●数列练习一7.27考点阐释

考点27 数列的概念与简洁表示法1．（江苏省徐州市2024-2025学年高三考前模拟检测）已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，若对2n ∀≥，n N *∈，都有2112n n n T T T +-⋅=成立，且11a =，22a =，则数列{}n a 的前10项和为____．【答案】1023 【解析】因为2112n n n T T T +-⋅=，故112n n n n T T T T +-=即12n n a a +=（2n ≥），而212a a =， 所以{}n a 为等比数列，故12n n a ，所以()1010112102312S ⨯-==-，填1023.2．（江苏省南通市2025届高三模拟练习卷四模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【答案】3【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值， 所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --故答案为：33．（江苏省镇江市2025届高三考前模拟三模）在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a +=+_______.【答案】14【解析】14a ，42a ，7a 成等差数列 17444a a a ∴+=即：6311144a a q a q +=，解得：32q =243511108611911114a a a q a q a a a q a q q ++∴===++ 本题正确结果：144．（江苏省南通市2025届高三适应性考试）已知等差数列{}n a 满意44a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则3a 的全部值为________. 【答案】3，4 【解析】设等差数列{}n a 公差为d ，因为44a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，所以4122141344a a d a a a a =+=⎧⎨==⎩，即121134()4a d a d a +=⎧⎨+=⎩，解得0d =或1d =. 所以434a d a =-=或3. 故答案为3，45．（江苏省苏州市2025届高三高考模拟最终一卷）已知等比数列{}n a 满意112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝_______． 【答案】8 【解析】∵2434(1)a a a =- ∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 故答案为：86．（江苏省扬州中学2025届高三4月考试）各项均为正偶数的数列1234a a a a ,,,中，前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列.若4188a a -=,则q 的全部可能的值构成的集合为________. 【答案】5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 【解析】因为前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，4188a a -=，所以这四项可以设为1111,,2,88a a d a d a +++，其中1a d ,为正偶数，后三项依次成公比为q 的等比数列，所以有()()()2111288a d a d a +=++，整理得14(22)0388d d a d -=>-，得(22)(388)0d d --<，88223d <<，1a d ,为正偶数，所以24,26,28d = 当24d =时，1512,3a q ==；当26d =时，12085a =，不符合题意，舍去；当28d =时，18168,7a q ==，故q 的全部可能的值构成的集合为5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，.7．（江苏省扬州中学2025届高三4月考试）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______.【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t tλ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-. 8．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2025届高三第四次模拟考试）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对随意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______． 【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3， 由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+　，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对随意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，明显k ＝10. 故答案为：109．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2025届高三第三次调研考试）已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为____．【答案】14 【解析】 设等比数列的首项为，公比为由题可得：，解得：所以10．（江苏省苏锡常镇四市2025届高三教学状况调查二）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝_______．【答案】73【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a 由622a a =可得：4622a q a == 所以()()()()12134121228848111118711143111a q q S q q S q a q q q-----=====----- 11．（江苏省2025届高三其次学期联合调研测试）若无穷数列{}n a 满意：10a ≥，当*n N ∈，2n ≥时．1121max{,,...,}n n n a a a a a ---=（其中121max{,,...,}n a a a -表示1a ，2a ，…，1n a -中的最大项），有以下结论：①若数列{}n a 是常数列，则*0()n a n N =∈；②若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <； ③若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1>q ；④若存在正整数T ，对随意*n N ∈，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项． 则其中正确的结论是_____（写出全部正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】解：①若数列{}n a 是常数列，则1n n a a --＝max{1a ，2a ，…，1n a -}=0，所以0n a =（*N n ∈），①正确； ②若数列{}n a 是公差d ≠0的等差数列，则1n n a a --＝max{1a ，2a ，…，1n a -}=|d |，所以n a 有最大值，因此n a 不行能递增且d ≠0，所以d ＜0，②正确；③若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则10a >，且21a a -＝1a ＝1q 1a -，所以q 11-=，所以q 2=或q 0=，又因为q 0≠，所以q 2=,所以q ＞1，③正确；④若存在正整数T ，对随意*N n ∈，都有n T n a a +=，假设在12,T a a a ⋯中k a 最大，则12,n a a a ⋯中都是ka最大，则21a a -＝1a ，且21T T k a a a ++-=，即21a a -＝k a ，所以1k a a =，所以1a 是数列{}n a 的最大项，④正确. 故答案为：①②③④.12．（江苏省2025届高三其次学期联合调研测试）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1357910a a a a a ++++=，228236a a -=，则10S 的值为_____．【答案】552【解析】因为135795510a a a a a a ++++== 所以52a =又因为()()()22828282582236a a a a a a a a a -=+-=-=所以8269a a d -==所以32d =，1544a a d =-=- 所以10135540109222S =-+⨯⨯⨯=故答案为：55213．（江苏省苏州市2025届高三下学期阶段测试）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =1，且34115,,2a a a +成等比数列．若10p q -=，则p q a a -=_____. 【答案】15 【解析】设等差数列公差为d ，由题意知d ＞0，∵34115a ,a ,a 2+成等比数列， ∴（45a 2+）2＝311a a ，∴27(3d)2+=（1+2d ）（1+10d ），即44d 2﹣36d ﹣45＝0，解得d 32=或d 1522=-（舍去），∵p ﹣q ＝10，则a p ﹣a q ＝（p ﹣q ）d ＝103152⨯=． 故答案为：15．14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2115log 3n n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值.【答案】（1）32nn a =⨯（2）22922n n nT =-+；最大值为105. 【解析】解：（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，若1q =，有414S a =，212S a =，而4490236S S =≠=，故1q ≠，则()()()()21242211411811119011a q S q a q a q q S q q ⎧-⎪==-⎪⎨-+-⎪===⎪--⎩，解得162a q =⎧⎨=⎩.故数列{}n a 的通项公式为16232n nn a -=⨯=⨯. （2）由215log 215nn b n =-=-，则2(1415)29222n n n n n T +-==-+. 由二次函数22922x x y =-+的对称轴为292921222x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 故当14n =或15时n T 有最大值，其最大值为14151052⨯=. 