2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)

2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2}，B={x|x2<4}，则A∩B=()A. {−2,−1,0，1，2}B. {0,1，2}C. {1,2}D. {1}2.i是虚数单位，复数z=1−i在复平面上对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量m⃗⃗⃗ =(λ+1,1),n⃗=(λ+2,2)，若(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⊥(m⃗⃗⃗ −n⃗ )，则λ=()A. −4B. −3C. −2D. −14.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则cos∠AOB=()A. 125B. 325C. 15D. 7255.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是()A. 若m//α，m//n，则n//αB. 若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC. 若m⊥α，m//β，则α⊥βD. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β6.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=20，S20=15，则S30=()A. 10B. −30C. −15D. 257.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 5 D. 528.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要9.函数f(x)=1x−lnx−1的图象大致是()A. B.C. D.10.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如10≡4(mod6).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的(中国剩余定理)，执行该程序框图，则输出的n等于()A. 17B. 16C. 15D. 1311.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A. √5B. √52C. √5+1 D. √5+1212.设a是函数f(x)=2x−log12x的零点，若x>a，则()A. f(x 0)=0B. f(x 0)>0C. f(x 0)<0D. f(x 0)的符号不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=x 3−ln x ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为________．14. 外地务工人员小明准备回家乡创业，他从当地银行贷款9万元作为创业基金，并在当地承包了一块300亩的耕地，每年承包费用20万元(此笔费用可在获得收益后再支付)，计划种植甲、乙两个品种的蔬菜．当年种植乙两种蔬菜的成本分别是600元/亩和200元/亩，预计当年种植甲、乙两个品种的蔬菜除去种植成本后分别带来3000元/亩和2000元/亩的收益，则合理分配资源后，当年能带来的最大利润是________万元．(利润=总收益−承包费用)15. 在三棱锥A −BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为√22，√32，√62，则该三棱锥外接球的表面积为______． 16. 已知数列{a n }的通项公式为a n ={1n ,n =1,2(12)n ,n ≥3，n ∈N ∗，其前n 项和为S n ，则n →∞lim S n =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．(Ⅰ)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；(Ⅱ)若在A 类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．18.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca+b +sinAsinB+sinC=1；(1)求B；(2)若b=√2，求a2+c2的取值范围．19.如图，在四棱锥A−BCDE中，CD⊥平面ABC，BE//CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M为AD上一点，EM⊥平面ACD．(Ⅰ)证明：EM//平面ABC；(Ⅱ)若CD=2，求四棱锥A−BCDE的体积．20.已知定点A(−3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−1，记动点M的9轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21.已知函数f(x)=(x+1)lnx−x+1．(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范围；(Ⅱ)证明：(x−1)f(x)≥0．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =5cosαy =4sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2−4ρcosθ+3=0.(1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ|的最小值．23. 已知f(x)=|x +1|+|x −2|．(1)求不等式f(x)≤x +4的解集；(2)若f(x)的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a +b +c =m ，求证：1a+b +1b+c +1c+a ≥m 2．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={1,2}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A∩B={1}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．由已知求得z的坐标得答案．解：复数z=1−i在复平面上对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限．故选：D．3.答案：B解析：解：m⃗⃗⃗ +n⃗=(2λ+3,3),m⃗⃗⃗ −n⃗=(−1,−1)，∴(2λ+3)×(−1)−3=0，∴λ=−3．故选：B．直接利用向量的数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题．4.答案：D解析：本题考查了二倍角公式及其应用和解三角形的实际应用，考查了学生处理问题的能力，属于中档题．由题目所给弧田面积公式求出矢=1，设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，列出方程组求出d=4，r=5，从而得到cos∠AOD=dr =45，再由cos∠AOB=2cos2∠AOD−1，计算得结论．解：如图，由题意可得：AB =6，弧田面积S =12(弦×矢+矢×矢)=12×(6×矢+矢×矢)=72平方米．解得矢=1(米)或矢=−7(米)(舍)，设半径为r 米，圆心到弧田弦的距离为d 米，则{r −d =1r 2=9+d 2，解得d =4(米)，r =5(米)， ∴cos∠AOD =d r =45， ∴cos∠AOB =2cos 2∠AOD −1=3225−1=725．故选D ．5.答案：C解析：解：由m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，知：在A 中，若 m//α，m//n ，则 n//α或n ⊂α，故A 错误；在B 中，若 m ⊥α，n ⊥α，则 由线面垂直的性质得n//m ，故B 错误；在C 中，若 m ⊥α，m//β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；在D 中，若α⊥β，m ⊂α，则 m 与β相交、平行或m ⊂β，故D 错误．故选：C ．在A 中，n//α或n ⊂α；在B 中，由线面垂直的性质得n//m ；在C 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D 中，m 与β相交、平行或m ⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.答案：C。

2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.若复数是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，且，则A. B. C. 1 D. 24.如图是来白古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，已知以直角边AC，AB为直径的半圆的面积之比为，记，则A. B. C. D.5.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是A. 若，，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 21B. 22C. 11D. 127.已知抛物线C：的焦点为F，A、B是抛物线上两个不同的点，若，则线段AB的中点到y轴的距离为A. 5B. 3C.D.8.在关于x的不等式中，“”是“恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.函数的图象大致是A. B.C. D.10.如图程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理．把运算“正整数N除以正整数m所得的余数是n”记为“”，例如执行该程序框图，则输出的n等于A. 16B. 17C. 18D. 1911.已知双曲线C：的焦距为2c，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线C的右支于点P，若线段的中点在圆O：上，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数为奇函数，曲线在点处的切线方程为______．14.某牧草种植基地2019年种植A、B、C三种牧草共50亩，种植比例如图所示．该基地计划在2020年扩大A品种和C品种的种植面积，同时保持B品种的种植面积不变，这样B品种的种植面积比例下降为若C品种的种植面积比例保持不变，那么2020年，C品种的种植面积是______亩．15.在三棱锥中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的表面积为______．16.设函数，点，为坐标原点，若向量，设，且是与的夹角，记为数列的前n项和，则______，______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、煤炭三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到85分及其以上的单位被称为“A类”环保单位，未达到85分的单位被称为“B类”环保单位．现通过分层抽样的方法确定了这三类行业共20个单位进行调研，统计考评分数如下：畜牧类行业：85，92，77，81，89，87；化工类行业：79，77，90，85，83，91；煤炭类行业：87，89，76，84，75，94，90，88．Ⅰ计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数；Ⅱ若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．18.设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．Ⅰ求B；Ⅱ若是钝角三角形，且，求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，已知，，，，，点M是线段PB的中点．Ⅰ证明：平面PAD；Ⅱ求四面体MPAC的体积．20.已知在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点，连线的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线E．Ⅰ求曲线E的方程；Ⅱ已知点，过原点O且斜率为的直线l与曲线E交于C，D两点点C在第一象限，求四边形MCAD面积的最大值．21.已知函数．Ⅰ求在区间上的零点个数其中为的导数；Ⅱ若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若点P在曲线上，点Q在曲线上，求的最小值及此时P点的坐标．23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ若a、b、c均为正实数，且满足，m为的最小值，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：，复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：向量，，且，，解得．故选：A．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为：，，由面积之比为得：，即，在中，，故．故选：D．根据两半圆的面积比，可求出AC，AB之比，从而求出，再进一步借助于三角公式求解即可．本题考查三角函数的公式变换，以及给值求值问题解法，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．5.答案：B解析：解：m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故B正确；在C中，若，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则与相交或平行，故D错误．故选：B．在A中，与相交或平行；在B中，由面面平行的判定定理得；在C中，与相交或平行；在D中，与相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．6.答案：A解析：解：由等差数列的性质可得：，，成等差数列，，解得．故选：A．由等差数列的性质可得：，，成等差数列，即可得出．本题考查了等差数列求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：由抛物线的定义可知，，，，线段AB的中点到y轴的距离为．故选：D．先由抛物线的定义知，于是可得的值，再利用中点坐标公式即可得解．本题考查抛物线的定义、中点坐标公式，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：在关于x的不等式中，当时，，“”“恒成立”，当时，，“恒成立”“”，“”是“恒成立”的充要条件．