常见的五种幂函数

第4讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x 是自变量,α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 12,y ＝x －1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增； ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)图象定义域 (－∞,＋∞)(－∞,＋∞)值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点．( ) (3)当n<0时,幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈[a,b]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a<0,b>1,0<c<1,故a<c<b. 答案：a<c<b2．(必修1P39B 组T1改编)函数g(x)＝x 2－2x(x∈[0,3])的值域为________．解析：由g(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1,x ∈[0,3],得g(x) 在[0,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数． 所以g(x)min ＝g(1)＝－1,而g(0)＝0,g(3)＝3. 所以g(x)的值域为[－1,3]． 答案：[－1,3] [易错纠偏](1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)幂函数的图象掌握不到位．1．如图,若a<0,b>0,则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知,图象过点(0,0),故④不正确．又a<0,b>0,所以二次函数图象的对称为x ＝－b2a>0,故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数,则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0－12m ≤3,即m≤－16.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－16 3．当x∈(0,1)时,函数y ＝x m的图象在直线y ＝x 的上方,则m 的取值范围是________． 答案：(－∞,1)幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y ＝f(x)的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a)12,则实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α, 因为幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2), 所以2＝4α,解得α＝12.所以y ＝x,其定义域为[0,＋∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y ＝x 的上方,对照选项,故选C.(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞),在定义域内为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a<23.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y ＝x α(α∈R)的奇偶性时,当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0,＋∞)上单调递增,则α>0,若在(0,＋∞)上单调递减,则α<0.1．已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,并且f(x)在第一象限是单调递减函数,则m ＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m 2－2m －3为偶数,所以m 2－2m 为奇数,又m 2－2m<0,故m ＝1. 答案：12．当0<x<1时,f(x)＝x 1.1,g(x)＝x 0.9,h(x)＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知h(x)>g(x)>f(x)．答案：h(x)>g(x)>f(x)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1), 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12. 所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8,所以n ＝8,所以f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f(2)＝－1,所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1,解得a ＝－4,所以f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2,x 2＝－1, 故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1), 即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8,即4a （－2a －1）－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去),所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下：1．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a,b ∈R)是偶函数,且它的值域为(－∞,4],则该函数的解析式f(x)＝________．解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y 轴对称,所以－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a b ,即b ＝－2,所以f(x)＝－2x2＋2a 2,又f(x)的值域为(－∞,4],所以2a 2＝4,故f(x)＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R ,都有f(2－x)＝f(2＋x),求f(x)的解析式．解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R 恒成立, 所以f(x)的对称轴为x ＝2.又因为f(x)的图象被x 轴截得的线段长为2, 所以f(x)＝0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x －1)(x －3)(a≠0), 又f(x)的图象过点(4,3), 所以3a ＝3,a ＝1, 所以所求f(x)的解析式为 f(x)＝(x －1)(x －3), 即f(x)＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查,多与其他知识结合,且常以选择题形式出现,属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题； (3)二次函数的最值问题． 角度一 二次函数图象的识别问题已知abc>0,则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项,因为a<0,－b2a<0,所以b<0. 又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故A 错． B 项,因为a<0,－b2a>0,所以b>0.又因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c>0,故B 错． C 项,因为a>0,－b2a <0,所以b>0.又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故C 错．D 项,因为a>0,－b2a >0,所以b<0,因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c<0,故选D. 【答案】 D角度二 二次函数的单调性问题函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1,＋∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当a ＝0时,f(x)＝－3x ＋1在[－1,＋∞)上递减,满足条件． 