15．（江苏省徐州市2024-2025学年高三考前模拟检测）在数列{}n a 中，10a =，且对随意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d .（1）若12d =，求23,a a 的值；（2）若2k d k =，证明22122,,k k k a a a ++成等比数列（k *∈N ）；（3）若对随意k *∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为k q ，设11q ≠，证明数列11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列.【答案】（1）22a =，34a =.（2）见证明；（3）见证明； 【解析】（1）因为对随意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列， 所以当1k =时，123,,a a a 成等差数列且公差为2，故12132d a a a a =-=-，故2112212,4a a d a a d =+==+=. （2）证明：由题设，可得21214k k a a k +--=，k *∈N .所以()()()2211121123231k k k k k a a a a a a a a --++--=++-+--… ()()4414121k k k k =+-++⨯=+…，由10a =得，212(1)k a k k +=+，从而222122k k a a k k +=-=，所以2222(1)k a k +=+.于是21222211k k k k a a k a a k++++==， 所以当2k d k =时，对随意的k *∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列. （3）由21221,,k k k a a a -+成等差数列，及22122,,k k k a a a ++成等比数列， 可得221212k k k a a a -+=+，所以212122112k k k k k k a a q a a q -+-=+=+， 当11q ≠时，可知1k q ≠，k *∈N ，从而11111111121k k k q q q --==+----，即1111(2)11k k k q q --=≥--， 所以数列11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列.16．（江苏省南通市2025届高三模拟练习卷四模）已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对随意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，且2S 6＜S 3． （1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d ，求1a d的取值范围； （2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），求a 1⋅q 的取值范围． 【答案】(1)1a d＜﹣3；（2）a 1⋅q ＞0 【解析】在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对随意的正整数m 、n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立， （1）设{a n }为等差数列，且公差为d ， 则：2ma 1+2(21)2m m -d+2na 1+2(21)2n n -d ＜2[（m+n ）a 1+()(1)2m n m n ++-d]，整理得：（m ﹣n ）2d ＜0，则d ＜0，由2S 6＞S 3，整理得：9a 1+27d ＞0， 则a 1＞﹣3d ，所以d ＜0，1a d＜﹣3； （2）设{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1）， 则()()()2m 2n m+n 111a 1q a 1q 2a 1q 1q1q1q---+<---，整理得1a 1q-（2q m+n ﹣q 2m ﹣q 2n ）＜0， 则：﹣1a 1q -（q m ﹣q n ）2＜0，所以1a 1q-＞0，由2S 6＞S 3，则：2q 6﹣q 3﹣1＜0解得：﹣12＜q 3＜1，由于q ＞0，所以：0＜q ＜1，则：a 1＞0．即有a 1⋅q ＞0． 17．（江苏省镇江市2025届高三考前模拟三模）对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-，1,2,3,k =，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a ，{}12min ,,,k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=且11a =，22a =，求全部满意该条件的{}n a .【答案】（1）(1)n n -；（2）详见解析；（3）12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥.【解析】（1）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n ∴=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=+-=-由通项公式可知{}n b 为等差数列{}n b ∴的前n 项和为：()2212n n n n -⨯=- （2）{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ ()11,2,3,n n b b n +∴≥=⋅⋅⋅，又1110b a a =-= {}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-= {}n b ∴的“收缩数列”仍是{}n b（3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅可得：当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <冲突； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得()32133a a a a -=- 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤冲突； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =.猜想：满意()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅的数列{}n a 是： 12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥阅历证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-=+⎡⎤⎣⎦ 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+ 下面证明其它数列都不满意（3）的题设条件 由上述3n ≤时的状况可知，3n ≤时，12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥是成立的假设k a 是首次不符合12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤==⋅⋅⋅=≠由题设条件可得()()2211112222k k k k k k k a a a b ----+=+（*）若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <冲突； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤冲突；所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠冲突. 所以不存在数列不满意12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件综上所述：12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥18．（江苏省南通市2025届高三适应性考试）定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列.（1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列. 【答案】（1）①12n n a ；②见解析；（2）见证明【解析】解：（1）①因为21n n S =-，所以当1n =时，11211a =-=， 当2n ≥时，1121n n S --=-，所以()()1121212nn n n a --=---=.综上可知：12n na .②假设从数列{}n a 中抽3项,,()k l m a a a k l m <<成等差， 则2l k m a a a =+，即1112222l k m ---⨯=+， 化简得：2212l k m k --⨯=+.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数， 所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以2212l k m k --⨯=+不成立. 因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列.若从数列{}n a 中抽(,4)m m N m ∈≥项，其前三项必成等差数列，不成立. 综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比. 设0n a b +=，则b Q +∈，故可设qb p=（p 与q 是互质的正整数）. 则需满意()()()2000n a k n a n a l ++=+++，即需满意2()()b k b b l +=+，则需满意2222k pk l k k b q=+=+. 取k q =，则2l k pq =+.此时222222()2q q q b q q q p p p ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，2222()22q q q q b b l q pq q p p pp ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.故此时2()()b k b b l +=+成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比， 所以数列{}n a 存在等比子数列.19．（江苏省苏州市2025届高三高考模拟最终一卷）已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =.（1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q ，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满意题意。

