分数指数幂及其运算

数学指数幂运算公式大全
在数学中，指数幂运算是一种常见且重要的数学运算方式。

以下是一些常见的指数幂运算公式：
1.正整数指数幂：
对于任意实数a和正整数n，有a^n = a × a × ... × a (n个a相乘)
2.负整数指数幂：
对于任意非零实数a和负整数n，有a^(-n) = 1 / (a^n)
3.零指数幂：
对于任意非零实数a，有a^0 = 1
4.幂运算的乘法：
对于任意实数a和正整数m、n，有a^m × a^n = a^(m+n)
5.幂运算的除法：
对于任意非零实数a和正整数m、n，有a^m ÷ a^n = a^(m-n)
6.幂运算的乘方：
对于任意实数a和正整数m、n，有(a^m)^n = a^(m×n)
7.幂运算的倒数：
对于任意非零实数a和正整数n，有(1/a)^n = 1 / (a^n)
8.幂运算的分数指数：
对于任意非负实数a、正整数m、n，有(a^m)^(1/n) = a^(m/n)
9.幂运算的乘方根：
对于任意非负实数a、正整数m、n，有(a^m)^(1/n) = a^(m/n)
除了以上基本的指数幂运算公式，还存在更多的特殊公式和拓展，如指数规律、对数运算等。

这些公式和规律在数学的各个领域都有广
泛的应用，包括代数、几何、微积分等。

指数幂的运算法则
1、指数加始篇减底不变，同底数幂相乘除。

2、指数相乘底不变，幂的乘方要清畜川楚。

3、积商乘方原指数，换底乘方再乘除。

4、非零数的零次幂，常值为1不糊涂。

5、负整数的指数幂，指数转正求倒数。

6、看到分数指数幂，想到底数必非负。

7、乘方指数是分子，根指数要当分母。

在数学上我们把n个相同的因数a相乘的积记做a^n。

这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在a^n中,a叫做底数,n叫做指数。

a^n读作“a的n次方”或“a的n次幂“。

一个数可以看做这个数本身的一次方。

例如，5就是5^1，指数1通常省略不写。

二次方也叫做平方，如5^2通常读做”5的平方“；三次方也叫做立方，如5^3可读做”5的立方“。

正整数指数幂的运算性质如下：
1、am·an=am+n（m，n是正整数）。

2、（am）n=amn（m，n是正整数）。

3、（ab）n=anbn（n是正整数）。

4、am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数，m>n）。

5、a0=1（a≠0）。

一、复习引入回顾平方根、立方根的有关概念．归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.二、新课讲解1、根式若n x a =（1>n ，+∈N n ）则x 叫做a 的n 次方根说明：n nn a n a a n a n a ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为为正数:为偶数, 的次方根有两个,为零的n 次方根为零，记为00n =如果n a 有意义，那么n a （1>n ，+∈N n ）叫做根式.其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2、分数指数幂（1）规定10=a ，n n a a1=- （2）规定正数a 的正分数指数幂的意义为 n m n ma a=)1,,(>∈+n N n m ） 规定正数a 的负分数指数幂的意义为 n m n ma a 1=-)1,,(>∈+n N n m ）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.课内练习 P41 练习7.1.1 题2，3（3）引入了分数指数幂后，整数指数幂就推广到了有理数指数幂。

对于有理数指数幂，整数指数幂的运算性质保持不变，即：t s t s a a a +=•，st t s a a =)(，ss s b a ab •=)(， 其中Q t s ∈,，0,0>>b a 。

例1求下列各式的值解：33(1)(8)-= —8； 2(2)(10)-=|—10|=10； 44(3)(3)π-=3π- 2(4)()a b -=a b - 例题2：求值：238；1225-；51()2-；3416()81-. 解：① 223338(2)=2323224⨯===； ② 1122225(5)--=12()121555⨯--===； ③ 5151()(2)2---=1(5)232-⨯-==；④334()44162()()813-⨯-=3227()38-==. 例题3：用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）3.a a ；322a a ⋅；3a a . 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算 解：117333222.a a a a aa +=⋅==； 232223a a a a ⋅=⋅28233a a +==； 例1．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-（2）31884()m n -分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.解：（1）原式=211115326236[2(6)(3)]ab +-+-⨯-÷-=04ab =4a （2）原式=318884()()m n - =23m n -四、巩固练习五、课堂小结1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a 是的次方根. ,x a n n 为奇数时,= n 为偶数时，n x a =±；2．掌握两个公式：,n n a n 为奇数时,()3．分数指数是根式的另一种写法.4．无理数指数幂表示一个确定的实数.5．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.六、布置作业教材 P44 1、2、3。

⼀个数分数指数幂运算法则及推导
1.⼀个数分数指数幂运算法则
1.2证明推导
a m/n =( a m) 开n 次⽅，（a>0,m、n ∈Z且n>1），证：
令 ( a m) 开n 次⽅ = b
两边取 n次⽅，有
a m =
b n
a m/n= a m(1/n) = (
b n)(1/n) = b = a m开n 次⽅
即 a m/n = ( a m) 开n 次⽅
==========================================================
1.根号及运算法则
成⽴条件：a≥0，n≥2且n∈N。

