2.2二维拉普拉斯方程的边值问题

摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。

用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。

本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。

对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。

人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。

事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。

对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。

一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。

本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。

Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。

本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。

对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。

本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。

1拉普拉斯方程边值问题的提法第四章拉普拉斯方程的格林函数法在第二、三两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法，本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法。

先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式。

§4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法在第一章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程22222220.u u u u x y z o++=??? 作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件。

至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。

（1）第一边值问题在空间(,,)x y z 中某一区域W 的边界G 上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它的闭域W +G （或记作W ）上连续，在W 内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，在G 上与已知函数f 相重合，即 . (4.1)u f G =第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。

拉普拉斯方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数，称为调和函数。

所以狄氏问题也可以换一种说法：在区域W 内找一个调和函数，它在边界G 上的值为已知。

（2）第二边值问题在某光滑的闭曲面G 上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在G 内部的区域W 中是调和函数，在W +G 上连续，在G 上任一点处法向导数u n存在，并且等于已知函数f 在该点的值： , (4.2)uf n G=?这里n 是G 的外法向矢量。

第二边值问题也称牛曼（Neumann ）问题。

以上两个边值问题都是在边界G 上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解，这样的问题称为内问题。

二维拉普拉斯方程的基本解一、引言二维拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程等领域。

本文将介绍二维拉普拉斯方程的基本解，包括定义、性质及求解方法。

二、定义二维拉普拉斯方程是指以下形式的偏微分方程：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$$其中，$u=u(x,y)$是未知函数，$x,y$是自变量。

三、性质1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。

2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。

3. 最大值原理：设$D$为平面上一个有界区域，如果在$D$内有一个点$(x_0,y_0)$使得在该点处的函数值最大（或最小），则该函数在整个区域内的函数值都不会超过（或低于）该点处的函数值。

4. 无穷远边界条件：当$x^2+y^2\rightarrow \infty $时，解趋近于常数。

四、求解方法1. 分离变量法假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则可以将二维拉普拉斯方程化为两个一维的常微分方程：$$\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。

然后分别解出$X(x)$和$Y(y)$，再将其乘起来即可得到原方程的解。

2. 用格林函数求解格林函数是指满足以下条件的函数$G(x,y;x_0,y_0)$：（1）在$x\neq x_0$或$y\neq y_0$时，它满足二维拉普拉斯方程；（2）在$x=x_0$且$y=y_0$时，它满足以下边界条件：$$G(x,y;x_0,y_0)=\begin{cases}1 & \text{$x=x_0$, $y=y_0$}\\0 & \text{其他情况}\end{cases}$$利用格林函数可以求出任意一个边值问题的解。

二维laplace方程dirichlet问题的数值解法本文从理论上研究二维Laplace方程Dirichlet问题的数值解法，目的是开发一种可以快速求解问题的数值方法。

首先回顾了二维Laplace方程的基本概念，它是描述物理系统的变量随空间变化的基础，其标准型为：$$frac{partial^{2} phi}{partial x^{2}} + frac{partial^{2} phi}{partial y^{2}} = 0$$其中Φ是函数空间中的变量，其在X、Y方向上的二阶导数表明空间变量的变化趋势，而Dirichlet问题相当于给出了此方程在边界处的边界条件，可以求出满足此边界条件的解，如下式所示：$$phi(x,y)= Psi(x,y) + int_{Omega}G(x,y,xi,eta)Phi(xi,eta)dxi deta$$其中，Ψ(x，y)是被称为Dirichlet函数的边界函数，G(x，y，ξ，η)是称为格拉德积分核的偏微分方程的同一分量解，σ是有界的较小的空间域Ω。