高中数列知识全面总结及练习高中数列是数学中的一个重要概念，数字的思维和计算能力离不开数列的理解。

在高中数学学习中，学习者要学到的知识有：一、数列的概念；二、数列的定义；三、数列的类别；四、数列的性质；五、前n项和；六、数列的通项公式；七、数列的变换公式；八、数列的特殊性质等。

一、数列的概念数列是一组有次序，并有一定规律的若干数字所组成的集合，每一个数都被称为数列的一个项。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

由于数列具有次序，所所以可以定义第一项，第二项，第三项……第n项的含义，n是正整数。

二、数列的定义数列也可以用等差、等比、加减运算或混合记法等表示为数列，读者可以用数学符号一一定义数学这样的数列：若把a1，a2，a3...an，看作一个数列，则称这个数列为：a1, a1 + d再, a1 + 2d再,a1 + 3d再，...，an，其中d叫做“公差”，上述的数列便称为“等差数列”。

若把a1，a2，a3......an看作一个数列，则称这个数列为：a1，ar1，ar2......ar(n-1)，an，三、数列的类别可以把数列划分为有限数列、无限数列和无穷数列：1.有限数列是指数列中项数是有限的数列；2.无限数列是指数列中项数是无限的数列；3.无穷数列是指数列中项数是不可能计算出来的，其中包括有限个项数，也包括无限数列。

四、数列的性质1.等差数列：其中任意两项的差值都相等；2.等比数列：其中任意两项的比值都相等；3.等差等比数列：即项的差值和比值都是相等的数列；4.混合等差等比数列：即项的差值或比值中有一样是相等的数列。

