噶米CH54有理函数

数学物理方法第四章伽玛函数1.引言伽玛函数是数学分析中的一种特殊函数，由欧拉在18世纪提出。

它在数学物理、统计学和其他领域中具有重要的应用。

本章将介绍伽玛函数的定义、性质以及一些常见的应用。

2.伽玛函数的定义伽玛函数是一个无穷积分，定义如下：Γ(x) = ∫(0到∞) e^(-t) * t^(x-1) dt其中，x是一个实数。

3.伽玛函数的性质伽玛函数具有很多重要的性质，以下是其中一些重要性质：3.1对于正整数n，有Γ(n)=(n-1)!这一性质是伽玛函数与阶乘之间的关系。

当x为正整数时，伽玛函数可以表示阶乘。

3.2Γ(1/2)=√π这一性质表明伽玛函数在1/2处的值是根号π。

3.3Γ(x+1)=x*Γ(x)这一性质是伽玛函数的递推关系式，可以用来计算伽玛函数的值。

3.4 Γ(x) * Γ(1-x) = π / sin(πx)这一性质是伽玛函数的对称关系，可以用来计算伽玛函数的特殊值。

3.5对于任意正整数n，有Γ(x+n)/Γ(x)=x(x+1)...(x+n-1)这一性质是伽玛函数的倍增关系，可以用来计算伽玛函数的值。

4.伽玛函数的应用伽玛函数在各个领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用：4.1概率统计学伽玛函数在概率统计学中用于定义一些重要的概率分布，如伽玛分布和贝塔分布。

这些分布在描述随机事件的出现频率和概率密度函数等方面起着重要的作用。

4.2电磁场理论伽玛函数可以用来表示电磁场中的电势和磁势分布。

在电磁场理论中，伽玛函数是求解麦克斯韦方程组的一种常用方法。

4.3数论伽玛函数在数论中有一些重要的应用。

例如，伽玛函数与Riemann zeta函数之间存在着一种特殊的函数关系，称为伽玛函数和zeta函数的函数方程。

4.4统计学伽玛函数在统计学中有一些重要的应用，如用于插值和拟合数据、计算积分和求和等。

4.5物理学伽玛函数在物理学中有广泛的应用，如量子力学、统计物理学、流体力学、热力学等领域。

伽马函数的总结
@(概率论)
Γ(x)=∫+∞0tx−1e−tdt
这个可以形象理解为用一个伽马刀，对x动了一刀，于是指数为x-1,动完刀需要扶着梯子(-t)才能走下来。

这样，就记住了关键的tx−1,−t.
性质：
•Γ(x+1)=xΓ(x)
•Γ(x)>0,任意x∈(0,+∞)
•Γ(1)=1
用到概率论中的计算形式是：
令t=u2,dt=2udu。

Γ(x)=∫+∞0u2(x−1)e−u22udu=2∫+∞0u2x−1e−u2du
这个过程可以瞬间在脑海中演算完毕，注意是2倍在前。

特殊的是，
Γ(12)=2∫+∞0e−u2du=π√
同样，
Γ(1)=1
Γ(2)=1
Γ(3)=2!
Γ(4)=3!
…
Γ(n)=(n−1)!
由此两个基本情况加上伽马函数的基本性质，一大类积分可以轻松求得。