故选：C．当时，，“”“恒成立”，当时，，“恒成立”“”，由此能求出“”是“恒成立”的充要条件．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查不等式的性质的求法，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：定义域为，故排除A；，故排除C；，故排除D．故选：B．由函数的定义域及特殊点的值，运用排除法可以得到答案．本题考查由函数解析式找函数图象，通常从特殊点，单调性，奇偶性等角度运用排除法求解，属于基础题．10.答案：B解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2，被5除余2，最小两位数，故输出的n为17，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．11.答案：C解析：解：如图，设线段的中点为Q，连接OQ，由题意可得，又直线的斜率为1，则轴，得，则，由OQ为的中位线，可得，则，得．故选：C．由题意画出图形，结合已知可得轴，分别求得与，再由双曲线的定义列式求解离心率．本题考查圆与双曲线的综合、三角形中位线定理，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数与方程的综合应用，指数函数与对数函数的性质，考查数形结合思想，属于中档题．利用换元法设，则方程等价于，根据指数函数和对数函数的图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令，则方程等价于，由选项知，则，所以由，得，则关于x的方程有且只有一个实数根等价于关于x的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；当时，要使直线与的图象只有一个交点，则只需要当时，直线与的图象没有交点，所以，即，解得，综上所述，实数a的取值范围是，故选：B．13.答案：解析：解：因为为奇函数，当时，且为奇函数，是偶函数，是奇函数，所以要使是奇函数，只需即可，所以．故，，，所以切线为，即．故答案为：．易知函数的定义域为R，根据是奇函数，可得，然后再求导数，进一步求出切点处的导数和函数值，代入点斜式即可求出切线．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，要注意抓住切点满足的两个条件列方程求解，属于基础题．14.答案：15解析：解：某牧草种植基地2019年种植A、B、C三种牧草共50亩，种植比例如图所示．则B品种2019年的种植面积为亩，该基地计划在2020年扩大A品种和C品种的种植面积，同时保持B品种的种植面积不变，这样B品种的种植面积比例下降为．年种植总面积为：亩，品种的种植面积比例保持不变，年，C品种的种植面积是亩．故答案为：15．先求出B品种2019年的种植面积为亩，再求出2020年种植总面积为：亩，由此能求出2020年，C品种的种植面积．本题考查2020年C品种种植面积的求法，考查饼图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：三棱锥中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c由题意得：，，，解得：，，，所以球的直径为：，它的半径为，球的表面积为：，故答案为：．三棱锥中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的长宽高，转化为对角线长，即可求解外接球的表面积．本题是基础题，考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．16.答案：解析：解：由函数，点，向量，所以；．故答案为：，．利用向量的加法，结合函数解析式，即可得出结论本题考查了平面向量的综合应用问题，也考查了等比数列的求和运算问题，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意得，抽取的畜牧、化工、煤炭三类行业单位个数之比为3：3：4，由分层抽样的定义，有：畜牧行业的单位个数为，化工行业的单位个数为，煤炭行业的单位的个数为，该辖区畜牧、化工、煤炭这三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80．Ⅱ记选出的2个单位中既有“A类“环保单位，又有“B类”环保单位为事件M，这2个单位的考核数据情形有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位包含的基本事件有8个，分别为：，，，，，，，，选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．解析：Ⅰ由分层抽样的定义，能求出该辖区畜牧、化工、煤炭这三类行业中每类行业的单位个数．Ⅱ记选出的2个单位中既有“A类“环保单位，又有“B类”环保单位为事件M，利用列举法能求出选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有“B类”环保单位的概率．本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ，可得：，，，由，．Ⅱ由题意可得：，可得，，，不妨令，可得，，即的取值范围是．解析：Ⅰ由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求cos B的值，进而可求B的值．Ⅱ由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由题意，不妨令，可得，结合正弦函数的性质即可求解的取值范围．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19.答案：Ⅰ证明：取PA的中点N，连接MN，有，且，又，，且，得四边形MNDC是平行四边形，．又平面PAD，平面PAD，平面PAD；Ⅱ解：依题意，，，，，又，平面ABCD，，，，平面PAB．又，是C到平面PAB的距离．则．解析：Ⅰ取PA的中点N，连接MN，有，且，结合已知可得且，得四边形MNDC是平行四边形，则再由直线与平面平行的判定得到平面PAD；Ⅱ由已知结合勾股定理得到，，则平面ABCD，有，再由，可得平面则AD是C到平面PAB的距离．然后利用等体积法求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ设，由题意可得，即，整理可得，，所以曲线E的方程为，；Ⅱ设直线l的方程为，联立直线l与椭圆的方程整理可得，解得，，所以，，因为，，，且直线AM的方程：，因为，所以C点直线AM的距离，因为，所以，同理可得点D到直线AM的距离，因为，所以，所以，当且仅当，即取等号，所以四边形MCAD面积的最大值为．解析：Ⅰ设P的坐标，求出直线AP，BP的斜率，再由AP，BP的斜率之积为可得P的轨迹方程，Ⅱ设直线l的方程与曲线E联立求出C，D的坐标，由题意求出线段的值及直线AM的方程，进而求出C，D到直线AM的距离，求出四边形MCAD面积的表达式，由均值不等式求出面积的最大值．本题考查求动点的轨迹方程及直线与椭圆的综合，点到直线的距离公式和四边形面积的表达式，均值不等式的应用，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，其在上是增函数，，，根据函数零点存在定理，使得，故在区间上的零点个数是1个；Ⅱ若关于x的不等式在上恒成立，整理可得，令，即求出函数在上的最小值，，令，则，而，，在上是增函数，，有，从而，在上是增函数，可得；．解析：Ⅰ根据函数零点存在定理即可求出；Ⅱ原不等式可转化为，令，再根据导数和函数最值的关系即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为由于，转换为直角坐标方程为．Ⅱ设点到直线的距离，当时，，即，点P坐标为解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ，当时，恒成立，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；综上，不等式的解集为；Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，当时取得最小值m，又a，b，c为正实数，且，，当且仅当“”时取等号，．解析：Ⅰ将函数化为分段函数的形式，再分别求解，最后取并集得答案；Ⅱ利用Ⅰ，再利用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。

2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试（4月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-【答案】C【解析】由题意和交集的运算直接求出A B .【详解】∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<∴AB =1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.2．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算.3．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【详解】由于向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D【解析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==.由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩，得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4sin 22sin cos 2555ααα==⨯=. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.5．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A 选项，若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβ或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβ或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m α，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ或α与β相交；故D 错；故选B 【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A【解析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.7．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．5B ．3C ．32D ．2【答案】D【解析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离. 【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和.8．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案. 【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立；当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件. 9．函数1ln 1y x x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】借助导数分析()ln 1g x x x =--的单调性，继而分为x →+∞和0x >且0x →两种情况，探究1ln 1y x x =--的取值情况，即可选出正确图像.【详解】解：令()ln 1g x x x =--，0x >且1x ≠，则()'110g x x=-=，解得1x = 当01x <<时，()'110g x x=-<，则此时()ln 1g x x x =--递减； 当1x >时，()'110g x x=->，则此时()ln 1g x x x =--递增. 当x →+∞ 时，ln 1x x --→+∞ ，故此时()0f x > 且()0f x →，排除C,D. 当0x >且0x →时，ln x →-∞，则ln 1x x --→+∞，故此时()0f x > 且()0f x →.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的图像.在选择函数的图像时，可借助函数的定义域、奇偶性、对称性排除几个错误选项，另外，还可以代入特殊点进行排除.10．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可. 【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出16n = ，则()161mod3≡不符合题意，排除； 若输出17n =，则()()172mod3,172mod5≡≡，符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C 1D ．1【答案】C【解析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122PF AF ===，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即22c a -=，即1c a ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【解析】利用换元法设()t f x =，则等价为()0f t =有且只有一个实数根，分0,0,0a a a <=> 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围.【详解】解：设()t f x = ，则()0f t =有且只有一个实数根.当0a < 时，当0x ≤ 时，()103xf x a ⎛⎫=⋅< ⎪⎝⎭，由()0f t =即13log 0t =，解得1t =，结合图象可知，此时当1t =时，得()1f x = ，则13x =是唯一解，满足题意； 当0a =时，此时当0x ≤时，()103xf x a ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，此时函数有无数个零点，不符合题意；当0a > 时，当0x ≤ 时，()[)1,3xf x a a ⎛⎫=⋅∈+∞ ⎪⎝⎭，此时()f x 最小值为a ，结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.二、填空题13．若函数32()(1)2f x a x ax x =+++为奇函数，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______. 【答案】520x y --=【解析】由奇函数，可知()()11f f -=-，从而可求出0a =，求出函数的导数，即可求出切线的斜率，由点斜式，可写出切线的方程. 