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矩阵的满秩分解§4.3矩阵的满秩分解本节讨论一个n m ⨯复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义4.3.1设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理4.3.1设n m ⨯复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。
证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0G B ， 其中G 为n r ⨯矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ⨯矩阵，S 为)(r n m -⨯矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。
则有()FG G S F B P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。
▌但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。
这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有G F G D FD FG A ~~))((1===-。
例1、 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。
解：对矩阵A 进行初等行变换()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30202101G 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030202101B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111011001P ；而()S F P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1120110011，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121101F由此可见，所以有()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12110101FG G S F B P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-30202101。
矩阵的最大秩分解及其应用黄爱梅（01数本26号） 摘要：本文给出矩阵m nC⨯∈A 分解为两个与A 同秩的因子的积的具体方法，并讨论它的一些相关应用。
关键词：满秩分解、列满秩、行满秩、初等变换 正文：定理1：设m nrA C ⨯∈，则存在矩阵m rrB C ⨯∈，使得A BC =。
证：设()1112,A A A P =，其中11m rr A C ⨯∈，它由A 的r 个线性无关列组成，12A 为的其余n r -列所组成的矩阵。
n nn P C ⨯∈为初等列变换矩阵之积。
由于12A 的列均为11A 的列的线性组合，故存在矩阵()r n r D C⨯-∈，使得 1211A A D =于是()()111111,,r A A A D P A I D P == 令()11,,r B A C I D P == 显然有m rrB C ⨯∈,r n r C C ⨯∈且A BC =。
矩阵的这种分解，称为最大秩分解（满秩分解）定理的证明过程给出求B 、C 的方法，可归纳如下：将A 进行初等变换，化为行标准型，即将A 变为如下形式的矩阵。
001**0**0**001**0**0001**0000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦r 个元素不全为零的行其中“*”表示不一定为0的元素，在r A 中第个元素为1 外，其余的无素均为0（j r ∈）。
于是A 中12,,,r k k k 列的元素组成的阶矩阵就是B 。
而在r A 中除去下面的n r -个元素全为0行的外，所得的阶矩阵即为C 。
例1 求矩阵141362040141200112116A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥----⎣⎦的最大秩分解。
解：将A 进行行初等行变换，化为标准型04136007714000001002010020100200242401212010120213600551000112A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦即知A 的第1、2、3列线性无关，其他列可被这三列线性表示。
矩阵的分解分析范文矩阵的分解分析是一种重要的数学方法，被广泛应用于多个领域，包括线性代数、数值分析、图论、统计学等。
矩阵分解可以将一个矩阵拆分成几个特定形式的矩阵相乘的形式，从而使得对原矩阵的分析更加简单和高效。
本文将从矩阵的分解基本概念开始，分析常见的矩阵分解方法，并介绍它们在实际问题中的应用。
在矩阵的分解分析中，最基本的概念是矩阵的秩。
矩阵的秩是指矩阵中的线性无关行或列的最大个数。
矩阵的秩与矩阵的特征值和特征向量密切相关。
其中，特征值是矩阵所特有的一个数值，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过特征值和特征向量的分析，可以得到矩阵的谱分解，也就是将矩阵分解成特征值和特征向量构成的矩阵相乘的形式。
在实际问题中，矩阵的分解分析经常运用到矩阵的对角化。
矩阵的对角化是指将一个矩阵通过合适的相似变换（相似变换指矩阵的相似矩阵和原矩阵的乘积等于乘法交换律）转换为对角矩阵的过程。
而对于对称矩阵，可以通过正交相似变换将其对角化为对角矩阵，即正交对角化。
对称矩阵的正交对角化可以通过求解特征值和特征向量来实现，其中特征向量用来构造正交矩阵。
在实际问题中，特别是在机器学习和数据挖掘中，矩阵的分解分析被广泛应用于协同过滤推荐算法、图像处理、文本分析等领域。
其中，协同过滤推荐算法利用矩阵的分解将用户对物品的评分矩阵分解为低秩的用户矩阵和物品矩阵，从而实现个性化推荐。
图像处理中的奇异值分解可以对图像进行降噪和特征提取，从而辅助图像识别和图像分析。
文本分析中的矩阵分解可以对文档进行主题建模和文档相似性计算，从而实现对大规模文本数据的分析和处理。
总之，矩阵的分解分析是一种重要的数学方法，其应用领域广泛，如线性代数、数值分析、图论、统计学等。
通过矩阵的分解分析，可以简化对矩阵的分析和处理，从而实现对复杂问题的计算和求解。
无论是在理论研究还是在实际应用中，矩阵的分解分析都起着重要的作用，对于提高计算效率和解决实际问题都具有重要意义。
·第二章 矩阵变换和计算一、内容提要本章以矩阵的各种分解变换为主要内容，介绍数值线性代数中的两个基本问题：线性方程组的求解和特征系统的计算，属于算法中的直接法。