值得注意的是，伽马函数常常用在计算Γ(n),即计算常数的伽马函数值，因为这里定义的幂次是x表示的，很多时候x是做变元，所以要做到能够灵活变通才好。

比如这篇文章里：
/u011240016/article/details/53440538 就是把x视作变元。

在数学里，字母表达式是很灵活的，需要随时随地想想是不是该把它视作变量看待，是否可以转换一下。

ch函数的反函数1.引言1.1 概述概述部分应该对整篇文章进行简要介绍，提供读者一个总体的了解。

以下是可能的概述部分内容：引言部分将着重介绍ch函数及其反函数的概念和意义。

ch函数，也称为超双曲余弦函数，是数学领域中的一种特殊函数，具有独特的数学性质和广泛的应用。

本文将探讨ch函数的定义和特点，以及其在不同领域中的应用，并重点介绍ch函数的反函数及其意义。

研究ch函数的反函数对于数学理论的发展和实际问题的解决具有重要的意义。

文章将首先概述整篇文章的结构，并明确研究的目的和意义。

通过深入分析ch函数的性质和应用，我们将从数学的角度探讨反函数的计算方法，并探讨反函数在实际问题中的应用价值。

通过本文的研究，读者可以更全面地了解ch函数及其反函数，为进一步研究和应用提供基础和参考。

通过对ch函数反函数的研究，不仅可以拓展我们对数学函数的认识和理解，还可以为实际问题的解决带来新的思路和方法。

1.2文章结构文章结构部分的内容：文章将按照以下结构进行展开：第一部分是引言部分，主要包括概述、文章结构和目的三个部分。

在概述中，介绍了ch函数的基本概念和背景信息，以引起读者的兴趣。

在文章结构部分，说明了本文的整体结构和各个部分的内容安排。

在目的部分，说明了本文的目的，即阐述ch函数的反函数的重要性和应用。

第二部分是正文部分，主要包括ch函数的定义和特点以及ch函数的应用领域两个小节。

在ch函数的定义和特点部分，详细介绍了ch函数的数学定义和其具有的特点，例如它是连续且递增的函数，具有一定的取值范围等。

在ch函数的应用领域部分，说明了ch函数在实际中的广泛应用，如在图像处理、信号处理等领域中的应用案例。

第三部分是结论部分，主要包括ch函数的反函数的意义以及反函数的计算方法两个小节。

在ch函数的反函数的意义部分，分析了ch函数的反函数在实际应用中的重要性，如在数据恢复、密码学等方面的应用。

在反函数的计算方法部分，介绍了如何计算ch函数的反函数，例如使用数值方法、函数逆变换等方法来求解ch函数的反函数。

伽马函数和狄拉克函数伽马函数和狄拉克函数是数学中重要的特殊函数，它们在许多领域中有着广泛的应用。

本文将介绍伽马函数和狄拉克函数的定义、性质以及它们在数学和物理学中的应用。

一、伽马函数1. 定义伽马函数是一种复变函数，由欧拉在18世纪提出并研究。

伽马函数的定义如下：\[ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt \]其中，z是一个复数，实部大于0。

2. 性质伽马函数具有许多重要的性质，如：（1）\(\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)\)，这是伽马函数的递推公式，可以用来计算任意复数z的伽马函数值。

（2）\(\Gamma(n) = (n-1)!\)，这是伽马函数在自然数上的取值。

（3）当z是实数时，\(\Gamma(z)\)是正数。

（4）伽马函数可以通过数值计算方法进行近似计算。

3. 应用伽马函数在数学和物理学中有着广泛的应用，如：（1）在概率论中，伽马函数与贝塔函数紧密相关，用于描述连续随机变量的概率分布。

（2）在复分析中，伽马函数是复平面上解析函数的重要例子，它具有许多特殊的性质和应用。

（3）在物理学中，伽马函数与量子力学中的束缚态问题密切相关，用于描述粒子在势场中的能量分布。

二、狄拉克函数1. 定义狄拉克函数是一种广义函数，由英国物理学家狄拉克在20世纪提出并研究。

狄拉克函数的定义如下：\[ \delta(x-a) = \begin{cases} +\infty, & x=a \\ 0, & x\neq a \end{cases} \]其中，a是一个实数。

2. 性质狄拉克函数具有许多重要的性质，如：（1）\(\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-a)dx = 1\)，这是狄拉克函数的归一化条件。