【详解】解：由函数32()(1)2f x a x ax x =+++为奇函数可知，()()11f f -=- ，即()()1212a a a a -++-=-+++，解得0a =，即3()2f x x x =+.则()13f =，()'232f x x =+，所以()'15f =.则()351y x -=- ，整理得520x y --=.故答案为: 520x y --=. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了导数的几何意义，考查了直线方程.若已知函数的奇偶性，求参数的值，一般都是代入特殊值，列关于参数的方程进行求解；若判断函数的奇偶性，则一般结合函数的图像或奇偶性的定义，判断()(),f x f x - 的关系即可. 14．某牧草种植基地2019年种植、、A B C 三种牧草共50亩，种植比例如图所示.该基地计划在2020年扩大A 品种和C 品种的种植面积，同时保持B 品种的种植面积不变，这样B 品种的种植面积比例下降为10%.若C 品种的种植面积比例保持不变，那么2020年，C 品种的种植面积是_____亩.【答案】15【解析】由题意，求出2019年三种牧草的种植面积，由2020年B 品种的种植面积比例下降为10%，可求出2020年总共占地150亩，从而可求C 品种的种植面积. 【详解】解：2019年A 种面积500.630⨯=亩，B 种面积500.315⨯=亩，C 种面积500.15⨯=亩.则由题意知，2020年，扩大后，三种牧草总共占地150.1150÷=亩 由于C 品种的种植面积比例保持不变即为10%，则15010%15⨯=亩. 故答案为:15. 【点睛】本题考查了饼形图.本题的关键是，求出2020年三种牧草总的种植面积.15．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB AC AD 、、两两垂直，ABC 、ACD 、ADB △、A BCD -的外接球的表面积为______. 【答案】20π【解析】由已知面积可求三条侧棱的长，根据侧棱两两垂直，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，由三条棱的长可求出球的半径，进而可求球的表面积. 【详解】解：由题意知，121212ABC ACD ADB S AB AC S AD AC S AB AD ⎧=⋅=⎪⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪=⋅=⎪⎩，解得AB AC AD ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩由侧棱两两垂直可知，三棱锥和以AB AC AD 、、为棱的长方体的外接球相同，球心为长方体体对角线的中点.则三棱锥A BCD -的外接球的半径22R ===所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为2420S R ππ==. 故答案为: 20π. 【点睛】本题考查了球表面积的求解，考查了几何体外接球问题.在求几何体的外接球时，通常有三个做题思路，一是转化为长方体的外接球，求体对角线即为直径，但此种思路局限性较大；二是根据几何性质，设出球心和半径，列出关于半径的方程求解即可；三是建立坐标系.三、双空题 16．设函数()2x x f x =，点()*(,())n A n f n n N ∈，0A 为坐标原点，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，设(1,0)i =，且n θ是n a 与i 的夹角，记n S 为数列{}tan n θ的前n 项和，则3tan θ=_____，n S =______.【答案】18 112n - 【解析】由向量加法性质可知0,2n n n n a A A n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意知12t 2an n nnnn θ==，从而可求3tan θ的值，由等比数列的求和公式可求出n S . 【详解】解：由向量的加法法则可知011210,2n n n n n n a A A A A A A A A n -⎛⎫=+++== ⎪⎝⎭.由(1,0)i =，且,2n n n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭在第一象限，所以tan n θ为直线0n A A 的斜率，由题意知，12t 2an n n n nn θ== ，所以31tan 8θ=. 设tan ,n n b n N θ*=∈，则111,2n n b n N *++=∈ ，所以1121,22n n n n b n N b *++==∈ . 则{}n b 是以12 为首项，12为公比的等比数列，即1112211,1212nn nS n N *⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-∈-. 故答案为: 18;112n -. 【点睛】本题考查了向量的加法法则，考查了等比数列的求和公式，考查了直线斜率的求解.本题的关键是将夹角的正切值转化为直线的斜率.求数列的和时，常用的思路有公式法、裂项相消、错位相减、分组求和等.本题注意，应首先先利用等比数列的定义证明{}tan n θ为等比数列，再结合等比数列求和公式求解.四、解答题17．为践行“绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、煤炭三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到85分及其以上的单位被称为“A 类”环保单位，未达到85分的单位被称为“B 类”环保单位.现通过分层抽样的方法确定了这三类行业共20个单位进行调研，统计考评分数如下： 畜牧类行业：85，92，77，81，89，87 化工类行业：79，77，90，85，83，91 煤炭类行业：87，89，76，84，75，94，90，88 （1）计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数；（2）若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选出的这两个单位中既有“A 类”环保单位，又有“B 类”环保单位的概率. 【答案】（1）60、60、80；（2）815【解析】（1）求出三类行业的个数之比，结合分层抽样的定义可求出每类行业的单位个数.（2）列举出六个单位中随机抽取两个所有的组合情况，即可得到总的事件个数及既有“A 类”环保单位，又有“B 类”环保单位的组合个数，结合古典概型即可求概率. 【详解】解：（1）由题意得，抽取的畜牧、化工、煤炭三类行业单位个数之比为3:3:4. 由分层抽样的定义，有畜牧类行业的单位个数为32006010⨯=， 化工类行业的单位个数为32006010⨯=，煤炭类行业的单位个数为42008010⨯=， 故该辖区畜牧、化工、煤炭三类行业中每类行业的单位个数分别为60、60、80. （2）记选出的这2个单位中既有“A 类”环保单位，又有“B ”环保单位为事件M .这2个单位的考核数据情形有(85,92)，(85,77)，(85,81)，(85,89)，(85,87)，(92,77)，(92,81)，(92,89)，(92,87)，(77,81)，(77,89)，(77,87)，(81,87)，(89,87)，(81,89)共15种.其中符合的事件M 的考核数据情形有(85,77)，(85,81)，(92,77)，(92,81)，(77,89)，(77,87)，(81,89)，(81,87)共8种，故所求概率8()15P M =. 【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型.在求古典概型概率时，一般采用列举法，写出所有的基本事件，然后确定总的基本事件数和符合题意的基本事件数，即可求出概率. 18．设ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，已知2cos cos cos b B a C c A =+.（1）求B ；（2）若ABC 是钝角三角形，且b =a c +的取值范围.【答案】（1）3π；（2） 【解析】（1）由正弦定理对2cos cos cos b B a C c A =+进行边角互化，结合三角形的内角和定理可得2sin cos sin B B B =，可求出1cos 2B =，从而可求出B . （2）由正弦定理可知2sin a A =，2sin c C =，由三角恒等变换可求()23sin 30a c A +=+︒，不妨设90120A ︒<<︒，结合三角函数的性质，可求出a c+的取值范围. 【详解】（1）解：由题设知，2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，即2sin cos sin()B B A C =+，所以2sin cos sin B B B =，即1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=.（2）解：由题设知，32sin sin sin 60a c A C ===︒，即2sin a A =，2sin c C =， 所以()2sin 2sin 2sin 2sin 1203sin 3cos a c A C A A A A ︒+=+=+-=+()23sin 30A =+︒，不妨令9012012030150A A ︒<<︒⇒︒<+︒<︒，所以()323sin 303A <+︒<，即a c +的取值范围是(3,3). 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角恒等变换，考查了求三角函数的最值.若已知的式子中既有边又有角的三角函数值，一般结合正弦定理和余弦定理进行边角互化.本题第二问的关键是结合正弦定理和三角形的内角和定理，用A 表示a c +.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，2PA AB AD ===，1DC =，AD AB ⊥，22PB PD ==，点M 是线段PB 的中点.（1）证明：//CM 平面PAD ； （2）求四面体MPAC 的体积. 【答案】（1）见解析；（2）23【解析】（1）取PA 的中点N ，连接MN ，通过证明MN DC //且MN DC =，证明四边形MNDC 是平行四边形，从而证明//CM DN ，即可证出线面平行. （2）通过边的关系及线面垂直，可证AD 是C 到平面PAM 的距离，求出PAMS即可求出四面体MPAC 的体积 【详解】（1）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有//MN AB ，且2MN AB =//MN DC ∴且MN DC =，所以四边形MNDC 是平行四边形.//CM DN ∴，又DN ⊂平面PAD ，故//CM 平面PAD .（2）解：依题意知：2228PA AB PB +==，2228PA AD PD +==， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又因为AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，AD PA ⊥，AB PA A ⋂=，DA ∴⊥平面PAB ，又//CD AB AD ∴是C 到平面PAM 的距离.则1111222233223C PAM PAMV AD S -=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥体积的求解.证明线面平行，由判定定理知可证明线线平行，常用的方法有：三角形的中位线、平行四边形对边平行等.证明线线垂直时，常用的方法有：等腰三角形中三线合一、勾股定理、矩形的临边垂直，菱形的对角线垂直等.20．已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(0,1)A ，(0,1)B -连线的斜率之积为14-，记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知点(2,0)M ，过原点O 且斜率为(0)k k >的直线l 与曲线E 交于,C D 两点（点C 在第一象限），求四边形MCAD 面积的最大值. 【答案】（1）221(0)4x y x +=≠；（2）22【解析】（1）设(, )P x y ，写出动点P 与两定点(0,1)A ，(0,1)B -连线的斜率，由已知，可求出,x y 的方程，即可求出曲线E 的方程.（2）写出直线l 的方程，与曲线E 的方程联立，可求出交点,C D 的坐标；求出直线AM的方程，即可求出,C D 到AM 的距离，从而可求出()1212MCAD S AM d d =+=. 【详解】解：（1）设(, )P x y ，14AP BP k k ⋅=-，()11104y y x x x -+∴⋅=-≠，化简得：2214x y += 又0x ≠，∴动点P 的轨迹方程为221(0)4x y x +=≠（2）设直线l 的方程为(0)y kx k =>，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22144k x +=，C x ∴=，D x =，C y ∴=，D y =(0,1)A ，(2,0)M ，∴直线AM 的方程为220x y +-=.∴点C 到直线AM的距离1d ==同理：点D 到直线AM的距离2d =，因为()221214k k +>+，且0k >所以12d d ==()121222MCAD S AM d d ∴=+===≤，当且仅当14k k=，即12k =时等号成立.∴四边形MCAD面积的最大值为【点睛】本题考查了曲线方程的求解，考查了点到直线的距离，考查了直线的方程，考查了直线与曲线的位置关系，考查了基本不等式.本题的易错点是在求曲线方程时，忽略斜率一定存在，即0x ≠这一条件.求曲线方程一般的做题思路是设出动点坐标，由题意条件列出关于动点坐标的方程，即可求出；对于一些题目，也可结合椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义，先判断出动点的轨迹，再进行求解. 21．已知函数2()2x f x e x x =+-.（1）求()f x '在区间[0,1]上的零点个数（其中()f x '为()f x 的导数）；（2）若关于x 的不等式23()(2)12f x x a x ≥+-+在[1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1个；（2）32a e ≤-【解析】（1）求出()22xf x e x +'=-，由单调性的性质可知()f x '在[]0,1上是增函数，从而结合零点存在定理，可判断()f x '在区间[0,1]上的零点个数.（2）参变分离得到2112x e x a x --≤在[1,)+∞上恒成立，令2112()x e x g x x--=，通过导数可以证明()g x 在[)1+∞上是增函数，从而可求出min 3()(1)2g x g e ==-，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意知()22x f x e x +'=-，因为,2xy e y x ==在[]0,1上是增函数， 所以()f x '在[]0,1上是增函数，由(0)10210f =+-=-<'，(1)220f e e =+-=>'，根据零点存在定理，0[0,1]x ∃∈使()00f x '=，故()f x '在区间[0,1]上的零点个数是1个.