高二年级文科数学函数试题

高中函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=2时的值为：A. 5B. 7C. 9D. 112. 函数y = |x|的图像是：A. 一条直线B. 一个V形C. 一个倒V形D. 一个S形3. 若f(x) = x^2 + 1，求f(-1)的值：A. 0B. 1C. 2D. 34. 函数y = 1/x的图像在第一象限和第三象限是：A. 正比例函数B. 反比例函数C. 一次函数D. 二次函数5. 函数y = log2(x)的定义域是：A. x > 0B. x < 0C. x ≥ 0D. x ≤ 06. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π7. 若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)的值：A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 2x + 1C. 3x^2 - 6xD. x^2 - 2x8. 函数y = cos(x)的图像在x = π/2时的值为：A. 1B. 0C. -1D. 不确定9. 若f(x) = 2^x，求f'(x)的值：A. 2^xB. ln(2) * 2^xC. 1D. 2^(x-1)10. 函数y = x^3的图像是：A. 关于原点对称B. 关于y轴对称C. 关于x轴对称D. 都不是答案：1. B2. B3. C4. B5. A6. B7. A8. B9. B10. A二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求f(3)的值。

答案：-112. 若函数g(x) = √x，求g(16)的值。

答案：413. 若函数h(x) = 2^x，求h(-1)的值。

答案：1/214. 函数y = 3x - 5的斜率是：答案：315. 若函数k(x) = log10(x) + 1，求k(100)的值。

导数专练答案一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3xlog 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln 2；③(e x)′＝e x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ln x ′＝x ；⑤(x ·e x )′＝e x ＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 ①(3x)′＝3xln 3；②(log 2x )′＝1x ln 2；③(e x)′＝e x；④⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ln x ′＝－1x(ln x )2＝－1x ·(ln x )2；⑤(x ·e x )′＝e x ＋x ·e x ＝e x(x ＋1)，故选B.2. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．(2012·辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．【答案】 B 5.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12是f(x)极大值点 B ．x=12是f(x)极小值点 C ．x=2是 f(x)极大值点 D ．x=2是 f(x)极小值点 【解析】()22212'x f x x x x-=-+=，令()'0f x =，则2x =． 当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的．所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ．6. 若函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为（ ）A ．2B ．4C ．18D ．207．（山东省烟台市2014届高三3月）函数f(x)=1nx-212x 的图像大致是( )【答案】函数的定义域为{0}x x >,函数的导数微微211'()x f x x x x -=-=,由21'()0x f x x -=>得, 01x <<,即增区间为(0,1).由21'()0x f x x-=<得,1x >,即减区间为(1,)+∞,所以当1x =时,函数取得极大值,且1(1)02f =-<,所以选B.8. （临沂市2014届高三5月）曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行,则点A 的坐标为(A)()11,e -- (B)()0,1 (C)()1,e (D)()0,2 【答案】B 直线30x y -+=的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为'x y e =,所以由'1x y e ==,解得0x =,此时01y e ==,即点A 的坐标为()0,1,选B.9、[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) 二、填空题11. .曲线sin x y x=在点(,0)M π处的切线方程为12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10，则f (2)等于____________.13．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是14．（山东省实验中学2014届高三第二次诊断）若函数a x x x f +-=3)(3有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是____________.【答案】(2,2)-【解析】由3()30f x x x a =-+=,得2'()33f x x =-,当2'()330f x x =-=,得1x =±,由图象可知(1)=2(1)=2f a f a -+-极大值极小值，,要使函数a x x x f +-=3)(3有三个不同的零点,则有(1)=20,(1)=20f a f a -+>-<极大值极小值,即22a -<<,所以实数a 的取值范围是(2,2)-.15．（山东省泰安市2014届高三上学期期末）已知函数()f x 的定义域为[]1,5-,部分对应值如下表,()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示若函数()y f x a =-有4个零点,则a 的取值范围为__________. 【答案】[1,2)【解析】由导数图象可知,当10x -<<或24x <<时,'()0f x >,函数递增.当02x <<或45x <<时,'()0f x <,函数递减.所以在2x =处,函数取得极小值.由()0y f x a =-=得()f x a =.由图象可知,要使函数()y f x a =-有4个零点,由图象可知12a ≤<,所以a 的取值范围为12a ≤<,即[1,2). 三、解答题16．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.17、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ； 解： (1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x .