（2）狄拉克函数的奇偶性：\(\delta(-x) = \delta(x)\)。

（3）狄拉克函数的平移性：\(\delta(x-a) = \delta(x)-\delta(a)\)。

第38卷第1期2024年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.38No.1Feb.2024收稿日期:2023-11-03基金项目:贵州省教育厅自然科学研究项目(QJJ2023012;QJJ2023061;QJJ2023062)作者简介:杨春飞(1999 ),男,硕士研究生,主要从事微分方程及其精确解方面的研究㊂E-mail:3088294503@qq.com㊂∗通信作者:刘小华(1975 ),女,教授,博士,主要从事微分方程及其精确解方面的研究㊂E-mail:lxhjkkl@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2024.01.009Kaup-Kupershmidt 方程的精确行波解杨春飞,刘小华∗(贵州民族大学数据科学与信息工程学院,贵州贵阳550025)摘㊀要:利用扩展tanh 函数法研究了Kaup-Kupershmidt 方程的精确行波解,得到了该方程不同类型的显式行波解,包括孤立波解㊁指数函数解和三角函数周期解㊂利用Maple 软件绘制了所得解在具体参数值下的3D 图和2D 图,并对解的性态进行分析得出了相应解的类型㊂关键词:Kaup-Kupershmit 方程;扩展tanh 函数法;广义Riccati 方程;行波解中图分类号:O175.29文献标志码:A文章编号:1673-0062(2024)01-0066-06The Exact Traveling Wave Solution of Kaup-Kupershmidt EquationYANG Chunfei ,LIU Xiaohua ∗(College of Data Science and Information Engineering,Guizhou Minzu University,Guiyang,Guizhou 550025,China)Abstract :The exact traveling wave solution of Kaup-Kupershmidt equation is studied by using extended tanh function method,and different types of explicit traveling wave solu-tions of Kaup-Kupershmit equation are obtained,including solitary wave solution,expo-nential function solution and trigonometric periodic solution.The 3D and 2D graphs of the obtained solutions under specific parameter values are drawn by Maple software,andthe types of corresponding solutions are obtained by analyzing the properties of the solu-tions.key words :Kaup-Kupershmit equation;extended tanh functions method;generalized Riccatiequation;traveling wave solution66第38卷第1期杨春飞等:Kaup-Kupershmidt方程的精确行波解2024年2月0㊀引㊀言构造非线性偏微分方程的精确行波解是孤波理论中非常重要的研究课题之一,它为合理地解释相关的非线性自然现象提供了理论依据㊂许多求解非线性偏微分方程的方法也日益发展和建立起来,比如backlund变换法[1]㊁Hirota双线性法[2]㊁Gᶄ/G展开法[3]㊁Darboux变换法[4]㊁改进的Jacobi椭圆函数展开法[5]等,扩展tanh函数法是一种常用于求解非线性偏微分方程精确解的有效方法㊂H.Cai等[6]利用扩展tanh函数法构造了带有五阶非线性项的Kundu方程的精确行波解,J. Chang等[7]用此方法得到了广义Fisher方程的几种不同类型的精确行波解㊂本文主要探讨Kaup-Kupershmidt(KK)方程u t+10uu xxx+25u x u xx+20u2u x+u xxxxx=0(1)的精确行波解㊂Kaup-Kupershmidt方程是一类重要的非线性偏微分方程,常见于等离子体物理和流体力学领域,可以用来描述双分子反应等问题㊂王倩等[8]利用扩展的Sinh-Gordon方程展开法获得了方程(1)的Jacobi椭圆函数解;翁建平[9]利用双曲函数展开获得了方程(1)的若干孤波解; M.Inc[10]利用双(Gᶄ/G,1/G)-展开法获得了方程(1)的双曲函数㊁三角函数和有理函数明确地表达解㊂基于上述研究,本文利用扩展tanh函数法讨论方程(1)的精确行波解㊂1㊀扩展tanh函数法本文考虑如下(1+1)维的非线性发展方程:H(u,u t,u x,u xx, )=0(2)其中H为其变元u,u t,u x,u xx, 的多项式㊂利用扩展tanh展开法对KK方程构造精确行波解的步骤为:第1步㊀对方程(2)作如下的行波变换:u=u(ξ),ξ=x+ct(3)其中c为波速㊂将式(3)代入式(2),式(2)可转化为常微分方程:F(u,uᶄ,uᵡ, )=0㊂(4)㊀㊀第2步㊀假设方程(4)具有如下形式的解:u(ξ)=ðm i=0a iφi(5)其中系数a i(i=0, ,m)为待定参数,φ满足广义Riccati方程φᶄ(ξ)=b+aφ+φ2㊂(6)㊀㊀第3步㊀平衡方程(4)中最高阶导数项与最高阶非线性项的幂次,确定参数m的值㊂若以O(u(ξ))记u(ξ)关于φ的多项式的最高幂次,则d