（2）若关于的不等式23()(2)12f x x a x ≥+-+在[1,)+∞上恒成立， 整理得2112x e x a x --≤在[1,)+∞上恒成立，令2112()x e x g x x--=，则()22222111(1)1(1)1122()2xx x x ex x e x x e x x e g x x x x ⎛⎫------+ ⎪-+⎝⎭===-'， 令()1xh x e x =--，则()1x h x e '=-，而[1,)x ∈+∞，所以()0h x '> 所以()h x 在[1,)+∞上是增函数，即()(1)20h x h e ≥=->，有1x e x >+从而22(1)11(1)(1)111()0222x x e x x g x x x -+-++=->-=>'， 则()g x 在[)1+∞上是增函数，可得min 3()(1)2g x g e ==-.所以32a e ≤-.【点睛】本题考查了零点存在定理，考查了函数单调性的性质，考查了运用导数求函数的单调性，考查了函数最值的求解.本题的难点在于第二问中，通过放缩判断()0g x '>.判断函数单调性时，可结合函数图像、导数或者单调性的性质.若()()()f x g x h x =+ 且()(),g x h x 都是增（减）函数，则()f x 也是增（减）函数；若()()()f x g x h x =-，且()g x 是增函数，()h x 是减函数，则()f x 是增函数；若()()()f x g x h x =-，且()g x 是减函数，()h x 是增函数，则()f x 是减函数.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【答案】（1）2213x y +=；40x y ++=（2，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】（1）消去曲线1C 参数方程的参数，求得曲线1C 的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程.（2）设出P 的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【详解】（1）消去α得，曲线1C 的普通方程是：2213xy +=；把cos x ρα=，sin y ρα=代入得，曲线2C 的直角坐标方程是40x y ++= （2）设,sin )P αα，||PQ 的最小值就是点P 到直线2C 的最小距离.设d ==在56πα=-时，sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，d =32α=-，1sin 2α=-，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题. 23．已知函数()|21||1|f x x x =-++ （1）解不等式()3f x ≥；（2）若a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=，m 为()f x 的最小值，求证：22232b c a a b c ++≥. 【答案】（1）{|1x x -或1}x （2）证明见解析【解析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，由此求得不等式()3f x ≥的解集. （2）由（1）求得()f x 最小值m ，由此利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，()3f x 恒成立，解得1x <-； 当112x -时，由()3f x ，解得1x =-； 当12x >时，由()3f x 解得1x 所以()3f x 的解集为{|1x x -或1}x（2）由（1）可求得()f x 最小值为32，即32a b c m ++== 因为,,a b c 均为正实数，且32a b c ++=222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()a b c ≥++=++（当且仅当12a b c ===时，取“=”） 所以222b c a a b c a b c++≥++，即22232b c a a b c ++≥.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.。

内蒙古鄂尔多斯市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数，那么集合中元素的个数为（）A . 1B . 0C . 1或0D . 1或22. （2分）(2018·肇庆模拟) 设复数满足为虚数单位），则复数 =（）A .B .C .D .3. （2分）等差数列中，若，则等于（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分） (2017高一下·宜昌期中) 若函数y=f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向右平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y= sinx的图象，则y=f（x）的解析式为（）A . y= sin（2x+ ）+1B . y= sin（2x﹣）+1C . y= sin（ x+ ）+1D . y= sin（ x﹣）+15. （2分）离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则（）A .B .C .D .6. （2分）已知变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为（）A . 4B . 2D . -47. （2分）棱长为2的正四面体（各面均为正三角形）俯视图如图所示，则它正视图的面积为（）A . 2B .C .D .8. （2分） (2018高三上·云南期末) 程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i ，则输出的结果是（）A .B .C . 09. （2分） (2018高二下·辽源月考) 已知三次函数在R上是增函数，则m的取值范围是（）A . m<2或m>4B . －4<m<－2C . 2<m<4D . 2≤m≤410. （2分）已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则=（）A . 35B . 33C . 31D . 2911. （2分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A . 函数f（x）在（﹣2，3）内单调递减B . 函数f（x）在x=3处取极小值C . 函数f（x）在（﹣4，0）内单调递增D . 函数f（x）在x=4处取极大值12. （2分） (2017高一下·惠来期中) 已知，满足：，，，则 =（）A .B .C . 3D . 10二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·杨浦期末) 己知数列的通项公式为，是数列的前项和，则 ________.14. （1分）(2017·柳州模拟) 已知，则在的展开式中，所有项的系数和为________．15. （1分）已知椭圆：+=1，左右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若AF2+BF2的最大值为5，则椭圆方程为________16. （1分）若关于x的方程lnx+2=（a+1）x无解，则数实a的取值范围为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）(2018高三上·贵阳月考) 已知的内角所对的边分别是且，；等差数列的公差.（Ⅰ）若角及数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和 .18. （5分） (2018高二上·安吉期中) 如图，在几何体ABCDE中，△AED为等边三角形，AB∥CD，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AD=AB=2，BE=3．（Ⅰ）求证：AD⊥BE（Ⅱ）求直线BE与平面AED所成的角的大小．19. （10分） (2019高二下·蕉岭月考) 继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相南昌市，一款共享汽车在南昌提供的车型是“吉利”.每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里＋0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每次租用共享汽车上、下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟）次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.（1）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽车，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.20. （10分） (2017高二上·晋中期末) 在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P 到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于- ，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．21. （10分） (2018高二下·柳州月考) 已知函数在点处的切线为.（1）求函数的解析式；（2）若，且存在，使得成立，求的最小值．22. （5分） (2017高二下·洛阳期末) 在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3．（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）直线C1与曲线C2相交于A，B两点，点M（1，0），求||MA|﹣|MB||．23. （10分）已知函数f（x）=2|x﹣2|+3|x+3|．（1）解不等式：f（x）＞15；（2）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足4a+25b=m，证明： + ≥ ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

2020 年内蒙古鄂尔多斯一中高考数学模拟试卷（理科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A＝{x|x2-16≤0}，B＝{x|lg|x-2|＞0}，则 A∩B＝A. [-4，1)∪(3，4]B. [-4，-3)∪(-1，4]C. (-4，1)∪(3，4)D. (-4，-3)∪(-1，4)2. 复数 z 的共轭复数记作 ，已知复数 z1 对应复平面上的点（-1，-1），复数 z2 满足•z2=-2，则|z2|=（ ）A.B. 2C.D. 103. 正项等差数列{an}的前 n 和为 Sn，已知 a3+a7-a52+15=0，则 S9=（ ）A. 35B. 36C. 45D. 544. 在△ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点，M 为AH 的中点，若 =λ +μ ，则 λ+μ 等于（ ）A.B.C.D.5. 如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为 30°，若向弦图内随机抛掷 500 颗米粒（大小忽略不计，取 ≈1.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 134B. 67C. 200D. 2506. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是 ，则判断框中应填入的条件是（ ）第 1 页，共 16 页A. i＞5B. i＜5C. i＞4D. i＜47. 将函数 y=sin（3x+φ）的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 f（x）的图象，则”是 f（x）是偶函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必婴不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条仲8. 已知 f（x+2）是偶函数，f（x）在（-∞，2]上单调递减，f（0）=0，则 f（2-3x）＞0 的解集是（ ）A.B.C.D.9. 函数 f（x）=的图象大致是（ ）A.B.C.D.10. 从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）A. 48B. 72C. 90D. 96第 2 页，共 16 页11. 已知 F1，F2 是双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的 圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. （2，+∞）B. （ ，2）C. （ ， ） D. （1， ）12. 已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 在（ - ）n 的二项展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则二项展开式常数项等于______． 14. 数列{an}为等差数列，其前 n 项的和为 Sn，a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意的 n∈N+，都有 Sn≤Sk 成立，则常数 K 的值是______． 15. 已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，斜率为 2 的直线过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 A 在第一象限，那么 =______．16. 在△ABC 中，2AB=3AC，AD 是∠BAC 的角平分线，设 AD=mAC，则实数 m 的取值 范围是______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 设数列{an}，其前 n 项和 Sn=-3n2，{bn}为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3． （1）求数列{an}，{bn}的通项；（2）若 cn=，数列{cn}的前 n 项和 Tn，求证：＜1．18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边 形，PD⊥平面 ABCD，E 是棱 PC 上的一点，满足 PA∥ 平面 BDE． （Ⅰ）证明 PE=EC； （Ⅱ）设 PD=AD=BD=1，AB= ，若 F 为棱 PB 上一 点，使得直线 DF 与平面 BDE 所成角的大小为 30°， 求 PF：FB 的值．