高中数学必修五人教A版 第二章第3节《等差数列前n项数和》(第1课时)学案Word版

2.3 等差数列的前n项和一、教学目标：知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;3.会简单运用等差数列前n项和公式.过程与方法： 1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；2. 通过公式的运用体会方程的思想。

情感态度：结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.三、教学策略及设计本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

四. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）指导思想：就是从特殊到一般，由具体到抽象，类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法，然后引导学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中体会方程的思想方法。

四、教学过程：即···+100=？著名数学家高斯小时候就会算，闻数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。

动画演示：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什123(1)n s n n=++++-+（公式二）四、公式应用、讲练结合1、练一练：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛a｝的S：一、教材分析1．教学内容：本节课是高中人教A版必修5第二章第三节第一课时的内容。

主要研究等差数列的前n 项和公式的推导及其简单应用。

课题: 2.3 等差数列的前n项和授课类型：新授课（第1课时）一、教学内容分析：《等差数列的前n项和》是《普通高中课程标准实验教科书必修5》人教A 版第二章第三节的内容，本节为新授课的第一课时。

二、学情分析：这节课是在学生学习了前一节《等差数列》的定义和通项公式后学习的，此时，学生已具备了等差数列的基础知识。

又因为高一学生本身已具有了一定的自主探究的能力，学生能进行简单的计算。

三、教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。

过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。

情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。

教学重点:等差数列前n项和公式的理解、推导及应用。

教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

四、教学模式及教法、学法本节采用“探究—发现-归纳-应用”的教学模式，教师采用多媒体辅助教学，学生积极自主探究、合作交流。

五、教学过程1.复习旧知:(1). 等差数列的定义：(2). 等差中项的定义：(3). 等差数列的通项公式：设置意图：复习旧知识，不但为了巩固上节所学，也为引出今天的课题，同时调动学生的学习积极性。

2、新知探索：创设情境，课题导入“小故事”:德国著名数学家高斯10岁的时候，有一次他的算术老师出了一道题目：1 +2 +3 + … + 100 = ?正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…逐项相加，算得不亦乐乎时，高斯站起来说出了正确答案：1 +2 +3 + … + 100 = 5050。

设置问题：“你知道高斯是怎样算出来的吗？”设置意图：学生对于高斯的算法是熟悉的，借此为了调动学生学习本节课的兴趣。

引出特殊等差数列1+2+3+…+100求和问题，进而引入新课．(设计意图：1)图片源于历史，富有人文气息；2）图中算数，激发学习兴趣；3）承上启下，探讨高斯算法）3、探究发现阶段（新课学习）（20分钟）1）探究新知问题一S100=1+2+3+···+100（特殊）问题一学生以自主探究、交流讨论为主，必要时教师加以启发引导。

一部分学生通过预习采用高斯法求解，但他们只停留在问题的表面，教师此时引导学生看出高斯法巧妙之处在于把不同数的和转换为相同数的和，使加法运算转化为乘法运算，运算简单。

另外引导学生采用几何方法将三角形补成平行四边形，数形结合体会更直观。

2）探究问题二：Sn=1+2+···+n（较一般）问题二学生仍以分组讨论、自主发现、合作交流的方式为主。

由问题一做准备，问题二学生求解方法仍然采用代数和几何两种方法。

几何方法直观不用多讨论。

代数法会出现两种方法：分类讨论的方法、倒序相加的方法。

引导学生体会两种方法的优、缺点，明确倒序相加方法的优越性并体会从特殊到一般的数学思想。

3）问题三：求等差数列的前n项和，即（一般）问题三采用学生先探究，教师板演的教学方式。

问题三学生延续问题二采取倒序相加的方法很容易得出答案。

此问题及等差数列前n项和公式的推导是本节的核心内容，教师通过板演一是加深学生对倒叙相加方法的理解和记忆，二是借此升华数学思想，引导学生体会数学问题解决的思路，等差数列前n项和公式的获得是通过从特殊到一般和从一般再到到特殊的数学思想方法。

