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第4章 矩阵的分解

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矩阵分析第4章课件

矩阵分析第4章课件

矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n

第4章_矩阵的分解 2 矩阵分析简明教程 曾祥金 张亮

第4章_矩阵的分解 2 矩阵分析简明教程 曾祥金 张亮

➢ U1 的列向量是R（A）的标准正交基。 右奇异向量 ➢ U2的列向量是R （A）的标准正交基。
例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解
计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化 存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。
转换的原理是将图形分解成象素（pixels）的一
个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵
矩阵的分块
常见的矩阵标准形与分解
常见的标准形
等价标准形 相似标准形 合同标准形
本节分解：
Amn
pmm
Ir
0
0 0Qnn
Ann PJAP1
Ann CCT
AT=A
三角分解
满秩分解
等价标准形
可对角化矩阵的谱分解
相似标准形
4.1 LU分解(图灵Turing, 1948)
LU分解：AFnn， 存在下三角形矩阵L ， 上三角形矩阵U ，使得A=LU。
Remark: 这样的分解称之为QR分解。
Application: 可以求最小二乘解
实施步骤
A (1,2,...,n) 1, 2 ,..., n 1, 2,..., n
G-S正交化 单位化
1
A
(1,2
,...,
n
)
(
1,
2
,...,
n
)
QR
(1, 1 ) 2
... ...
( n , ( n ,
Problem: 矩阵的奇异值分解是酉等价型的分
解: AC m×n，酉矩阵UC m×m, VC
n×n ,使得A=U VH。
d1
矩阵A等价于=
D
0
0 0mn
D
d2
d
r

矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数

矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数

n
定义 E
xi2 .
证明
a,
都与
b
E 等价.
i 1
利用 a
x11 xn n
( x1 ,, xn )连续，
在单位球面
S
y
(
y1 ,,
yn
n
)
i 1
yi2
1
上
取得最大值M与最小值m.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
第二节 矩阵范数
定义4-2 设A P nn ,定义非负实数 A， 满足下列条件: (1) 正定性：当A 0时，A 0; (2) 齐次性：kA k A (k P); (3) 三角不等式： A B A B . (4) AB A B . 则称非负实数||A||为n×n方阵的范数.
则称非负实数||||为向量 的范数.
此时称线性空间V 为线性赋范空间.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
设V是内积空间， V ,定义： ( , ),
则 • 是V上的一个范数，称为由内积引出的范数.
向量范数的性质：
P124, 1
(1) 0 0 ;
(2) 0时， 1 1 ;
A F
n
2
aij
tr( AH A）
i , j1
是与 2相容的方阵范数. 称为 F 范数.
注：当U为酉矩阵时，有
F范数的优点
A的酉相似矩阵的F 范数相同.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
常用的矩阵范数
n
(1)
A
1
max
1 jn i 1
aij

第四章 矩阵

第四章 矩阵
8）A为反对称矩阵 对n维向量，有ZAZ 0
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1

矩阵分解总结

矩阵分解总结

矩阵分解总结
矩阵分解总结：
矩阵分解是一种被广泛应用于各个领域的数学方法，它将一个复杂的矩阵表示
为几个简化的矩阵相乘的形式。

矩阵分解在数据压缩、机器学习、信号处理等领域中具有重要的作用。

一种常见的矩阵分解方法是奇异值分解（SVD），它将一个矩阵分解为三个矩
阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、奇异值对角矩阵和右奇异向量矩阵。

