几类特殊矩阵的满秩分解及其应用.doc

矩阵满秩分解的一些应用第35卷第5期2005年9月中国海洋大学PERIoDICALoFoCEANUNIVERSITY oFCHINA35(5):761～762Sept.,2005矩阵满秩分解的一些应用姚增善,刘新国(中国海洋大学数学系,山东青岛266071)摘要:把矩阵的满秩分解用于分析广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵,得到了新的特征刻画.关键词:广义投影矩阵;Moore-Penrose广义逆;Hermite矩阵中图法分类号:O172.1文献标识码:A文章编号:1672—5174(2005)05—761—020引言首先给出有关的定义.定义1设K为7/阶复方阵,记K为矩阵K的共轭转置.(1)如果K2=K=K,则称K为正交投影矩阵;(2)如果存在/./阶方阵K,使KK及KK都是Hermite矩阵,且满足KKK=K及KKK=K,则称K为矩阵K的Moore—Penrose广义逆.Moore-Penrose广义逆和正交投影矩阵都是代数学中的基本概念.前者在最zb--乘法等问题中有许多应用;而后者用来刻画子空间与投影矩阵的一一对应性,从而把有关子空间的定量研究转化为矩阵分析.1997年,Grofl和Trenkler[推广正交投影矩阵而引入了下面的广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵.定义2设K为n阶复方阵,K和K分别为矩阵K的共轭转置及Moore—Penrose广义逆.(1)如果K2=K,则称K为广义投影矩阵;(2)如果K2=K,则称K为双曲广义投影矩阵.最近,Baksalary和Xiao—jiLiu等详细地讨论了定义2给出的这两类矩阵[2-3J.本文继续他们的讨论.但使用的方法不同,本文的基本工具是矩阵的满秩分解_4J:任何秩为r的m×7/矩阵A都可分解为A=BC其中,B和c分别为m×r和7/×r的列满秩矩阵.为了叙述方便,文中使用了下述记号:c表示7/阶复方阵所成的线性空间,矩阵A的列向量张成的线性空间记为R(A).上标及+分别表示共轭转置及Moore—Penrose广义逆,I表示适当阶数的单位阵.1主要结果及其证明设K是秩为r的n阶复方阵,本节考虑下述集合:收稿日期:2005.06.01;修订日期:2005.07.07作者简介:姚增善(1963.),男,硕士,副教授.Tel:(0532)85901953 c={KIK∈C,K:K);cP』={KiK∈c,K=K};c={KIK∈C,K:K);c={KIK∈C,KK=KK);c={KIK∈C,K=K);c={KIK∈c,KKKK=KKKK).显见,cGP为广义投影矩阵构成的集合,c为双曲广义投影矩阵构成的集合.易知cGPc,而且c口P还有下述重要的子集c={KIK∈C,K=K).同时,K为正交投影矩阵当且仅当K:K,K=K,还易知,K为正交投影矩阵的充要条件为K=K= K.因此,广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵确实是正交投影矩阵的推广.首先给出c的特征.考虑K的满秩分解K=BC,那么K=K甘B(CB)0C=BC错(CB)0=I.命题1K∈c当且仅当K的满秩分解K=BC满足(CB).=I.接下来考虑cP』.记K=BC,则K=C(CC)I1(BB)I1B.从而K=K错CB=C(CC)(BB)B甘(BB)(CC)=I.再作B和C的极分解B=QlHl,C=Q2H2,这里Hl 和H2为Hermite正定矩阵,且QQl=QQ2=I.则BB=H},CC=H;.总结上述,有命题2cP』={QlQIQl,Q2为竹×r阵,QQl=QQ2=I}.再考虑cGP.考虑K的特殊满秩分解K=BC,cC=I,,那么中国海洋大学K2=K甘BCBC=CB,这说明R(B)=R(C).从而存在r阶可逆方阵G,使B=CG.且K2=K甘(CGC)(CGC)=CGC甘G=G.又由Schur分解,G可分解为G=Q0R0Q,Q0为酉阵,R.为上三角阵,而G=G甘R8=R甘R0=diag(dl,dE,…,d).其中,dj(j=1,2,…,r)为三次单位根,即d;=1,d=d.综上所述,有命题3c?e={QDQIQ为×r阵,QQ=J,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.注:三次单位根集合为{?,一号一,/5吉+譬}o再讨论c.令K=BC为满秩分解,那么KK=KK甘BB=CC甘C=BG.这里G=BC为r×r可逆方阵.因此有命题4={QGQIQ为×r阵,QQ=I,G为r×r可逆阵}.再分析cW.考虑K的满秩分解变形K=QlGQ,其中,G为r×r可逆方阵,Ql,Q2为×r矩阵,QQl=QQ2=J.那么K=K甘QlGQQlGQ=Q2G-1Q,从而R(Q1)=R(Q2).因此,不妨取Ql=Q2,此时K=QlGQ.又K=K甘QlGQ=QlG一Q甘G=G一甘G.=J,而G.=J甘G=Q0diag(dl,2,…,d)Q,QQ0=J,d;=1.命题5cW={QDQIQ为×r阵,QQ=I,,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.最后考虑cUe.令K=BC,记PK=KK,PK=KK,贝0有PK=BB,PK=CC.可见K∈cUe甘BBCC=CCBB.注意到,PK和PK?为正交投影矩阵且为Hermite阵,上式表明PK和PK.可交换,因而存在酉阵Q,使BB=Qdiag(aI'a2,…,a)Q,CC=Qdiag(卢l,卢2,…,卢)Q,这里ai和取0或1.取R(B)nR(C)的标准正交基(为列)构成矩阵Q,Q适当排列后可用分块阵表示为Q=[QI'Q')],这样BB=[QI'QB],CC=[Ql,Qc],而[Ql,QB,Qc]是列规范正交阵.这表明B=[Ql,QBJGB,C=【QI'QcJGc,其中GB,Gc为r阶可逆阵.从而K=[QI'QB]?G[Ql,Qc],G为可逆阵.易知K∈cW,故有下述结论:命题6cUe=I[QI'Q2]G[QI'Q3]_[QI'Q2,Q3]列规范正交,G为可逆阵}.本文得到的结果大部分是新的,使用的基本工具是矩阵的满秩分解.Baksalary等人使用Jordan分解或Schur分解以及奇异值分解,分析了G及G中矩阵的谱特征,得到的结果很有趣.不难看出,本文的结论可以很容易地导出他们得到的大部分结果.而且,作者认为,从应用的角度看这里得到的结论更便于应用.参考文献:Gro口J,TrenklerG.Generalizedandhypergeneralizedproiectors [J].LinAlgAppl,1997,264:463—474.BaksalaryJK.Baksalary0M.LIUXiao—ji.Furtherpropertiesof generalizedandhypergeneralizedprojectors[J].LinAlgAppl, 2004,389:295—303.BaksalaryJK,LIUXiao-Ji.Analternativecharacterizationofgener—alizedprojectors[J].LinAlgAppl.2004,388:61—65.北京大学数学系编.高等代数第二版[M].北京:高等教育出版社.1988.SomeApplicationsoftheFull-RankDecompositionofMatricesY AOZeng—Shan,LIUXin—Guo(DepartmentofMathematics,OceanUniversityofChina,Qingdao266071,China) Abstract:Inthispaper,thefull—rankdecompositionofmatricesisusedtoanalysegeneralizedprojectionma—tricesandhypergeneralizedprojectionmatrices,andsomenewcharacteristicdescriptionsar eobtained.Keywords:Orthogonalprojectionmatrix;Moore—Penrosegeneralizedinverse;HermitematrixAMSSubjectClassifications:15A23。