五、前n项和前n项和指的是数列的前n项的累加结果，对于等差数列和等比数列一般可以用公式表示：（1）若a1,a2,...,an为等差数列，则前 n 项和 S n = n(a1 + an)/2；六、数列的通项公式对等差数列或者等比数列而言，可以建立数列的通项公式，它是一般项a_n的函数。

高考数列的知识点总结数列作为高中数学中的重要内容，在高考中被广泛考察。

掌握数列的基本概念、性质和解题方法，对于考生来说是非常重要的。

本文将从数列的定义、常见数列类别和解题方法三个方面进行总结。

一、数列的定义与基本概念数列是一组按照一定规律排列的数的集合。

通常表示为{an}或者(an)，其中n表示项数，an表示第n项。

数列可分为有限数列和无限数列两种。

数列的通项公式是指根据数列的规律，将第n项的值用n的函数表示出来。

通项公式在解题中起到了至关重要的作用。

在求解通项公式时，可以通过观察数列的差值、比值等关系，运用数学归纳法、代数方法或递推关系式等进行推导。

二、常见数列类别1.等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值恒定的数列。

通常用a1表示首项，d表示公差，an表示第n项，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。

在解题中，需要掌握等差数列的性质和求和公式。

2.等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值恒定的数列。

通常用a1表示首项，q表示公比，an表示第n项，则等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。

在解题时，需要注意公比的绝对值必须小于1，以避免出现无穷大或无穷小的情况。

3.等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项既是等差数列又是等比数列的情况。

通过观察数列的特点，可以分别求得等差数列和等比数列的通项公式，然后结合起来求解。

解题时需要注意两个公式的条件以及合理运用。

4.斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项分别为1和1，之后的每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的通项公式为an=F(n)，其中F(n)表示第n项。

在解题时，可以通过递推关系式或矩阵的形式求解。

三、数列的解题方法1.求和求和是数列考察的重点之一。

对于等差数列，可以根据首项、末项和项数利用求和公式来求解；对于等比数列，则需要利用首项、公比和项数来求解。

同时，需要掌握求和时的一些常用技巧，如化简等。

高考数列数学必考知识点数列是高中数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。

在高考中，数列是必考的知识点之一。

下面将重点介绍高考数列数学必考的知识点，以帮助同学们更好地复习和备考。

一、数列的定义和性质数列是按照一定规律排列的一组数，一般表示为{an}，其中an表示数列的第n项。

数列有很多性质，包括等差数列、等比数列、通项公式等。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设数列an的公差为d，则有an = a1 + (n-1)d。

其中a1为首项，n为项数。

2. 等差数列的通项公式设等差数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。

3. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比都相等的数列。

设数列an的公比为q，则有an = a1 * q^(n-1)。

其中a1为首项，n为项数。

4. 等比数列的通项公式设等比数列的第一项为a1，公比为q，则等比数列的第n项可以表示为an = a1 * q^(n-1)。

二、数列的求和公式高考数列题目中常常涉及到数列的求和，下面介绍几种常见的数列求和公式。

1. 等差数列求和公式设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，则等差数列的和Sn可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。

2. 等比数列求和公式设等比数列的首项为a1，末项为an，公比为q，项数为n，则等比数列的和Sn可以表示为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