SVD在
图像处理、推荐系统等领域中得到了广泛的应用。

另一种常见的矩阵分解方法是QR分解，它将一个矩阵分解为一个正交矩阵和
一个上三角矩阵的乘积。

QR分解在线性回归、最小二乘法等问题中起到了重要的
作用。

矩阵分解还有其他多种方法，如LU分解、Cholesky分解等。

它们各自在不同
领域具有独特的优势和应用。

矩阵分解的目标是将一个大型、复杂的问题简化为多个小型、简单的问题，进而提高计算效率和问题求解的准确性。

通过矩阵分解，我们可以发现矩阵中的隐藏模式、结构和特征，从而更好地理
解和处理数据。

无论是在科学研究、工程技术还是商业应用中，矩阵分解都起到了重要的作用，为进一步的数据分析和决策提供了有力支持。

总结起来，矩阵分解是一种重要的数学方法，它将复杂的矩阵拆解为简单的因子，以便更好地分析和处理数据。

不同的矩阵分解方法在不同领域有着广泛的应用，为数据科学和工程技术领域带来了重要的进展。

矩阵分析第四章.

矩阵分析第四章.

B1(θ1θ2)C1 = B1C1
因此有:
B1HB1(θ1θ2)C1C1H = B1HB1C1C1H
其中B1HB1, C1C1H都是可逆矩阵, 因此
θ1θ2 = E ⇒ θ2 = θ1−1
(2) 将(1)的结果代入CH(CCH)−1(BHB)−1BH即可得到.
第二节 矩阵的正交三角分解(UR, QR分解)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 3 0 −1/ 3 10 / 3
r1←r1 −2r2 → 0 0 1 2 / 3 1/ 3
0 0 0 0
0
取第1列和第3列构成E2, 则B由A的第1列和第3列构成, 即
1 2 B = 2 1,
3 3
而C就是变换后的前2行，即
C
=
1 0
3 0
β1 k β 21 1
+
β
2
Lα3L=Lk31β1 + k32β2 + β3
α r = kr1β1 + kr2 β2 + L + kr,r−1βr−1 + βr
并设 ν1 =|| β1 ||−1 β1,ν 2 =|| β2 ||−1 β2 , L,ν r =|| βr ||−1 βr , 则:
α1 = k1′1ν1 α 2 = k2′1ν1 + k2′2ν 2 α3 = k3′1ν1 + k3′2ν 2 + k3′3ν 3
A = U1RLU2.
证明: 自己练习
− 2 1 − 2
例1：求矩阵A的UR分解, 其中
1 1 1
A=
1 1
−1 −1
0 1
解：设A = (α1, α2, α3), 用Schmidt方法将α1, α2, α3标准正交

矩阵理论第四章

矩阵理论第四章

1. Hermite 矩阵的谱分解
设 A 为 Hermite 矩阵，则存在酉矩阵 U ，使
1
O
U H AU
2
.
O
n
将U 写成列向量形式，即U u1 u2 ... un ，则
2. 非奇异矩阵的酉对角分解
定理 5.5.1 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 则存在 n 阶酉矩阵U 及V ，使得
A( 2 )
L-21A(1 )
0
a( 0 ) 12
a( 1 ) 22
0
a( 0 ) 13
a( 1 ) 23
a( 2 ) 33
a( 2 ) n3
a( 0 1n
a(1 2n
) )
a( 2 3n
)
a( 2 nn
)
即 A(1) L2 A( 2 )
依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
则
A
的
r
阶顺序主子式 r
于是
A
P1
E 0
mr
E
0 Q1. rn
记
P
1
E 0
F
,E
0Q1 G.
则 F 为列满秩矩阵， G 为行满秩矩阵,得
A FG .
证毕
显然,满秩分解是不唯一的.
事实上 D Crrr （ r 阶可逆方阵），
则 A FG F (DD-1)G (FD)(D-1G) F1G1，
且 F1 Crmr ,G1 Crrn .
第四章 矩阵分解
所谓矩阵分解，就是将一个矩阵写 成结构比较简单的或性质比较熟悉 的另一些矩阵的乘积．
即可将 A0 第 1 列上从第 2 到第 n 个元素全化为零．
得
a(0) 11

