1拉普拉斯方程边值问题的提法

数理方程与特殊函数课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。

学分2，周学时2。

本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。

“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。

主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。

“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。

教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。

本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换主要教学方法：课堂讲授与课外习题。

第零章预备知识（4学时）复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。

第一章典型方程和定解条件的推导（４学时）在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。

本章学习的重点和难点是了解数学物理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。

第一节基本方程的建立通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。

第二节初始条件与边界条件方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。

用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。

第三节定解问题的提法由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。

初始条件和边界条件都称为定解条件。

拉普拉斯方程的完整求解拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

它描述了一个物理系统中的稳态情况，即在没有时间变化的情况下，物理量的分布情况。

在本文中，我们将介绍拉普拉斯方程的完整求解方法，包括数学推导和物理应用。

一、数学推导拉普拉斯方程的一般形式为：∇^2ϕ=0其中，∇^2为拉普拉斯算子，表示对空间中各个方向的二阶导数之和。

ϕ为待求函数。

为了求解该方程，我们需要先确定边界条件。

边界条件指的是在物理系统的边界上，待求函数的取值或导数的取值已知。

常见的边界条件包括：1. Dirichlet 边界条件：在边界上，待求函数的取值已知。

2. Neumann 边界条件：在边界上，待求函数的法向导数已知。

3. Robin 边界条件：在边界上，待求函数的取值或法向导数与外界参数成比例。

根据不同的边界条件，我们可以采用不同的数学方法求解拉普拉斯方程。

下面我们分别介绍三种常见的方法。

1. 分离变量法当边界条件为 Dirichlet 边界条件时，我们可以采用分离变量法求解拉普拉斯方程。

具体来说，我们假设待求函数可以表示为以下形式：ϕ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)将该式代入拉普拉斯方程，得到：X''/X+Y''/Y+Z''/Z=0由于等式左侧的三个部分只依赖于x、y、z 中的一个，因此它们必须都等于一个常数λ。

于是我们得到三个独立的常微分方程：X''+λX=0Y''+λY=0Z''+λZ=0这些方程的解分别为：X(x)=Asin(√λx)+Bcos(√λx)Y(y)=Csin(√λy)+Dcos(√λy)Z(z)=Esin(√λz)+Fcos(√λz)其中，A、B、C、D、E、F 为待定常数。

将这些解代入待求函数的表达式中，再利用边界条件，我们就可以求出这些常数，从而得到完整的解。

拉普拉斯(laplace)变换法解常微分方程的初值问题要求：拉普拉斯变换是求解微分方程和求解初值问题的有力工具。

本文将讨论拉普拉斯变换及其在求解常微分方程初值问题中的应用。

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将函数从时域变换到频域。

它是以18世纪法国数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的名字命名的。

函数f(t)的拉普拉斯变换定义为F(s) = L{f(t)} = ∫_0^∞ f(t) exp(-st) dts是复数。

拉普拉斯逆变换由f(t) =L^-1 {F(s)}=∫_\infty^s F(s) exp(st) ds拉普拉斯变换是求解常微分方程的有力工具。

基本思想是通过拉普拉斯变换将给定的ODE从时域转换到频域。

然后我们可以解变换后的方程用拉普拉斯逆变换将解变换回时域。

ode的初值问题也可以用拉普拉斯变换来解决。

假设我们想解初值问题y'(t) + ay(t) = g(t)y(0) = y_0其中a y_0和g(t)是已知的。

我们可以对方程两边做拉普拉斯变换得到sY(s) - y_0 + aY(s) = ∫_0^∞ g(t) exp(-st) dt或者Y(s) = [1/(s+a)]∫_0^∞ g(t) exp(-st) dt + {y_0/ (s+a)}然后我们就可以解出Y(s)并进行拉普拉斯逆变换来得到初值问题的解y(t) = L^-1 {Y(s)}= ∫_\infty^s {[1/(s+a)]∫_0^∞ g(t) exp(-st) dt + {y_0/ (s+a)}}exp(st) ds这给了我们初值问题的解，以卷积积分的形式。