当a≠0时,f(x)的对称轴为x ＝3－a2a,由f(x)在[－1,＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a<03－a 2a ≤－1，解得－3≤a<0.综上,a 的取值范围为[－3,0]． 【答案】 [－3,0](变条件)若函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1,＋∞),则a 为何值？解：因为函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1,＋∞),所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a －3－2a ＝－1,解得a ＝－3.角度三 二次函数的最值问题已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1,x ∈[－1,2]． (1)若a ＝1,求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a),求g(a)的解析式以及g(a)的最大值． 【解】 (1)当a ＝1时,f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,x ∈[－1,2], 则当x ＝1时,f(x)的最小值为0,x ＝－1时,f(x)的最大值为4. (2)f(x)＝(x －a)2＋1－a 2,x ∈[－1,2], 当a<－1时,f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a, 当－1≤a≤2时,f(x)的最小值为f(a)＝1－a 2, 当a>2时,f(x)的最小值为f(2)＝5－4a, 则g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ，a<－1，1－a 2，－1≤a≤2，5－4a ，a>2，可知,g(a)在(－∞,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减,g(a)的最大值为g(0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点,函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手,能准确地判断出二次函数的图象．反之,也可以从图象中得到如上信息． (2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动,区间固定；③对称轴定,区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③,通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．若函数f(x)＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M,最小值是m,则M －m( ) A ．与a 有关,且与b 有关 B ．与a 有关,但与b 无关 C ．与a 无关,且与b 无关 D ．与a 无关,但与b 有关解析：选 B.f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b,①当0≤－a 2≤1时,f(x)min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b,f(x)max ＝M ＝max{f(0),f(1)}＝max{b,1＋a ＋b},所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关,与b 无关；②当－a2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,所以M －m ＝f(1)－f(0)＝1＋a 与a 有关,与b 无关；③当－a2>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,所以M －m ＝f(0)－f(1)＝－1－a 与a 有关,与b 无关．综上所述,M －m 与a 有关,但与b 无关,故选B.2．若函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t,在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2,使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立,则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0,所以二次函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2, 使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立, 只需t ＝－10a时f(t ＋1)－f(t)≥8,即a(t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8, 即2at ＋a ＋20≥8,将t ＝－10a代入得a≥8. 所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a,b ∈R)．(1)当a ＝－6时,函数f(x)的定义域和值域都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2,求b 的值； (2)当a ＝－1时在区间[－1,1]上,y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方,试确定实数b 的范围．【解】 (1)当a ＝－6时,函数f(x)＝x 2－6x ＋b,函数对称轴为x ＝3,故函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间(3,＋∞)上单调递增．①当2<b≤6时,f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2上单调递减；故有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝1,无解；②当6<b≤10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2,故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2f （3）＝1,解得b ＝10； ③当b>10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)<f(b 2),故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝b 2f （3）＝1,无解．所以b 的值为10.(2)当a ＝－1时,f(x)＝x 2－x ＋b,由题意可知x 2－x ＋b>2x ＋2b －1对x∈[－1,1]恒成立, 化简得b<x 2－3x ＋1,令g(x)＝x 2－3x ＋1,x ∈[－1,1],图象开口向上,对称轴为x ＝32,在区间[－1,1]上单调递减,则g(x)min＝－1,故b<－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体．因此,解决此类问题首先采用转化思想,把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a ≥f(x)max ,a ≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时,要分类讨论．1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a<0,(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立,则b －a 的最大值为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选A.因为(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立, 所以3x 2＋a≥0,2x ＋b≥0或3x 2＋a≤0,2x ＋b≤0,①若2x ＋b≥0在(a,b)上恒成立,则2a ＋b≥0,即b≥－2a>0,此时当x ＝0时,3x 2＋a ＝a≥0不成立, ②若2x ＋b≤0在(a,b)上恒成立,则2b ＋b≤0,即b≤0,若3x 2＋a≤0在(a,b)上恒成立,则3a 2＋a≤0,即－13≤a ≤0,故b －a 的最大值为13.2．