矩阵论课后习题答案

矩阵论课后习题答案

第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

第4章 矩阵分解-1

第4章 矩阵分解-1

3 1 2
H2H1A
0
1
1
R
0
0
0
矩阵分析简明教程
Q
H
H 1
21
1 3
1
2 2
2 1 2
2
2 1
所求的QR分解为
A QR
8
0 1 1
矩阵分析简明教程
1 5
x1 2x2 x3 5x2 3x3
0 1
12 5
x3
4 5
(
5 12
)
3 5
x1
2x2 x2
1 3 0
x3
1 3
(2)
x1 x2
1 3 0
x3 1 3
(II )
矩阵分析简明教程
用矩阵形式表示，系数矩阵
1 2 1 r12 (3) 1 2 1
角方阵 R ，使得
A QR
当 m = n 时 ，Q 就 是 酉 矩 阵 或 正 交 矩 阵 。
矩阵分析简明教程
例 1 将下列矩阵进行QR分解：
1 2 2
A
1 0
0 1
2 1
4
矩阵分析简明教程
解： 1 (1,1，0, )T， 1 1 (1,1，0)T
1
||
1 1
||
1 (1,1, 0)T 2
定理4.2.3 设 e1 1, 0,, 0T C n ,
x1 , x2 ,, xn T C n , 0
令
x1
x1 ,
,
x1
0 ，u
e1
x1 0
e1
H E 2uuH是n 阶Householder矩阵，且
H -e1
矩阵分析简明教程
定理4.2.4（QR分解）设 A为 任 一 n 阶 矩 阵 则必存在 n 阶酉矩阵 Q 和 n 阶上三角方

代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵

代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵

分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T

k

T
k 1

T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，

第四章 正规矩阵与矩阵的分解

第四章 正规矩阵与矩阵的分解

第一节 正规矩阵【Schur 三角化定理】设n nA ⨯∈，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一个上三角矩阵.【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基.1H H H n U U UU E U U -==⇔=性质：设有矩阵A ，B ，则（1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵；（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵；（3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =；（4）A 是酉矩阵⇔A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理4.1.1】矩阵A 可以酉对角化⇔**AA A A =.*U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =⇔=A 可以酉对角化，则∃酉矩阵U 使*U AU D =***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD UU D DU U DU U DU A A ======【定义4.1.1】设n nA ⨯∈，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵.【引理4.1.1】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵. 【定理4.1.2】设n nA ⨯∈，则A 为正规矩阵⇔A 有n 个两两正交的单位特征向量.【推论4.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.【定理4.1.3】设()i j n n A a ⨯=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式）221,1||||n nii ji i j aλ==≤∑∑（2）A 为正规矩阵⇔221,1||||nni i j i i j a λ===∑∑（3）*2,,1tr()||ni ji j AA a==∑【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =.【定义4.1.2】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵a b b a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为一个Schur 型. 【定理4.1.4】（实正规矩阵）设A 是n 阶实矩阵，则A 是正规矩阵⇔存在正交矩阵Q 使得12T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕其中每个i A 或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur 型. 【推论4.1.2】设A 是n 阶实矩阵.（1）A 是对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵； （2）A 是反对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得120T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕⊕其中每个00i i i b A b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数；（3）A 是正交矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得12()T s t s Q AQ I I A A A =⊕-⊕⊕⊕⊕其中每个i A 是二阶Givens 旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1. 设B 是n 阶复矩阵.（4）B 是Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是实对角矩阵； （5）B 是反Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；（6）B 是酉矩阵⇔存在酉矩阵U ，使得T U BU 是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1；（7）Hermite 矩阵A 正定⇔A 的所有顺序主子式均大于0； 【引理4.1.2】Hermite 阵或实对称矩阵A 在某一个k 维子空间上正定⇔A 至少有k 个特征值（包括重数）大于零.第二节 正规矩阵的谱分解设A 是正规矩阵，则由定理4.1.1知，存在酉矩阵U 使得*12(,,,)n U AU diag λλλ=.因而*12(,,,)n A Udiag U λλλ=.令12(,,,)n U ααα=，则12*1*212****111222(,,,)n n n n n nA αλλααααλαλααλααλαα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++ （4.2.1）由于12,,,n λλλ为A 的特征值，12,,,n ααα为A 对应的两两正交的单位特征向量，故式（4.2.1）称为正规矩阵A 的谱分解或特征（值）分解。