p u dξp的最高幂次为O d p u dξp()=m+p,p=1,2,3, ,(7)而u q d p u dξp的最高幂次为O u q d p u dξp()=(q+1)m+p,q=0,1,2, ;p=1,2,3, ㊂(8)㊀㊀第4步㊀将式(5)㊁式(6)代入式(4)后合并φ的同次幂系数并令其等于零,由此可得关于待定参数a i(i=0, ,m),a,b,c的代数方程组㊂第5步㊀首先利用数学软件Maple求解该代数方程组,确定待定参数a i(i=0, ,m),a,b,c 的值,然后结合方程(6)的几种情况的解[11](式(9)~式(11)),即可给出方程(2)的有界行波解的精确表达式㊂1)当a=0时,方程(6)有如下三种类型的解:φ=--b tanh(-bξ),b<0φ=-1ξ,b=0φ=b tan(bξ),b>0ìîíïïïïï(9)㊀㊀2)当a b=0时,方程(6)有解:φ=ae-aξ-1(10)㊀㊀3)当aʂ0,bʂ0时,方程(6)有如下三种类型的解:φ=4b-a22tan4b-a2ξ2-a2(),a2-4b<0φ=-1ξ-a2,a2-4b=0φ=-a2-4b2tanh a2-4bξ2-a2(), a2-4b>0㊂ìîíïïïïïïïïïïï(11) 2㊀精确行波解将行波变换式(3)代入式(1),式(1)化作如下关于变量ξ的常微分方程:cuᶄ+10uu‴+25uᶄuᵡ+20u2uᶄ+u(5)=0㊂(12)76第38卷第1期南华大学学报(自然科学版)2024年2月根据式(7)和式(8),平衡方程(12)中最高阶导数项u (5)和最高阶非线性项uu‴的幂次,即m +5=m +(m +3),由此确定出m =2㊂基于此,可令方程(1)有如下形式的解:u (ξ)=a 0+a 1φ+a 2φ2(13)将式(13)代入式(12)并反复使用式(6)后合并φ的同次幂系数并令其为零,由此可得到确定待定参数a i (i =0,1,2),a ,b ,c 的值的代数方程组为:40a 32+540a 22+720a 2=0(800a +100a 1)a 22+(1680a +550a 1)a 2+120a 1=0(280a 2+560b +80a 0)a 22+(1320a 2+760aa 1+80a 21+960b +240a 0)a 2+㊀㊀240aa 1+110a 21=0360aba 22+((240a 2+480b +120a 0)a 1+390a 2+44b 13+10a 013()a )a 2+㊀㊀150a 1a 2+910aa 1+215a 21+45b +25a 0()=0100b 2a 22+(32a 4+(464b +80a 0)a 2+260aa 1b +272b 2+160ba 0+40a 20+2c )a 2+㊀㊀307a 26+7b 3+4a03()a 1+a (a 2+4b +2a 0)()a 1=0305ba 13+a (a 2+4b +2a 0)()ba 2+(a 4+25aa 1b +(22b +10a 0)a 2+㊀㊀16b 2+20ba 0+20a 20+c )a 1=0㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï(14)㊀㊀应用Maple 软件求解代数方程组(14)可得a i(i =0,1,2),a ,b ,c ,的值有以下两种情况:1)a =-2a 13,c =-a 4181-b 2+29a 21b ,a 0=-a 2181-b ,a 2=-32(15)2)a =-a 112,c =-1120736a 41-176b 2+1118a 21b ,a 0=-a 21144-8b ,a 2=-12(16)其中b 为任意常数,a 1为自由参数㊂由式(15)和式(16)以及式(3)和式(13),并结合方程(6)的解(9)~解(11)可得方程(1)具有如下精确行波解㊂1)当a =0,即a 1=0时,方程(1)有如下解:孤立波解:u 1=-b +32b tanh 2[-b (x +ct )]u 2=-8b +12b tanh 2[-b (x +ct )]ìîíïïïï(b <0)三角函数解:u 3=-b -32b tan 2[b (x +ct )]u 4=-8b -12b tan 2[b (x +ct )]㊂ìîíïïïï(b >0)2)当a ʂ0,b =0时,方程(1)有如下解:指数函数解:u 5=-a 2181+a 1a e -a (x +ct )-1-3a 22(e -a (x +ct )-1)2u 6=-a 21144+a 1a e -a (x +ct )-1-12a 2(e -a (x +ct )-1)2㊂ìîíïïïïï3)当a ʂ0,b ʂ0时,方程(1)有如下解:i)当a 2-4b <0时,三角函数解:u 7=-a 2181-b +a 14b -a 22ˑtan 4b -a 2(x +ct )2-a 2éëêêùûúú+3a 2-12b 8tan 24b -a 2(x +ct )2-a 2éëêêùûúúu 8=-a 21144-8b +a 14b -a 22ˑtan 4b -a 2(x +ct )2-a 2éëêêùûúú+(3a 2-12b )tan 24b -a 2(x +ct )2-a 2éëêêùûúú㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïï㊀㊀ii)当a 2-4b >0时,孤立波解:86第38卷第1期杨春飞等:Kaup-Kupershmidt 方程的精确行波解2024年2月u 9=-a 2181-b -a 1a 2-4b 2ˑtanh a 2-4b (x +ct )2-a 2éëêêùûúú-3a 2-12b 8tanh 2a 2-4b (x +ct )2-a 2éëêêùûúúu 10=-a 21144-8b -a 1a 2-4b 2ˑtanh a 2-4b (x +ct )2-a 2éëêêùûúú-(3a 