由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4＞0，即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0，所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .18．（【解析】山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学）已知函数()()12ln 2(0)f x a x ax a x=-++≤. (1)当0a =时,求()f x 的极值; (2)当0a <时,讨论()f x 的单调性;【答案】解:(1)当0a =时,()()22121212ln ,(0).x f x x f x x xxx x -'=+=-=> 由()2210x f x x -'=>,解得12x > ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,无极大值(2)()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--'=-+==>①当20a -<<时,()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数,在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数;②当2a =-时,()f x 在()0,+∞上是减函数;③当2a <-时,()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数,在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数19．（【解析】山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知2()1,f x x ax nx a R =+-∈.(1)若a=0时,求函数()y f x =在点(1,()f x )处的切线方程; (2)若函数()f x 在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围;(3)令2()(),g x f x x =-是否存在实数a,当(0,](x e e ∈是自然对数的底)时,函数()g x 的最小值是3,若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.20．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试文科数学 ）已知函数a f (x )ln x x=-.(I)若a >0,试判断f (x )在定义域内的单调性; (Ⅱ)若f (x )在[1,e]上的最小值为32,求a 的值; (III)若2f (x )x <在(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围 【答案】解 (I)由题意知f (x )的定义域为(0,+∞), 且f ′(x )=1x +a x 2=x ＋a x2∵a >0,∴f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上是单调递增函数(II)由(I)可知,f ′(x )=x ＋ax2.①若a ≥-1,则x +a ≥0,即f ′(x )≥0在[1,e]上恒成立, 此时f (x )在[1,e]上为增函数, ∴f (x )min =f (1)=-a =32,∴a =-32(舍去)②若a ≤-e,则x +a ≤0,即f ′(x )≤0在[1,e]上恒成立, 此时f (x )在[1,e]上为减函数, ∴f (x )min =f (e)=1-a e =32,∴a =-e2(舍去)③若-e<a <-1,令f ′(x )=0得x =-a ,当1<x <-a 时,f ′(x )<0,∴f (x )在(1,-a )上为减函数; 当-a <x <e 时,f ′(x )>0,∴f (x )在(-a ,e)上为增函数, ∴f (x )min =f (-a )=ln(-a )+1=32,∴a =-e .综上所述,a =-e(Ⅲ)∵f (x )<x 2,∴ln x -a x<x 2.又x >0,∴a >x ln x -x 3令g (x )=x ln x -x 3,h (x )=g ′(x )=1+ln x -3x 2, h ′(x )=1x -6x =1－6x 2x.∵x ∈(1,+∞)时,h ′(x )<0, ∴h (x )在(1,+∞)上是减函数. ∴h (x )<h (1)=-2<0,即g ′(x )<0, ∴g (x )在(1,+∞)上也是减函数. g (x )<g (1)=-1,∴当a ≥-1时,f (x )<x 2在(1,+∞)上恒成立21. (14分)(2014·淄博模拟)已知f(x)＝ax －ln x ，a ∈R. (1)当a ＝2时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)在x ＝1处有极值，求f(x)的单调递增区间； (3)是否存在实数a ，使f(x)在区间(0，e]的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．(1)由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝ax －ln x ，∴f ′(x)＝a －1x ，当a ＝2时， f(x)＝2x －ln x ，∴f(1)＝2， ∵f ′(x)＝2－1x ，∴f ′(1)＝2－11＝1 .(2分)∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －2＝f ′(1)(x －1)，即 x －y ＋1＝0.(4分)(2)∵f(x)在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，由(1)知 f ′(1)＝a －1，∴a ＝1，经检验，a ＝1时f(x)在x ＝1处有极值．(6分)∴f(x)＝x －ln x ，令f ′(x)＝1－1x ＞0，解得x ＞1或x ＜0; ∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x)＞0的解集为(1，＋∞)，即f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．(8分)(3)假设存在实数a ，使f(x)＝ax －ln x(x ∈(0，e])有最小值3， ①当a ≤0时，∵x ∈(0，e]，∴f ′(x)＜0，∴f(x)在(0，e]上单调递减， f(x)min ＝f(e)＝ae －1＝3，解得a ＝4e(舍去)．(10分)②当0＜1a ＜e 时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增， f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件．(12分)③当1a ≥e 时，∵x ∈(0，e]，∴f ′(x)＜0，∴ f(x)在(0，e]上单调递减， f(x)min ＝f(e)＝ae －1＝3，解得a ＝4e(舍去)．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f(x)有最小值3.(14分)。