三、常见的数列题型高考中的数列题目形式多样，主要包括判断题型、选择题型和解答题型。

以下列举几个常见的数列题型。

1. 判断题型判断题型是要求判断给定的数列是否是等差数列或等比数列。

解决这类题目时，需要根据数列的定义和性质进行分析判断。

2. 选择题型选择题型是给出数列的前几项，要求选择数列的类型和下一项。

解答这类题目时，可以根据前几项的差或比的规律来确定数列的类型，并利用通项公式计算出下一项。

专题17 数列的概念及表示一、考纲要求:1.了解数列的概念和几种简洁的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特别函数． 二、概念驾驭及解题上的留意点：1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：1分式中分子、分母的特征. 2相邻项的改变特征.3拆项后改变的部分和不变的部分的特征. 4各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想.2.若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来.对于正负符号改变，可用－1n或－1n ＋1来调整，可代入验证归纳的正确性.3.已知S n 求a n 的三个步骤 1先利用a 1＝S 1求出a 1.2用n －1替换S n 中的n 得出S n －1，利用a n ＝S n －S n －1n ≥2便可求出当n ≥2时a n 的表达式. 3看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式，假如符合，则可以把数列的通项公式合写；假如不符合，则应写成分段函数的形式. 4.由数列的递推关系求通项公式的常用方法 （）已知a 1，且a n －a n －1＝f n ，可用“累加法”求a n .（）已知a 1a 1≠0，且a na n －1＝f n ，可用“累乘法”求a n . （）已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q a n ＋k其中k 可由待定系数法确定，可转化为{a n ＋k }为等比数列. 三、高考考题题例分析：例1.(2015广东卷节选)数列{}n a 满意()*1212242n n n a a na n N -+++=-∈， 求3a 的值； 【答案】14； 【解析】依题意()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭，∴ 314a =； 例2.(2015高考山东卷节选)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；答案】13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩例3.(2015高考新课标1节选)n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +. 求{n a }的通项公式； 【答案】21n +【解析】当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4na ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +；数列的概念及表示练习一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3 ( )A ．不是数列{a n }中的项B ．只是数列{a n }中的第2项C ．只是数列{a n }中的第6项D ．是数列{a n }中的第2项或第6项 【答案】D【解析】令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6， 故3是数列{a n }中的第2项或第6项．2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为 ( )A ．15B ．16C ．49D ．64 【答案】A【解析】当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－1na n －1(n ≥2)，则a 5等于 ( )A ．32B ．53 C.85 D ．23 【答案】D4．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是 ( )A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n 【答案】C【解析】依据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满意要求的是选项C ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝ ( )A ．31B ．42C ．37D ．47【答案】D【解析】∵a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，即S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，∴数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S 5＋1＝3×24，解得S 5＝47.故选D.6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形则第7个三角形数是 ( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30【答案】B【解析】由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.7．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是 ( )A ．2n －1B ．⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n【答案】D8．已知数列{a n }满意a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则该数列的前 2 019项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2019＝( )A ．13B ．－13C ．3D ．－3【答案】C【解析】由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a 1a 2a 3a 4＝1， ∴前2 019项的乘积为1504·a 1a 2a 3＝3.9.设数列{a n }满意a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )A ．215B ．225C ．235D ．245【答案】D10.已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数；1，n 为偶数；②a n ＝1＋－1n2；③a n ＝1＋cos n π2；④a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】A【解析】检验知①②③都是所给数列的通项公式．11.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝ ( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2【答案】A【解析】由S n ＝2a n －4可得S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．又a 1＝2a 1－4，a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A ．12．若数列{a n }满意：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B二、填空题13．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项．【答案】10 【解析】令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 14n －13，若a 4＝32，则a 1＝________.【答案】 【解析】∵S n ＝a 14n －13，a 4＝32，∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12. 15．已知数列{a n }满意a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________.【答案】2n 2－n ＋2【解析】由已知得，1a n ＋1－1a n＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝nn －12，a 1＝1，所以1a n＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2.16．在一个数列中，假如∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________. 【答案】28【解析】依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 三、解答题17. 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .【答案】(1) a n ＝4n －5.(2) a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.18.分别求出满意下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)． 【答案】(1) a n ＝n 3n ＋12(n ≥2)．(2) a n ＝n(3) a n ＝2·3n －1－1.【解析】 (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.19. (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，求a n . (2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，求a n . 【答案】(1) a n=3－1n；(2) a n ＝2n n －12【解析】(1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n . (2)由于a n ＋1a n＝2n， 故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n n －12，故a n ＝2n n －12.20．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． 【答案】(1)a n ＝2n(n ∈N *)(2)b n ＝3·2n21．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满意S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．【答案】(1) a 1＝1， a 2＝2， a 3＝3，a 4＝4. (2) a n ＝n .【解析】 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1， 公差为1的等差数列，故a n ＝n .22．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围. 【答案】(1) 最小值为a 2＝a 3＝－2. (2) (－3，＋∞)11。

1⎩⎨ 数列一、数列的概念（1） 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作 a n ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项），在第二个位置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 a n ； 数列的一般形式： a 1 ， a 2 ， a 3 ，……， a n ，……，简记作例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010 年各省参加高考的考生人数。

