρ − m m ( m + 1) + C ρ m m − D ρ − m m − m 2 R = 0 ∂ρ 2 ∂ρ
⇒
Φ m (ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
λ=m
2
m = 0,1,2, L
∂2R ∂R 2 ρ +ρ − λR = 0 2 ∂ρ ∂ρ
m=0
ρ
2
1 ∂2R ∂2R ∂R = − 2 , + ρ =0 ∂ρ 2 ρ ∂ρ 2 ∂ρ
1 ∂R = ∂ρ ρ
R0 = C0 + D0 ln ρ
x 2 + y 2 →0
根据导线的边界条件， 根据导线的边界条件，本题应取平面极座标 ( ρ , ϕ ) ， 座标原点在导线中心。 座标原点在导线中心。
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + 2 =0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
u
ρ =a
= f (ϕ )
有限
u
ρ →0
分离变量
u ( ρ , ϕ ) = R( ρ )Φ (ϕ )