求解二维Laplace方程的Dirichlet问题的一般方法有两种：一是准极限法(PML)，二是有限元法(FEM)。

PML是一种四阶精确的数值求解方法，二维空间Laplace方程Dirichlet问题的多项式系数矩阵是方阵，可以使用Gauss-Seidel迭代求解解析解。

此外，有限元法也可以用于解决二维Laplace方程的Dirichlet问题，它是一种广泛应用于有限元和曲面建模的技术，将实际场景抽象为有限个元素，用有限元函数描述空间中的变量特性，经过迭代求解可以获得问题的数值解。

本文将介绍一种称为“自适应积分网格法”的新型数值求解方法，它使用自适应网格可以更好地求解准确度要求较高的Laplace方程Dirichlet问题。

首先，根据二维Laplace方程的基本原理，构建网格系统，将问题划分为一系列的小型网格，网格的形状可以是正方形、三角形或混合形，划分的小型网格由带有不同边界条件的方程构成。

二次拉普拉斯方程边值问题本质特点探讨引言：在数学和物理学领域中，拉普拉斯方程广泛应用于描述众多自然现象。

在许多实际问题中，我们经常遇到需要求解二次拉普拉斯方程边值问题的情况。

通过研究这类问题的本质特点，我们可以更好地理解拉普拉斯方程的性质，为实际应用提供指导。

本文将探讨二次拉普拉斯方程边值问题的本质特点。

我们将从两个方面进行讨论：边值条件的影响和解的唯一性。

一、边值条件的影响二次拉普拉斯方程边值问题的解依赖于所给定的边界条件。

我们将通过以下几个方面来分析边值条件对问题解的影响。

1. 定解性二次拉普拉斯方程边值问题是一个定解性问题，即当边界条件和方程形式都给定时，解法是唯一确定的。

这一特点使得边值问题可以应用到实际问题中，并提供准确的解析解。

2. 边界条件的类型二次拉普拉斯方程边值问题的边界条件可以分为三类：第一类边界条件为Dirichlet边界条件，即给定函数在边界上的值；第二类边界条件为Neumann边界条件，即给定函数在边界上的法向导数的值；第三类边界条件为Robin边界条件，即给定函数在边界上的线性组合。

这些边界条件的不同类型将直接影响问题的解的性质。

例如，Dirichlet边界条件会导致解在边界上有特定的函数值，而Neumann边界条件则决定了解在边界上的斜率。

这些特定的边界条件可以约束解的形态，使得问题有明确的解析解。

3. 边界条件的光滑性边界条件的光滑性也会对问题的解产生影响。

如果边界条件是光滑的，并且在边界上的一阶导数满足某种条件，那么问题的解也会光滑。

这种光滑性可以使得边界周围的解具有良好的物理性质，并且更易于用数值方法求解。

而如果边界条件不光滑，解可能会在边界附近出现奇异性，这对于实际问题的建模和求解会带来一定的挑战。

二、解的唯一性对于二次拉普拉斯方程边值问题，解的唯一性是一个重要的性质。

解的唯一性指的是，在给定边界条件下，问题的解是唯一确定的，不存在其他满足边界条件的解。

解的唯一性与边界条件密切相关。

[整理]拉普拉斯方程拉普拉斯方程求助编辑百科名片拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplace'sequation)，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。

因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。

求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质。

目录拉普拉斯方程(Laplace equation)在数理方程中狄利克雷问题诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的解二维拉普拉斯方程解析函数三维情况下二维拉普拉斯方程解析函数在流场中的应用在电磁学中的应用三维拉普拉斯方程基本解格林函数在流场中的应用拉普拉斯人物介绍展开拉普拉斯方程(Laplace equation)在数理方程中狄利克雷问题诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的解二维拉普拉斯方程解析函数三维情况下二维拉普拉斯方程解析函数在流场中的应用在电磁学中的应用三维拉普拉斯方程基本解格林函数在流场中的应用拉普拉斯人物介绍展开编辑本段拉普拉斯方程(Laplace equation)拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。

一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。

通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。

若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差?P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为:?p=γ(1/R1+1/R2)式中γ是液体表面张力。

该公式成为拉普拉斯方程。

在数理方程中拉普拉斯方程为:Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。