总之，拉普拉斯变换是求解常微分方程初值问题的有力工具。

它不仅方便，使用起来相对简单，而且为我们提供了一个精确的通用解。

此外，拉普拉斯变换还可用于求解偏微分方程的初值问题，使其更加实用。

拉普拉斯算符的运算法则1.基本法则：（1）加法性：对于两个标量函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，拉普拉斯算符满足∇²(f+g)=∇²f+∇²g。

（2）标量函数乘法法则：对于一个标量函数 f(x, y, z) 和一个常数 k，拉普拉斯算符满足∇²(kf) = k∇²f。

（3）链式法则：对于两个函数f(x,y,z)和g(t)，其中f只依赖于变量t，而g只依赖于变量x、y和z，拉普拉斯算符满足∇²(f∘g)=(∇²f)⋅g+2(∇f)⋅(∇g)+f(∇²g)。

（4）乘积法则：对于两个函数 f(x, y, z) 和 g(x, y, z)，拉普拉斯算符满足∇²(fg) = f∇²g + g∇²f + 2(∇f)⋅(∇g)。

2.定解问题法则：在求解偏微分方程时，拉普拉斯算符的运算法则还包括定解问题法则。

（1）边值定解问题法则：在求解偏微分方程的边值问题时，根据拉普拉斯算符的性质，我们可以通过给定边界值来确定解的行为。

比如，在求解二维泊松方程时，可以通过在边界上给定函数值来确定解的形状。

（2）初始条件定解问题法则：在求解时间相关的偏微分方程时，除了边值条件外，还需要给定初始条件。

在这种情况下，需要将初值问题转化为一个定解问题，通过迭代求解来确定解的行为。

（3）分离变量法：对于一些特殊的偏微分方程，我们可以使用分离变量法来求解，其中包括将解表示为两个或多个独立变量的乘积形式，然后逐个求解子问题。

总结起来，拉普拉斯算符的运算法则包括基本法则和定解问题法则。

基本法则是对于标量函数的运算法则，包括加法性、标量函数乘法法则、链式法则和乘积法则。

定解问题法则是在求解偏微分方程时的运算法则，包括边值定解问题法则、初始条件定解问题法则和分离变量法。

这些运算法则是求解偏微分方程和计算物理量的重要工具，对于理解和应用偏微分方程具有重要意义。

第6章 拉普拉斯方程的格林函数法在第4、5两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法.本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法.先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式.6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法在第3章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程22222220.u u uu x y z∂∂∂∇≡++=∂∂∂作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件.至于边界条件，如第一章所述有三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题.（1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ (或记作Ω)上连续，在Ω内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即.u f Γ= (6.1)第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题，或简称狄氏问题.4.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题.拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知.（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在Ω+Γ上连续，在Γ上任一点处法向导数un∂∂存在，并且等于已知函数f 在该点的值： .uf n Γ∂=∂ （6.2） 这里n 是Γ的外法向矢量.第二边值值问题也称牛曼（Neumann ）问题.以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解.这样的问题称为内问题.在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法.例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件,u f Γ=这里Γ是Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布，象这样的定解解问题称为拉普拉斯方程的外问题.由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于在电学上总是假定在无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加一个条件*）lim (,,)0(r u x y z r →∞==（6.3）（3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ的外部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，当点(,,)x y z 趋于无穷远时，(,,)u x y z 满足条件(6.3)，并且它在边界Γ上取所给的函数值.u f Γ= （6.4）（4）牛曼外问题 在光滑的闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它的闭曲面Γ的外面部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，在无穷远处满足条件(6.3)，而且它在Γ上任一点的法向导数'un ∂∂存在，并满足 ,'uf n Γ∂=∂ （6.5） 这里n '是边界曲面Γ的内法向矢量.下面我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题.6．2 格林公式为了建立拉普拉斯方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则线面积分中奥-高公式的直接推论.设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 是在Ω+Γ上连续的，在Ω内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立如下的奥-高公式*）从数学角度讲，补充了这个条件就能保证外问题的解是唯一的，如果不具有这个条件，外问题的解可能不唯一.