留一点时间供学生思考交流．（设计意图：探究新知的过程体现学生占主体地位，教师起主导作用的教学理念。

学生通过学习会感到数学公式的来历自然不生硬，从学习中也潜移默化的感觉到类似问题的解决方法。

）4、公式应用阶段（15分钟）例1：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和Sn.（1）a1=-4,a8=-18,n=8;（2）a1=14,d=0.7,a n=32.采用学生自主解决的方法。

等差数列的前n 项和教学目标：1．知识目标： (1)掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程; (2)会简单运用等差数列的前n 项和公式。

2．能力目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、分析、归纳问题的能力。

3．情感目标：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，增强学生学好数学，热爱数学的情感。

教学重、难点：1.教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导与应用；2.教学难点：公式推导过程中的转化思想。

、课型课时：新授课、一课时教学方法：探究法、讲授法教学手段：多媒体教学过程一：知识回顾1、等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=2、在等差数列a n 中，若有m +n =p +q , m,n,p,q ∈N +,则a m +a n =a p +a q 二：创设情景，导入新知1、创设情境数学家高斯在上小学时就显示出极高的天赋。

据传说，老师在数学课上出了这样一道题：“1+2+3+……+100=？”，对于十岁左右的孩子来说这个题目是比较困难的，但高斯很快就得到了正确答案。

提问：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？思考：1+2+3+.......+101=?2、导入新知①等差数列前n 项和——公式推导（倒序相加）n n a a a a S ......321+++= ①121......a a a a S n n n n +++=-- ②则①+②可得()n n a a n S +=12 即 ()21n n a a n S += 有因为()d n a a n 11-+= 所以()d n n na S n 211-+= 强调：在n n S a d n a ,,,,1五个量中，能知三求二。

（分析公式的特点，熟练记忆所学公式.三：应用举例，巩固新知例：在等差数列{n a }中，已知d=2，n=15，n a =-10，求1a 及n S 四：跟踪练习，巩固所学练：已知等差数列{n a }中，1a =1，n a =19，n S =100，求d 与n 五：小结归纳，扩展深化1、掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

§2.3 等差数列的前n 项和(2)【教学目标】 1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究n S 的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用. 2.过程与方法：通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观：①提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；②通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感. 【教学重点】等差数列前n 项和公式的掌握与应用. 【教学难点】灵活应用求和公式解决问题. 【教辅手段】多媒体投影仪、黑板 【教学过程】 I.情景设置—温故知新首先，回顾上一节所学的内容： （1）等差数列的前n 项和公式1：()12n nn a as +=（2）等差数列的前n 项和公式2：()112n n n d s na -+= Ⅱ.新知探究1.等差数列的等价条件例1：已知数列{}n a 的前n 项和n n Sn212+=，求（1）).2(1≥--n S S n n （2）求这个数列的通项公式.（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略.[设计意图]本例题实际上给出了数列前n 项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前n 项是一个常数项为0的关于n 的二次型函数.接下来，我们来完成一探究题.如果一个数列{}n a 的前 n 项和为2nS pn qn r =++.其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠ ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：由2n S pn qn r =++ 得11S a p q r ==++ ⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a ).2()1(≥=n n 又2n S pn qn r =++ 2n ≥ 时 221()[(1)(1)]2()n n n a S S pn qn r p n q n r pn p q -=-=++--+-+=-+⎩⎨⎧+-++=∴)(2q p pn rq p a n ).2()1(≥=n n1[2()][2(1)()]2n n d a a pn p q p n p q p -=-=-+---+= ∴此类数列从第二项开始为等差数列.归纳要使数列{}n a 为等差数列，则,)(12r q p q p p ++=+-⨯即.0=r[设计意图]本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n 项公式是一个常数项为0的关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列. 2.等差数列的最值问题例2：已知等差数列24,3,775,4的前n 项和为n s ，求使得n s 最大的序号n 的值分析：等差数列的前n 项和公式可以写成211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+- ，所以可以看成函数2122d d x a x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，()*x N ∈，当x n =时的函数值.另一方面，容易知道n s 关于n 的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n 的值. 解：由题意知，等差数列24,3,775,4 的公差为57-所以 ()2252512775514515112514256n n n n n n s ⎡⎤⎛⎫=⨯+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-=⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当 n 取与152最接近的整数即为7或8时n s 取最大值.[设计意图]通过学习等差数列前n 项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。

