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f ( x) 2a2 3 2a3( x x0 ) L
n(n 1)an( x x0 )n2 L
令 x x0,
即得a2
f ( x0 ) 2
f (n)( x) n!an (n 1)nL 3 2an1( x x0 )
L
令 x x0 , 即得
an
1 n!
f
(n)( x0 ),(n
2!
n!
ex 1 x 1 x2 L 1 xn L
2!
n! x (,)
令x 1,则 e 1 1 1 L 1 L
2!
n!
e 11 1 L 1
2!
n!
误差为
n
1
1!
n
1
2
!
L
1 n n!
e 1 1 1 L 1 2.71828 误差 105
2!
8!
例2 将f ( x) sin x展开成x的幂级数.
x0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)i
则Rn( x) f ( x) sn1( x),
因f ( x)能展开为泰勒级数,
有
lim
n
sn1
(
x)
f (x)
lim
n
Rn (
x)
lim[
n
f
(
x)
sn1 (
x)]
0;
充分性
f ( x) sn1( x) Rn( x),
lim[
n
f
(
x)
sn1
(
x)]
lim
n
Rn
(
x)
0,
即
lim
f
(n) ( x0 )( x n!
x0 )n
称为 f ( x) 在点 x0 的泰勒级数.
f (n) (0)x n
n0 n!
称为 f ( x) 在点 x0 0 的麦克劳林级数.
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x n1
n 1
!
0,
n
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
sin x的幂级数与多项式逼近
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
第四节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
由上节知 xn
1
,
(1 x 1)
n0
1 x
求 和 和函数
问题:
展开？ 函数 f ( x)
1.如果函数能展开,幂级数系数 an是什么?
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下函数才能展开成幂级数?
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)
n
sn1
(
x
)
f ( x),
f ( x)的泰勒级数收敛于 f ( x).
展开式的惟一性：
如果f x 在x x0的某邻域内能展开成
幂级数，即
f x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 L
an x x0 n L
逐项求导,得
f ( x) a1 2a2( x x0 ) L nan( x x0 )n1 L
x
x0
n1
在x0与x之间
由泰勒公式：f x Pn x Rn x 有
f x Pn
n i0
f
i x0
i!
x
x0
i
,
x
U
x0
误差是 Rn x
称为泰勒级数
设想：
若n ,则 Pn
n0
f n x0 n!
x x0 n
定义
如果 f ( x)在点 x0 处任意阶可导, 则幂级数
n0
0,1, 2,L
)
泰勒系数 是唯一的,
f ( x)的展开式是唯一的.
如果f x能展开成幂级数，那么这个
级数一定是f x的泰勒级数，但是反过来
如果f x的泰勒级数在x0的邻域内收敛， 它却不一定收敛于f x.
例如
f
(x)
e
1 x2
,
0,
x0 x0
除 x 0 外,
f ( x)的麦克劳林级数处处不收敛于 f ( x).
f
(
x)
e
1 x2
,
x0
在x=0点任意阶可导,
0, x 0
且 f (n)(0) 0 (n 0,1,2,L )
f ( x)的麦克劳林级数为 0 xn n0 该级数在(,)内和函数 s( x) 0.
可见 除 x 0 外, f ( x)的麦克劳林级数 处处不收敛于 f ( x).
因此，函数各阶导数存在，可以写出
解 f (n) ( x) sin( x n), f (n) (0) sin n ,
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2, )
且 f (n)( x) sin( x n ) 1 x (,)
2
Rn x
f n1 n 1!
xn1
解 f (n) ( x) e x , f (n)(0) 1. (n 0,1,2,L )
ex 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
Rn x
n
e
1
!
x
n1
ex
x n1
n 1
!
,
在0与x之间
lim
n
Rn
x
0
有限
0 Q n1
x n1 收敛 n1 !
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
在含有 x0 的某个开区间 a,b内具有直到
n 1 阶导数, 则对任一个 x a,b ,有
f x Pn x Rn x 泰勒公式
n
其中 Pn( x) ai ( x x0 )i 为n次多项式，
i0
其系数
ai
1 i!
f
(i)( x0 ),(i
0,1, 2,L
)
余项Rn x
f n1 n 1!
幂（泰勒）级数，但该级数是否收敛，
以及是否收敛于该函数本身，却需要进
一步考察.
必须证明
lim
n
Rn
(
x)
0
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ) ; n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0或
f (n)(x)
M,
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x).
例1 将f ( x) e x展开成x的幂级数.
定理
设 f ( x)在 x0 的某邻域U( x0 ) 内具有各阶导数，
则 f ( x) 在 U( x0 ) 内能展开成泰勒级数
在U( x0 )内,
lim
n
Rn
(
x)
0
证明 必要性
由泰勒公式 f ( x) Pn x Rn( x),
令Sn1=Pn
x
n i0
f
(i ) ( x0 i!
)(
x
x0 )2
L
显然，当x x0时泰勒级数收敛于f x0 ,
问题
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0
)n
?
f (x)
即泰勒级数除 x0 外是否收敛?
x x0
是否收敛于f (x)?
由泰勒公式： f x Pn x Rn x
Pn
n i0
f i x0 i!
x x0 i , x U x0