矩阵的满秩分解## 简介矩阵的满秩分解（Full Rank Decomposition，FRD）是矩阵分解的一种，它将矩阵分解为两个或更多满秩矩阵的乘积。

FRD可用来求解非奇异（non-singular）非对称矩阵（asymmetric matrix）。

FRD可以将矩阵分解成多个较小的矩阵，这可以提高矩阵求解的速度和准确度。

## 原理矩阵的满秩分解可以将非奇异非对称矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，即A=UL，其中L和U既不是行手乘以列向量，也不是列手乘以行向量，而是一个L矩阵和一个U矩阵的乘积。

L矩阵是下三角矩阵，U矩阵是上三角矩阵，两者都具有单位对角线，另外，L和U具有相同的秩，并且都是正定的满秩矩阵，而A是它们的乘积，因此A也是满秩矩阵。

求解满秩分解矩阵的一般过程是：先进行LU分解，将矩阵A分解为两个单位对角线的满秩矩阵L和U；接着求解A的列空间的基，即求解A的列块的空间；最后再从A的行空间中求解A的行块的空间。

LU分解的算法的时间复杂度主要以A的维度D（即A的行数和列数）为关键，因此矩阵FRD分解的时间复杂度也主要以D为关键。

在计算机编程中，可以采用不同的算法来实现FRD，比如基于LU分解的矩阵FRD算法，和基于Gauss消元法的矩阵FRD算法。

## 应用矩阵的满秩分解具有广泛的应用，既可以用来解决矩阵求解问题，还可以用来分解多项式。

例如，可以用矩阵FRD分解将矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，以求解线性方程组的系数矩阵，或者用于求解最小二乘问题；另外，可以用FRD分解将一个多项式分解成多个单项式，以求解多项式函数的数值解或其他曲线拟合问题。

同时，矩阵的满秩分解还可以用于图像处理，如图像中的边缘检测、图像去噪等。

第十一讲 满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设m n r A C (r 0)⨯∈>，若存在矩阵m r r F C ⨯∈及r nrG C ⨯∈，使得 A FG =，则称其为A 的一个满秩分解。

说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩。

（2）满秩分解不唯一。

r rrD C ⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则 1111A FG F(DD )G (FD)(D G)F G --====，且m r r n1r 1rF C ,G C ⨯⨯∈∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。

设m nr A C ⨯∈，则存在初等变换矩阵m mmE C ⨯∈， 使 G r EA B .......O (m r)⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行， 其中r nr G C ⨯∈ 将A 写成1A E B -=，并把1E -分块成[]1r (m r)E F |S --=列列，其中m rrF C ⨯∈ .G A F .S ....FG .O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E 是满秩分解。

3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）设m nr B C (r 0)⨯∈>，且满足（1） B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m r)-行的元素全为零（称为零行）；（2） 若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列(i 1,2,...,r)=，则 12r j j ...j <<<;（3） 矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来恰为m 阶单位方阵m I 的前r 列（即12r j ,j ,...,j 列上除了前述的1外全为0）则称B 为Hermite 标准形。

