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由上例(2)知
un( x)
n1
x (x2
x)
(xn
xn1)
f
(x)
10,,|
x x
| 1 1
f
(
x)
10,,|
x x
|11在其收敛域上不连续.
进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。
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又如：若
un
(
x
)的部分和{
sn
(
x)
2n2
xe
n2
x
2
},
x
(0,1]
n1
s(x) 0, x(0,1] 连续,可积,
f
(x)？ f
( x0)
lim
n
fn( x0 )
结论是：不一定
如：lim xn n
f
(
x)
10,,|
x x
| 1 1
f (x)在x 1处不连续.
因此，保持连续性只有收敛的条件是不够的。
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2. 函数项级数的概念
(1) 定义5 设E上的函数列{un(x)},
对其各项依次用“+”连接起来的表达式
fn(x)
sin nx n
1 n
,
lim
n
sin nx n
0
{sinnnx }收敛域为(,)
极限函数 f (x) 0, x(,)
问题：(1) 函数列{ fn(x)}收敛域的判别; (2) 极限函数f (x)的分析性质(连续、可积、可导).
是不是所有的连续函数列的极限函数 在其收敛域上也连续。
即 lim x x0
由于 01kn1uk ( x)dx kn1[01uk ( x)dx]
01n1un( x)dx
01[lnim
n
uk
k 1
(
x)]dx
01[lnim sn( x)]dx
1
0
s(
x)dx
0,
n1[01un( x)dx]
lim n
01kn1uk
(
x)dx
lim
n
kn1[ 01uk
(
x)dx]
lim
n
记为
un( x) u1( x) u2( x) u3(x) un( x)
n1
称为E上的函数项无穷级数或简称为级数。
同时称
n
sn( x) u1( x) u2( x) un( x) ui(x) 部分和.
部分和实际是一个函数列.
i 1
特别地,
x0
E
,函数项级数
un
(
x0
)实际为一个数项级数.
fn( x)
f (x),n
即 lim n
fn(x)
f (x)
" N"定义
x D, 0,N(, x) N,当n N有 fn( x) f ( x)
(4) 定义4
函数列{ fn(x)}收敛点的全体集合,称为{ fn(x)}的收敛域.
例1 试求下列函数列的收敛域与极限函数
(1) fn( x) xn,n 1,2, x(,)
(2) 定义6
n1
当x0
E
,级数
un
(
x0
)收敛,则称x0为
un
(
x)收敛点.
当
即 un(
xln0i)m发 s散n(,x则n0)1称 lnxim0为 in1uui (nx(0x))存发在散.点n.1
n1
n1
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(3)
定义7
若级数
un( x)在D上收敛,则可确定一个新的
n1
函数s(x),x D.
n
xk
k 1
x(1 1
xn) x
பைடு நூலகம்
lim
n
sn
(
x)
lim
n
x(1 1
x x
n
)
在(1,1)内 xn收敛于
n1
x 1
x(,)
1
x
x
,
x
1
发散, x 1
x
(2) un( x) x ( x2 x) ( xn xn1) , x(,)
n1
解 sn( x) xn x(,)
lim
n
sn(
01sn
(
x)dx
lim(1 enn2 ) n
1
01n1un( x)dx n1[01un( x)dx]
为此引进一致收敛的概念
结论：即使和函数可积，求和函数的积分时也不能先
解 显然 x 1时, lim xn 0 n
{ x n }收敛域为(1,1]
x 1时,
lim xn不存在,
n
x 1时, lim xn 1
n
x 1时,
lim xn不存在,
n
极限函数
f
(
x)
10,,|
x x
| 1 1
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(2)
fn
(
x)
sin nx n
,
n
1,2,
x (,)
解 显然
uni ( x)
(4) 定义8
i 1
级数
un
(
x)收敛点的全体集合,
称为
un
(
x
)的收敛域.
n1
un( x)的收敛域本质上是{sn
(
x
n1
)}的收敛域.
n1
可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数.
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例2 试求下列级数的收敛域与和函数
(1) xn, x(,)
解
n1
sn( x)
记为:
un(
则称s( x)为函数列 un
x) s( x), x D n1
(
x)的和函数.
n1
即
lim
n
sn
(
x
)
s(
x)
" N"定义
x D, 0,N(, x) N,当n N有 sn( x) s( x)
若 un( x)收敛与s( x), x D
n1
余项
Rn(x) s(x) sn(x)
x)
lim n
xn
10,,|
x | 1 x1
收敛域 (1,1]
和函数
f
(
x)
10,,|
x x
| 1 1
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问题：(1) 函数项级数的收敛域与和函数； (2) 和函数的分析性质。
对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导,有很好的运算法则.
对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导？
若数列{ fn(x)}在D上的每一点均收敛, 则称{ fn( x)}在D上收敛.上 页 下 页 返 回
(3) 定义3 若{ fn( x)}在D上收敛,则可确定一个新的
函数f (x),x D. 则称f (x)为函数列{ fn(x)}的极限函数.
记为:
lim
n
fn(x)
f (x), x D或x D,
第十三章 函数列与函数项级数
一、点态收敛的概念 二、一致收敛性及其判别法 三、一致收敛的函数列
与函数项级数的性质
§1 一致收敛性
一、函数列与函数项级数 二、函数列一致收敛性 三、函数项级数一致收敛性
一、函数列与函数项级数的的概念
收敛数列(数项级数)可表示、定义一个数； 试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函数。
1. 函数列的定义: (1) 定义1 设函数f1( x), f2( x), , fn( x), 是定义在同 一个数集E上,则称其为E上的函数列. 记为: { fn(x)}或fn(x),n 1,2, 特别地取定x x0,则函数列{ fn(x)}为一个数列{ fn(x0)}.
(2) 定义2 若数列{ fn(x0)}收敛,则称{ fn(x)}在x0点收敛, 也称x0为{ fn(x)}的收敛点. 若数列{ fn(x0)}发散,则称{ fn(x)}在x0点发散.