2-12b )tanh 2a 2-4b (x +ct )2-a 2éëêêùûúú㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïï由上述探讨过程表明,构造方程(1)几种不同形式的精确行波解由参数b 以及a 2-4b 的符号来确定㊂当参数a =0,b =0或a ʂ0,b ʂ0,a 2-4b =0时,由式(15)和式(16)可得c =0,方程(1)存在两组不同形式的驻波解:u 3=-32x 2u 4=-12x 2ìîíïïïï和u 11=-a 2181-b -1x +a 2()a 1-321x +a2()2u 12=-a 21144-8b -1x +a 2()a 1-121x +a 2()2㊂ìîíïïïï3㊀解的性态分析图1是方程(1)的解u 1在区间-10<x ,t <10内的3D 图(参数为b =-1,c =-1)和2D 图(参数为t =0)㊂由图1可以看出,此解为钟状孤立波解㊂图2是方程(1)的解u 3在区间-10<x ,t <10内的3D 图(参数为b =1,c =-1)和2D 图(参数为t =0)㊂由图2可以看出,此解为正切型周期解㊂图3是方程(1)的解u 5在区间-10<x ,t <10内的3D 图(参数为a 1=9,a =-6,c =-81)和2D 图(参数为t =0)㊂由图3可以看出,此解为指数函数解㊂图4是方程(1)的解u 7在区间-10<x ,t <10内的3D 图(参数为a 1=9,a =-6,c =-81,b =10)和2D 图(参数为t =0)㊂由图4可以看出,此解为周期解㊂图5是方程(1)的解u 9在区间-10<x ,t <10内的3D图(参数为a 1=9,a =-6,c =-1,b =8)和2D 图(参数为t =0)㊂由图5可以看出,此解为反扭结型孤立波解㊂图1㊀解u 1的3D 图和2D 图Fig.1㊀3D diagram and 2D diagram of the solution u 196第38卷第1期南华大学学报(自然科学版)2024年2月图2㊀解u3的3D图和2D图Fig.2㊀3D diagram and2D diagram of the solution u3图3㊀解u5的3D图和2D图Fig.3㊀3D diagram and2D diagram of the solution u5图4㊀解u7的3D图和2D图Fig.4㊀3D diagram and2D diagram of the solution u707第38卷第1期杨春飞等:Kaup-Kupershmidt 方程的精确行波解2024年2月图5㊀解u 9的3D 图和2D 图Fig.5㊀3D diagram and 2D diagram of the solution u 94㊀结㊀论本文利用包含两个参数a 和b 的广义Riccati方程,用其解来代替tanh 函数方法中的tanh 函数,通过参数b 以及a 2-4b 的符号来准确判断这些精确解的数量和类型㊂得到了方程(1)不同类型的精确行波解,包括孤立波解㊁指数函数解和三角函数周期解㊂由此可见,本文所用扩展tanh 函数法是求解非线性偏微分方程精确解的一种有效方法㊂参考文献:[1]毛辉.两个广义短脉冲方程的Backlund 变换及其应用[J].应用数学学报,2021,44(3):340-354.[2]彭亚丽,套格图桑.用Hirota 双线性方法构造一种(3+1)维高维孤子方程的多孤子解[J].应用数学,2020,33(1):165-171.[3]ZHANG C.Analytical and numerical solutions for the (3+1)-dimensional extended quantum zakharov-kuznetsov equation[J].Applied and computational mathematics,2022,11(3):74-80.[4]吴丽华,赵倩.耦合Burgers 方程的Darboux 变换及精确解[J].华侨大学学报(自然科学版),2017,38(4):585-590.[5]赵贞,庞晶.基于改进的Jacobi 椭圆函数展开法构造STO 方程的解[J].内蒙古工业大学学报(自然科学版),2021,40(3):168-174.[6]CAI H,GUO N,CHANG J,et al.Extended tanh-functionmethod for solving traveling wave solutions of nonlinear Kundu equation [J].Communications in mathematical re-search,2016,32(3):281-288.[7]CHANG J,GAO Y X,CAI H.Generalized extended tanh-function method for traveling wave solutions of nonlinear physical equations[J].Communications in mathematical research,2014,30(1):60-70.[8]王倩,陈晓燕.扩展的Sinh-Gordon 方程展开法与Kaup-Kupershmidt 方程的Jacobi 椭圆函数解[J].纯粹数学与应用数学,2013,29(2):159-163.[9]翁建平.利用双曲函数法求Kaup-Kupershmidt 方程的精确解[J].长沙大学学报,2003,17(2):7-11.[10]INC M,MIAH M,AKHER C,et al.New exact solutionsfor the Kaup-Kupershmidt equation [J].Aims mathe-matics,2020,5(6):6726-6738.[11]罗琳,徐国进.对Tanh 函数法的推广及其在非线性方程中的应用(英文)[J].孝感学院学报,2004,24(3):58-62.17。

