分数指数幂的运算

分数指数幂运算
分数指数幂运算是将一个分数作为底数，另一个分数作为指数进行计算的运算。

如果分数指数是正数，可以按照分数的定义进行计算。

例如，计算2^1/3，可以先计算2的立方根，再将结果与自身相乘，即2^1/3 = (∛2)^3 = 2。

如果分数指数是负数，可以使用倒数的概念进行计算。

例如，计算2^(-1/3)，可以先计算2的立方根的倒数，再将结果与自身相乘，即2^(-1/3) = 1/(∛2)。

如果分数指数是分数形式，可以使用乘法的性质进行计算。

例如，计算2^(2/3)，可以将指数分解为2×(1/3)，然后先计算2的立方根，再将结果平方，即2^(2/3) = (∛2)^2 = 2^(1/3) ×
2^(1/3) = (∛2) × (∛2)。

需要注意的是，分数指数运算可能会得到无理数的结果，因此可能需要进行近似运算或使用特定的表达式表示结果。

思源个性化学习讲义【知识精要】1．分数指数幂的意义： 一般地,我们规定 n m nm a a = ()1,0>≥n n m a 为正整数，、 ,这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 规定nm n maa-=1()1,0>>n n m a 为正整数，、其中的nm nm a a -、叫做分数指数幂，a 是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.注：（1）0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. （2）若无特殊说明，底数中的字母均为正数。

2. 当a >0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s ,均有下面的运算性质：设q p b a 、,0,0>>为有理数（1）q p q p qp q p a a a a a a -+=÷=⋅，（2）()pq qpa a =（3）()p p pp p pb a b a b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛=，【热身练习】1. 把下列方根化为分数指数幂的形式（1）310 （2）32101（3）3100 （4）41002. 求值(1)21169 (2)3264 (3) 239- (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43256（ ）A.3B.3-C.3±D.81 4．当a _________时，式子23a 有意义 5. 若0>a ，则43a 和53-a 用根式形式表示分别为 和6.56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和【精解名题】 1. （1）23425-⎪⎭⎫⎝⎛= ；（2） 63125.132⨯⨯= ________2. 计算：631010⨯=__________________3.3151写成幂的形式______________4.化为分数指数幂的形式为 ___________________5. 583221)22(--化为分数指数幂得 _________________________6.式子 （ ）7. 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。

高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。

2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。

3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。

二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。

难点：分数指数幂的计算及实际应用。

三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。

（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。

板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。

板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。

例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。

四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。

在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。

在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。

近似数的精确度分数指数幂及运算
在数学中，我们经常会遇到需要进行近似数的计算，这时候我们需要考虑到近似数的精确度。

近似数的精确度是指我们所得到的近似数与真实值之间的误差大小。

在实际应用中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。

在分数的运算中，我们需要注意分母的大小，因为分母越大，分数的精确度就越高。

例如，1/2和1/1000相比，1/2的精确度要高得多。

在进行分数的加减乘除运算时，我们需要先将分数化为相同的分母，然后再进行运算。

这样可以避免分母不同导致的误差。

指数幂是数学中常见的运算方式，它可以用来表示一个数的幂次方。

例如，2的3次方等于8，即2³=8。

在进行指数幂的计算时，我们需要注意底数和指数的大小关系。

如果底数比较大，指数比较小，那么我们可以直接计算出结果。

但如果底数比较小，指数比较大，那么我们需要使用科学计数法来表示结果，以保证精确度。

在运算中，我们还需要注意数值的精确度。

例如，当我们进行小数的加减乘除运算时，我们需要注意小数点后的位数，以保证计算结果的精确度。

如果小数点后的位数太多，我们可以使用四舍五入的方法来保留合适的位数。

在数学中，我们需要根据具体情况来确定近似数的精确度，以保证计算结果的准确性。

在分数、指数幂和运算中，我们需要注意数值
的大小关系和精确度，以避免误差的产生。

§指数与指数幂的运算（2）1.理解分数指数幂的概念；2.掌握根式与分数指数幂的互化；3.掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备：（预习教材P 50~P 53，找出疑惑之处） 复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的，其中1n >,n *∈N .简记为：.的式子就叫做，具有如下运算性质：n =；=. 复习2：整数指数幂的运算性质：（1）=⋅n m a a ；（2）()m n a = ；（3）()n ab =.二、新课导学 ※学习探究：引例：a >01025a a ===；23a =，= .新知：规定分数指数幂如下：*(0,,,1)m na a m n N n =>∈>；*1(0,,,1)mnm naa m n N n a-==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：=；=；=(0,)a m N *>∈.（2）将下列分数指数幂写成根式形式：322=；255=；436-=；32-a= )0(≠a .反思：①0的正分数指数幂为 ； 0的负分数指数幂 .②分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（0,0,,a b r s Q >>∈）s r s r a a a +=；rs s r a a =)(；rr r b a ab =)(．※典型例题 例1求值：=328；=-2125；=-5)21(；=-43)8116(.例2用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >： （1）=•a a 3；（2）a 2•√a 23=；（3）=•3a a；例3计算（式中字母均正）：（1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-（2）88341)(-nm例4计算：（1）4325)12525(÷- （2）)0(322>•a aa a小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）②无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？三、总结提升 ※学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.1. 用分数指数幂表示下列各式：=32x)0(>x ；=+44)(b a；=-32)(n m)(n m >；=-4)(n m)(n m >.=56q p)0(>p ；=mm 3.2.计算下列各式=23)4936(；=-814121aa a ；=⨯⨯63125.132；=---)221(2323131x x x课后作业1.化简下列各式：=623b a a b；=a aa2121；=•••415643)(mm m m m2.计算下列各式（式中字母均正）：=1274331aa a ；=÷654332a a a；=-124331)(yx；(16s 2t −625r 4)−32= ； =-÷---)32(431313132a a ba；=----)4)(3)(2(324132213141y x y xyx；=-+--)32)(32(41214121yx y x；=-÷----)6()3(43221314141yxy x x；。