第4章_线性代数[2009]

第4章_线性代数[2009]

例14. 简单迁移模型:每年A镇的人口10%迁往B镇;B镇 的人口15%迁往A镇. 假设某年A、B两镇人口各有120 人和80人.问两年后两镇人口数量分布如何? 设两镇总人口不变,人口流动只限于两镇之间.引入变量: x1(k) 表示 A 镇第 k 年人口数量; x2(k) 表示 B 镇第 k 年人口数量. 由第 k 年到第 k+1 年两镇人口数量变化规律如下
y2 y3 y4
y5
2 y1 2 y2 2 y3 2 y4 2 y5
a1 1 a2 1 a 1 3 a4 1 1 a5
MATLAB 求解方程组方法：A\b 创建方程组系数矩阵方法：
= –1 = –1 = –1 = –1 = –1
Az = b
z A b
1
x 12 2 x2 x2 3 2 x4 x2 5
2 x1 y1 2 x2 y2 2 x3 y3 2 x4 y4 2 x5 y5
y1
2 2 2 2
2 x1 2 x2 2 x3 2 x4 2 x5
X(k+1) = A X(k)
X(2)
=AX(1)
=A(AX(0))
=
A2X(0)
X
(0)
120 80
A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; X0=[120;80]; X2=A^2*X0
X2 =
120 80
D=
1.00 0.751
线性函数拟合:
m
(x) = a + bx
[( a bx j ) y j ] min
2
求 a, b,使
多项式拟合:

矩阵分解公式

矩阵分解公式

矩阵分解公式摘要：一、矩阵分解公式简介1.矩阵分解的定义2.矩阵分解的意义二、矩阵分解的几种方法1.奇异值分解（SVD）2.谱分解（eigenvalue decomposition）3.非负矩阵分解（NMF）三、矩阵分解在实际应用中的案例1.图像处理2.信号处理3.数据降维四、矩阵分解的发展趋势和挑战1.高维数据的处理2.矩阵分解算法的优化3.新型矩阵分解方法的研究正文：矩阵分解公式是线性代数中一个重要的概念，它涉及到矩阵的诸多操作，如矩阵的乘法、求逆、迹等。

矩阵分解的意义在于将一个复杂的矩阵简化为易于处理的形式，从而便于进行矩阵运算和数据分析。

本文将介绍几种常见的矩阵分解方法，并探讨它们在实际应用中的案例和发展趋势。

首先，我们来了解一下矩阵分解的定义。

设A是一个m×n的矩阵，矩阵分解就是将A表示为若干个矩阵的乘积，即A = UΣV*，其中U是m×m的酉矩阵（满足UU* = I），Σ是m×n的非负实对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值，V是n×n的酉矩阵（满足VV* = I），V*是V的共轭转置。

通过矩阵分解，我们可以得到矩阵A的秩、奇异值、特征值等信息。

矩阵分解有多种方法，其中较为常见的有奇异值分解（SVD）、谱分解（eigenvalue decomposition）和非负矩阵分解（NMF）。

奇异值分解是将矩阵A分解为三个矩阵的乘积：UΣV*，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵。

谱分解是将矩阵A分解为两个矩阵的乘积：A = UΣV*，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。