第 3 页，共 16 页19. 在某市高中某学科竞赛中，某一个区 4000 名考生的参赛成绩统计如图所示．（1）求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服正态分布 N（μ，σ2），其中 μ，σ2 分别取考生的平均成绩 和考生成绩的方差 s2，那么该区 4000 名考生成绩超过 84.81 分的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取 4 名考生，记成绩不超过 84.81 分的考生人数为 ξ，求 P（ξ≤3）．（精确到 0.001）附：①s2=204.75，；②z～N（μ，σ2），则 P（μ-σ＜z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜z＜μ+2σ）=0.9544；③0.84134=0.501．20. 已知椭圆 C：（a＞b＞0）的离心率，且椭圆过点（ ，1）（1）求椭圆 C 的标准方程（2）设直线 l 与 C 交于 M，N 两点，点 D 在 C 上，O 是坐标原点，若 + = ，判定四边形 OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说 明理由．第 4 页，共 16 页21. 已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间；（Ⅱ）当时，设 f（x）的极大值点为 x1，极小值点为 x2，求 f（x1）-f（x2）的取值范围．22. 在直角坐标系中，直线 l 过点 P（1，2），且倾斜角为 α，．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2 （3+sin2θ）=12． （1）求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程，并判断曲线 C 是什么曲线； （2）设直线 l 与曲线 C 相交与 M，N 两点，当|PM|•|PN|=2，求 α 的值．23 已知函数 f（x）=|x+2a|+|x-a| （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥4-|x+2|的解集；（Ⅱ）设 a＞0，b＞0，且 f（x）的最小值是 t．若 t+3b=3，求的最小值．2020 年内蒙古鄂尔多斯一中高考数学模拟试卷（理科）答案和解析【答案】1. A2. A3. C4. A5. B6. D7. A8. D9. B10. D 11. A 12. A13. 11214. k=20第 5 页，共 16 页15. 216. （0， ）17. （1）解：∵数列{an}，其前 n 项和 Sn=-3n2，∴a1=-3， 当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=-3n2+3（n-1）2=-6n+3， 当 n=1 时，上式也成立， ∴an=-6n+3， ∵{bn}为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3，∴，解得 b1=4，q=2 或 ∴bn=2n+1． （2）证明： ∴Tn=c1+c2+c3+…+cn =（舍）， ，=∵{ Tn } 是递增数列，∴.18. 解：（Ⅰ）连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE，∵PA∥平面 BDE，PA 在平面 PAC 内，且平面 PAC∩平面 BDE=OE， ∴PA∥OE， ∵O 为 AC 中点， ∴E 为 PC 中点， ∴PE=EC； （Ⅱ）∵AD=BD=1，AB= ， ∴∠ADB=90°， 以 D 为坐标原点，DA，DB，DP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，F（x，y，z），则（x，y，z-1）=λ（0，1，-1），则 F（0，λ，1-λ），∴，，设设平面 BDE 的法向量为，则，可取第 6 页，共 16 页，依题意，故 PF：FB 的值为 1：1．19. 解：（1）由题意知：，解得 ， +85×0.15+95×0.1=70.5，∴4000 名考生的竞赛平均成绩 为 70.5．（2）依题意 z 服从正态分布 N（μ，σ2），其中，σ2=204.75，σ=14.31，∴z 服从正态分布 N（μ，σ2）=N（70.5，14.312）， 而 P（μ-σ＜z＜μ+σ）=P（56.19＜z＜84.81）=0.6826，∴．∴竞赛成绩超过 84.8 的人数估计为 0.1587×4000=634.8 人≈634 人． （3）全市竞赛考生成绩不超过 84.81 的概率为 1-0.1587=0.8413． 而 ξ～B（4，0.8413），∴=1-0.501=0.499．20. 解：（1）由题意可得，解得 a2=4，b2=2则椭圆 C 的标准方程为 + =1，（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 x=-1 或 x=1， 此时可求得四边形 OMDN 的面积为 ． 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程是 y=kx+m，代入到 + =1，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，∴x1+x2=，x1x2=，△=8（4k2+2-m2）＞0，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，|MN|=×点 O 到直线 MN 的距离 d= ，由 + = ，得 xD=，yD=∵点 D 在曲线 C 上，所以有+=1，整理得 1+2k2=2m2， 由题意四边形 OMDN 为平行四边形，∴OMDN 的面积为 SOMDN=|MN|•d=••=第 7 页，共 16 页由 1+2k2=2m2 得 SOMDN= ， 故四边形 OMDN 的面积是定值，其定值为 ．21. 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）= +x+a=，令 g（x）=x2+ax+1，△=a2-4， 若 a2-4≤0，即-2≤a≤2 时，则 f′（x）≥0，f（x）在区间（0，+∞）单调递增； 若 a＞2，a2-4＞0，方程 x2+ax+1=0 的两根均为负值（两根之和为-a＜0，两根之积为 1 ＞0），f（x）在区间（0，+∞）单调递增；若 a＜-2，a2-4＞0，方程 x2+ax+1=0 的两根为正，分别为：与，故 f（x）在区间（0，），（，+∞）单调递增；在区间（，）单调递减． 综上，当 a≥-2 时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当 a＜-2 时，f（x）的单调递增区间为（0，）和（，+∞）；单调递减区间为（，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f′（x）=，因为当时 f（x）的极大值点为 x1，极小值点为 x2，所以方程 g（x）=x2+ax+2=0 的两个不等的正根为 x1，x2，且 x1+x2=-a＞0，x1x2=1．其中 x1=（）．令 y=（），由复合函数的单调性知 y==在区间（-∞，- ]单调递增，又当时，y= ，∴0＜y=x1≤ ．故 f（x1）-f（x2）=（lnx1+ +ax1）-（lnx2+ +ax2）=（lnx1-lnx2）+ （x1+x2）（x1-x2）+a（x1-x2）=（lnx1-ln ）+ （x1+ ）（x1- ）-（x1+ ）（x1- ）=2lnx1- （x1+ ）（x1- ）=2lnx1- （ - ），令 h（x）=2lnx- （x2- ）（0＜x≤ ）h′（x）= -x- ==-＜0 恒成立（0＜x≤ ），第 8 页，共 16 页∴h（x）在（0， ]单调递减， 当 x→0+时，h（x）→+∞， 当 x= 时，h（x）取得最小值为： -ln3．f（x1）-f（x2）≥ -ln3， 故 f（x1）-f（x2）的取值范围为[ -ln3，+∞）．22. 解：（1）直线 l 过点 P（1，2），且倾斜角为 α，．则：直线的参数方程为：（t 为参数）．曲线 C 的直角坐标方程为：3x2+4y2=12，整理得：．所以曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆．（2）将 l 的参数方程：（t 为参数）代入曲线 C 的直角坐标方程为3x2+4y2=12， 得到：（3cos2α+4sin2α）t2+（6cosα+16sinα）t+7=0． 所以：|PM|•|PN|=t1t2=2，即：，解得：，，则： ．23. 解：（Ⅰ）当 a=1 时，f（x）=|x+2|+|x-1|，∵f（x）≥4-|x+2|，∴2|x+2|+|x-1|≥4①，当 x≤-2 时，不等式①可化为-2x-4-x+1≥4，∴；当-2＜x＜1 时，不等式①可化为 2x+4-x+1≥4，∴-1≤x＜1； 当 x≥1 时，不等式①可化为 2x+4+x-1≥4，∴x≥1，综上，不等式的解集为．（Ⅱ）f（x）=|x+2a|+|x-a|≥（x+2a）-（x-a）=3a，∴t=3a， ∴3a+3b=3，即 a+b=1，∴，当且仅当 ，即时等号成立，∴ 的最小值为．【解析】第 9 页，共 16 页1. 解：集合 A={x|x2-16≤0}={x|-4≤x≤4}，B={x|lg|x-2|＞0}={x||x-2|＞1}={x|x＜1 或 x＞3}，则 A∩B={x|-4≤x＜1 且 3＜x≤4}=[-4，1）∪（3，4]．故选：A．解不等式求得集合 A、B，根据交集的定义写出 A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. 解：由已知可得 z1=-1-i，则，又 •z2=-2，∴，∴|z2|= ． 故选：A．由已知可得 z1=-1-i，则，代入 •z2=-2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z2，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 解：正项等差数列{an}的前 n 和为 Sn，∵a3+a7-a52+15=0，∴2a5-a52+15=0， 解得 a5=5，则 S9==9a5=45，故选：C． 利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题．4. 解：∵M 为 AH 的中点，且，∴∴，且 B，H，C 三点共线，∴2λ+2μ=1，∴．故选：A．根据条件即可得出，然后根据 B，H，C 三点共线即可得出 2λ+2μ=1，从而可得出 λ+μ 的值．本题考查了向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三点 A，B，C 共线且时，可得出 λ+μ=1，考查了计算能力，属于基础题．5. 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论． 本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键． 【解答】解：设大正方形的边长为 1，则小直角三角形的边长为 ， ，第 10 页，共 16 页则小正方形的边长为 - ，小正方形的面积 S=（ - ）2=1- ，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为 ×500=（1- ）×500≈（1-0.866）×500=0.134×500=67. 故选 B．6. 解：负值 i=1，T=0，S=0，判断条件成立，执行 i=1+1=2，T=0+1=1，S=0+=；判断条件成立，执行 i=2+1=3，T=1+1=2，S=；判断条件成立，执行 i=3+1=4，T=2+1=3，S=；判断条件不成立，算法结束，输出 S= ．此时 i=4，4＜4 不成立． 故判断框中应填入的条件是 i＜4． 故选：D． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查程序框图，考查学生的读图能力，是基础题．7. 解：由条件，将函数 y=sin（3x+φ）的图象向左平移 个单位长度后，得到 f（x）=，则 φ= 时，f（x）==cos3x，此时 f（x）是偶函数∴“ ”推出“f（x）是偶函数”；反之，（f x）是偶函数时，则 φ 可以是 φ= +2kπ，k∈Z，∴“（f x）是偶函数”推不出“ ”；故“ ”是“f（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A． 根据三角函数图象的平移变换法则，可得函数 f（x）的解析式，再根据三角函数的性质， 充分条件，必要条件的定义来判断． 本题主要考查三角函数图象和性质的应用，充分条件，必要条件的判断，属于基础题．8. 解：根据题意，f（x+2）是偶函数，则函数 f（x）的图象关于直线 x=2 对称，又由 f（x）在（-∞，2]上单调递减，则 f（x）在[2，+∞）上递增， 又由 f（0）=0，则 f（2-3x）＞0⇒f（2-3x）＞f（0）⇒|3x|＞2，解可得：x＜- 或 x＞ ，即不等式的解集为（-∞，- ）∪（ ，+∞）；故选：D． 根据题意，由偶函数的性质可得函数 f（x）的图象关于直线 x=2 对称，进而分析可得 f （x）在[2，+∞）上递增，结合函数的特殊值分析可得 f（2-3x）＞0⇒f（2-3x）＞f（0）第 11 页，共 16 页⇒|3x|＞2，解可得 x 的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与对称性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．9. 解：定义域为（0，1）∪（1，+∞），故排除 A；f（100）＞0，故排除 C；，故排除 D． 故选：B． 由函数的定义域及特殊点的值，运用排除法可以得到答案． 本题考查由函数解析式找函数图象，通常从特殊点，单调性，奇偶性等角度运用排除法 求解，属于基础题．10. 【分析】本题考查排列和计数原理的实际应用，注意优先考虑特殊元素，属于基础题． 根据题意，分两种情况讨论选出参加竞赛的 4 人，①选出的 4 人没有甲，②选出的 4 人 有甲，分别求出每一种情况下的参赛方案种数，由分类计数原理计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，从 5 名学生中选出 4 名分别参加竞赛， 分两种情况讨论： ①选出的 4 人没有甲，即选出其他 4 人即可，有 A44=24 种参赛方案； ②选出的 4 人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有 3 种选法，在剩余 4 人中任选 3 人，参加剩下的三科竞赛，有 A43=24 种参赛方案，则此时共有 3×24=72 种参赛方案； 则有 24+72=96 种不同的参赛方案. 故选 D.11. 解：双曲线 - =1 的渐近线方程为 y= x，不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y= （x-c），与 y=- x 联立，可得交点 M（ ，- ）， ∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外， ∴|OM|＞|OF2|，即有 + ＞c2，∴ ＞3，即 b2＞3a2，∴c2-a2＞3a2，即 c＞2a．