已知函数f(x)＝x 2－x ＋1,在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x ＋m 恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：f(x)>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m,即x 2－3x ＋1－m>0, 令g(x)＝x 2－3x ＋1－m,要使g(x)＝x 2－3x ＋1－m>0在[－1,1]上恒成立,只需使函数g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． 因为g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减, 所以g(x)min ＝g(1)＝－m －1. 由－m －1>0,得m<－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞,－1)． 答案：(－∞,－1)[基础题组练]1．已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：选C.因为函数f(x)＝k·x α是幂函数,所以k ＝1,又函数f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22,解得α＝12,则k ＋α＝32. 2．若幂函数f(x)＝x mn(m,n ∈N *,m,n 互质)的图象如图所示,则( )A ．m,n 是奇数,且mn <1B ．m 是偶数,n 是奇数,且mn >1C ．m 是偶数,n 是奇数,且mn <1D ．m 是奇数,n 是偶数,且mn>1解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数,且mn <1,排除B,D ；当m,n 是奇数时,幂函数f(x)非偶函数,排除A ；选C.3．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则以下结论中正确的是( ) A ．f(0)<f(－2)<f(5) B ．f(－2)<f(5)<f(0) C ．f(－2)<f(0)<f(5)D ．f(0)<f(5)<f(－2)解析：选A.若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f(x)的图象的开口方向向上,则函数f(x)在(1,＋∞)上为增函数,所以f(2)<f(4)<f(5),又f(0)＝f(2),f(－2)＝f(4),所以f(0)<f(－2)<f(5)．4．(2020·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f(x)满足f(x ＋1)＝2f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2－x,则当x∈[－2,－1]时,f(x)的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x∈[－2,－1]时,x ＋2∈[0,1],则f(x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2,又f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝2f(x ＋1)＝4f(x),所以当x∈[－2,－1]时,f(x)＝14(x 2＋3x ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－116,所以当x ＝－32时,f(x)取得最小值,且最小值为－116,故选A.5．若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,则a 的取值集合为( ) A ．[－3,3] B ．[－1,3] C ．{－3,3}D ．{－1,－3,3}解析：选C.因为函数f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,对称轴为x ＝1,因为在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,所以当1≤a 时,y min ＝f(a)＝(a －1)2＝4,a ＝－1(舍去)或a ＝3,当a ＋2≤1时,即a≤－1,y min ＝f(a ＋2)＝(a ＋1)2＝4,a ＝1(舍去)或a ＝－3,当a<1<a ＋2,即－1<a<1时,y min ＝f(1)＝0≠4,故a 的取值集合为{－3,3}．6．(2020·温州高三月考)已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0),g(x)＝f(f(x)),若g(x)的值域为[2,＋∞),f(x)的值域为[k,＋∞),则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.设t ＝f(x),由题意可得g(x)＝f(t)＝at 2＋bt ＋c,t ≥k,函数y ＝at 2＋bt ＋c,t ≥k 的图象为y ＝f(x)的图象的部分,即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集, 即[2,＋∞)⊆[k,＋∞), 可得k≤2,即有k 的最大值为2. 故选C.7．已知幂函数f(x)＝x －12,若f(a ＋1)<f(10－2a),则实数a 的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x －12＝1x (x>0),易知x∈(0,＋∞)时为减函数,又f(a ＋1)<f(10－2a),所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a>0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a>－1，a<5，a>3，所以3<a<5. 答案：(3,5)8．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R,值域为[1,＋∞),则a 的值为________． 解析：由于函数f(x)的值域为[1,＋∞),所以f(x)min ＝1.又f(x)＝(x －a)2－a 2＋2a ＋4,当x∈R 时,f(x)min ＝f(a)＝－a 2＋2a ＋4＝1,即a 2－2a －3＝0,解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或39．(2020·杭州四中第一次月考)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋1,若存在x 0使|f(x 0)|≤14,|f(x 0＋1)|≤14同时成立,则实数a 的取值范围为________．解析：由f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24,考察g(x)＝x 2＋h,当h ＝0时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1≤14同时成立；当h ＝－12时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,|g(－12＋1)|≤14同时成立．所以－12≤h ≤0,即－12≤4－a 24≤0,解得－6≤a ≤－2或2≤a≤ 6.答案：[－6,－2]∪[2,6]10．设函数f(x)＝x 2－1,对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意,得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立,即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时,函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53,所以1m 2－4m 2≤－53,即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0,解得m≤－32或m≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 11．已知幂函数f(x)＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)－ax －3在[1,3]上不是单调函数,求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意m 2－5m ＋7＝1,解得m ＝2或m ＝3, 若m ＝2,与f(x)是偶函数矛盾,舍去, 所以m ＝3,所以f(x)＝x 2.(2)g(x)＝f(x)－ax －3＝x 2－ax －3,g(x)的对称轴是x ＝a 2,若g(x)在[1,3]上不是单调函数, 则1<a2<3,解得2<a<6.12．