ch和sh函数的导数公式CH和SH函数是常见的超椭圆函数，常用于信号处理、图像处理和数据压缩等领域。

它们的导数公式是计算函数的变化率，对于理解和应用这两个函数至关重要。

我们来看CH函数的导数公式。

CH函数是一个偶函数，定义域为整个实数轴。

它的导数公式可以表示为：d/dx(ch(x)) = sh(x)其中，d/dx表示对x求导，sh(x)是双曲正弦函数。

双曲正弦函数sh(x)可以用指数函数的形式表示：sh(x) = (e^x - e^(-x))/2因此，CH函数的导数公式可以简化为：d/dx(ch(x)) = (e^x - e^(-x))/2接下来，我们来看SH函数的导数公式。

SH函数也是一个奇函数，定义域为整个实数轴。

它的导数公式可以表示为：d/dx(sh(x)) = ch(x)其中，d/dx表示对x求导，ch(x)是双曲余弦函数。

双曲余弦函数ch(x)可以用指数函数的形式表示：ch(x) = (e^x + e^(-x))/2因此，SH函数的导数公式可以简化为：d/dx(sh(x)) = (e^x + e^(-x))/2CH和SH函数的导数公式可以通过对指数函数的导数进行推导得到。

指数函数的导数公式是：d/dx(e^x) = e^x根据指数函数的导数公式，我们可以得到CH和SH函数的导数公式。

对于CH函数的导数公式，我们可以通过求导得到的结果进行验证。

根据CH函数的定义，我们可以计算其导数：d/dx(ch(x)) = lim(h→0) (ch(x+h) - ch(x))/h将CH函数的定义代入上式，并利用双曲正弦函数的性质，我们可以得到：d/dx(ch(x)) = lim(h→0) ((e^(x+h) + e^(-x-h))/2 - (e^x + e^(-x))/2)/h= lim(h→0) (e^x(e^h + e^(-h)) - e^(-x)(e^h + e^(-h)))/(2h)= lim(h→0) (e^x(e^h - e^(-h)) + e^(-x)(e^h -e^(-h)))/(2h)利用极限的性质，我们可以得到：d/dx(ch(x)) = (e^x - e^(-x))/2这与我们之前得到的导数公式一致，因此我们可以确认CH函数的导数公式的正确性。