则 e= ＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：A． 根据斜率与平行的关系即可得出过焦点 F2 的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点 M 的坐标，再利用点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外和离心率的计 算公式即可得出． 本题考查的知识点是双曲线的简 单性质，熟练掌握双曲线的渐近 线、离心率的计算公式、点与圆 的位置关系是解题的关键．12.【分析】 由题意可化为函数 f（x）图象与第 12 页，共 16 页y=-kx-1 的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可. 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应 用． 【解答】解：∵函数 f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 y=-1 的对称点在 y=kx-1 的图象上， 而函数 y=kx-1 关于直线 y=-1 的对称图象为 y=-kx-1，∴f（x）=的图象与 y=-kx-1 的图象有且只有四个不同的交点 .作函数 f（x）=的图象与 y=-kx-1 的图象如下，易知直线 y=-kx-1 恒过点 A（0，-1）， 设直线 AC 与 y=xlnx-2x 相切于点 C（x，xlnx-2x）， y′=lnx-1，故 lnx-1=，解得，x=1； 故 kAC=-1 .设直线 AB 与 y=x2+ x 相切于点 B（x，x2+ x），y′=2x+ ，故 2x+ =，解得，x=-1 .故 kAB=-2+ =- ；故-1＜-k＜- ，故 ＜k＜1 . 故选 A．13. 解：（ - ）n 的二项展开式的中，只有第 5 项的二项式系数最大，∴n=8，通项公式为 Tr+1= •（-2）r• =（-2）r• • ，令 =0，求得 r=2，可得二项展开式常数项等于 4× =112，故答案为：112． 由题意可得 n=8，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题．14. 解：∵a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，两式想相减可得，3d=-6第 13 页，共 16 页∴d=-2 ∵a1+a4+a7=3a4=99， ∴a4=33， an=a4+（n-4）d=33-2（n-4）=-2n+41 当 n≤20 时，an＞0，当 n≥21 时，an＜0 ∴S20 最大 ∵对任意的 n∈N+，都有 Sn≤Sk 成立 ∴Sk 为和的最大值 ∴k=20 故答案为：20 已知两式想相减可求 d，由等差数列的性质可得，a1+a4+a7=3a4，从而可求 a4，进而由 an=a4+（n-4）d 求出通项，再判断 an＞0，an＜0 时 n 的范围，而对任意的 n∈N+，都有 Sn≤Sk 成立，则可知 Sk 为和的最大值，可求 本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的通项公式及求和公式的应用，解题的关键 是灵活利用基本知识15. 解：抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F（ ，0），斜率为 2 的直线过 F，可得直线方程：y=2 （x- ），与抛物线联立可得：y=2 （ - ），即 y2-py- p2=0，解得：yA= ，yB= ，所以 = =2．故答案为：2． 求出焦点坐标，求出直线方程，与抛物线方程联立，转化求解三角形的面积的比即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．16. 解：设 AC=1，则 AB= ，由三角形内角平分线的性质可知，BD= BC，CD= BC，在△ABD 中，由余弦定理可得：= +m2-2× ×mcos ，在△ACD 中，由余弦定理可得：=1+m2-2mcos ，消去 BC 并化简得：cos = ，∵0 ＜90°，∴cos ∈（0，1）∴0＜ ＜1，解得 m∈（0， ）．实数 m 的取值范围是：（0， ）．故答案为：（0， ）设出 AC，利用三角形内角平分线的性质可知，BD= BC，CD= BC，通过余弦定理求出第 14 页，共 16 页cos ，结合 A 的范围通过三角函数的有界性，求出实数 m 的取值范围．本题考查角的平分线的性质的应用，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力17. 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用． （1）由已知得 a1=-3，当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=-3n2+3（n-1）2=-6n+3，由此能求出 an=-6n+3；由已知得，由此能求出 bn=2n+1．（2），由此利用裂项求和法能证明＜1．18. （Ⅰ）利用线面平行的性质可得 PA∥OE，由此即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量公式得解． 本题考查线面平行的性质以及利用空间向量求解线面角问题，属于基础题．19. 本题考查了频率分布直方图，正态分布与二项分布的概率计算，属于中档题．（1）根据加权平均数公式计算 ；（2）根据正态分布的对称性计算 P（z≥84.81），再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算 P（ξ≤3）．20. （1）由题意可得，解得即可得到所求椭圆方程；（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 x=-1 或 x=1，此时可求得四边形 OMDN 的面积为．当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程是 y=kx+m，根据弦长公式，即可求出 四边形 OMDN 的面积． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系 数的关系、向量的平行四边形法则、考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计 算能力，属于难题．21. （Ⅰ）求出′（x）= +x+a=，令 g（x）=x2+ax+1，△=a2-4，通过对 a 的取值范围的讨论，即可求出函数的单调区间； （Ⅱ）求出 f（x1）-f（x2）的解析式，根据函数的单调性求出其范围即可． 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，突出考查等价转化思想与函数与方 程思想、分类讨论思想的综合运用，运算量大，逻辑思维强，是难题．22. （1）直接利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线和曲线的位置关系，建立方程，进一步利用根和系数的关系求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位 置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．23. （Ⅰ）将 a=1 代入 f（x）中，然后利用零点分段法解不等式 f（x）≥4-|x+2|即可；（Ⅱ）先利用绝对值三角不等式求出 f（x）的最小值，再利用基本不等式求出 的最小值． 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等求最值，考查了分 类讨论思想和转化思想，属中档题．第 15 页，共 16 页第 16 页，共 16 页。

绝密★启用前2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试（4月）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =+-<，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭则A B =I （ ）A ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{|3}x x >-C ．1|32x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭答案:A解一元二次不等式求得集合A ，由此求得A B I . 解：由(3)(1)0x x +-<解得31x -<<，所以{}|31A x x =-<<，所以A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：A 点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）A ．2BC D 答案:B利用复数乘法运算化简z ，由此求得z . 解：依题意2223z i i i i =+--=-，所以z ==故选：B 点评：本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题. 3．已知向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r，且a b ⊥r r，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．2答案:A根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 解：由于向量(1,2)a =r ，(4,1)b λ=-r ，且a b ⊥r r，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A 点评：本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP B ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβP C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥ 答案:B根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 解：A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错； 故选B 点评：本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.5．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 答案:D根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 解：对于A 选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A 选项叙述正确.对于B 选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B 选项叙述正确. 对于C 选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C 选项叙述正确.对于D 选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 选项叙述错误. 故选：D 点评：本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12- B ．15-C ．16-D ．18-答案:C根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.解：依题意11237217a da d+=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d=-=，所以29na n=-.由290na n=-≤解得92n≤，所以前n项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d=+=-+=-.故选：C点评：本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式的基本量计算，考查等差数列前n项和最值的求法，属于基础题.7．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB AC、，已知以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，记ABCα∠=，则2cos sin2αα+=（）A．35B．45C．1 D．85答案:D根据以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比求得12ACAB=，即tanα的值，由此求得sinα和cosα的值，进而求得所求表达式的值.解：由于直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，所以12ACAB=，即1tan2α=，所以sin55αα==2cos sin2αα+=4825555+=.故选：D点评：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.8．已知抛物线2:6C y x=的焦点为F，准线为l，A是l上一点，B是直线AF与抛物线C的一个交点，若3FA FB=u u u r u u u r，则||BF=（）A ．72B ．3C ．52D ．2答案:D根据抛物线的定义求得6AF =，由此求得BF 的长. 解：过B 作BC l ⊥，垂足为C ，设l 与x 轴的交点为D .根据抛物线的定义可知BF BC =.由于3FA FB =u u u r u u u r，所以2AB BC =，所以6CAB π∠=，所以26AF FD ==，所以123BF AF ==. 故选：D点评：本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 9．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.8答案:B利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 解：从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为510.5102==. 故选：B 点评：本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题. 10．函数1ln ||y x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案:B根据函数图象上的特殊点，判断出正确选项. 解：当1x =时，111ln1y ==-，所以D 选项错误.当1x =-时，1101ln1y ==-<--，所以A 选项错误. 当12x =-时，11121111ln ln 2ln 2222y e ==>=----，所以C 选项错误. 所以正确的函数图象为B. 故选：B 点评：本小题主要考查函数图象的判断，属于基础题.。