非负矩阵分解是将矩阵A分解为两个非负矩阵的乘积：A = WH，其中W和H都是非负矩阵。

矩阵分解在实际应用中有着广泛的应用，尤其在图像处理、信号处理和数据降维等领域。

在图像处理中，矩阵分解可以用于图像压缩、去噪和特征提取等任务。

在信号处理中，矩阵分解可以用于信号降噪、特征提取和频谱分析等任务。

矩阵的分解

矩阵的分解

矩阵的分块
4.1 LU分解(图灵Turing, 1948)
LU分解：ACnn， 若A的顺序主子式不 为零，则存在唯一的主对角线上元素全 为1的下三角形矩阵L 与唯一的上三角形 矩阵U ，使得A=LU. 例如：
1 0 7 1 0 01 0 7
A3
2
03
1
00
2
21LU
1
1
1
1
1
10
0
9
2
1. AXA=A 2. XAX=X 3. （AX）H = AX 4. （XA）H =XA 则称X为A的M-P广义逆，记为X=A+。
例 讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系。
A–1 = A + ；
例 求下列特殊矩阵的广义逆；
零矩阵0； 对角矩阵
0 + m×n =0
n×m
2、M-P 广义逆的惟一性
Theorem 如果A有M-P广义逆，则A的M-P广义逆 是惟一的。
0
，
Step2.令 U1AV 1D1, 得U1=[u1，u2，… ，ur],
扩充为标准正交基 酉矩阵U。
1 2
例 求矩阵A的奇异值分解，A= 0
0
。
0 0
4.5 Moore-Penrose（M-P）广义逆
由Moore 1920年提出，1955年由Penrose发展。 1、 Definition设A C m n ，如果 XC n m ，使得
di i , i1,2,..r..,
二、矩阵的奇异值分解
1、Theorem 4.4.1（P099）
设AC m×n，秩（A）=r，则存在酉矩阵
UC m×m，VC n×n，使得
AUVH,

04南航戴华矩阵论第四章l矩阵的因子分解

04南航戴华矩阵论第四章l矩阵的因子分解
k A11 kk 0, k 1,, n 1
定理4.3.2（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,
则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵
D=diag(d1, d2,…,dn )和单位上三角矩阵U使得
A LDU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
k 0 (i 1, , n 1) ，并且
上（下）三角矩阵的性质
• 什么是矩阵的LU分解？ • 矩阵的LU分解是否存在？如果存在， LU分解
是否唯一？ • 如何计算矩阵的LU分解？ • LU分解有什么应用？
Hale Waihona Puke 定理4.3.1（LU分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩 阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩 阵U使得
A LU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零, 即
其中 . vHu 1
(4.1.2)
(3) 对任意非零向量 a,b C n ,可适当选取 u, v和使得
E(u,v, )a b
(4.1.3)
4.1.2 初等下三角矩阵
令u li (0,,0,li1,i ,,lni )T ,v ei , 1，则
Li Li (li ) E(li , ei ,1)
取u = v = w, σ=2，并且w是单位向量，即
||w|| =1，初等矩阵
H (w) E(w, w,2) I 2wwH
(4.1.7)
称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。
定理4.1.2 Householder矩阵H(w)具有如下性质：
(1) det(H (w)) 1;
E(u, v, ) I uvH
(4.1.1)
称为初等矩阵.

矩阵论第四章内容总结

矩阵论第四章内容总结
的解， 则 Ax = b 的通解为
h = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r +h*
10
则Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r .
定理：设 m×n 矩阵的秩 r(A) = r，则 n 元齐次线性方程组Ax = 0 的解集 S 的秩 rS = n − r ．
定理：设 Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r ，若 x = h* 是 Ax = b
A1中向量的个数称为是A的秩.
定理：设两个向量组
A :1,2 ,L
,r
和B : 1, 2 ,L
,