例如，在单位圆Γ外求调和函数，在边界上满足1=Γu.容易看出，及1),,(1≡z y x u22221),,(zy x z y x u ++=都在单位圆外满足拉普拉斯方程，并且在单位圆Γ上满足上述边界条件.P Q R d x y z Ω⎛⎫∂∂∂++Ω ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ [cos(,)cos(,)cos(,)],P n x Q n y R n z dS Γ=++⎰⎰ (6.6)其中d Ω是体积元素，n 是Γ的外法向矢量，dS 是Γ上的面积元素.下面来推导公式(6.6)的两个推论.设函数(,,)u x y z 和(,,)v x y z 在Ω+Γ上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的二阶偏导数.在(6.6)中令,,,v v v P uQ u R u x y z∂∂∂===∂∂∂ 则有2()u v u v u v u v d d x x y y z z ΩΩ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇Ω+++Ω ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ,vudS nΓ∂=∂⎰⎰ 或2().vu v d u dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.7） (6.7)式称为第一格林(Green)公式.在公式(6.7)中交换,u v 位置，则得2().uv u d v dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.8） 将(6.7)与(6.8)式相减得到22().v u u v v u d u v dS n n ΩΓ∂∂⎛⎫∇-∇Ω=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （6.9） (6.9)式称为第二格林公式.利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质. (i)调和函数的积分表达式所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其在区域边界Γ上的法向导数沿Γ的积分来表达调和函数在Ω内任一点的值.设0000(,,)M x y z 是Ω内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值，为此，构造一个函数1v r == （6.10）函数1r除点0M 外处处满足拉普拉斯方程，这函数在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用，通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解.由于1v r=在Ω内有奇异点0M ,我们作一个以0M 为中心，以充分小的正数ε为半径的球面,εΓ在Ω内挖去,εΓ所包围的球域K ε得到区域K εΩ-（图6-1），在K εΩ-内1v r=是连续可微的.在公式(4.9)中取u 为调和函数，而图6-1取1v r=，并以K εΩ-代替该公式中的Ω，得 221111(),K u r u u d u dS r r n r n εεΩ-Γ+Γ⎡⎤⎛⎫∂ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎢⎥∇-∇Ω=-∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ （6.11） 因为在K εΩ-内2210,0.u r∇=∇=而在球面εΓ上221111,r r n r r ε⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-==∂∂ 因此22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰其中u 是函数u 在球面εΓ上的平均值.同理可得22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰ 此外u n ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭是un ∂∂在球面εΓ上的平均值，将此两式代入(6.11)可得 11440.u u u dS u n r r n n εππεΓ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 现在令0,ε→由于00lim ()u u M ε→=（因为(,,)u x y z 是连续函数），0lim 40u n επε→⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭（因为(,,)u x y z 是一阶连续可微的，故un∂∂有界）则得 000111()()(),4MM MM u M u M u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂⎢⎥=--⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰ (6.12)此外为明确起见，我们将r =记成0MM r .(6.12)说明，对于在Ω+Γ上有连续一阶偏导数的调和函数u ，它在区域Ω内任一点0M 的值，可通过积分表达式(6.12)用这个函数在区域边界Γ上的值及其在Γ上的法向导数来表示*）.(ii)牛曼内问题有解的必要条件设u 是在以Γ为边界的区域Ω内的调和函数，在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取u 为所给的调和函数，取1v =，就得到0udS nΓ∂=∂⎰⎰(6.13) 由(6.13)可得牛曼内问题u f nΓ⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭有解的必要条件为函数f 满足*）上面的推导是假定点),,(0000z y x M 在区域Ω内，如果0M 在Ω外或0M 在边界Γ上，我们也可用同样方法推得另外两个式子，把它们合并在一起可得⎰⎰Γ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΓΩ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-。

分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的拉普拉斯方程的边值问题33 隋沆锐34 程文博29袁盼盼分离变量法又称fourier 级数法，是求解数学物理定解问题问题的一种最普遍最基本的方法之一。