(2020·台州市教学质量调研)已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若m ＜3,求函数f(x)在区间[m,3]上的值域．解：(1)因为函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称, 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1,解得b ＝－2,c ＝0,所以f(x)＝x 2－2x.(2)当1≤m＜3时,f(x)min ＝f(m)＝m 2－2m, f(x)max ＝f(3)＝9－6＝3, 所以f(x)的值域为[m 2－2m,3]；当－1≤m＜1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(－1)＝1＋2＝3,所以f(x)的值域为[－1,3]．当m ＜－1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(m)＝m 2－2m,所以f(x)的值域为[－1,m 2－2m]．[综合题组练]1．(2020·台州质检)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A(－3,0),对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a－b ＝1；③a－b ＋c ＝0；④5a<b.其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,①正确；对称轴为x ＝－1,即－b2a ＝－1,2a －b ＝0,②错误；结合图象,当x ＝－1时,y>0,即a －b ＋c>0,③错误；由对称轴为x ＝－1知,b ＝2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确．故选B.2．(2020·温州市十校联考)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选B.因为当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2),所以当0≤x≤a 2时,f(x)＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2＜x ＜2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x≥2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上,函数f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R 上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则需满足2a 2－(－4a 2)≤1,解得－66≤a ≤66. 3．已知函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值为M(a,b ∈R,c ＞0为常数)且存在实数a,b,使得M 取最小值2,则a ＋b ＋c ＝________．解析：函数y ＝x 2＋ax ＋b 是二次函数,所以函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值M 在端点处或x ＝－a 2处取得．若在x ＝0处取得,则b ＝±2, 若在x ＝－a 2处取得,则|b －a24|＝2,若在x ＝c 处取得,则|c 2＋ac ＋b|＝2. 若b ＝2,则|b －a 24|≤2,|c 2＋ac ＋b|≤2,解得a ＝0,c ＝0,符合要求,若b ＝－2,则顶点处的函数值的绝对值大于2,不成立． 可得a ＋b ＋c ＝2.故答案为2. 答案：24．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知f(x)＝34x 2－3x ＋4,若f(x)的定义域和值域都是[a,b],则a＋b ＝________．解析：因为f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1,所以x ＝2是函数的对称轴,根据对称轴进行分类讨论：①当b<2时,函数在区间[a,b]上递减,又因为值域也是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝bf （b ）＝a ,即⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b 34b 2－3b ＋4＝a,两式相减得34(a ＋b)(a －b)－3(a －b)＝b －a,又因为a≠b ,所以a ＋b ＝83,由34a 2－3a ＋4＝83－a,得3a 2－8a ＋163＝0,所以a ＝43,所以b ＝43,故舍去． ②当a<2≤b 时,得f(2)＝1＝a,又因为f(1)＝74<2,所以f(b)＝b,得34b 2－3b ＋4＝b,所以b ＝43(舍)或b＝4,所以a ＋b ＝5.③当a≥2时,函数在区间[a,b]上递增,又因为值域是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝af （b ）＝b ,即a,b 是方程34x 2－3x ＋4＝x 的两根,即a,b 是方程3x 2－16x ＋16＝0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝4,但a≥2,故应舍去．综上得a ＋b ＝5.答案：55．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0,b ∈R,c ∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0,且c ＝1,F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1,c ＝0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1,a －b ＋c ＝0,且－b2a ＝－1,解得a ＝1,b ＝2,所以f(x)＝(x ＋1)2.所以F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x 2＋bx,原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立, 即b≤1x －x 且b≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x∈(0,1]时,1x －x 的最小值为0,－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－x 2＋2bx ＋c,设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值为M.(1)若b ＝2,试求出M ；(2)若M≥k 对任意的b 、c 恒成立,试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时,f(x)＝－x 2＋4x ＋c 在区间[－1,1]上是增函数, 则M 是g(－1)和g(1)中较大的一个, 又g(－1)＝|－5＋c|,g(1)＝|3＋c|,则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c|，c ≤1|3＋c|，c>1.(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x －b)2＋b 2＋c|,(ⅰ)当|b|>1时,y ＝g(x)在区间[－1,1]上是单调函数, 则M ＝max{g(－1),g(1)},而g(－1)＝|－1－2b ＋c|,g(1)＝|－1＋2b ＋c|,则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4,可知M>2.(ⅱ)当|b|≤1时,函数y ＝g(x)的对称轴x ＝b 位于区间[－1,1]之内, 此时M ＝max{g(－1),g(1),g(b)}, 又g(b)＝|b 2＋c|,①当－1≤b≤0时,有f(1)≤f(－1)≤f(b),则M ＝max{g(b),g (1)}≥12(g(b)＋g(1))≥12|f(b)－f(1)|＝12(b －1)2≥12；②当0<b≤1时,有f(－1)≤f(1)≤f(b)．则M ＝max{g(b),g(－1)}≥12(g(b)＋g(－1))≥12|f(b)－f(－1)|＝12(b ＋1)2>12.综上可知,对任意的b 、c 都有M≥12.而当b ＝0,c ＝12时,g(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1,1]上的最大值M ＝12,故M≥k 对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12.。