例1 561356120013001022B C 000111000000000000⨯⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为Hermite 标准形452245010200013B C 0000000000⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 也是Hermite 标准形4. 满秩分解的一种求法设m nr A C ⨯∈，（1） 采用行初等变换将A 化成Hermite 标准形，其矩阵形式为EA B =，其中B 为Hermite 标准形定义中给出的形状；（2） 选取置换矩阵1 P 的第i 列为i j e ，即该列向量除第i j 个元素为1外，其余元素全为零(i 1,2,...,r)=,其中i j 为Hermite 标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2 其它(n r)-列只需确保P 为置换矩阵即可（P 的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；3 用P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i 列 4 令[]1r (n r)P P |*-=列列，即12r n r1j j j rn rP e e ...e C ⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦（3）令G B =的前r 行r n n C ⨯∈，m r1rF AP C ⨯=∈则A FG = 证明：G EA B O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]1G A E B F |S FG O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则m r r F C ⨯∈，r nrG C ⨯∈，G 已知，但F ?=，当然可以通过求出1E,E -再将1E -分块得到，但这样G 就没必要采用Hermite 标准形形式，注意到r 1I BP O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则[]1r 11I AP E BP F |S F O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦证毕例1 1230A 02111021⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其满秩分解解：（1）首先求出A 的秩。

第十讲 满秩分解1. 定义：设(0)m n rA C r ⨯∈>，若存在矩阵m r rF C⨯∈及r n rG C⨯∈，使得A FG =则称上式为A 的满秩分解.☆说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩. （2）满秩分解不唯一:r rrD C⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则1()A FG F DD G -==111()()FD D G F G -== ，且11,m r r n rrF CG C⨯⨯∈∈.（3）当A 是满秩（列满秩或行满秩）矩阵时，A 可分解为一个因子是单位矩阵，另一个因子是A 本身，即A I A =或A A I =，称此满秩分解为平凡分解.2. 定理1 [存在性定理]： 任何非零矩阵均存在满秩分解. 证：采用构造性证明方法. 设(0)m n rA Cr ⨯∈>，则存在初等变换矩阵（即初等矩阵的乘积）m mmP C ⨯∈，（即对A 进行初等行变换）使 ()G r PA B O m r ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 行行，其中r n rG C⨯∈将A 写成1A PB -=，并把1P -分块成[]1()r m r P FS --= 列列，其中m r rF C⨯∈，[]G A F S FG O ⎡⎤⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩分解. [ 证毕 ] 例1. 求矩阵101212112221A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦的满秩分解.解：对[]A I 进行初等行变换，当A 所在的位置成为阶梯形矩阵B 时，则I 所在的位置就是进行初等行变换对应的初等矩阵的乘积P .1012100[]12110102221001A I -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 101210002031100000111-⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行，所以 101202030000B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100110111P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 于是PA B =，1A PB -=，可求得 1100110211P-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，于是有10101211020321A ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦. 3. Hermite 标准形（行最简形） 定义 设(0)m nrB Cr ⨯∈>，且满足（1）B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后()m r -行的元素全为零（称为零行）；（2）若B 中第i 行的第一个非零元素1在第i j 列(1,2,,)i r = ，则12r j j j <<< ; （3）矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…，第r j 列恰为m 阶单位矩阵m I 的前r 列（即12,,,r j j j 列上除了前述的1外全为0）， 则称B 为Hermite 标准形。

第三节 矩阵的满秩分解一、Hermite梯形矩阵定义1 给定矩阵H ∈C r m×n ，如果它满足条件： （1）前r 行是非零行，而后m －r 行是零行； （2）第i (i =1，2，…，r )行的第一个非零元素为1，且设出现在第n i 列，则有n 1＜n 2＜…n r ≤n ；（3）第n i 列中除第i 行处的元素为1外，其余均为零，则称H 为Hermite 梯形矩阵。

Hermite 梯形阵就是具有形式列第列第列第个零行个非零行r n n n r m r H 21000000**10**0**0**100000**0**0**100↑↑↑-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=（1）的矩阵，其中*表示的元素不一定为零。

例如矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000210004302110i i 就是一个Hermite 梯形矩阵。

对于任意矩阵A ∈C r m×n ，总可以通过行初等变换化为Hermite 梯形矩阵H ，并称之为A 的Hermite 标准形，也就是说存在可逆矩阵P ，使PA =H （2）且P 是有限个初等矩阵的乘积。

如对)(E A 施行行初等变换如下)P H()E A (一系列行初等变换→------就能把P 记录下来。

例1 把矩阵A 化为Hermite 标准形H ，并求变换矩阵P ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=030630402420432210A解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100030630010402420001432210⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------−−−→−-10312660000121266000001432210321312r r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−−→−-1110000000613121100000143221061223r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−−→−-1110000000613121100003131010210221r r 所以A 的Hermite 标准形H 和变换矩阵P 分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000211000010210H ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1110613103131P 如果对H =PA 再作列初等变换，那么得到A 的相抵标准形⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E r即存在可逆矩阵Q ，使⎪⎭⎫⎝⎛=O O O E PAQ r（3）若要求出P 和Q ，可通过对分块矩阵⎪⎭⎫ ⎝⎛O E E A nm的前m 行施行行初等变换，前n 列施行列初等变换，当把A 化为相抵标准形时，E m 、E n 就分别化为P 、Q 。