2020届内蒙古鄂尔多斯市第一中学高三第四次调研考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|(1),}A x x n n n N ==+∈，{}2|200B x x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{0,1,6,12,20} B ．{0,2,6,12,20} C ．{2,6,12,20} D ．{6,12}【答案】B【解析】首先确定集合B 中元素，然后求交集． 【详解】由题意2{|200}{|020}B x x x x x =-≤=≤≤，又{|(1),}A x x n n n N ==+∈， ∴{0,2,6,12,20}A B =I ． 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素． 2．复数z 满足(1)|34|z i i -=+，则z =（ ） A ．1722i -+ B ．1722i + C ．5522i - D ．5522i + 【答案】D【解析】先求等式右边的模，然后由复数的除法运算计算z ． 【详解】345i +==，∴55(1)551(1)(1)22i z i i i i +===+--+． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的模的运算，属于基础题． 3．在4(1)(2)x x -+的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．16 B ．-16C ．8D ．-8【解析】利用多项式乘法法则，需求4(2)+x 的展开式中2x 和3x 的系数． 【详解】由题意所求系数为：12244212(1)16C C ⨯⨯+⨯⨯-=-．故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开式系数，根据二项式展开式通项公式可得各项系数．本题需要用多项式乘法法则计算．4．已知1,||2a b ==r r ，且(52)()a b a b +⊥-r r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】由两向量垂直，转化为数量积为0可求得a b ⋅r r，再由数量积的定义可求得两向量夹角． 【详解】∵(52)()a b a b +⊥-r r r r，∴22(52)()5320a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=r r r r r r r r ，∴1a b ⋅=-r r，∴cos ,12cos ,1a b a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯<>=-r r r r r r r r ，1cos ,2a b <>=-r r ，,=120a b <>︒r r ．故选：C ． 【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握两向量垂直与它们的数量积为0等价，从而可求得a b ⋅r r，再由数量积定义求得夹角余弦．5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A【解析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且284,a a +=1133S =，则2020a =（ ） A ．2019 B ．2018C ．2017D ．2020【答案】C【解析】用基本量法求解．即把已知条件用1a 和d 表示并解出，然后再由通项公式得解． 【详解】由题意281111284111011332a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩． ∴20202201912017a =-+⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题方法是基本量法．7．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，AC BD =，AD BC =，给出下列结论：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90︒而小于180︒； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. 其中正确结论的序号是（ ）【解析】把该四面体补成一个长方体，然后根据长方体对每个命题进行判断． 【详解】由于四面体ABCD 的三组对棱分别相等，因此可以把它补成一个长方体，如图． 由长方体知：长方体的每个面是矩形，对角线不一定垂直，因此四面体ABCD 的对棱不一定垂直，①错；四面体的四个面是全等三角形，因此面积相等，②正确；由于四面体的四个面是全等三角形，因此每个顶点出发的三条棱两两夹角之和这180°，③错；由四面体每条棱中点是所在长方体的面上的对角线交点，长方体对面对角线交点的连线互相垂直平分，即四面体每组对棱中点的连线段相互垂直平分，④正确； 四面体的每个面三角形的三边长就等于从同一点出发的三条棱的长度，⑤正确． 因此有②④⑤正确． 故选：A ．【点睛】本题考查空间直线间的位置关系，解题关键是把题中四面体补成一个长方体，利用长方体的性质易判断直线间的位置关系．8．已知奇函数()cos()f x x =+ωϕ(0,0)ωϕπ><<，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当ω取最小值时，在下列区间内，()f x 单调递减的是（ ） A ．15,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．31,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由奇函数求出ϕ，由3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得函数图象的一条对称轴是1x =-，由此可求得ϕ（最小的正数），再结合正弦函数（函数可转化为正弦型函数）【详解】∵()f x 是奇函数，∴(0)cos 0f ϕ==，又0ϕπ<<，∴2ϕπ=， ∴()cos()sin 2f x x x πωω=+=-是奇函数，∵3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()(2)f t f t =--，∴直线1x =- 是()f x 图象的一条对称轴．∴,2k k Z πωπ=+∈，其中最小的正数为2πω=．即()sin2f x x π=-，由22222k x k πππππ-≤≤+，得4141k x k -≤≤+，k Z ∈，ABCD 中只有15[,][1,1]36-⊆-，因此A 正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的性质，解题关键是由3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭确定函数图象的对称性，即1x =-是一条对称轴．由奇偶性和对称性可求得参数,ωϕ，从而可确定函数的减区间．9．已知点P 是抛物线22x y =上的一点，在点P 处的切线恰好过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点P 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B【解析】设P 坐标为00(,)x y ，由导数求出线斜率，再由切线过点1(0,)2-，可求得0x ，0y ，然后可求得焦半径．【详解】 抛物线方程为212y x =，y'x =，设切点P 坐标为00(,)x y ，∴切线斜率为0k x =，又切线过点1(0,)2-，∴00012y x x +=，∴22001122x x +=，01x =±．012y =．即1(1,)2P 或1(1,)2P -，抛物线标准方程为22x y =，1p =，∴P 点到焦点的距离为11112222p +=+=． 故选：B ． 【点睛】本题考查直线与抛物线相切问题，考查导数的几何意义，考查抛物线的几何性质．利用导数几何意义求出切点坐标，利用焦半径公式求出焦半径，本题难度一般．10．如图，在三棱锥D －ABC 中，CD ⊥底面ABC ，ABC V 为正三角形，若AE CD P ，2AB CD AE ===，则三棱锥D －ABC 与三棱锥E －ABC 的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ）A 163B 323C ．203π D ．2327【答案】B【解析】已知条件说明ACDE 是正方形，记AD 与CE 的交点为M ，则MAC ∆是等腰直角三角形，N 是斜边AC 的中点，N 是MAC ∆的外心，BN ⊥平面MAC ，设O 是BAC ∆的外心，即2BOON=，则O 是M ABC -的外接球的球心，由此可得球的半径，从而得球的体积． 【详解】如图，设AD 与CE 的交点为M ，三棱锥M ABC -是三棱锥D －ABC 与三棱锥E －ABC 的公共部分．设N 是AC 中点，连接,MN BN ，O 在BN 上，且2BOON=，∵ABC ∆是正三角形，∴O 是ABC ∆的外心．由CD ⊥底面ABC ，得CD AC ⊥，又//,AE CD AE CD =，∴ACDE 是正方形，∴AD CE ⊥，即MAC ∆是等腰直角三角形，N 是MAC ∆的外心． ∵CD ⊥底面ABC ，BN ⊂底面ABC ，∴CD BN ⊥，ACDE ，即BN ⊥平面ACM ，∵O 是ABC ∆的外心，∴O 是M ABC -的外接球的球心， 其半径为232323R =⨯⨯=，球体积为324423323()33V R πππ==⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查球的体积，解题关键首先是确定三棱锥D －ABC 与三棱锥E －ABC 的公共部分是三棱锥M ABC -，其次确定三棱锥M ABC -的外接球的球心．三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．11．设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >> 的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N .若以MN 为直径的圆经过点2F 且22MF NF =，则双曲线的离心率为（ ） A 6 B 5C ．3D 2【答案】C【解析】由题意可得△MNF 2为等腰直角三角形，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |2=，运用双曲线的定义，求得|MN |＝4a ，可得m ，再由勾股定理可得a ，c 的关系，即可得到所求离心率． 【详解】若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，则120MF NF ⋅=u u u u r u u u u r ，又|MF 2|＝|NF 2|，可得△MNF 2为等腰直角三角形， 设|MF |＝|NF |＝m ，则|MN |，两式相加可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ， 即有m ＝22a ， 在直角三角形HF 1F 2中可得 4c 2＝4a 2+（2a +22a ﹣2a ）2， 化为c 2＝3a 2， 即e 3ca==． 故选C ．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．12．已知函数()f x 是定义在[100,100]-的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-.当[0,2]x ∈时，()(2)xf x x e =-，若方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．15,2e e ⎛⎫---⎪⎝⎭ B ．15,2e e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ C ．(,2)-∞-D ．1,2e e ⎛⎫---⎪⎝⎭【答案】A【解析】首先由已知确定函数()f x 的周期是4，利用导数研究()f x 在[0,2]上的性质，单调性、极值，结合偶函数性质作出()f x 在[2,2]-上的图象，()f x 的定义域是[100,100]-含有50个周期，方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，那么在()f x 的一个周期内有6个根，令()f x t =，可知方程210t mt -+=有两个不等实根,t t ，且(,2)t e ∈--，(2,0)t ∈-，由二次方程根的分布知识可得解．由(2)(2)f x f x +=-知函数的周期为4，当[0,2]x ∈时，()(2)x f x x e =-，则'()(1)x f x x e =-，当01x ≤<时，'()0f x <，()f x 递减，当12x <≤时，'()0f x >，()f x 递增，()(1)f x f e ==-极小值，又()f x 是偶函数，作出()f x 在[2,2]-上的图象，如图．函数()f x 的周期是4，定义域为[100,100]-，含有50个周期，方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，因此在一个周期内有6个根（这里(2)0f ±=，2±不是方程的根）．令()f x t =，方程210t mt -+=有两个不等实根12,t t ，且1(,2)t e ∈--，2(2,0)t ∈-，设2()1g t t mt =-+，则()0(2)0(0)0g e g g ->⎧⎪-<⎨⎪>⎩，解得152e m e --<<-．故选：A ．【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、对称性，二次方程根的分布，函数的零点问题，考查了分类讨论思想，数形结合思想，体现的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养．二、填空题13．高一新生健康检查的统计结果：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一人进行健康检查，已知此人超重，他血压异常的概率为_________. 【答案】0.2【解析】体重超重者占40%中有8%血压异常，注意这里的40%和8%都是以高一新生总人数为基础求得的，因此题中所求概率相当于8%在40%这个条件里占多少． 【详解】()0.08(|)0.2()0.4P A B P B A P A ===I ．故答案为：0.2． 【点睛】本题考查条件概率，考查学生的运算求解能力、数据分析能力． 14．若1cos 63x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 3x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】13- 【解析】由2()632x x πππ-+-=-，用诱导公式求解． 【详解】21sin()sin[()]cos()32663x x x ππππ-=---=--=-． 