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2.1.2 分数指数幂的概念及其运算律【学习目标】１.能举例说出分数指数幂的意义；２.能熟练地进行分数指数幂与根式的互化； ３.能类比整数指数幂的运算性质写出有理指数幂的运算性质并能用其进行具体计算．【学习重点】分数指数幂与根式的互化及幂的运算．【难点提示】分数指数幂的理解、有理数指数幂性质的灵活应用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材5054P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1.上节课我们学习了n 次根式的概念及相关性质，请填空：如果nx a =，那么x 叫做a 的 ，其中1n >，且n N ∈，叫做 ，这里n 叫做 ，a 叫做 ．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个 ．这时，a 的n 次方根用符号 表示．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为 ．这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 ．0的任何次方根是 ；负数 偶次方根，n = ,= ，在初中学习的整数指数幂的运算性质是 、 、 .2.预备练习 计算2322⨯= ；()322= ；()323⨯= ；21()2-= ．3.思考：我们已经知道12，21()2，31()2，…是正整数指数幂，它们的值分别为12，14，18…，那么121()2，157301()2，600057301()22332a a ⋅呢？ 这正是我们本节课要学习的知识．二、探究新知 1.分数指数幂的概念●观察思考()10250a aa ==>()12340a aa ===>观察以上两个式子思考：被开方数的指数与根指数和幂指数之间有何关系？ ●归纳归纳概括类比上面得出的规律，把正数的分数指数幂写成根式的形式为：m na = (*0,,a m n N >∈且1n >)；m na-= (*0,,a m n N >∈且1n >)；0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． 快乐体验（1）用根式的形式表示下列各式32135324(0):,,,.a a a aa-->====（2）= ， = ()0,0,0a b c >>>(((0)m n m n p =>=>=>●体验反思 上面的根式或分数指数幂有什么共同的点？为什么没有负数的分数指数幂呢？能把你的想法告诉大家吗? 上面的题有易错点吗？2.分数指数幂的运算性质算一算 A 组 2322⨯ 12244⨯ 23(3) 133(2) 112294⨯ 2253⨯B 组 52 524 63 1332⨯ 12(94)⨯ 2(53)⨯观察思考请观察上面两组运算的结果并思考（1）上述计算结果有哪些相等关系？ （2）这些相等关系是必然还是偶然？你再举一些例子试试，若是必然关系请将你的成果与大家分享！●归纳概括 根据以上观察，一般地，对于有理数指数幂有如下的运算性质()0,0,,a b r s Q >>∈（1）r s a a = ；（2）()sra = ；（3）()rab = ．快乐体验 1.下列运算中，正确的是（ ） A.236;a a a ⋅= B.()()3223a a -=-； C.()010a -=； D.()326a a -=-.2.求值：35214321168,25,,.281---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0a >）32,,.a a === 挖掘与思考：1.有理数指数幂的运算性质在什么条件下运用？ 2.有理指数幂与整数指数幂之间有何关系？还可以拓展吗？（链接1） 三、典例赏析例1（教材52p 例4和例5，请同学们先做，再看教材）计算下列各式：83184(1);m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 211511336622(2)263;a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2(3)0).a > 解：●解后反思 你是怎样求解的？教材又是怎样解答与书写的？各自用的什么方法？ ●变式练习 化简下列各式（1= ；（2）111824a a a -= ；例2.已知13a a-+=，求下列各式的值：（1）1122a a --；（2）3322a a --思路启迪：本题已知13a a -+=，求解目标是求1122a a--和3322aa--的．要是能把1122aa--和3322a a--用1a a -+表示出来，问题便能解决，如何建立它们间的关系，你想想能发现吗，然后试试．解:●解后反思 解答本例主要运用什么知识与方法，入手点、易错点在哪里？ ●变式练习 11221122.x y x y-+已知x+y=12,xy=9且x<y,求的值解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？ 如：分数指数幂的定义、幂指数的运算性质、运用幂指数的运算来解决问题时应注意什么条件等．2.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价1.