高中函数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. 1B. -1C. 5D. -5答案：D2. 函数y = 3x^2 - 2x + 1的对称轴是：A. x = 1/3B. x = -1/3C. x = 1D. x = -1答案：A3. 函数y = |x| + 1在x = 0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 若函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 6，求f'(x)：A. 3x^2 + 4x - 5B. 3x^2 + 2x - 5C. 3x^2 + 4x + 5D. 3x^2 - 4x + 5答案：A5. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域是：A. [-2, 2]B. [-1, 1]C. [-√2, √2]D. [0, 2]答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是______。

答案：07. 函数y = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1的极值点是______。

答案：x = 1/2, x = 38. 若f(x) = x^2 - 6x + 9，则f(3) = ______。

答案：09. 函数y = ln(x)的定义域是______。

答案：(0, +∞)10. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x + 1的拐点是______。

答案：x = 1三、解答题（每题10分，共60分）11. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 4x - 1在x = 2处的切线方程。

解：首先求导数y' = 3x^2 - 6x + 4，然后计算y'(2) = 4，同时计算y(2) = 3。

因此，切线方程为y - 3 = 4(x - 2)，即y = 4x - 5。

12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求证：f(x) ≥ 0。

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一、选择题1.(2019?北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是?( ).A.y=e-x ?B.y=x3C.y=ln x ?D.y=|x|解析依据函数解析式，通过判断定义域和单调性，逐项验证.A项，函数定义域为R，但在R上为减函数，故不符合要求;B项，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求;C 项，函数定义域为(0，+∞)，不符合要求;D项，函数定义域为R，但在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增，不符合要求.答案B2.(2019?临沂一模)函数f(x)=lnxx-1+x12 的定义域为?( ).A.(0，+∞) ?B.(1，+∞)C.(0,1) ?D.(0,1)∪(1，+∞)解析要使函数有意义，则有x≥0，xx-1>0，即x≥0，x?x-1?>0，解得x>1.答案B3.(2019?江西卷)已知函数f(x)=a?2x，x≥0，2-x，x0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是??( ).A.a>1，c>1B.a>1,0C.01D.0解析依据对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换求解.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0答案 D6.(2019?浙江卷)已知x，y为正实数，则?( ).A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y ?B.2lg(x+y)=2lg x?2lg yC.2lg x?lg y=2lg x+2lg y ?D.2lg(xy)=2lg x?2lg y解析2lg x?2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).故选D.答案 D7.(2019?安徽卷)设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则?( ).A.bC.c解析利用“媒介”法比较大小.∵a=log37，∴12.∵c=0.83.1，∴0答案B二、填空题8.已知f(x)=ln(1+x)的定义域为集合M，g(x)=2x+1的值域为集合N，则M∩N=________.解析由对数与指数函数的知识，得M=(-1，+∞)，N=(1，+∞)，故M∩N=(1，+∞).答案(1，+∞)9.(2019?大纲全国卷改编)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)=______________.解析由函数的奇偶性和对称性推出周期性，利用周期性求函数值.因为f(x)为R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)，所以f(x+4)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+8)=f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.答案110.(2019?新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)=ex-1，x0，∴f(x)在R 上为增函数.又f(x)为奇函数，由f(mx-2)+f(x)1)，若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.解(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(-x，-y)是点P关于原点的对称点，因为Q(-x，-y)在f(x)的图象上，所以-y=loga(-x+1)，即y=-loga(1-x)(x0)，F(x)=f?x?，x>0，-f?x?，x0，Δ=?a+1?2-4a≤0，这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

高二文科数学 三角函数练习(1)一、 选择题1.已知sin α=45，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ） (A)34 (B)43- (C)43 (D)43- 2.若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2θ是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限3.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π(B)－3π(C)6π(D)－6π4．sin （－6π19）的值是（）A ．21B ．－21C ．23D ．－23 5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为() (A)3π (B)32π(C)3(D)26．下列三角函数：其中函数值与sin 3π的值相同的是（ ）①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤7.设是第二象限角,则sin cos αα= ( )(A) 1 (B)tan 2α (C) -tan 2α (D)1-8．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（） A. 21 B. —21 C. 23 D. —239、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1tan tan θθ+的值是（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．210．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)11 若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=32,则三角形为 （ ）(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形12．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（） A ．－36 B ．36 C ．－26 D ．26 二、 填空题13． —1223πrad 化为角度应为. 14.已知sin αcos α=81,且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为 ______________. 15．已知cos(4π+α)=23，则sin(43π+α)=16.cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7=． 17．角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m m α，则sin α+cos α=______． 三、解答题18.若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值.19．若2cos sin 2cos sin =-+αααα， （1）求tan α（2）求2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α20.若扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？21 、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．（3）求sin 3β – cos 3β的值。