{a n } 。

（2） 通项公式的定义：如果数列{a n }的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…1 1 1 1 ②：1， ，， ， …2 3 4 5数列①的通项公式是 a n = 数列②的通项公式是 a n = 说明：n （ n ≤ 7， n ∈ N + ）， n（ n ∈ N + ）。

①{a n } 表示数列， a n 表示数列中的第 n 项， a n = f (n ) 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，a n = (-1)n ⎧-1, n = 2k -1=⎨+1, n = 2k (k ∈ Z ) ；③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3） 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N + （或它的有限子集）的函数 f (n ) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ……， f (n ) ，……．通常用 a n 来代替 f (n ) ，其图象是一群孤立点。

高考数列知识点归纳总结数列是数学中一种重要的概念，也是高中数学中的基础知识之一。

在高考中，数列知识点是非常重要的一部分，占据着相当大的分值比重。

因此，熟练掌握数列的相关知识点对于高考的成绩至关重要。

本文将对高考数列知识点进行归纳总结，帮助大家加深理解。

一、数列的概念及分类从字面上理解，数列就是由一系列数按照一定的顺序排列而成的。

根据数列的特点，我们可以将数列分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等不同类型。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

在高考中，计算等差数列的通项公式、求和公式和判断数列是否为等差数列是常见的考点。

2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

在高考中，计算等比数列的通项公式、求和公式、判断数列是否为等比数列以及求解等比数列中的参数等都是可能出现的考点。

3. 斐波那契数列斐波那契数列的特点是每一项（除了前两项）都是前两项的和。

这个数列在数学中有着广泛的应用，也是高考中的常见考点之一。

二、数列的基本性质除了掌握不同类型数列的特点之外，还需要对数列的一些基本性质有一定的了解。

1. 数列的递推关系递推关系是指数列中的每一项都能通过前一项或多项来表示的关系。

在高考中，通过递推关系来建立数列的通项公式是一个常见的考点。

2. 数列的通项公式数列的通项公式是表示数列中第 n 项与 n 的关系的公式。

高中数学的课程中会涉及到不同类型数列的通项公式的推导，并且在高考中也常常考察学生对通项公式的掌握程度。

3. 数列的求和公式求和公式是指计算数列中某一部分项之和的公式。

在高考中，我们常常需要用到等差数列和等比数列的求和公式，因此，熟练掌握这些公式对于解题非常重要。

三、数列的应用数列知识在高考中的应用非常广泛，不仅仅是为了考察学生对数列知识的理解，还可以结合实际问题进行应用。

1. 数列的几何意义等差数列和等比数列在几何上也有非常重要的意义。

例如，通过等差数列可以构造出一些具有等边的几何图形，通过等比数列可以构造出一些具有相似比例的几何图形。

高考数学专题数列知识点高考数学专题：数列知识点解析数列作为高中数学中非常重要的一个概念，在高考中占据着相当重要的地位。

数列的研究不仅能够帮助我们加深对数学的理解，还能够培养我们的逻辑思维能力和问题解决能力。

本文将为大家解析高考数学中数列相关的知识点，帮助大家更好地应对高考数学。

一、数列的概念和分类数列是按照一定规律排列的一列数的集合。

根据数列中项与项之间的关系，数列可以分为等差数列、等比数列和通项公式不明显的综合数列等。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差值都相等的数列，即 $a_{n+1} - a_n = d, n \in \mathbb{N}^*$。

在等差数列中，第一项为 $a_1$，公差为 $d$。

等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$。

2. 等比数列等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比都相等的数列，即$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = q, n \in \mathbb{N}^*$。

在等比数列中，第一项为 $a_1$，公比为 $q$。

等比数列的通项公式为 $a_n = a_1 \cdotq^{(n-1)}$。

3. 综合数列综合数列是指数列中的项与项之间的关系不是明显的等差或等比数列。

对于综合数列，我们需要找到两个不确定的参数，通过已知条件进行求解。

通常我们需要利用数列中的规律，列方程进行求解。

二、数列的性质和运算在数列的研究中，了解数列的性质和进行数列的运算也是非常重要的。

1. 数列的递推关系数列中项与项之间的关系被称为数列的递推关系。

对于等差数列和等比数列，其递推关系可以直接通过公式求得。

而对于综合数列，我们需要通过观察数列的规律，运用逻辑思维找到数列中项与项之间的关系。

2. 数列的和数列的和是指数列中所有项的和，也被称为数列的部分和。

对于等差数列，我们可以通过求和公式 $\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$来求得数列的部分和，其中$n$表示项数，$a_1$表示第一项，$a_n$表示第$n$项。