计算下列各式0x y a b （、、、均大于）311824a a a-= ；1336827a b --⎛⎫= ⎪⎝⎭；126449-⎛⎫ ⎪⎝⎭= ； 2312527-⎛⎫⎪⎝⎭= ；1211133442436x x y x y --⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，= .2.已知21xa =，求33x xx xa a a a--++的值．1321113333113.111x x x xx x x x -+-+-+++-化简：4.解方程32142568x x +-=⨯．5.2x = 已知：求 x 的值6（选作）计算：（1◆承前启后 我们学习了指数与指数幂的运算，在运算中底数与指数都是常数，如果指数是变量x ，那么xx a 与有怎样的对应关系呢？即：若,,x R y R +∈∈:(01)x f x y a a a →=>≠且该对应关系能是函数吗？若能构成函数，又有那些性质呢？六、学习链接链接1：有理指数幂是整数指数幂推广的，有理指数幂还可以推广到无理指数幂 （请见教材5253p -）。
分数指数幂运算
分数指数幂运算是将一个分数作为底数，另一个分数作为指数进行计算的运算。
如果分数指数是正数，可以按照分数的定义进行计算。
例如，计算2^1/3，可以先计算2的立方根，再将结果与自身相乘，即2^1/3 = (∛2)^3 = 2。
如果分数指数是负数，可以使用倒数的概念进行计算。
例如，计算2^(-1/3)，可以先计算2的立方根的倒数，再将结果与自身相乘，即2^(-1/3) = 1/(∛2)。
如果分数指数是分数形式，可以使用乘法的性质进行计算。
例如，计算2^(2/3)，可以将指数分解为2×(1/3)，然后先计算2的立方根，再将结果平方，即2^(2/3) = (∛2)^2 = 2^(1/3) ×
2^(1/3) = (∛2) × (∛2)。
需要注意的是，分数指数运算可能会得到无理数的结果，因此可能需要进行近似运算或使用特定的表达式表示结果。
对分数指数幂概念的进一步分析作者：王思江来源：《中学教学参考·理科版》2012年第03期新课标高中数学必修一教材阐述了分数指数幂的概念，可是很多高中学生，甚至有些数学教师对其概念理解不是很透彻，因此对分数指数幂的概念有必要进一步分析首先我们来看教材上分数指数幂的概念.（1）规定正数的正分数指数幂的意义是（a＞0,m,n∈＞1)；（2）正数的负分数指数幂的意义是-（a＞0, m, n∈＞1)；（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义那么负数有没有分数指数幂呢？例如，①能比较(-与(-的大小吗？②求幂函数的定义域，自变量x能取负数吗？这些问题容易使人产生困惑.因此深入理解分数指数幂的概念是必要的1.所有的根式都可以写成分数指数幂的形式，即（ m, n∈＞也就是说分数指数幂是根式的另一种书写形式，只要根式有意义，不论a为何值，都可以写成分数指数幂的形式.但是要注意的是此时指数mn是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数.不能比较分数指数的大小，也不能进行约分、通分等运算例①中比较(-与(-的大小时，不能简单认为因为13=26，所以(--正确的做法是先还原成根式，再化简后比较大小解：∵(--1=-1，--，∴(-＜(-例②中：∵，∴函数的定义域为2.在分数指数幂或有理数指数幂运算时，我们要强调底数a必须大于0，否则就会出现错误例如化简［(-］（-1）（-1）-1 ，而这一结果显然是错误的，正确结果应为究其原因，分数指数mn只是一种记法形式，不具有数的性质，不是真正意义的分数，当然不能参与运算当底数a＜0时，对指数mn进行约分、通分等运算后的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果有很大的差异当底数a＞0时，对指数mn进行约分、通分等运算后的结果和把分数指数幂化成根式后进行运算的结果完全一致.此时指数mn与传统意义上的分数作用效果是相同的.这时把指数mn认为是普通分数是合理的所以有理数指数幂运算时，我们必须强调底数a大于(责任编辑金铃）。
2.2.1分数指数幂（在教师讲新课之前，请同学们先结合课本预习并完成学案的例题与练习）潘自知2009-10-10教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
教学重点：⑴理解n 次方根的意义，会进行简单的求n 次方根的运算。
⑵理解分数指数幂的意义，会进行分数指数幂与根式的互化。
教学难点：⑴n 次方根的意义和运算性质。
⑵分数指数幂的概念及其与根式之间的关系。
⑶幂指数的推广及运算性质的理解。
教学方法：二先二后 教学课时：1节 教学工具：常规 教学过程： 一、新课 1.根式⑴平方根：如果 ，那么x 称为a 的平方根。
⑵立方根：如果 ，那么x 称为a 的立方根。
⑶n 次方实数根：一般地，如果一个实数x 满足 （1>n ，*N n ∈），那么称x 为a 的n 次方实数根。
①当n 为奇数时，正数的n 次方实数根是一个 ，负数的n 次方实数根是一个 ，a 的n 次方根只有 ，记为=x 。
②当n 为偶数时，正数的n 次方实数根有 个，它们互为 ，这时，正数a 的正的n 次方实数根用符号 表示，负的n 次方实数根用符号 表示，它们可以合并写成 （0>a ）的形式。
③0的n 次方实数根等于 。
⑷根式：式子n a 叫做根式，其中n 叫做 ，a 叫做 。
例题1：（课本例题1及思考）求下列各式的值：⑴2)5( ⑵33)2(- ⑶44)2(- ⑷2)3(π-思考：⑸=n n a )( ⑹=n na活学活用1.求下列各式的值：⑴410 ⑵55)1.0(- ⑶66)(y x -（y x >） ⑷33)2(y x +-2.分数指数幂 ⑴分数指数幂的意义 ①规定=n m a （0>a ，m 、n 均为正整数），这是正数a 的正分数指数幂的意义。