《等差数列的前n 项和》教学设计【课题】等差数列的前n 项和【教材】人民教育出版社《数学》必修5 【课时】1课时【教材分析】1、教学内容《等差数列的前n 项和》为现行高中教材必修5 第三章第三节“等差数列前n 项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用。

2、地位与作用本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。

对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

【学生学情分析】1、学生知识基础情况：课堂学生为高二年级的的学生，学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。

经过高一的学习，学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能够在教师的引导下解决一些简单问题。

2、任教班级学生特点：我班学生大多来自农村，入学基础薄弱，基础知识较一般，但是学生思维较活跃，学习态度认真，只是处理抽象问题的能力还有待进一步提高。

【教学目标】1、知识与能力：A:知识(1) 掌握等差数列前n 项和公式;(2) 掌握等差数列前n 项和公式的推导过程;(3) 会简单运用等差数列的前n 项和公式。

B:能力(1) 通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

(2) 利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

(3) 通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2、过程与方法:(1) 启发式教学。

从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。

等差数列的前n项和一.学习目标：1.理解数列前n项和Sn的概念，并掌握Sn与an的关系.2.通过等差数列前n项和公式的推导体会倒序相加的思想.3.会选择恰当的公式解决简单的等差数列求和问题.4.体会两组公式分别从哪些角度反映了等差数列的性质.二．教学重点、难点：1.教学重点：掌握数列的前n项Sn与an的关系、差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些简单问题，体会两组公式所反映出的等差数列的性质是本节课的重点.2.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得是难点.三.新课内容：1.数列的前n项和①Sn=_______________②Sn与an的关系③题型练习：已知数列{an}的前n项和Sn=n2则通项公式an=_______2.你能快速求出1+2+3+...+100=?3.这种方法能推广到求一般的等差数列求前n项和？为什么？Sn=a1+a2+a3+...+an4.等差数列前n项和公式Sn=_______5.题型练习:已知等差数列{an}中①a1=-4,a8=-18则S8=______②S10=120,则a2+a9=______③a7=2,则S13=_______※该公式从哪个角度体现了等差数列的性质？6.等差数列的前n 项和Sn=________7.题型练习：已知等差数列{an}中①a1=-16,d=4,则S6=_______;Sn=_______②上式中，当n 取何值时，Sn取到最小值？※该公式从哪个角度说明了等差数列的性质？三.课堂小结、作业1.课堂小结：2.作业：课本44页例3、例4以及45页的练习题.3.思考：题型练习3中的第二问可否从通项公式着手解答？四.板书设计五.教学反思。

2.3等差数列的前n 项和(第1课时)一、教学内容分析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》（人教A 版）中第二章的第三节“等差数列的前n 项和”（第一课时）．本节对等差数列前n 项和的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，分两个课时，本节课内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用，其学习平台是学生已经掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。