成⽴条件：a≥0, n≥2且n∈N。

成⽴条件：a≥0，b>0，n≥2且n∈N。

成⽴条件：a≥0，b>0,n≥2且n∈N。

2.性质：
在实数范围内：
（1）偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。

（2）奇次根号下可以为负数。

不限于实数，即考虑虚数时，偶次根号下可以为负数，利⽤【i=√-1】即可
3.根式与分数指数幂的互化：
这部分经常弄错。

根号左上⾓的数当分数指数幂的分母，根号⾥⾯各个或的指数当分数指数幂的分⼦，注意，各个因式（因数）如果指数不同，要分开写。

即是内做⼦，外做母，同母可不同⼦。

电脑打根号⽅法：alt+41420。

亲爱的同学们，大家好！今天，我们将进一步讨论分数指数幂的同底数运算，希望通过今天的学习，能够让大家掌握这个知识点，并且能够熟练运用同底数运算规则求解。

我们来复习一下分数指数幂的定义。

分数指数幂，就是指数为分数的幂，例如2的1/2次方，2的2/3次方等等。

在这种情况下，我们需要首先理解分数指数幂的含义，我们以2的1/2次方为例，这个式子可以写成根号2，也就是2的平方根。

因此，我们也可以推广到其他的分数指数幂中，例如2的2/3次方，可以写成2的3次方根号2。

接下来，我们将讨论同底数运算的规则。

同底数运算的规则非常简单，就是将同一底数的指数相加，例如2的3次方乘以2的5次方，可以写成2的8次方。

用公式表示，就是a的m 次方乘以a的n次方，等于a的m+n次方。

在进行同底数运算的时候，有时候我们需要进行一些化简，例如对于3的1/2次方乘以9的3/2次方，我们可以先将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。

除了同底数运算，我们还需要学习同底数约分的方法。

同底数约分的方法非常简单，就是对于同一底数，将指数相减即可。

例如2的5次方除以2的3次方，可以写成2的（5-3）次方，也就是2的2次方。

在进行同底数约分的时候，有时候我们需要注意，即需要将分数指数幂的平方根或者三次方根化成分数形式，例如8的1/6次方可以写成（2的3次方）的1/6次方，然后化成分数形式，变成（2的1次方）的1/3次方，这样就可以进行同底数运算了。

让我们来看几个例子，来加深理解。

例子1：计算2的2/3次方乘以2的5/3次方。

答案：这个时候我们需要将指数相加，得到2的7/3次方。

例子2：计算3的1/2次方乘以9的3/2次方。

答案：这个时候我们需要进行一些化简，将9的3/2次方化简为（3的2次方）的3/2次方，接着可以将3的1/2次方写成3的1次方的1/2次方，然后代入同底数运算的公式中，即可得到3的2次方。

分数指数幂的混合运算是初中数学中一个非常重要的概念，掌握好这个概念可以为学生以后的数学学习打下坚实的基础。

在前一篇教案中，我们介绍了分数指数幂的基本概念和乘除混合运算的方法。

在本篇教案中，我们将为大家介绍一个非常重要的内容，那就是分数指幂的运算的优先级顺序。

一、认识优先级顺序在进行分数指数幂的混合运算中，我们需要知道哪些运算符先进行，哪些运算符后进行。

例如，我们知道在一般的四则运中，乘法和除法的优先级要高于加法和减法。

那么在分数指数幂的混合运算中，我们又该如何确定优先级顺序呢？二、分数指幂混合运算的优先级顺序1、先执行指数运算在分数指幂混合运算中，指数运算的优先级最高。

什么是指数运算呢？我们知道，在一个数a 的b次方中，b就是指数，a就是底数。

例如，“2的3次方”中的2就是底数，3就是指数。

因此，当我们遇到分数指数幂混合运算的式子时，首先要做的就是先进行指数运算。

例如，下面这个式子：2^(1/2) × 3^4 × 5^(1/3)我们应该先进行指数运算。

其中，“2的1/2次方”相当于根号2，“5的1/3次方”相当于3次方根号5。

因此，原式可以化简为：√2 × 3^4 × ³√52、其次执行分数运算在分数指数幂的混合运算中，分数运算的优先级次于指数运算。

当指数运算计算完成后，我们要进行的就是分数运算。

在进行分数运算时，我们需要注意分母的通分问题。

例如：1/(2^3) + 2/(3^2) - 3/(5^3)其中，2的3次方相当于8，3的2次方相当于9，5的3次方相当于125。

因此，我们要进行分母的通分操作，得到：125/(2^3 × 5^3) + 500/(3^2 × 5^3) - 24/(2^3 × 3^2 × 5^3)再进行分子的加减操作，得到最终结果。