14-3 矩阵分解21.满秩分解2.LU 分解3.QR 分解4.Schur 分解5.奇异值分解31. 满秩分解设矩阵A ∈R m ×n ，且rank A =r (r ≤m ,r ≤n )，则存在矩阵分解：A =FG ，其中F ∈R m ×r ，且rank F =r (列满秩)，G ∈R r ×n ，且rank G =r (行满秩). 称为满秩分解.4满秩分解反映出关于矩阵A 的秩的信息.应用：当r 远小于m 和n 时，利用满秩分解可以去除掉A 中的冗余信息，节省存储量和运算量.52. LU 分解设矩阵A ∈R n ×n ，如果存在单位上三角矩阵L ，下三角矩阵U ，使得A =LU ，则称之为A 的LU 分解.如果存在单位上三角矩阵L ，单位下三角矩阵U ，对角矩阵D ，使得A =LDU ，则称之为LDU 分解.6定理1：矩阵A 的LDU 分解存在唯一(或LU 分解存在)的充要条件是A 的顺序主子式D k ≠0.LU 分解的实现过程实际上就是Gauss 消去法.应用：求解线性方程组Ax =b .方法：初等行变换逆计算LUx=b LY=b Ux=Y7对称正定矩阵的Cholesky 分解A =LL T其中L 为下三角矩阵.83. QR 分解设矩阵A ∈R n ×n ，且非奇异，则存在正交矩阵Q ，非奇异上三角矩阵R ，使得A =QR ，称之为QR 分解(QR decomposition)，且此时分解唯一.设矩阵A ∈R m ×n (m >n )，且列满秩，则存在正交矩阵Q ∈R m ×m ，上三角矩阵R ∈R m ×n ，使得A =QR .9而且此时Q =[Q 1Q 2]，R =[R 1;0]，其中Q 1∈R m ×n 满足Q 1T Q 1=I n ，R 1∈R n ×n 是非奇异上三角矩阵.这样分解式为A =Q 1R 1，称为compact QR decomp .QR 分解的实现方式：GS/MGS ，Givens 变换，Householder 变换.10当A 不是非奇异或列满秩时，情况会怎样？114. Schur 标准型定理2（Schur 分解）设A 是n 阶复矩阵，则存在酉矩阵U 使得,U AU T ∗=其中T 是上三角矩阵，其对角元就是A 的特征值.而且适当选取U ，可使T 的对角元素按任意指定的顺序排列.复矩阵A 称为正规(normal)矩阵，若A *A =AA *.12推论1：(1) A 是正规矩阵的充要条件是存在酉矩阵U 使得U *AU 是对角矩阵.(2) A 是Hermite(对称)矩阵的充要条件是存在酉(正交)矩阵U 使得U *AU 是实对角矩阵.A 的共轭变换阵=A 的逆矩阵，A 为酉矩阵13定理3（实Schur 分解）：设A 是n 阶实矩阵，则存在正交矩阵Q 使得T ,U AU T =其中T 是拟上三角(quasi upper triangular)矩阵，即T 是分块上三角矩阵，对角块是1×1或2×2的块，其中1×1的块对应A 的实特征值，2×2的块对应A 的共轭成对的复特征值.而且适当选取Q ，可使T 的对角块按任意指定的顺序排列.(实)Schur 分解是数值计算特征值的理论基础.144. 奇异值分解(SVD)定理4：设A 是m ×n 的复矩阵，秩为r ，则存在两个酉矩阵U ∈C m ×m ，V ∈C n ×n ，使得,00r U AV ΣΣ∗⎡⎤==⎢⎥⎣⎦其中Σr =diag(s 1,…,s r )，s 1≥s 2≥…≥s r .15定理中的分解式称为A 的奇异值分解(Singular ValueDecomposition).s i 称为A 的奇异值(singular value).V 的第i 列称为属于s i 的右单位奇异向量.U 的第i 列称为属于s i 的左单位奇异向量.16推论2：设A 是m ×n 的复矩阵，秩为r ，则(1) A 的非零奇异值的个数等于A 的秩r ；(2) v r +1,…,v n 构成N (A )的标准正交基；(3) u 1,…,u r 构成R (A )的标准正交基；17(4) 记U =[U 1U 2]，V =[V 1V 2]，其中U 1∈C m ×r ，V 1∈C n ×r 则有111,rr i i i i A U V u v Σσ∗∗===∑称为A 的满秩奇异值分解.SVD 有着广泛的应用，如Google .T T ()(),()().n m R N A R A R N A R A =⊕=⊕。