分数指数幂定义
分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式。

负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点。

分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。

分数指数幂是根式的另一种表示形式，
即n次根号(a的m次幂)可以写成a的m/n次幂。

幂是指数值，如8的1/3次幂=2
一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方
重点:
1、分数指数幂的含义的理解。

2、根式与分数指数幂的互化。

3、有理指数幂的运算性质。

难点:
1、分数指数幂概念的理解。

2、有理指数幂的运算和化简。

指数函数的运算性质教学目标：能用分数指数幂的运算法则解决一些数学问题.教学重难点：重点 掌握分数指数幂的运算法则.知识复习：上一节课，学习了分数指数幂的概念，即给定a 对于任意给定的,(,,(,)1),m n m n Z m n ∈=存在唯一的0,b >使得,n m b a =把b 叫作a 的m n次幂，记作 (0).mnb a a => 正分数指数幂的根式形式，即(0,,),m n a a m n Z +=>∈其中n 叫作根指数，m 叫幂指数.负分数指数幂的意义，即1(0,,,mn mn a a m n Z a -+==>∈且1).n >0的正分数幂等于零，0的非负分数幂无意义.无理指数幂（可以用有理数的不足近似数和过剩近似数进行逼近）一、正整数指数幂的运算法则（1）同底数幂相乘 ;m n m n a a a +=同底数幂相除 (0).mm n m n n a a a a a a--==≠ （2）幂的乘方 ();m n mna a = （3）积的乘方 ().m m m ab a b =商的乘方1()(0).nn n n a ab a b b b --⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭其中,.m n N ∈把它推广到分数指数幂也成立，二、分数指数幂的运算法则90对于,0,,a b m n >取任意数，有（1）;m n m n a a a +=（2）();m n mna a = （3）().m m m ab a b =三、例题例1. 用指数形式表示并化简.例2. 化简(1)3);x 1(2)()(4).a a a x y y -例3. 已知103,10 4.αβ==求()()()(2)510,10,10,10.βαβαβα+-- 四、探究问题与作业 1. 函数y ex =与xy e =的交点个数.课后作业:习题1、2、3.五、课后小节指数函数的性质六、板书设计友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

分数指数幂课时目标1. 理解分数指数幂的意义，会进行方根和分数指数幂间的转化；2. 理解有理数数指数幂的运算性质，并能熟练应用于计算；知识精要1. 分数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，规定：(0)m na a =≥m na-=(0)a >，其中m ，n 为正整数，1n >.m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数.注：当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数. 2. 有理数指数幂整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 3. 有理数指数幂运算性质设0,0a b >>，,p q 为有理数，那么 （1）()p q pq a a =，p q p q a a a -÷= （2）()p q pq a a =（3）(),()ppppp p a a ab a a b b==4. 分数指数幂的运算（1）应用幂的运算性质进行分数指数幂的运算.（2）将方根化成幂的形式后能运用幂的性质，可使运算简便，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.热身练习1. 把下列方根化为幂的形式（1 （2） （3（4） （5 （6说明：根据1na =0a ≥）进行求解，但要记住：当n 是偶数时，若0a <，则没有意义. 2. 计算（1）131()27- （2）238()27（3）121()16-（4）0.57(1)9（5）12(32) （6）3121)64(3. 计算（1）138()27（2）21331010⨯ （3）112228⨯（4）111362a a a ÷g （5）211055(25)⨯4. 利用幂的运算性质运算：（1 （2 （3精解名题例1 计算（1）43555÷⋅ （2）251232)3(32)27(2-+---（3）643321648⋅÷⋅ （4）1243aaa a ⋅⋅（5）05321)15(125)259(+---（6）34141331064.028|48|÷⨯--（7）4141241)21()41()21(+⋅+⋅-a a a （8）)4()2(3312161326561y x y x y x ⨯-÷（9）212131])27[()3()6427(-+---- （10）22121])32()32[(--++例2 94,24==βα，求βα2122-的值.例3 ）（，求下列各式的值已知121211:3--+=+x x xx ）（222-+x x例4 的值，求已知32131313133124---++⨯⨯=a a a a .例5 化简a b c备选例题例1 已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.例2 已知210(0)xaa =>，求x xx xa a a a--+-的值.例3 已知：01522≤--x x ，化简25109622+--++x x x x .巩固练习1.用幂的形式表示下列各数 （1）6 35-323-（2）3m 错误!未找到引用源。

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。

另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。

整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。

其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。

例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。

二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。

例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。

例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。

二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。

当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。

规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。