②规定=-nm a（0>a ，m 、n 均为正整数），这是正数a 的负分数指数幂的意义。
③0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂 。
高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。
2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。
3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。
二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。
难点：分数指数幂的计算及实际应用。
三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。
（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。
板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。
板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。
例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。
四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。
在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。
在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
分数指数幂学习目标：1.掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中2.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.学习重点：根式的概念性质；指数幂的概念与运算性质. 学习过程： 一、内容： （一）根式1．根式的概念如果a x =2，那么x 称为a 的平方根；如果a x =3，那么x 称为a 的立方根。
一般地，如果一个实数x 满足 ，则称x 称为a 的n 次实数方根。
其中n 的范围为 2.根式的性质①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数.记作：na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）.记作：na x ±=③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为0式子n a 称为根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3.根式的运算性质①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .⑶根式的基本性质：n m npm p a a =，（a ≥0）. 例1求值 ①33)8(-②2)10(- ③44)3(π- ④)()(2b a b a >- 去掉‘a>b ’呢（二）分数指数幂 复习回顾：1．整数指数幂的概念。
)(.....相乘个a n a aaa an=)0(10≠=a a *),0(1N n a aa n n ∈≠=- 2．运算性质：m n m n m n mn n n n (1).a a a (m,n Z)(2).(a )a (m,n Z)(3)(ab)a b (n Z)+⋅=∈=∈=⋅∈3．注意① n m a a ÷可看作n m a a -⋅可归入性质（1） ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -；② n b a )(可看作nn b a -⋅ 可归入性质（3） ∴n b a )(=n n b a -⋅=n n ba1.分数指数幂nm a 中，a 叫做 ，n m叫做 ,n ma 叫做 。
指数函数一、根式与分数指数幂1. 根式定义根式：一般地，若x n=a（a为非负实数，n为正整数），则x叫做a的n次方根，记作或。
其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。
2. 根式性质当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数；负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0。
3. 根式运算化简：通过因式分解、合并同类项等方法将复杂的根式化简为最简形式。
求值：将根号下的数按照因数分解的形式写出，然后求出完全平方数的平方根，最后相乘得到最终结果。
和（差）：将根式化为最简形式后，合并同类项。
积（商）：合并同类项，分解各个项，然后化简得到最终结果。
4. 分数指数幂定义分数指数幂：一个数的指数为分数，如（a>0，m,n∈N∗且n>1），其中a的次幂等于n次根号下a的m次方，即。