满足：
s
(1)向量组 A 可由向量组 B 线性表示
(2) r s 则向量组 A 必线性相关。
推论1：设1,2 ,L ,r 可由 1, 2 ,L , s 线性表示， 且 1,2 ,L ,r 线性无关，则 r s.
方程组x11 x22 L xmm 0只有零解
rank1,2, ,m m
即一组线性无关的向量排列成的矩阵的秩恰好就是向量的个数
4
第四章内容总结
7. 向量组线性相关的充要条件是： 至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
8. 一个向量组的部分组线性相关，则这个向量组线性相关； 一个向量组线性无关，则任意一个部分组线性无关 。
第四章内容总结
1. 高斯消元法求解线性方程组AX=b;
（ 1）方程组有唯一解 r( A) A~) n
（ 2）方程组有无穷多解 r( A) r( A~) n
（ 3）方程组无解
r( A) r( A~) r( A) 1

高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算

高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算
A, B为反对称矩阵,则AB不一定反对称； ⑥ A为方阵, 则A+AT为对称矩阵, AAT
为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。
例4 A反对称，B对称．证明： 1）A2对称．2）ABBA对称； AB+BA反对 称． 3）AB反对称的充要条件为 AB=BA． 例5 A为n级实对称矩阵,且A2＝0,证明:A=0。
§4.2 矩阵的运算
一、加法
1. 定义
设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵
C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B．
2．性质
1）交换律 2）结合律 3） A+0=A 4） A+(A)=0 A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C )
3．减法：A B= A+(B)
1. 定义
设A=(aij)sn, kP, 记矩阵
B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积，记作 B=kA．
2．性质：
1) (k+l)A=kA + lA 2) k (A+B)= kA + kB 3) k(lA)=(kl)A 4) 1A=A
5) k (AB)= (kA)B= A(kB)
6) 若A是n级方阵，则|kA|=
(AB)k与AkBk 是否相等？如果不等，
又需要添加什么条件？
7) 对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时， R(A) + R(B) n 8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时，
R(A+E) + R(AE) = n
9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时， R(A) + R(AE) = n三、数量乘法（数乘） Nhomakorabea 性质：