基本思想为将计算复杂的一般矩阵分解为较容易计算的三角形矩阵. 要求掌握Gauss （列主元）消去法、矩阵的（带列主元的）LU 分解、平方根法、追赶法、条件数与误差分析、QR 分解、Shur 分解、Jordan 分解和奇异值分解.(一) 矩阵的三角分解及其应用 1．矩阵的三角分解及其应用考虑一个n 阶线性方程组b Ax =的求解，当系数矩阵具有如下三种特殊形状：对角矩阵D ，下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，这时方程的求解将会变得简单. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d dd D21, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nnn n l l l l l l L21222111, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n u u u u u u U22212111. 对于b Dx =，可得解为i i i d b x /=,n i ,,2,1 =.对于b Lx =，可得解为1111/l b x =,ii i k k iki i l x lb x /)(11∑-=-=,n i ,,3,2 =.对于b Ux =，可得解为nn n n l b x /=,ii ni k k iki i l x lb x /)(1∑+=-=,1,,2,1 --=n n i .虽然对角矩阵的计算最为简单，但是过于特殊，任意非奇异矩阵并不都能对角化，因此较为普适的方法是对矩阵进行三角分解.1）．Gauss 消去法只通过一系列的初等行变换将增广矩阵)|(b A 化成上三角矩阵)|(c U ，然后通过回代求与b Ax =同解的上三角方程组c Ux =的解．其中第k 步消元过程中，在第1-k 步得到的矩阵)1(-k A 的主对角元素)1(-k kka 称为主元.从)1(-k A 的第j 行减去第k 行的倍数)1()1(--=k kkk jkjk a a l （n j k ≤<）称为行乘数（子）.2）．矩阵A 的LU 分解对于n 阶方阵A ，如果存在n 阶单位下三角矩阵L 和n 阶上三角矩阵U ，使得LU A =, 则称其为矩阵A 的LU 分解，也称为Doolittle 分解．Gauss 消去法对应的矩阵形式即为LU 分解, 其中L 为所有行乘子组成的单位下三角矩阵, U 为Gauss 消去法结束后得到的上三角矩阵. 原方程组b Ax =分解为两个三角形方程组⎩⎨⎧==yUx b Ly .3）．矩阵LU 分解的的存在和唯一性如果n 阶矩阵A 的各阶顺序主子式),,2,1(n k k =D 均不为零, 则必有单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，使得LU A =, 而且L 和U 是唯一存在的．4）．Gauss 列主元消去法矩阵每一列主对角元以下（含主对角元）的元素中, 绝对值最大的数称为列主元. 为避免小主元作除数、或0作分母，在消元过程中，每一步都按列选主元的Guass 消去法称为Gauss 列主元消去法．由于选取列主元使得每一个行乘子均为模不超过1的数，因此它避免了出现大的行乘子而引起的有效数字的损失.5）．带列主元的LU 分解Gauss 列主元消去法对应的矩阵形式即为带列主元的LU 分解,选主元的过程即为矩阵的行置换. 因此, 对任意n 阶矩阵A ，均存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U ，使得LU PA =．由于选列主元的方式不唯一, 因此置换矩阵P 也是不唯一的. 原方程组b Ax =两边同时乘以矩阵P 得到Pb PAx =, 再分解为两个三角形方程组⎩⎨⎧==y Ux PbLy .5）．平方根法(对称矩阵的Cholesky 分解)对任意n 阶对称正定矩阵A ，均存在下三角矩阵L 使T LL A =，称其为对称正定矩阵A 的Cholesky 分解. 进一步地, 如果规定L 的对角元为正数，则L 是唯一确定的．原方程组b Ax =分解为两个三角形方程组⎩⎨⎧==y x L bLy T .利用矩阵乘法规则和L 的下三角结构可得21112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑-=j k jkjj jjla l , jj j k jkikij ij l l la l /11⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑-=, i=j +1, j +2,…,n , j =1,2,…,n . 计算次序为nn n n l l l l l l l ,,,,,,,,,2322212111 ．由于jj jk a l ≤，k =1,2,…,j ．因此在分解过程中L 的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元．6）．求解三对角矩阵的追赶法 对于三对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---n nn n n b a c b a c b a c b 11122211A , 它的LU 分解可以得到两个只有两条对角元素非零的三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--n n n nu d u d u d u l l l 11221132,1111U L . 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-====-==--n i c l b u n i u a l b u n i c d i i i i i i i i i ,,3,2,,,3,2,/1,,2,1,1111计算次序是n n u l u l u l u →→→→→→→ 33221. 原方程组b Ax =分解为两个三角形方程组⎩⎨⎧==y Ux b Ly . 计算公式为n i y l b y b y i i i i ,,3,2,,111 =-==-,.1,,2,1,/)(,/1 --=-==+n n i u x c y x u y x i i i i i nn n该计算公式称为求解三对角形方程组的追赶法．当A 严格对角占优时，方程组b Ax =可用追赶法求解, 解存在唯一且数值稳定．7）．矩阵的条件数设A 为非奇异矩阵，⋅为矩阵的算子范数，称1)(cond -=A A A 为矩阵A 的条件数．矩阵的条件数是线性方程组b Ax =, 当A 或b 的元素发生微小变化，引起方程组解的变化的定量描述, 因此是刻画矩阵和方程组性态的量. 条件数越大, 矩阵和方程组越为病态, 反之越小为良态.常用的矩阵条件数为∞-条件数: ∞-∞∞=1)(cond AA A ，1-条件数: 1111)(cond -=AAA ，2-条件数: )()()(cond mi n max 2122A A A A AAA HHλλ==-．矩阵的条件数具有如下的性质： (1) 1)(cond ≥A ;(2) )(cond )(cond 1-=A A ;(3) )(cond )(cond A A =α，0≠α，R ∈α;(4) 如果U 为正交矩阵，则1)(cond 2=U ，)(cond )(cond )(cond 222A AU UA ==.一般情况下，系数矩阵和右端项的扰动对解的影响为定理 2.5 设b Ax =，A 为非奇异矩阵，b 为非零向量且A 和b 均有扰动．若A 的扰动δA 非常小,使得11<-A A δ，则)()(cond 1)(cond bδb AδA AA A A xδx +-≤δ.关于近似解的余量与它的相对误差间的关系有定理2.6 设b Ax =，A 为非奇异矩阵，b 为非零向量，则方程组近似解x ~的事后估计式为bx A b A xx x bx A b A ~)cond(~~)cond(1-≤-≤-.其中称x A b ~-为近似解x ~的余量，简称余量。