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。

不同幂函数幂函数（Power Function）是数学中一类以幂次位参数（Power）决定函数值的函数。

下面我们先来了解一下几种常见的幂函数：1、平方函数：平方函数（square function）是指以平方为指数的函数。

它的一般式为：f(x)=x²，其图象如下：2、立方函数：立方函数（cube function）是指以立方为指数的函数。

它的一般式为：f(x)=x³，其图象如下：3、平方根函数：平方根函数（square root function）是指以平方根为指数的函数。

它的一般式为：f(x)=√x，其图象如下：4、立方根函数：立方根函数（cube root function）是指以立方根为指数的函数。

它的一般式为：f(x)=∛x，其图象如下：5、自然对数函数：自然对数函数（natural logarithm function）是指以自然对数为指数的函数。

它的一般式为：f(x)=lnx，其图象如下：6、指数函数：指数函数（exponential function）是指以指数为指数的函数。

它的一般式为：f(x)=ex，其图象如下：7、调和函数：调和函数（harmonic function）是指以n次调和为指数的函数。

它的一般式为：f(x)=h(x)，其图象如下：8、指数对数函数：指数对数函数（Exponential-logarithmic function）是指以指数对数为指数的函数。

它的一般式为：f(x)=exlnx，其图象如下：以上就是8种常见的幂函数，它们都有着示意图，可以帮助我们更好的理解这些函数。

幂函数在日常生活和学习中都有着重要的作用。

它可以用来解决很多实际的数学问题，同时也可以帮助我们掌握知识点有效性探究和解决实际问题。

幂函数的使用不仅仅限于解决数学问题，它也是软件开发中的重要手段，可以用来设计游戏、开发软件、分析统计数据等等。

总之，幂函数在随着计算机技术的发展以及越来越广泛的应用而发挥着重要作用。

幂函数1．五种常见幂函数的图象与性质R R R{x|x≥0}{x|x≠0}注意：幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________．答案：f(x)＝x 12(x≥0)2．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，则m＝( ) A．1 B．2 C．1或2 D．3解析：选A ∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.图像1．函数y＝x 13的图象是( )解析：选B 由幂函数y＝xα，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A、D，又其图象上凸，则排除C，故选B.2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )解析：选C 令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.1．给出下列命题：①函数y ＝2x 是幂函数； ②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数； 其中正确的是________(填序号)． 答案：②2．(2016·贵州适应性考试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．比较大小1．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.2．(2016·吉林东北二模)已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1，1,3}的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是( )A ．f (－2)>f (1)B ．f (－2)<f (1)C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1)解析：选B 由于幂函数f (x )＝x n 的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (1)．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故选C.10．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．(2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12.又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。