放映：《矩阵论及其应用》第4章§3矩阵的Hermite标准形及满秩分解

放映：《矩阵论及其应用》第4章§3矩阵的Hermite标准形及满秩分解

？
A C mn , rankA r 0，对 A 进行行初等变换 a11 a12 a1n 1 a1 2 a1n A a21 a22 a2 n 0 a2 2 a2 n H am1 am 2 amn 0 am 2 amn 其中 H 为Hermite 标准形. 首个非零列 P 使得 从而存在满秩方阵 相同处理 PA H 称 H为 A 的 Hermite 标准形，P称为变换矩阵.
指出下列矩阵哪些为 Hermite 标准形
1 1 0 0 2 0 0 1 0 4 , 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 , 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 , 5 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 5 0
则
设 A, B C mn ,若存在 m 阶可逆阵 P 使得 PA B
Ax0 0 PAx0 0 Bx0 0
即 A, B 的列向量之间具有相同的线性组合关系。 对 A 施行行初等变换不会改变 A的列向量之 间的线性组合关系。
设
2 A 1 1
4 6 30 2 1 7 [ A1 2 4 19
0 4 , G 1 0 0 5
1
3
0 2 0 0
1 4 1 1
3 12 3 3
2 13 2 2
5 2 0 0
则 A 有满秩分解
7 F 1 3 2
2 0 0 5 0 1 3 2
A FG
矩阵的满秩分解是否唯一？ 设 A 的满秩分解为 任取 r 阶满秩阵 D，则
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Step2.令 U1 AV1D1, 得U1=[u1，u2，… ，ur],
扩充为标准正交基 酉矩阵U。
1 2 例 求矩阵A的奇异值分解，A= 0 0 。 0 0
2、矩阵U，V的空间性质：
左奇异向量
V=[v 1，v2，，vr ， ，v n] =[V1 V2]C n×n的列向 量是空间C n的标准正交基。 U=[u 1，u2，，ur ， ，u m] =[U1 U2]C m×m的列 向量是空间C m的标准正交基。
U1 的列向量是R（A）的标准正交基。 U2的列向量是R （A）的标准正交基。 右奇异向量
V2的 （A） 的标准正交基。
例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解
计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化 存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。 转换的原理是将图形分解成象素（pixels）的一 个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵 A=（a ij）m×n来存储。矩阵A的元素a ij是一个 正的数，它相应于象素的灰度水平（gray level） 的度量值。 由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度 水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的 条件下，将存储一个m×n阶矩阵需要存储的 m×n个数减少到n+m+1的一个倍数。
2、奇异值的定义： （P099） AC m×n，秩（A）=r，设AHA的特征值1 2 r 0，r+1= r+2 == n =0，则矩阵的奇异值
di
i ,
i 1,2,..., r.
二、矩阵的奇异值分解
1、Theorem 4.4.1（P099）
设AC m×n，秩（A）=r，则存在酉矩阵 UC m×m，VC n×n，使得
A–1 = A + ；
例 求下列特殊矩阵的广义逆； 零矩阵0； + 0 =0 m × n 对角矩阵
n×m
2、M-P 广义逆的惟一性
Theorem 如果A有M-P广义逆，则A的M-P广义逆 是惟一的。 3、M-P广义逆的存在性及其求法
Theorem 任何矩阵都有M-P广义逆。 求法： • 设A满秩分解A=BC，则
各种标准形的理论和计算方法 矩阵的分块
常见的矩阵标准形与分解 常见的标准形
等价标准形 相似标准形 合同标准形
I r 0 Amn pmm Qnn 0 0 1 Ann PJ A P
Ann CCT
AT=A
本节分解：
三角分解
满秩分解
等价标准形
可对角化矩阵的谱分解
一、矩阵A的奇异值及其性质
1、矩阵AHA和AAH的性质：
AC m×n，AHAC n×n，AAHC m×m ， 都是Hermite矩阵。 Theorem 2.7.8（P052）
1. 秩（A）＝秩（AHA）=秩（AAH）。 2. AHA 和AAH 的非零特征值相等。 3. AHA和AAH 是半正定矩阵。 AHA和AAH 的特征值是非负实数：1 2 n
相似标准形
4.1 LU分解(图灵Turing, 1948)
LU分解：AFnn， 存在下三角形矩阵L ， 上三角形矩阵U ，使得A=LU。
1 0 7 1 A 3 2 0 3 1 1 1 1 0 0 1 0 7 1 0 0 2 21 LU 1 9 1 0 0 2 2
A C (CC ) (B B) B
H H 1 H 1
H
• 奇异值分解可以用于求广义逆(Theorem 4.5.3,P105) 设A奇异值分解 ：（可以不讲）