从数学的角度来说，其基本的思想是降低自变量的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。

● 分离变量法的主要步骤：（1） 根据区域边界的形状，适当选择坐标系。

选取的原则是使坐标面与边界面一致，这样可使边界条件简化，即使在该坐标系中边界条件的表达式最为简单。

（2） 将满足齐次偏微分方程和齐次边界的解通过变量分离，使其转化为常微分方程的定解问题。

（3） 确定特征指和特征函数。

当边界条件是齐次时，求特征值和对应的特征函数就是求一个满足常微分方程和零边界条件的非零解。

（4） 定出特征值和特征函数后，再求其他常微分方程的解，然后把该解与特征函数相乘，得到变量分离的特解。

（5） 为了得到原定解问题的解，将所有变量分离的特解叠加成级数，成为形式解，其中任意常数有其他条件确定。

（6） 为了使形式解成为古典解，必须对定解条件附加适当的光滑性要求和相容性要求，以保证微分运算得以进行，并使微分后的级数任然是收敛的。

● 用分离变量法解拉普拉斯方程的边值问题常用的结论和规律： 1.设)(),...,('),(x f x f x f n 在区间【0，L 】上连续，)0(1+m f在【0，L 】上分段连续，,22....2,0,0)()0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡===m n L f f n n其中【x 】表示不超过x 的最大整数。

那么，如果函数f （x ）在区间【0，L 】上可以张开傅里叶正弦级数)1(],,0[,sin~)(1L x Lxn b x f n n ∈∑∞=π 则级数∑∞=1||n n mb n是收敛的。

类似的，如果)(x f 在],0[L 上可以展开成傅里叶余弦级数)2(],,0[,cos 2~)(10L x Lx n a a x f n n ∈+∑∞=π则级数||1n n m a n ∑∞=是收敛的。

拉普拉斯变换求解微分方程典型范例Laplace 变换在微分方程(组)求解范例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞-⎰对s 的某一取值范围是收敛的.则称()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中α和β是常数.性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或更一般地，有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰或一般地有()()()()()()011nnn n st n F s t e f t dt L t f t +∞-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰.主要结论及推导对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰（*）即()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦再对（*）式求导，可得()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦在一般情况下，对于任一正整数n ，有()()()1nnnn dL f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦即()()()1nnnn d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()()1n nnmmn d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1）对性质3及（1）式，可得()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦ ()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦()()()dX s dL tx t L x t ds ds=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d dL tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()20d s X s sx ds⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程例1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s+++=由此得()32331s s s X s s+++=把上式右端分解成分式()()()2311111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为()()2211112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++例2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得()()2232271ss Y s s s -+=+-+ 于是()()()2217255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t tt y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为()217433t t t y t e e e ---=+-2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题()()2400,01dxx y dt dyx y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩的解.解设()()()0stX s L x t e x t dt+∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0stY s L y t e y t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰对方程组取Laplace 变换，得到()()()()()()()()02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即()()()()()()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有()()()()()22213211333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为()()333tt tx t tey t e te⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦对微分方程组取Laplace 变换得()()()()()()()()()20020000s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得()()()()()21210s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为()()sin cos x t ty t t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、 利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求22200||3y x u x y x y u x u y ==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩()0,x y <<+∞的定解.解 首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦则有0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，0032!||y y L u u s==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|y dus y dys u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩以求得其解为()24312,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为()322,36x y u x y y x =++例6 求方程()()0,0,00x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.解 对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有()(),1,du x s s u x s dx x s+=求解得()()()1,1sxu x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有()()()()111111111,,1111tx u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4、 利用Laplace 变换求解变系数的微分方程例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.解 对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦结合初始条件()00y =，化简有()()()()221410ss Y s s Y s '++++=解得()()41cY s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有()()13ty t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦即()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦亦即()()()()()()200200d ds X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得()()211d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f t e dt+∞-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，可知()()()dX s L t x t ds-=⎡⎤⎣⎦ 所以有()()211L t x t s -=⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦即得原变系数方程的解为()sin t=x tt。

矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解在数学领域，边值问题是一种常见的数学模型，常常用于描述自然界中的各种现象。

拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，描述了平面上的电势、温度分布等问题。

而矩形区域上的拉普拉斯方程边值问题是一个经典的数学问题，其解法对于理解数学模型在实际问题中的应用具有重要意义。

本文将介绍矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解，探讨其数学原理、求解方法及实际应用。

一、问题描述考虑一个边长分别为a和b的矩形区域，其上的拉普拉斯方程为△u = 0, (x, y) ∈ R,其中，△为拉普拉斯算子，u(x, y)为矩形区域上的电势或温度场分布。

边值问题的边界条件通常包括三种类型：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。

在矩形区域上，常见的边界条件包括固定势边界条件和导数边界条件。

我们以固定势边界条件为例，即在矩形的四边上给定电势值：u(x, 0) = f1(x), 0 ≤ x ≤ a,u(x, b) = f2(x), 0 ≤ x ≤ a,u(0, y) = g1(y), 0 ≤ y ≤ b,u(a, y) = g2(y), 0 ≤ y ≤ b.其中，f1(x)、f2(x)、g1(y)、g2(y)均为已知函数。

二、数学原理矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解可以通过分离变量法来求解。

分离变量法的基本思想是将多元函数表示为各个自变量的单独函数的乘积，然后将原方程化为各个单变量函数的微分方程，并利用初值条件和边界条件来确定各个单变量函数的解。

设u(x, y) = X(x)Y(y)，代入拉普拉斯方程得到X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0.由于等式左侧为x的函数加上y的函数，而右侧为一个常数，所以等式两侧必须都等于这个常数。

不失一般性，我们设等式两侧都等于-λ，得到两个常微分方程X''(x) + λX(x) = 0, Y''(y) - λY(y) = 0.解出上述两个常微分方程的特征方程，我们得到一系列特征值λ和对应的特征函数Xn(x)和Ym(y)。

拉普拉斯方程（2009-10-21）平面直角坐标系下拉普拉斯算子为2222yx ∂∂+∂∂=∆例1．用分离变量法求解拉普拉斯方程边值问题⎪⎩⎪⎨⎧====<<=+)sin(),1(0)1,()0,(),0(1,0,0y y u x u x u y u y x u u yy xx π 问题分析：分离变量法需要构造一个固有值问题，并利用固有函数系构造付里叶级数表达式成为边值问题的解。

由于微分方程是齐次方程，求解区域是平面正方形区域，将边边条件分为两组，即X 方向边界条件u (0，y ) = 0，u (1，y ) = sin( y )和Y 方向边界条件u (x ，0) = 0，u (x ，1) = 0由于Y 方向边界条件为零边界条件，用分离变量法可构造关于自变量为y 的一元函数的固有值问题。

求解可得固有函数系。

解：令u (x ，y )=X (x )·Y (y )，代入拉普拉斯方程，分离变量得λ=''-=''YY X X 得两个常微分方程：0=-''X X λ，0=+''Y Y λ由边界条件可得，Y (0)=0，Y (1)=0，与第二个方程联立，得固有值问题⎩⎨⎧==∈=+''0)1(,0)0()1,0(,0)()(Y Y y y Y y Y λ 求解，得固有值和固有函数22πλn =，)sin()(y n y Y n π=，( n = 1，2，……)将固有值代入第一个方程中并求解，得)ex p()ex p()(x n B x n A x X n n n ππ-+= ( n = 1，2，……)从而有基本解)sin()]ex p()ex p([),(y n x n B x n A y x u n n n πππ-+=所以有级数形式解∑∞=-+=1)sin()]ex p()ex p([),(n n n y n x n B x n A y x u πππ利用边界条件 u (0，y )=0，u (1，y )= sin y 得0)sin()(1=+∑∞=n n ny n B Aπy y n eB e A n n nn nππππsin )sin()(1=+∑∞=-由此得A n =B n =0 ( n ≠1)A 1 +B 1 = 0，A 1 e +B 1 e -=1yxO 1解得πsinh 11=-=B A所以边值问题的解如下)sin()sin()sinh(),(y x y x u πππ=二元函数表现为曲面，其图形如所示。