一些特殊矩阵的秩等式引言矩阵的秩可以利用矩阵的非零子式的阶数定义，也可以利用矩阵的行向量组或列向量组的秩来定义，即：定义1 设A 是数域F 上的m n ⨯矩阵，称矩阵A 不为零的最高阶数为矩阵A 的秩. 定义2设A 是数域F 上的m n ⨯矩阵，12,,,m βββ 是其行向量组，12,,,n ααα 是其列向量组，称向量组12,,,m βββ 的秩为A 的行秩，向量组12,,,n ααα 的秩为A 的列秩. 可以证明，对矩阵A ，行秩等于列秩.称矩阵A 的行秩(列秩)为矩阵A 的秩. 记作()rank A .矩阵的秩是矩阵的一种重要特征，利用矩阵的秩特征，可以讨论矩阵的一些性质.很多特殊矩阵的特征都可以利用秩关系来刻画.本文将在已有关于矩阵秩关系的基础上，在第一部分主要讨论诸如幂等矩阵、对合矩阵等特殊矩阵的秩等式关系，第二部分则主要讨论矩阵运算下的秩关系. A 是矩阵，T A 为A 的转置矩阵，I 为单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵. n I 为n n ⨯的单位矩阵，n V 为n 维线性空间.如果矩阵A ,B ∈n n C ⨯,满足2A =A ,2n B I =,则分别称A 、B 为幂等矩阵、对和矩阵.1 幂等矩阵的秩恒等式定理1.1[1] n 阶矩阵A 满足2A =A ，则()rank A +()rank I A -=n .证明 （证法一） 设()rank A =r ，由2A =A 可得()A A I -=0，则()A I -的每一个列向量都是以A 为系数的方阵的齐次线性方程组的解向量. (i)当r =n 时，由于齐次线性方程组只有零解，故此时A I -=0，即此时 ()rank A =n ，()rank A I -=0，()rank A +()rank A I -=n ，结论成立.(ii)当r <n 时，由于齐次线性方程组的基础解系中含有n r -个向量，从而()A I -的列向量组的秩≤n r -，所以有 ()rank A +()rank A I -≤n .另一方面，由于()rank A I -=()rank I A -，故有 n =()rank I =()rank A I A +-≤()rank A +()rank I A -=()rank A +()rank A I -从而 ()rank A +()rank A I -=n .（证法二）充分性：因为A 是幂等矩阵，所以2A =A ，于是()A A I -=0，则有 ()rank I A -+()rank A ≥[]()rank I A A -+=()rank I =n .且有 ()rank I A -+()rank A ≤n综上得证.必要性：由于()rank I A -+()rank A =n .可设1()I A X -=0的解空间为1V ,20AX =的解空间为2V ,则有12,n V V V ⊕=对任意X ∈n V ,有 212121()()(),A X X A AX AX A X +=+=得证2 对合矩阵的秩恒等式定理2.1[1] n 级矩阵A 满足2A =I ,则()rank I A ++()rank I A -=n证明（证法一）设A I -=12(,,,),n b b b 由2A =I 得()()A I A I +-=0, ()0i A I b +=,1,2,,.i n =所以A I -的每一列均为()A I +x =0的解.()rank A I -≤n -()rank A I +即 ()rank A I -+()rank A I +≤n（2.1） 而由2A =I 可知，||A =1或-1，所以||A ≠0，()rank A =n .所以()rank A I -+()rank A I +≥()rank A I A I ++-=(2)rank A =n （2.2）由（2.1）（2.2）式结合得 ()rank I A ++()rank I A -=n（证法二）充分性 因为A 是对合矩阵，所以2A =I ，于是 ()()A I A I +-=0，则 ()rank A I -+()rank A I +≥[]()()rank A I A I -++=(2)rank I =n且有 ()rank I A ++()rank A I -≤n综上得证.必要性：由于()(),rank I A rank I A n -++=可设1()0I A X -=的解空间为12,()0V A I X +=的解空间为2V ，则有12n V V V ⊕=.对任意n X V ∈，有 212()A X X +12()A AX AX =+12()A X X =-12AX AX =-12X X =+12()I X X =+ 得证.3矩阵的满秩分解定义 3.1：设A 是秩为(0)r >的m n ⨯矩阵，若存在m r ⨯列满秩矩阵F 和r n ⨯行满秩矩阵G ，使得 A FG = (3.1) 则称（3.1）式为矩阵A 的满秩分解.定理3.1 设A 的秩为r ，且1122A FG F G ==为矩阵A 的两个满秩分解，则 （1）存在r 阶的满秩方阵B ,使得 11212,;F F B G B G -== （3.2）（2）证明 11111111()()T T T T G G G F F F --=11222222()()T T T T G G G F F F -- （3.3）证明 （1）因为A 有满秩分解112FG F G =所以11221111122T T T T F G G F G G F F G F F G ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 又 111111()(),()(),T T rank G G rank G r rank F F rank F r ====故11T G G 与11T F F 皆为r 阶满秩方阵，故由知11221112(),T T F F G G GG F B -== （3.4） 其中12111(),T T B G G G G -=且1111222().T T G F F F F G CG -== （3.5） 分别将（3.4）、(3.5)式代入1122,A FG F G ==得 2222,F BCG F G =即 22222222.T T T T F F BCG G F F G G =从而,BC E =即 1C B -=. （3.6）（2）将（3.2）式代入（3.3）式左端有11111111()()T T T T G GG F F F --111112122222()(())()T T T T T T T T G B B G G B B F F B B F -----==11111222222()()()()T T T T T T T T G B B G G BB F F B B F -----=11222222()().T T T T G G G F F F --即证.定理 3.2 设(0),m n r A C r ⨯∈>则必有分解式,A QR =其中Q 是m r ⨯矩阵，H Q Q I =,而R 是r n ⨯矩阵，它的r 个行线性无关.其中，H Q 为Q 的转置共轭矩阵.证明 作A 的满秩分解,A FG = 其中,,m r r n r r F C G C ⨯⨯∈∈知可将F 分解1,F QR =其中1R 为r 阶非奇异矩阵，Q 为m r ⨯矩阵，且.H Q Q I =于是这里1R R G =,它的r 行线性无关. 例 3.1设A 是非零的实对称矩阵，则A 为幂等矩阵的充要条件是存在列满秩矩阵F ，使得1().T T A F F F F -=证明 当1()T T A F F F F -=时，易知2A A =;反之，将A 做满秩分解得，.A FG = 因为T A A =,所以T T A FG G F ==,于是存在非奇异矩阵P ，使得 ,,T T T G FP A FP F ==又因为2A A =,即 T T T T T FP F FP F FP F =,等式两边左乘11()()T T T P F F F --,右乘1(),T F F F -得 T T F FP E =,所以 1()T T P F F -=,带入1()T A F F F -=式，即得 1()T T A F F F F -=，证毕.4 三幂等矩阵的秩特征定义 如果矩阵,n n A C ⨯∈满足3A A =,那么称A 为三幂等矩阵.