D D 0 H A V U ，则 A V 0 0 0
1
0 H U 0
a1 a 例 设向量 2 的M-P广义逆。 an
(1 , 1 ) ... ( n , 1 ) 2 ... ( n , 2 ) n
4.2 QR分解
例 P090 例4.2.1
此例中矩阵是列满秩的
例 P091 例4.2.2
此例表明即使矩阵不是列满秩的，也可以用G-S正交化 方法，但是其QR分解不是唯一的。
d1 D 0 其中 0 0 , D d r
A UV H ,
证明思想： D2 Step1. AHA正规，VHAHAV= 酉矩阵V。
V [V1,V2 ], V1 [ 1,..., 2 ]
， 0
1 2 例 设 A 1 2， 求A+。 1 2
3、M-P广义逆的性质
Theorem 4.5.2 (P103) ： 1. （ A + ）+=A 2. （A + ） H =（A H ）+ 3. （A）= +A+ 4. A列满秩，则A+=（ A H A ） –1A H ，A行满 秩，则A+=AH （AAH） –1。 5. A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。
Ak u v u v u v
H 1 1 1 H 2 2 2
H k k k
有在秩为k （kn）的所有矩阵中，矩阵Ak所对应的图象和 矩阵A所对应的图象最相近。一般的，k越大图象就越清晰。 经典的方法是选取接近 k，使 Ak 的存储量比 A的存储量减少 20%。
存储矩阵Ak只需要存储k个奇异值，k个m维向 量ui和n维向量vj的所有分量，共计k（m+n+1） 个元素。 如果m=n=1000，存储原矩阵A需要存储 1000×1000个元素。取k=100时，图象已经非 常清晰了，这时的存储量是100（2000+1） =200100个数。 和矩阵A比较，存储量减少了80%。
A +与A–1 性质的差异比较：
（AB）–1=B –1 A –1 ，一般不成立（AB）+=B+A+。(只有满秩分解成立) （A–1）k =（Ak） –1 ，但不成立（A+）k=（Ak）+
Application: 可以简化求解线性方程的算法
Ax LUx b Step1: Ly b Step2 : Ux y
4.2 QR分解
1. 利用Gram-Schmidt正交化过程的QR分解 Theorem 设矩阵ACmn ，R(A)=n(列满秩)。则 存在非奇异上三角阵R，和矩阵Q，QHQ=E，使 得A=QR。
Er A P 0 0 Er Q P Er 0 0 0 Q BC
列 满 秩
行满秩
满秩分解的实现：向量组最大无关组的求法
例 求矩阵A的满秩分解
1 1 2 3 A (1 , 2 , 3 , 4 ) 1 0 1 0 0 1 1 3 1 0 1 0 1 1 行初等 0 1 1 3 , B 1 0 , A BC 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 C 0 1 1 3
4.2 QR分解(不做要求)
对于一般的方阵，无论其是否列满秩，都 可以利用Householder方法得到QR分解。
4.3 满秩分解
已知的结论
Er 0 Er Amn ~ , i.e., A P 0 0 0 矩阵的满秩分解 0 Q， P, Q可逆 0
对秩为r 的矩阵AFmn ，存在秩为r的矩 阵 B Fmr，CFrn ，使得A=BC为A 的满 秩分解。
压缩数字化图形存储量的方法主要是应用矩阵的奇 异值分解和矩阵范数下的逼近。如果图象的数字矩 阵A的奇异值分解为：A=UVT， 其展开式：
A u v u v u v
H 1 1 1 H 2 2 2
H r r r
压缩矩阵A的方法是取一个秩为k （kr）的矩阵Ak 来逼近 矩阵A。 Ak按如下方法选取：
第4章、 矩阵的分解
Matrix Factorization and Decomposition
矩阵分解的概述
矩阵的分解： 矩阵分解的原则：
实际应用的需要 显示原矩阵的某些特性 矩阵化简的方法之一 A=A1+A2+…+Ak A=A1A2 …Am 矩阵的和 矩阵的乘积
理论上的需要 计算上的需要
主要技巧：
总结：矩阵的满秩分解的做法
对ACmn 做行初等变换得行最简形H，取H的前r行所成 矩阵为C，取A的列向量组的最大无关组所成矩阵为B， 则 B Cmr，CCrn ，其秩序均为r，且A=BC。
例 P098 例4.3.2； 例 P098 例4.3.1（此矩阵为列满秩矩阵）
4.4 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
Problem: 矩阵的奇异值分解是酉等价型的分
D 0 D 矩阵A等价于= 0 0 mn
解: AC m×n，酉矩阵UC m×m, VC n×n ,使得A=U VH。 d
1
d2
dr
奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相 关的问题 A的奇异值分解依赖于正规矩阵A HA 的酉相似 分解的。
4.5 Moore-Penrose（M-P）广义逆
由Moore 1920年提出，1955年由Penrose发展。 1、 Definition设A C m n ，如果 XC n m ，使得 1. AXA=A 2. XAX=X 3. （AX）H = AX 4. （XA）H =XA 则称G为A的M-P广义逆，记为G=A+。 例 讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系。
Remark: 这样的分解称之为QR分解。
实施步骤
A (1,2 ,...,n )
G-S正交化
单位化
1, 2 ,..., n
1, 2 ,..., n