自主梳理1．幂函数的概念形如________的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质(1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点y ＝x R R 奇 Z (1,1)y ＝x 2 R [0，＋∞)偶 [0，＋∞)Z (－∞，0][y ＝x 3R R 奇 ZY ＝x 12[0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 [0，＋∞)Z Y ＝x －1(－∞，0) ∪(0，＋∞)(－∞，0) ∪(0，＋∞)奇(－∞，0)[(0，＋∞)[(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象． (3)α>0时，幂函数的图象通过点____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象______原点．1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4C.22D. 2 2．下列函数中，其定义域与值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 13D ．y ＝x 23．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)5．(2013·蚌埠二中调研)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．－b2aB ．－baC ．c D.4ac －b 24a6．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数D ．与m 有关 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图像关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________．8．(2012·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．9．(2012·无锡联考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．10．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．11．已知二次函数f(x)的图像过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；(3)求不等式f(x)≥0的解集．12．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f (x )的值域．1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12 C.34D ．12．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．3．(2012·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．答 案 课时跟踪检测(九)A 级1．选C 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝⎛⎭⎫4，12，代入解析式得：α＝－12， ∴f (2)＝2－12＝22.2．选D 对A ，定义域、值域均为[0，＋∞)；对B ，定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；对C ，定义域值域均为R ；对D ，定义域为R ，值域为[0，＋∞)．3．选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 4．选D 由已知可得二次函数图像关于直线x ＝1对称，又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．选C 由题意得：a ≠0，x 1＋x 22＝－b 2a ，x 1＋x 2＝－b a .得f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b 2a ＋c ＝c .6．选B 法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0.法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0. 7．①②⑤⑥8．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．解析：若m ＝0，显然－1<0恒成立， 若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ<0.∴－4<m <0.故所求范围为：－4<m≤0.答案：(－4,0]10．解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－12＋p＋32>0，2p即p2－2p－3<0.∴－1<p<3.又∵f(x)是偶函数且p∈Z，∴p＝1，故f(x)＝x2.11．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a＝2.即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.(2)f(x)＝2(x－1)2－8，当x∈[0,3]时，由二次函数图像知，f(x)min＝f(1)＝－8，f(x)max＝f(3)＝0.(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥3}．12．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图像如图，(3)由图像可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．B 级1．选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.。