高二数学函数综合试题答案及解析1.已知函数成等差数列，点是函数图像上任意一点，点关于原点的对称点的轨迹是函数的图像（1）解关于的不等式；（2）当时，总有恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】1．点关于原点对称点是2．证明恒成立问题常用到以下两个结论：（1），（2）注意一定要看清是存在还是恒成立问题试题解析：由成等差数列，得，即 2分由题意知：、关于原点对称，设函数图像上任一点，则是）上的点，所以，于是 4分（1）此不等式的解集是 7分（2）当时，恒成立，即在当时恒成立，即, 9分设12分【考点】对称点及恒成立问题2.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）【答案】.【解析】根据题意，苍蝇需要8次完成，有两种方法：方法一：每次都到达相邻顶点，需经过8条棱，总路径长为8；方法二：每次到达不相邻的顶点，需爬行4次（面对角线），飞行4次（体对角线），总路径长是；又，所以苍蝇的路径最长是.【考点】正方体的面对角线与体对角线.3.已知函数（为实数，，），（Ⅰ）若，且函数的值域为，求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，，，且函数为偶函数，判断是否大于？【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）由得，又函数的值域为，所以二次函数图象开口朝上且最小值为0即，解得，，所以，因此；（Ⅱ）当对称轴不在区间内时具有单调性，所以；（Ⅲ）由于为偶函数，所以，，因为，不妨设，则，又，所以，此时，所以．试题解析：（Ⅰ）∵，∴.∵的值域为，∴∴. 解得，. 所以.∴（Ⅱ）∵=，∴当或时单调.即的范围是时，是单调函数．（Ⅲ）∵为偶函数，所以.∴∵，不妨设，则.又，∴.∴＞此时.即．【考点】1.二次函数的性质；2.待定系数法求函数解析式4.已知集合={|在定义域内存在实数，使得成立}（Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；（Ⅱ）证明：函数；.（Ⅲ）设函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）假设，则存在，使得成立，而此方程无实数解，所以；（2）构造函数，则，所以在（0，1）上有实数解，因此；（3）因为函数，所以，令,则t>0,，由t>0得，即a的取值范围是.试题解析：（1）假设，则存在，使得即，而此方程的判别式，方程无实数解，∴。

高中函数文科练习题及讲解### 函数的概念及性质练习题1：判断下列函数是否为一次函数，并说明原因。

1. \( y = 3x + 2 \)2. \( y = ax + b \)（\( a \neq 0 \)）3. \( y = \frac{1}{x} \)练习题2：已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求其值域。

练习题3：函数 \( y = \sqrt{x} \) 的定义域是什么？练习题4：已知函数 \( y = \frac{1}{x} \)，求其在 \( x = 2 \) 时的导数。

练习题5：函数 \( y = \log_2 x \) 的反函数是什么？讲解：1. 一次函数是形式为 \( y = ax + b \) 的函数，其中 \( a \) 和\( b \) 是常数，\( a \neq 0 \)。

因此，\( y = 3x + 2 \) 和\( y = ax + b \)（\( a \neq 0 \)）是一次函数，而 \( y =\frac{1}{x} \) 不是一次函数。

2. 函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) 是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在 \( x = \frac{3}{4} \) 处，因此其值域为\( [ \frac{7}{8}, +\infty) \)。

3. 函数 \( y = \sqrt{x} \) 的定义域是所有非负实数，即 \( x\geq 0 \)。

4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 2 \) 时的导数可以通过求导公式 \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \) 计算得到，代入\( x = 2 \) 得 \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4} \)。

5. 函数 \( y = \log_2 x \) 的反函数可以通过将 \( y \) 和 \( x \) 互换并解出 \( x \) 来得到，即 \( x = 2^y \)，因此反函数是\( y = 2^x \)。