二、分数指数幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数相同，指数相加2、同底数幂相除：底数相同，指数相减3、幂的乘方：指数相乘4、任何非零数的0次幂都等于15、负指数幂表示倒数三、实数指数幂的运算及其性质1、实数指数幂的基本概念实数指数幂指的是形如 a n 的数，其中 a 为实数（且 a≠0），n 为实数。
实数指数幂包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂以及无理数指数幂。
2、运算性质同底数幂相乘：a m•a n=a m+n同底数幂相除：a m/a n=a m−n（a≠0）幂的乘方：(a m)n=a mn分数指数幂：（a>0，m,n 为正整数，n>1）负整数指数幂：（a≠0）零指数幂：a0=1（a≠0）四、无理数指数幂有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理，基于数学中的极限思想和连续性概念。
由于无理数无法直接表示为两个整数的比，我们需要通过一系列越来越接近该无理数的有理数来逼近它，从而计算出对应的指数幂值。
这一过程体现了数学中的逼近和极限思想，是微积分等更高层次数学的基础。
分数指数幂的概念
嘿，朋友们！今天咱来聊聊分数指数幂这个有意思的玩意儿。
你们想想啊，这分数指数幂就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学大门呢！咱平常的整数指数幂就像是直来直去的大道，好走，也容易理解。
但这分数指数幂啊，就像是一条有点曲折、但充满惊喜的小路。
比如说，二的平方，这多简单呀，就是四个二相乘嘛。
可要是二的二分之一次方呢？这可就有点特别啦！它就像是把二这个数给“切”了一下，变得不一样了。
这就好比你有一块大蛋糕，整数指数幂就是把蛋糕整个地翻倍或者分成好多份，而分数指数幂呢，就是从蛋糕上切下那么一小块，有着独特的味道和价值。
咱再想想，在生活中是不是也有这样类似的情况呀？有些事情看起来很简单直接，就像整数指数幂。
但有些时候，我们会遇到一些不那么直接的情况，就像分数指数幂，需要我们多琢磨琢磨，才能搞明白其中的奥秘。
你说，这分数指数幂是不是挺有意思的？它让数学变得更加丰富多彩啦！它就像是一个隐藏的宝藏，等待着我们去挖掘。
而且啊，一旦你掌握了分数指数幂，那解决问题可就更得心应手啦！就好像你有了一把更厉害的工具，能处理那些以前觉得有点难搞的问题。
那怎么才能更好地理解和运用分数指数幂呢？这就需要我们多做练习，多去思考啦！就像学骑自行车一样，一开始可能会摇摇晃晃，但多骑几次，不就熟练了嘛。
咱可别小瞧这分数指数幂，它在很多地方都能派上大用场呢！数学的世界那么大，有了它，我们就能探索更多的未知领域。
所以呀，大家可别对分数指数幂感到害怕或者头疼，要勇敢地去面对它，和它成为好朋友。
相信我，等你真正了解它了，你会发现它真的很有趣，很有用！这分数指数幂啊，就是数学世界里的一颗闪亮星星，等着我们去摘取呢！。
高一数学分数指数幂、分数指数人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：指数二. 本周重、难点： 1. 重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质。
2. 难点：根式的概念和分数指数幂的概念。
【典型例题】[例1] 求值：（1）32)278(-（2）246347625-+-++ 解：（1）49)23()32()32(])32[()278(22)32(332332=====--⨯-- （2）原式222)22()32()32(-+-++=223232-+-++=4=[例2] 化简：（1）33a a a（2）21323231212132)4()6()2(-÷-⋅ba b a b a（3）33323323134)21(248a ab aab b b a a ⋅-÷++- 解：（1）原式1813219132194213134213131)()(])([])([a a a a a a a a a ==⋅=⋅=⋅⋅=（2）原式31312131213231313121213221)6(2)2()6)(2(++-+-⨯⨯-⨯=÷-=b a b a b a b a67656b a -=（3）原式3131323131323134])(21[248a abab a b b a a ⋅-÷+--=313131313131313131313132313132312)2(224)8(a ba ab a a a b a aab a b b a a ⋅-⋅-⋅=⋅-⋅++-=a = [例3]（1）已知122+=na，求nn nn aa a a --++33的值。
（2）若)0(212121>=+-a x a a ，求xx x x x x 424222----+-的值。
解：（1）原式nn nn n n n n a a aa a a a a 22221)1)((----+-=++-+= ∵ 122+=na得12121122-=+==-n n aa∴ 原式12212112-=-+-+=（2）由212121-+=a a x 即aa x 1+= 得21++=aa x 222)1()1()21)(21()4(4aa a a a a a a x x x x -⋅+=-+++=-=- 2)1(aa -= ∴ 原式⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=--+-++=-)10()1(111122a a a a aa a a a a a a [例4]（1）已知：51=+-aa ，求22-+a a ，2121-+a a ，2121--aa 。