基本初等函数——幂函数1．幂函数(1)定义：形如a y x =(a ∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，a 为常数．常见的五类幂函数为y x =，2y x =，3y x =，12y=x ，1y x －=.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，+∞)上都有定义；②当0a >时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增； ③当0a <时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：()2f x ax bx c ++=(0a ≠)． ②顶点式：()2()f x a x m n −+=(0a ≠)． ③零点式：()12()()f x a x x x x −−=(0a ≠)． (2)二次函数的图象和性质12y=x题型1 幂函数的图象与性质1.（2020春•沈河区校级月考）设1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【分析】先判断1b >，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小． 【解答】解：1124391416a ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14413b ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 3144281327c ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且89012716<<<，函数14y x =在(0，+∞)上是单调增函数，所以1144892716⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c <； 综上知，c a b <<． 故选：A ．2.（2019秋•杨浦区校级期末）幂函数()()()2231,mm f x a x a m −−=−∈N 为偶函数，且在(0，+∞)上是减函数，则a m += ．【分析】先利用幂函数的定义和单调性求出a 的值和m 的范围，再结合偶函数确定m 的值，即可求出结果．【解答】解：∵幂函数()()()2231,m m f x a x a m −−=−∈N ，在(0，+∞)上是减函数，∴11a −=，且2230m m −−<， ∴2a =，13m −<<， 又∵m ∈N ，∵0,1,2m =， 又∵幂函数()f x 为偶函数，∵1m =，∵3a m +=， 故答案为：3．3.已知幂函数223()(22)()nnf x n n x n −=+−∈Z 的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．3−B ．1C ．2D ．1或2【分析】本题考查幂函数的性质，根据幂函数的性质即可求解. 【解析】∵幂函数223()(22)nnf x n n x −=+−在(0，+∞)上是减函数，∴22221,30,n n n n ⎧+−=⎨−<⎩∴1n =，又1n =时，()2f x x －=的图象关于y 轴对称，故1n =.故选B.★幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是()a y x a ∈R =，其中只有一个参数a ，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2 )判断幂函数()a y x a ∈R =的奇偶性时，a 是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数a y x =在(0，+∞)上单调递增，则0a >，若在(0，+∞)上单调递减，则0a <. 题型2 二次函数的解析式1 .（2019秋•道里区校级月考）已知二次函数()()230f x ax bx a =++≠图象过点()3,0A −，对称轴为1x =．（1）求()y f x =的解析式；（2）若函数()y g x =满足()()21g x f x +=，求函数()y g x =的解析式．【分析】（1）根据条件即可得出933012a b b a−+=⎧⎪⎨−=⎪⎩，从而可解出12,55a b =−=，这样即可得出()212355f x x x =−++；（2）可根据题意得出()21221355g x x x +=−++，从而可设21x t +=，解出12t x −=，带入()21221355g x x x +=−++即可得出()2131120104g t t t =−++，t 换上x 即可得出()y g x =的解析式．【解答】解：（1）根据题意得，933012a b b a−+=⎧⎪⎨−=⎪⎩，解得1515a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴∴()212355f x x x =−++；（2）由题意得，()21221355g x x x +=−++，设21x t +=，则12t x −=，∴()()()22111311320520104g t t t t t =−−+−+=−++， ∴()2131120104g x x x =−++．2.(一题多解)已知二次函数()f x 满足()21f −=，()11f −－=，且()f x 的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解】 法一：(利用一般式)设()()20f x ax bx c a =++≠． 由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=⎪⎪−+=−⎨⎪−⎪=⎪⎩解得447.a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩所以所求二次函数的解析式为()2447f x x x −++=. 法二：(利用顶点式)设()2()()0f x a x m n a −+≠=． 因为()(2)1f f −=， 所以抛物线的对称轴为()21122x +−==. 所以1=2m .又根据题意函数有最大值8，所以8n =，所以21()82f x a x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭.因为f ()(2)1f f −=，所以2128=12a ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭，解得4a =−，所以221()=48=4472f x x x x ⎛⎫−−+−++ ⎪⎝⎭.法三：(利用零点式)由已知()10f x +=的两根为12x =，21x =−， 故可设()())1(12f x a x x +=−+， 即()221f x ax ax a =−−−. 又函数有最大值8，即()2421=84a a a a−−.解得4a =−或0a =(舍去)，所以所求函数的解析式为()2447f x x x −++=.3.（2019秋•贺州期中）已知一个二次函数()f x ，()04f =，()20f =，()40f =．求这个函数的解析式．【分析】先设出函数的表达式，再将函数值代入得到方程组，求出即可． 【解答】解：设()2f x ax bx c =++，∴44201640c a b v a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：124a b c ⎧=⎪⎪=−⎨⎪=⎪⎩，∴∴()21342f x x x =−+． ★求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：题型3 二次函数的图象与性质1.已知0abc >，则二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是( )AB【解析】 A 项，因为0a <，02ba−<，所以0b <. 又因为0abc >，所以0c >，而()00f c =<，故A 错． B 项，因为0a <，02ba−>，所以0b >. 又因为0abc >，所以0c <，而()00f c =>，故B 错． C 项，因为0a >，02ba−<，所以0b >.又因为0abc >， 所以0c >，而()00f c =<，故C 错． D 项，因为0a >，02ba−>，所以0b <，因为0abc >，所以0c <，而()00f c =<，故选D.2 .（2019秋•庐江县期末）函数223y x x =−+在闭区间[]0,m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是( )A ．(],2−∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[)1,+∞【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，欲使函数223y x x =−+在闭区间[]0,m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可． 【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示， 当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23f x x x =−+在闭区间[]0,m 上上有最大值3，最小值2， 则实数m 的取值范围是[]1,2． 故选：C ．CD3.（2019秋•吉安期末）函数()()22213f x x a x =−−++在区间[]2,3上是增函数，则a 的取值范围是( )A ．13,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C ．13,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】函数2()2(21)3f x x a x =−−++的对称轴214a x +=−，从而2134a +−≥，由此能求出a 的取值范围．【解答】解：函数()()22213f x x a x =−−++在区间[]2,3上是增函数，函数()()22213f x x a x =−−++的对称轴214a x +=−， ∴2134a +−≥， 解得132a −≤．∴a 的取值范围是13,2⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦．故选：A ．4.（2019秋•宜昌期末）函数221y x x =−−在闭区间[]0,3上的最大值与最小值的和是( )A ．1−B ．0C ．1D ．2【分析】函数221y x x =−−是一条以1x =为对称轴，开口向上的抛物线，在闭区间[]0,3上y先减后增，所以当1x =时，函数取最小值；当3x =时，函数取最大值，代入计算即可 【解答】解：()222112y x x x =−−=−− ∴当1x =时，函数取最小值2−， 当3x =时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选：B ．5.（2019秋•长春期末）已知函数()()22f x x x a x =++∈R ．（1）若函数()f x 的值域为[)0,+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（1）根据函数的值域可知0=△，解出a 即可；（2）利用分离参数法表示出22a x x >−−，求出22x x −−的取值范围即可． 【解答】解：（1）函数()()22f x x x a x =++∈R 的值域为[)0,+∞，∴22410a =−⨯⨯=△， ∴1a =．（2）∵()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立， ∴220x x a ++>对任意的[)1,x ∈+∞成立， ∴22a x x >−−对任意的[)1,x ∈+∞成立， 又当[)1,x ∈+∞时，()22max21213x x −−=−−⨯=−，∴3a >−．即所求实数的取值范围是()3,−+∞．★1.识别二次函数图象应学会“三看”★2.二次函数的单调性问题（1）对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．（2）利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．★3.二次函数的最值问题（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．（2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．★4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2 )两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：()a f x ≥恒成立()max a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立()min a f x ⇔≤.1.（2020春•本溪月考）已知幂函数()()()22421mm f x m x m −+=−∈R ，在()0,+∞上单调递增．设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c −=，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系是( )看函数选象上的一些特殊点，如函数选象与y 选的交点、与x 选的交点、函数选象的最高点或最低点等看选称选和最选。