高二数学函数试题答案及解析1.设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由题意，得，．令对上恒成立，∴，解得，∴，故选C【考点】1、利用导数求最值；2、二次函数的图象应用．2.已知函数（）.(1)若，求函数的极值；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)在处有极小值；(2).【解析】(1)求极值分三步：首先对函数求导，然后判断的根是否为极值点，最后求出极值；(2)要使，不等式恒成立，只要先利用导数求出的最小值，然后使最小值大于等于零即可.试题解析：解： (1)当时，2分令，解得，所以的单调增区间为（1，+∞）；4分，解得，所以的单调减区间为（0，1）..5分所以函数在处有极小值..6分(2)∵＜0，由.令列表：_0+8分这是.10分∵，不等式恒成立，∴，∴，∴范围为..12分【考点】1.利用导数求极值最值；2.恒成立问题.3.若函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．B．C．D．不存在这样的实数k【答案】B【解析】根据题意，由于函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内是单调函数，则可知，则可知函数的单调区间为k-1<0.5,k-1,故可知k的取值范围是，故答案为B.【考点】函数的单调性点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。

4.已知，且方程无实数根，下列命题：①方程也一定没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；③若，则必存在实数，使④若，则不等式对一切实数都成立．其中正确命题的序号是．【答案】①②④【解析】根据题意，由于，且方程无实数根，则对于①方程也一定没有实数根；利用反证法可知成立。

对于②若，则不等式对一切实数都成立；结合二次函数图象与性质可知成立。

湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学复习试卷（函数与不等式）（文科）一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）1．（3分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣12．（3分）函数f（x）＝lnx的图象与函数g（x）＝x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．33．（3分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内4．（3分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）5．（3分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是．6．（3分）设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是．7．（3分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2+n，记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）＝n2+n，正方形数N（n，4）＝n2，五边形数N（n，5）＝n2+n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（3，6）＝．三、解答题（共3小题，满分0分）8．已知定义在R的函数（a，b为实常数）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，证明：f（x）不是奇函数；（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．9．某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）当k＝100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？10．对于定义域为D的函数y＝f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y＝f（x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学复习试卷（函数与不等式）（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）1．（3分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【解答】解：函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y＝e﹣（x+1）＝e﹣x﹣1．即f（x）＝e﹣x﹣1．故选：D．2．（3分）函数f（x）＝lnx的图象与函数g（x）＝x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：在同一个坐标系中，画出函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝x2﹣4x+4＝（x ﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）＝lnx的图象与函数g（x）＝x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选：C．3．（3分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．4．（3分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）5．（3分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是[10，30]．【解答】解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得y ＝40﹣x，（0＜x＜40）∴矩形的面积S＝x（40﹣x），∵矩形花园的面积不小于300m2，∴x（40﹣x）≥300，化为（x﹣10）（x﹣30）≤0，解得10≤x≤30．满足0＜x＜40．故其边长x（单位m）的取值范围是[10，30]．故答案为[10，30]．6．（3分）设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【解答】解：由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x＝2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案为：（﹣∞，﹣）．7．（3分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2+n，记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）＝n2+n，正方形数N（n，4）＝n2，五边形数N（n，5）＝n2+n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（3，6）＝15．【解答】解：原已知式子可化为：N（n，3）＝n2+n＝，N（n，4）＝n2＝，由归纳推理可得N（n，k）＝，故N（3，6）＝15故答案为：15三、解答题（共3小题，满分0分）8．已知定义在R的函数（a，b为实常数）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，证明：f（x）不是奇函数；（Ⅱ）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（Ⅲ）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．【解答】解：（Ⅰ），，，所以f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函数；（2分）（Ⅱ）f（x）是奇函数时，f（﹣x）＝﹣f（x），即对任意x∈R恒成立．（4分）化简整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）＝0对任意x∈R恒成立．（6分）∴，∴（舍）或，∴．（8分）另解：∵f（x）是定义在R的奇函数，∴，∴，验证满足，∴．（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，∵2x＞0，∴2x+1＞1，∴，从而；（12分）而对任何实数c成立；所以对任何实数x、c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．（14分）9．某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）当k＝100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？【解答】解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有n个座位，则，即，∴，定义域；（Ⅱ）当k＝100时，0＜x≤25，令，则，∴，∴，当时，f'（x）＜0，即f（x）在上单调减，当时，f'（x）＞0，即f（x）在上单调增，∴y min在时取到，此时座位个数为个．10．对于定义域为D的函数y＝f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y＝f（x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．【解答】解：（1）对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]，当且仅当x2＝﹣x1时，有，故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，所以1是函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”．（2）当a＝0时，f（x）＝﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，故有或，解得a≥1或a＜0或，综上，a的取值范围是或a≥1．（3）①当I＝（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当I＝（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”．①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当且仅当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当且仅当I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．。