高考数列必考知识点总结数列是高中数学中的一个重要概念，也是高考考试中必考的知识点之一。

合理的掌握和应用数列的知识，不仅可以在高考中获得高分，还有助于培养我们的数学思维和解决实际问题的能力。

本文将从数列的基本概念、常见性质以及解题方法等方面进行总结，希望能够对同学们备考高考有所帮助。

1. 数列的基本概念数列可以简单地理解为按照一定规律排列的一组数。

其中，首项是数列中排在第一位的数字，通常用a1表示；公差是数列中相邻两项之间的差值，通常用d表示。

对于等差数列，我们还需要了解公差为常数的特点；对于等比数列，我们需要了解公比为常数的特点。

2. 数列的常见性质首先，数列的通项公式是数列中任意一项的表示式，通常用an表示。

对于等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d；对于等比数列，其通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)，其中q为公比。

其次，数列的前n项和是指数列中前n项的和，通常用Sn表示。

对于等差数列，其前n项和可以表示为Sn=(a1+an)*n/2；对于等比数列，其前n项和可以表示为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。

此外，数列中如果存在一项与它后面的项之和等于前一项的情况，称这样的数列为斐波那契数列。

斐波那契数列的特点是前两项的和等于第三项，通常表示为Fn=Fn-1+Fn-2。

斐波那契数列有许多有趣的性质和应用，在高考中经常出现。

3. 数列的解题方法在高考中，求解数列题主要有两种方法：直接法和递推法。

直接法是指通过数列的通项公式或前n项和公式，直接计算所要求的项或和。

这种方法适用于已知数列的公式，并且数据量较小的情况。

递推法是指通过列举出数列的前几项，利用数列的性质找出数列的规律，然后推算出所要求的项或和。

这种方法适用于已知数列的规律，但是无法直接用公式求解的情况。

除了以上两种方法外，还有一些特殊的解题技巧可以帮助我们更好地解决数列题。

例如，根据数列的对称性质，我们可以利用数列的前n 项和与后n项和之间的关系快速求解；根据数列的差分性质，我们可以通过计算前项与后项之间的差值，找出数列的规律等等。

数学数列题型知识点总结一、数列的定义和基本概念1. 数列的定义数列是由一系列按照一定规律依次排列的数字组成的序列。

数列中的每一个元素都有一个确定的位置，用自然数表示，这个位置称为该元素的序号或索引。

2. 数列中的相关名词（1）一般数列：按照某种规律排列的数据组成的序列称为一般数列。

（2）等差数列：如果一个数列中任意两个相邻的数之差都是同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。

（3）等比数列：如果一个数列中任意两个相邻的数之比都是同一个常数q，那么这个数列就是等比数列。

（4）递推关系式：数列中相邻两项之间的关系式称为递推关系式。

通过递推关系式可以求出数列中的任意一项。

（5）通项公式：能够通过数列的位置n和数列中前n项的关系来表达数列中任意一项的式子称为数列的通项公式。

二、等差数列1. 等差数列的性质（1）公式：an=a1+(n-1)d（2）前n项和：Sn=n*(a1+an)/2（3）通项公式：an=a1+(n-1)*d（4）任意三项的关系：an=a1+(n-1)d，an-1=a1+(n-2)d，an-2=a1+(n-3)d2. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有着广泛的应用，比如物理学、经济学、工程学等领域。

通过等差数列的概念和性质，我们可以方便地进行一些实际问题的分析和计算。

三、等比数列1. 等比数列的性质（1）公式：an=a1*q^(n-1)（2）前n项和：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)（3）通项公式：an=a1*q^(n-1)（4）任意三项的关系：an=a1*q^(n-1)，an-1=a1*q^(n-2)，an-2=a1*q^(n-3)2. 等比数列的应用等比数列在实际问题中同样有着广泛的应用，比如金融领域中的复利计算、生物领域中的生长规律、物理领域中的振动规律等。

通过等比数列的概念和性质，我们可以方便地进行一些实际问题的分析和计算。

四、数列的递推关系式1. 递推关系式的定义数列中相邻两项之间的关系式称为递推关系式。