特殊性（2）：幂函数的单调区间(0，0）和（1，1）（2）单调区间：当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能幂函数的单调区间（当a为分数时）说在定义域R内单调递减）；④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：①当a>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；②当a>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增；③当a<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；④当a<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；（3）当a>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<a<1时，幂函数图形上凸（横抛）。

当a<0时，图像为双曲线。

（4）在（0,1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。

（5）当a<0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（6）显然幂函数无界限。

（7）a=2n（n为整数）,该函数为偶函数{x|x≠0}。

[2]特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p／q ，且px，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q ／q 为既约分数（即p，q互质），q和p都是整数，则x p／q=q p是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则y=1／x k，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：a小于0时，x不等于0；a的分母为偶数时，x不小于0；a的分母为奇数时，x取R。

高考数学考点归纳之幂函数一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质二、常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．考点一幂函数的图象与性质[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 [解析] (1)设f (x )＝x α，将点(3，33)代入f (x )＝x α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x－2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.[答案] (1)C (2)B[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．[题组训练]1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x －4 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 函数y ＝x －4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x －1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 13为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0<p <1；当p ＝0时，函数为y ＝1(x ≠0)，符合题意；当p <0时，函数y ＝x p 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)考点二 比较幂值大小[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c[解析] 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . [答案] D[题组训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选B 因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫3525>c ＝⎝⎛⎭⎫2525，因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x是减函数，所以c ＝⎝⎛⎭⎫2525>b ＝⎝⎛⎭⎫2535，所以a >c >b . 2．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [课时跟踪检测]1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( ) A ．4 B.2 C ．22D ．1解析：选C 设f (x )＝x n ，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n ，n ＝12，所以f (x )＝x 12，f (8)＝812＝2 2.2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( ) A ．1 B ．2 C.12D ．－1解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选A 设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 24＝1x 2＋x 24≥21x 2·x 24＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1.5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>0，3m －m 2>0，m ∈Z ，解得m ＝2.6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <z <y B ．y <x <z C ．y <z <xD ．z <y <x解析：选A 由函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选D ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)；当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴2－k ≥1且4－k ≤4，解得0≤k ≤1.9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 解析：设f (x )＝x α，∵f (9)f (3)＝9α3α＝3α＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19α＝⎝⎛⎭⎫132α＝132α＝122＝14. 答案：1410．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________．解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.答案：311．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案：h (x )＞g (x )＞f (x )12．(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，幂函数f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>10－2a ，a ＋1>0，10－2a >0，解得3<a <5.答案：(3,5)13．已知幂函数f (x )＝x ()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2()21－＋m m ，即212＝2()21－＋m m .∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。