命题4.1 [6]设,n n A C ⨯∈则 322()()()()rank A rank A A rank A A rank A A +-=-++. （4.1）由此式得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式，即刻画三幂等矩阵的之特征:命题4.2[6-8]设,n n A C ⨯∈则 322()()()A A rank A rank A A rank A A =⇔=-++. （4.2）命题4.3[9]设,n n A C ⨯∈则 32()()A A rank A rank E A n =⇔=-=. （4.3） 命题4.2、 4.3都可以作为三幂等矩阵判定的充要条件.下面我们在给出一些三幂等矩阵的秩的一些等式，如： [][][]()()()(),rank E A E A rank E A A rank E A A n -+=++-= （4.4） []()(),rank A rank E A A n ++= （4.5） []()(),rank E A rank E A A n ++-= （4.6） []()(),rank E A rank E A A n -++= (4.7)()()()2rank A rank E A rank E A n +-++= (4.8)22()()().rank A rank E A A n rank A +-+=+ （4.9) 由（4.3）和（4.9）得出: 222()()()rank E A A rank E A rank A -+=-+ (4.10)4.1 矩阵A 的两个多项式秩的和的恒等式定理4.1 设[],(),(),n n A C f x g x P x ⨯∈∈则(())(())(())(())rank f A rank g A rank d A rank m A +=+ (4.11)当((),())()1f x g x d x ==时，由定理4.1可得到[9,定理3],若还有()()0f A g A =,那么还可得到[11,定理1].定理4.1是我们最近得到的矩阵A 的多项式秩的一个恒等式，且恒等式（4.11）还有许多其他的应用.例4.1 设22(),(),f x x x g x x x =-=+从[]3()((),()),()(),()d x f x g x x m x f x g x x x ====-和定理4.1可知秩恒等式（4.1）成立，进而可得命题4.2.例4.2当2(),()1,f x x g x x ==-由3((),())1,((),())f x g x f x g x x x ==-和定理4.1得命题4.3.4.2 关于三幂等矩阵秩的等式的进一步讨论例4.3 设(1,1,1,0,0),A diag =--则3,A A =且()(2,0,0,0,0)E A A diag +=.因此[]()()315,rank A rank E A A ++=+≠由此可见对三幂等矩阵A 来说秩等式（4.5）是不成立的.例4.4 设(1,n n A E C ⨯=∈则2(3,A E =+从2(E A A A E -+=- 知： 22()()()2rank A rank E A A n rank A n +-+=+=即此时A 满足秩等式（4.9），但3(7A E A =+≠.例4.5说明（4.9）不是3A A =的充分条件，它仅是3A A =的必要条件，因此（4.9）不能成为刻划三幂等矩阵的之特征等式.虽然秩等式（4.10）成立，但是32A A A =≠.所以（4.10）不能用来刻划三幂等矩阵.4.3 三幂等矩阵的秩特征等式定理4.2 设n n A C ⨯∈，则[][][]3()()()()2()rank E A E A rank E A A rank E A A n rank A A -++++-=+- (4.12) []3()()()rank E A rank E A A n rank A A ++-=+- （4.13） []3()()()rank E A rank E A A n rank A A -++=+- （4.14） 3()()()2()rank A rank E A rank E A n rank A A +-+++- （4.15）证明 设[]23(),()1,(),())1,(),()f x x g x x f x g x f x g x x x ==-==-从(和（11）得： 23()()=n ()rank A rank E A rank A A +-+- （4.16） 进而从（4.1）和（4.16） [][][]()()()()rank E A E A rank E A A rank E A A -++++-222()()()rank E A rank A A rank A A ⎡⎤=-+++-⎣⎦23()()()rank E A rank A rank A A ⎡⎤=-++-⎣⎦23()()()rank E A rank A rank A A ⎡⎤=-++-⎣⎦3=n 2()rank A A +-即（4.12）成立.设[][]3111111()1,())(1),(),()1(),()f x x g x x x f x g x f x g x x x =+=-==-(由，和(4.11）得（4.13）.同理由22()1,()(1),f x x g x x x =-=+可由（4.11）和（4.14）成立;设33()1,()(1),f x x g x x x =-=+由（4.11）可得： ()())()rank E A rank E A n rank E A -++=+- （4.17） 这样从（4.16），（4.17）得：2()()()()[()]rank A rank E A rank E A rank A rank E A n +-++=+-+ 23[()()]2()rank A rank E A n n rank A A =+-+=+-即（4.15）成立.定理得证.定理4.3 设[],()x n n A C f x P ⨯∈∈是任意的次数1≥的多项式，设33()((),),()(),,d x f x x x m x f x x x ⎡⎤=-=-⎣⎦则 3(())()(())(())rank f A rank A A rank d A rank m A +-=+ (4.18) 3(())(())(())A A rank f A rank d A rank m A =⇔=+ （4.19） 335()()()A A rank A A rank A rank A A =⇔+=+- （4.20） 342245()()()A A rank A A rank A A rank A A A A =⇔-=-++-- （4.21）证明 矩阵恒等式（4.18）可由（4.11）得到，进而知（4.19）成立. 取31().f x x x =+有3322511((),),[(),](1)(1),f x x x x f x x x x x x x x -=-=+-=-由（4.19）知（4.20）成立；取432()(1),f x x x x x =-=-则322((),)(1),f x x x x x x x -=-=- 进而32[(),]f x x x -=245,x x x x +--这样由（4.19）知（4.21）成立.定理得证.定理4.3的证明过程说明，还有大量的三幂等矩阵的秩特征等式.5矩阵的秩与运算的关系定理 5.1矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和.即 rank ()A B +≤()rank A +()rank B .证明 1111n m mn a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1111n m mn b b B b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的行空间112(,,,)m V L ααα= 其中12(,,)i i i in αααα= 1,2,i n =B 的行空间2V L =12(,,,)m βββ 其中12(,,)i i i in ββββ= 1,2,i m =所以A B +的行空间为 31122,(,,)m m V L αβαβαβ=+++ 因为 i i αβ+∈12V V +, 1,2,i m = 所以 312V V V ⊂+ ，所以 312dim dim()V V V ≤+ 又因为 1212dim()dim dim V V V V +≤ 所以 312dim dim dim V V V ≤+， ()A B +≤()rank A +()rank B推论 两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差.