对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法：倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、学情况分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的定义和通项公式，掌握了一些等差数列的性质，而且具有一些生活中的实际经验和掌握了高斯数的推导方法，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．三、教学目标知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题．方法与过程：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美．通过具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点和难点本节教学重点是探索并掌握等差数列前n 项和公式，初步学会用公式解决一些简单问题，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n 项和公式推导思路的获得．五、教学过程设计（一）双基回眸，巩固已学知识促进新知生成①等差数列定义：即d a a n n =--1()2≥n 或d a a n n =-+1.②若三个数b A a ,,成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项,即b a A +=2. 若{}n a 为等差数列,则)2(211≥+=+-n a a a n n n .③等差数列{}n a 通项公式：()d n a a n 11-+=. ()d m n a a m n -+= ④若{}n a 为等差数列，如果()*∈=+=+N r q p n m r q p n m ,,,,2，则 r q p n m a a a a a 2=+=+.（二）创设情景，唤起学生知识经验一个V 形架上面有一堆铅笔，最下面一层放一支，依次每一层都比下面一层多放一支，最上面一层放100支.问：这个V 形架上共放有多少支铅笔？[设计意图] 通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历,将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，其作用就在于提升学生的经验，从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．（三）由特殊到一般，自主探究与合作问题1：如何求=++++99321Λ？问题2：如何求=++++n Λ321？[设计意图]从项数为偶数到项数为奇数再到项数为n,由特殊到一般问题由浅入深层层深入，学生思维自然过渡，引导学生自主探究。

等差数列的前n项和公式第一课时1.课时教学内容等差数列前n项和公式2.课时学习目标(1)会推导等差数列前n项和公式；(2)会用等差数列的前n项和公式解决简单问题。

3.教学重点与难点重点∶等差数列的前n项和的应用。

难点∶等差数列前n项和公式的推导方法。

4.教学过程设计环节一情景引入200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你准备怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一。

他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献。

问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释。

高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，n，…前100项的和问题。

等差数列中，下标和相等的两项和相等。

设a n=n,则a1=1，a2=2，a3=3，…如果数列{a n}是等差数列，p,q,s,t∈N∗且 p +q =s +t,则a p +a q =a s +a t可得：a 1+a 100=a 2+a 99=⋯=a 50+a 51问题2：你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？ 解：原式=(1+101)+(2+100)+⋯+(50+52)+52 =102×50+51 =5151解法2：原式=(1+2+⋯+100)+101=[(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)]+101=101×50+101 =5151解法3：原式=0+1+2+⋯+100+101=(0+101)+(1+100)+⋯+(50+51)=101×51 =5151问题3：你能计算1＋2＋3＋… ＋n 吗？ 需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n 为偶数时， S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n2+(n2−1)] =(1+n )+(1+n )…+(1+n ) =n2(1+n ) =n(1+n)2当n 为奇数数时， n －1为偶数S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n +12−1)+(n +12+1)]+ n +12=(1+n )+(1+n )…+(1+n )+ n+12=n−12(1+n )+n+12=n(1+n)2对于任意正整数n ，都有1＋2＋3＋… ＋n =n(1+n)2问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？ S n = 1+ 2 + 3 +⋯+nS n = n +(n −1)+(n −2)+⋯+1 将上述两式相加，得2S n=(n+1)+[(n−1)2]+[(n−2)+3]+⋯+(1+n)=(1+n)+(1+n)+⋯+(1+n)=n(1+n)所以S n=1+2+3+⋯+n=n(1+n)2问题5:上述方法的妙处在哪里？倒序求和法S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a nS n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1 2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)即：S n=n(1+n)2问题6:这种方法能够推广到求等差数列{a n}的前n项和吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a n,S n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1.2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)所以S n=n( a1+a n)2得到等差数列前n项和公式：S n=n( a1+a n)2追问1：你能用文字语言表达这个公式吗？首项加末项乘以项数除以2.追问2：这个公式还有什么含义？等式两边同除以n,S nn =(a1+a n)2，即a1+a2+a3+⋯+a nn =(a1+a n)2前n项平均数等于首项与第n项的平均数问题7：能不能用a1和d来表示S n呢？将a n=a1+(n−1)d代入公式整理得S n ＝na1+n(n−1)2d追问：如果不利用前面结论，你还有其他方法得到上述公式吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n,=a1+(a1+d)+(a1+2d)+⋯+[a1+(n−1)d]=na1+[1+2+3+(n−1)d]=na1+n(n−1)2d等差数列的前n项和公式公式S n＝n(a1+a n)2功能1：已知a1,a n,n 求S n功能2：已知S n a1,a n,n中任意3个，求第4个。