3、最后执行乘除运算在分数指数幂混合运算中，乘除运算的优先级最低。

分数指数幂的运算法则如下：
指数相乘底数不变，幂的乘方相乘除。

指数加减底数不变，同底数幂相乘除。

积商乘方原指数，换底乘方再乘除。

负整数的指数幂，指数转正求倒数。

非零数的零次幂，常值为1不相乘除。

看到分数指数幂，底数必为非负数。

乘方指数是分子，根指数要当分母。

对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：
(1)ar×as=a(r+s) (a>0,r,s∈Q)。

(2) (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)。

(3) (ab)r=ar×br (a>0,b>0,r∈Q)。

分数指数幂的意义：
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。

分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n次根号(a的m次幂)可以写成a的m/n次幂。

幂是指数值，如8的1/3次幂=2，一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方。

正数的正分数指数幂的意义是——a的n分之m次方=n√a的m次方（a>0,m、n属于正整数，n>1），0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。

分数指数幂责编：康红梅【学习目标】1. 掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.2. 会用计算器计算分数指数幂.【要点梳理】要点一、分数指数幂把指数的取值扩大到分数，我们规定()0m n aa =≥， ()0mna a -=>，其中m n 、为正整数，1n >. 上面规定中的mn a 和m n a -叫做分数指数幂，a 是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.要点诠释：（1）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数.（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.要点二、有理数指数幂的运算性质设00a b p q >>，，、为有理数，那么（1）p q p q p q p q a a aa a a +-=÷=，. （2）()q p pq a a =.（3）()p p p p p p a a ab a b b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，.【典型例题】 类型一、分数指数幂的运算1、 把下列方根化为幂的形式：（1 （2 （3（4【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题.【答案与解析】解：（1135=；（2343=；（3128-=；（41155122-⎛⎫==⎪⎝⎭.()0mna a=≥，其中m n、为正整数，1n>.举一反三：【变式】(2015.三台期末)（0a>，m n、为正整数，n＞1）用分数指数幂可表示为（）A.nma B.mna C.nma- D.mna-【答案】D；mna=，mna-=.2、口算：（1）1216；（2）1327；（3）12144；（4）14256.【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值.【答案与解析】解：（1）12164==；（2）13273==；（3）1214412==；（4）142564==.【总结升华】求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分数指数幂的值是一个正数. 举一反三：【变式】口算：（1）1481-；（2）14116⎛⎫⎪⎝⎭；（3）1236.【答案】解：（1）141813-==；（2）1411162⎛⎫==⎪⎝⎭；（3）12366==.3、(2015.黄石模拟)用计算器计算,结果保留三位小数：（1）135；（2）3457⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）2310. 【答案与解析】解：（1）135 1.710≈；（2）3450.7777⎛⎫≈ ⎪⎝⎭； （3）2310 4.642≈.【总结升华】利用计算器，可直接求出一个分数指数幂的值，要熟悉求分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系.4、 计算：（1） ()13827⨯；（2） 4112235⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）3422335⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（4）6113223⎛⎫÷ ⎪⎝⎭ 【答案与解析】解：（1） ()()1113333338272366⨯⨯=⨯==； （2） 41122223535925225⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭；（3）3422233353591251125⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭； （4）6111166233322423232327⨯⨯⎛⎫÷=÷=÷= ⎪⎝⎭. 【总结升华】利用有理数指数幂的运算性质解题.。

数的分数幂运算数的分数幂运算是数学中常见的运算方式，通过将数的乘方推广到分数的形式，可以更准确地表达数与数之间的关系。

本文将介绍数的分数幂运算的定义、性质以及一些实际应用。

1. 定义数的分数幂运算是指将一个数的指数改以分数的形式表示，并进行相应的运算。

通常我们用 a^(m/n) 表示，其中 a 是底数，m 是分子表示指数，n 是分母表示根号。

2. 性质数的分数幂运算具有以下几个性质：- (a^m)^n = a^(m*n)：若幂运算中存在多个指数，可以先计算指数的乘积再进行幂运算。

- a^(m/n) * a^(p/q) = a^((mq+np)/(nq))：同底数、不同指数的分数幂可以通过乘法合并为一个分数幂。

- (ab)^(m/n) = a^(m/n) * b^(m/n)：多个底数的分数幂可以分开计算再进行乘法运算。

3. 实际应用数的分数幂运算在实际应用中广泛存在，特别是在科学计算和工程领域有着重要的作用。

- 对于根号运算：我们可以将根号运算转化为分数幂运算的形式。

例如，√x 可以表示为 x^(1/2)。

这样可以更方便地进行计算和推导。

- 在计算复利和贴现问题时，分数幂运算也有很大的帮助。

例如，当我们计算每期利率时，可以将利率的分数幂写成十进制形式，更容易计算。

总结：数的分数幂运算是一种重要的数学运算方式，通过将指数推广到分数的形式，可以更精确地表示数与数之间的关系。

数的分数幂运算具有一些重要的性质，使得我们可以在实际应用中更方便地进行计算和推导。

无论是在学术研究还是实际应用中，了解和掌握数的分数幂运算都是非常重要的。

注意：本文中的数学符号和公式可能无法完全显示，请以文字描述为准。