即： ()rank A B -≥()rank A - ()rank B证明 因为()A A B B =-+所以 ()rank A ≤()rank A B -+()rank B 所以 ()rank A B -≥()rank A -()rank B定理 5.2矩阵A 与数k 的乘积kA 的秩，当0k =时，()0rank kA =当0k ≠时，()0rank kA =； 当0k ≠时，()rank kA =()rank A ；矩阵A 与其转置矩阵'A 的秩相同.定理 5.3矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即 ()rank AB ≤min {()rank A ，()rank B }证明 1111n m mn a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1111n m mn b b B b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 的行空间112(,,,)n V L βββ= 其中12(,,)i i i in ββββ= 1,2,i n = AB 的行空间112(,,,)m V L γγγ= ， 1122()i i i in n γαβαβαβ=+++ 因为i γ∈1V 1,2,i m = 所以21V V ⊂所以2dim dim V V ≤ ，所以()rank AB ≤()rank B 同理有： ()rank AB ≤ ()rank A 所以： ()rank AB ≤min {()rank A ，()rank B }.推论 数域F 上m n ⨯矩阵对于任一个阶m 可逆方阵P 和n 阶可逆方阵Q ， 有 ()rank A =()rank PA =()rank AQ =()rank PAQ证明（i ）()rank PA ≤()rank A 又1()A P PA -= 所以 ()rank A ≤()rank PA所以 ()rank A =()rank PA （ii ）()rank AQ ≤()rank A ，又 A =()AQ 1Q - 所以 ()rank A ≤()rank AQ ， 所以 ()rank A =()rank AQ 由（i ）和（ii ）得 ()rank A =()rank PA =()rank AQ =()rank PAQ .由于任何一个矩阵可由初等矩阵变换化为形如000rI ⎛⎫ ⎪⎝⎭的矩阵，即对矩阵mn A 存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，有A =P 000rI ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ， 由相似矩阵和合同矩阵的定义我们又可以得出相似矩阵的秩相同，合同矩阵的秩相同.例5.1证明：若A r =则A 可表示为r 个秩为1的矩阵的和，但不能表示为少于r 个这种矩阵的和.证明 （i ）因为()rank A r = ，所以A 是m n ⨯矩阵⇒存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q 有A ,其中i E 是第i 行第i 列交叉处元素为1其余为0的m n ⨯的矩阵.所以()i rank PE Q =()i rank E =1.（ii ）若A 能表成S 个秩为1的矩阵(1,2,,)i B i s = 的和，1()ri i rank A B ==∑，所以1si A =≤∑()i rank B s =，所以s r ≥所以由（i ）（ii ）得该题结论成立.例5.2 设1111n m mn c c C c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，11111,,s m rs c c C r m s n c c ⎛⎫ ⎪=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭证明 1()rank C ≥()rank C r s m n ++--证明：因为1212343400000000C C C C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 C ≤1000C rank ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2000C rank ⎛⎫ ⎪⎝⎭+3400rank C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1()rank C +2()rank C +12()rank C C .因为111|1s n rs rn c a C c c ++⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.所以2()rank C n s ≤- ， n s -是2C 的列数， 1,11,21,2,12,22,23412()r r r n r r r m m mn c c c c c c C C c c c ++++++⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以34()rank C C m r ≤-， m r -是34()C C 的行数. 所以 1()rank C ≥2()rank C C --34(())rank C C C (()())rank C n s m r ----=()rank C r s m n ++--定理 5.4 m n ⨯矩阵A 与n s ⨯矩阵B 的乘积AB 的秩不小于A 与B 秩的和减去n .即 ()rank AB ≥()rank A +()rank B n -证明 因为()rank A r = ， 所以存在m 阶可逆矩阵1P 和n 阶可逆矩阵1Q有11000r I A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因为()rank B P = ，所以存在n 阶可逆矩阵2P 和s 阶可逆矩阵2Q 有 2B P =2000p I Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以 1122000000r p I I AB P Q P Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记 111121n n nn c c C Q P c c ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭所以 1000000000rP I I C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111n r rn c c C c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 由上题例题可知 1()rank C ≥()rank c r p n c r p n ++--=+- 又因为12,P Q 可逆.所以 ()rank AB =12000000rP I I rank Q P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1000C rank ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1()rank C r p n ≥+-=()rank A +()rank B n -推论 若两个n 阶方程的乘积为零矩阵，则这两个矩阵的和不超过n 例5.3 已知n 阶方阵A 的秩为m ，求其伴随矩阵A *的秩. 解 （i ）若1m n ≤-则0A *= 所以()0rank A *=(ii)若1m n =- 所以||A 0=所以0AA *=又因为1m n =- 所以0A *≠ 所以()1rank A *≥ 所以()1rank A *=（iii ）若1m n =- 所以||0A ≠ 所以||AA A I *= 所以1||||0n A A *-=≠. 所以秩()rank A n *=.例5.4 设A 为n 阶方阵.证明若2()()rank A rank A =, 则 34()()()rank A rank A rank A ===证明 若A 为满秩方阵，则结论显然.故下设A 为降秩方阵.设J 为A 的若尔当标准型，则存在方阵P 使1100s J P AP J J -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （5.1）其中1,,S J J 为若尔当块，由于||0A =,故有A 有特征值0.若特征根为0的若尔当块i J 的阶大于1，则必有 2()(),i i rank J rank J < 从而2()()rank A rank A <. 这与2()()r A r A =矛盾.故特征值根为0的若尔当块i J 必为1阶.即0i J =.于是J =100tJ J ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,1,t J J 均为满秩.由此可知：23()()()rank J rank J rank J === .从而由（5.1）可知；23()()()rank A rank A rank A ===例5.5 设,,A B C 是任意3个矩阵，乘积ABC 有意义，证明： ()rank ABC ≥()rank AB +()rank BC -()rank B .证明 设B 是n m ⨯矩阵，()rank B r =，那么存在n 阶可逆阵P ,m 阶可逆Q ，使000rE B P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭（5.2） 把,P Q 适当分块[],,.N P M S Q T ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦由（5.2）式有[]0,00rEN B M S MN T ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以 rank ()ABC =()rank AMNC≥rank ()AM +rank ()NC r -≥rank ()AMN +rank ()MNC -rank B =rank ()AB +rank ()BC -rank B例5.6 12,,,p A A A 都是n 阶矩阵，120p A A A = . 证明：这p 个矩阵之秩之和(1)p n ≤-.证明 由上题可得0=rank 12()P A A A ≥rank 1A +rank 2()P A A n - ≥rank 1()A +2()rank A +3()2P rank A A n - ≥ ≥1()rank A +2()rank A + ()(1)p rank A p n -- 所以 1()rank A +2()rank A + ()p rank A (1)p n ≤-例5.7设A 是s n ⨯实矩阵，求证：rank '()n E A A --rank '()s E AA n s -=-.证明 因为'''00,00sss s n n n n E A E A E E AA E A E A E E -⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭rank 'sn E A AE ⎛⎫ ⎪⎝⎭'00s n E AA E ⎛⎫-= ⎪⎝⎭='()s rank E AA -n +. （5.3） 又因为 '0sn E A E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 'sn E A A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭= '0s n E E A A ⎛⎫⎪-⎝⎭所以 rank 'sn E A AE ⎛⎫ ⎪⎝⎭=()s rank E ='()n rank E A A - s =+rank '()n E A A - （5.4） 由（5.4）-（5.3）可解得 rank '()n E AA --rank '()s E AA n s -=-例5.8设,A B 均为n 级方阵，则()()().rank AB E rank A E rank B E -≤-+-证明 12120,00A E A EAB E AB EAB A br A br bc bc E B E B E B E B E -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⨯+⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦故 ()()()rank AB E rank A E rank B E -≤-+-.例5.9设A 是n 阶矩阵，则()()T T n s rank E A A rank E AA n s ---=-.证明 12000T T T Tn s E A A A E A A br A br E E ⎡⎤⎡⎤--+⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 12T n s E A bc bc A A E ⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦21()br A br +-⨯210(),00TnT nT T s s E E A bc bc A E AA E AA ⎡⎤⎡⎤+⨯-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 则 ()()()()T T n s n s rank E A A rank E rank E rank E AA -+=+- 故 ()()T T n s rank E A A rank E AA n s -+-=-例5.10设A 是n 阶方阵，则2()()rank A E rank A E n A E ++-=⇔=.证明 21000A EA Ebr E br A E A E A E ++⎡⎤⎡⎤+⨯⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦ 1202A Ebc E bc E A E +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦22211211()0(),22222020A E E A E A A EA Ebc bc br br EE ⎡⎤⎡⎤+--+-⎢⎥⎢⎥-⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 2()()(),rank A E rank A E rank E A n ++-=-+故 22()()()0.rank A E rank A E n rank E A A E ++-=⇔-=⇔=例5.11 设A 是n 阶可逆阵，且,AB r nC X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦试用,,A B C 表示X 解 112121110,00A B A B A br CA br bc bc A B C X X CA B X CA B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 则 11()()(),A B rank rank A rank X CA B n rank X CA B n C X --⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 故 1()0rank X CA B --=， 因而 1X CA B -=.小结矩阵是高等代数中的一个重要内容，而矩阵的秩更是在代数中起着一个重要的作用，通过对前面的内容介绍我们已经了解了什么是矩阵的秩，并且知道了矩阵的秩有什么应用及矩阵的一些特殊秩等式的题型及解法.对这些知识的总结使我们更好的理解了矩阵可特征与矩阵的秩的关系.扩展了解题思路.参考文献[1] 丘维生 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