故答案为：13-．【点睛】本题考查诱导公式，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用求解的公式．15．已知函数()x xx xe ef x e e---=+，若正实数a ，b 满足(4)(1)0f a f b +-=，则42a b ab +的最小值为_______. 【答案】8【解析】确定函数()f x 是奇函数，再确定函数的单调性，这样可由(4)(1)0f a f b +-=得到,a b 满足的等量关系．由基本不等式求得最小值． 【详解】∵()x x x x e e f x e e ---=+，∴()()x xx xe ef x f x e e----==-+，∴()f x 是奇函数． 又()x x x x e e f x e e ---=+2211x xe e -=+2211x e =-+，设12x x <，则1222x x e e <，即1222111x x e e <+<+，∴12222211x x e e >++，∴1222221111x x e e -<-++，即12()()f x f x <，∴()f x 是R 上∴由(4)(1)0f a f b +-=得(4)(1)(1)f a f b f b =--=-，∴41a b =-，即41a b +=．14a b =+≥=116ab ≤．当且仅当4a b =，即11,82a b ==时，等号成立．∴42a b ab +11812216ab =≥=⨯，∴42a b ab+的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查基本不等式求最值．奇偶性与单调性与解函数不等式常常会遇到的条件，由这两个条件可化去函数符号""f ．16．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N +∀∈，1n n a a +<恒成立，则m 的取值范围是__________．【答案】15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】当1n = 时，1225a a += ，因为1a m = ，所以252a m =- ，当2n ≥ 时，令1n n =-时，()()213121n n S S n n -+=-+- ，和已知两式相减得161n n a a n ++=- ①，即167n n a a n -+=- ②，①-②得116n n a a +--=，()3n ≥ ，所以数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项从第三项起是等差数列，362a m =+()22615266621k a a k m k k m =+-=-+-=-- ，()()21361626162k a a k m k k m +=+-=++-=+ ，若对*n N ∀∈ ，1n n a a +< 恒成立，即当1n = 时，1253a a m <⇒<，21n k =+ 时，21225626254k k a a k m k m m ++<⇒+<-+⇒< ，当2n k = 时，221k k a a +< ，即62162k m k m --<+ ，解得：14m >- ，所以m 的取值范围是1544m -<< .【点睛】本题主要考察了递推公式，以及等差数列和与通项公式的关系，以及分类讨论数列的通项公式，本题有一个易错的地方是，忽略n 的取值问题，当出现116n n a a +--= 时，认为奇数项和偶数项成等差数列，其实，奇数项应从第三项起成等差数列，所以奇数项的通项公式为21k a + ，而不是21k a - ，注意这个问题，就不会出错.三、解答题17．如图，在中，，，点在线段上．(Ⅰ) 若，求的长；（Ⅱ）若，的面积为，求的值．【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用同角三角函数间的基本关系求得的值，然后利用正弦定理即可求得的长；（Ⅱ）首先三角形面积间的关系求得，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值．试题解析：（I）在三角形中，∵，∴．………………2分在中，由正弦定理得，又，，．∴．………………5分（II）∵，∴，，又，∴，………………7分∵，∴，∵，，，∴，………………9分在中，由余弦定理得．∴，∴．………………12分【考点】1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系．18．随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩，统计数据如下表：（1）试运用独立性检验的思想方法分析：你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”，并说明理由；（2）如果从数学专业随机抽取5名学生，求抽到参加选修课的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当做概率计算）.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d==++.临界值表：【答案】（1）没有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关；（2）分布列见解析，5 ()2 Eξ=【解析】（1）由卡方公式计算2K，再与临界值表对照可得结论；（2）由题意知，数学专业中参加选修课的学生的概率为1691502+=.随机抽取5名学生，抽到参加选修课的学生人数的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，利用二项分布的概率公式可计算出概率得分布列，由期望公式可求得期望．【详解】（1）由题意知，2250(161789) 5.128 6.63525252426K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.∴没有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”（2）由题意知，数学专业中参加选修课的学生的概率为1691502+=. 随机抽取5名学生，抽到参加选修课的学生人数的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.0505111(0),2232P C ξ⎛⎫⎛⎫∴==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭415115(1),2232P C ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭2325115(2)2216P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3235115(3),2216P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭445115(4),2232P C ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭55511(5)232P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ξ∴的分布列为1555515()012345.3232161632322E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查独立性检验，考查随机事件的概率分布列与期望，掌握二项分布的概率公式是解题基础．19．如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=o ，AB BC ⊥，AB BC ==（I ）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （Ⅱ）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）17. 【解析】试题分析：（1）连接MD ，FD . .由四边形BDEF 为菱形，可证BD AC ⊥.由平面BDEF ⊥平面ABC ，可证AC ⊥平面BDEF .即可证明BF ⊥平面AMC ； 2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面AEF ，平面BCF 的法向量()111,,m x y z =v，()222,,n x y z =v.．利用空间向量夹角公式可求得平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值. 试题解析：（1）连接MD ，FD ∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=o ， ∴DBF ∆为等边三角形.∵M 为BF 的中点，∴DM BF ⊥. ∵AB BC ⊥，2AB BC ==D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥.∵平面BDEF ⋂平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面BDEF .又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥.由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D ⋂=， ∴BF ⊥平面AMC .（2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,1,0A -，13,0,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，()0,1,0C . ∴132AE ⎛=- ⎝⎭u u u v ，()1,0,0EF =u u u v ，132BF ⎛=- ⎝⎭u u u v ，()1,1,0BC =-u u uv .设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为()111,,m x y z =v ，()222,,n x y z =v.由00AE m EF m u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 11111302102x y z x ⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩.解得113y z =. 取12z =-，∴()3,2m =-v.又由00BC n BF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 222201302x y x z -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩解得223y z =. 取21z =，∴)3,3,1n v=.∵cos ,m n v vm nm n ⋅=v vv v 1777==⋅. ∴平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值为17.20．已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为,G H .若原点O 在以线段，GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）210x -=，（Ⅱ）(1,2) 【解析】【详解】（Ⅰ）∵直线l ：202m x my --=经过)221,0F m -，2212m m -=，得22m =． 又1m >Q ，2m ∴=故直线l 的方程为210x -=． （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由22222{1m x my x y m =++=消去x 得222104m y my ++-=，∴212121,282m m y y y y +=-=-．由22281804m m m ⎛⎫∆=--=-+> ⎪⎝⎭，得28m <， 由于()()12,0,,0F c F c -，故O 为12FF 的中点． 由,GH 分别为1212,AF F BF F ∆∆的重心，可知1122,,,3333x y x y G H ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设M 是GH 的中点，则1212,66x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， ∵原点O 在以线段GH 为直径的圆内，()1212109x x y y ∴+<． 而()222212121212112282m m m x x y y my my y y m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴21082m -<，即24m <．又1m >Q 且>0∆，12m ∴<<．m ∴的取值范围是()1,2．21．已知函数2()(ln )(ln )1()f x ax x x x a R =--+∈．（1）若2ln ax x >，求证：2()ln 1f x ax x ≥-+；（2）若0(0,)x ∃∈+∞，20000()1ln ln f x x x x =+-，求a 的最大值；（3）求证：当12x <<时，()(2)f x ax ax >-． 【答案】（1）证明见解析；（2）max 1a e=；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由2ln ax x >得2ln 0ax x ->，要证2()ln 1f x ax x ≥-+只需证()ln 1g x x x =-≥，利用导数可证明()min 1g x =；（2）可得022ln x a x =，设22ln ()x h x x =，利用导数研究函数22ln ()xh x x=单调性进而的其最大值也就是a 的最大值；（3）化简2()(ln )(ln )1f x ax x x x =--+，先根据配方法证明()f x 22(1)14x ax -≥-，在利用放缩法可证222(1)11(1)(2)4x ax ax ax ax --≥--=-.试题解析：（1）证明：设()ln (0)g x x x x =->，则11'()1x g x x x-=-=， 当01x <<时，'()0g x <，函数()g x 递减；当1x >时，'()0g x >，函数()g x 递增， 所以当0x >时，()(1)1g x g ≥=，∵2ln ax x >，∴2ln 0ax x ->，∴2()ln 1f x ax x ≥-+．（2）解：由20000()1ln ln f x x x x =+-，得2002ln 0ax x -=或00ln 0x x -=（由（1）知不成立舍去）， 即0202ln x a x =． 设22ln ()x h x x =（0x >），则22(12ln )'()x h x x -=， 当120x e <<时，'()0h x >，函数()h x 递增；当12x e >时，'()0h x <，函数()h x 递减， 所以当0x >时，12max 1()()h x h e e ==，所以max 1a e=． （3）证明：2223()(ln )(ln )1ln ()ln 1f x ax x x x x x ax x ax =--+=-+++22223()(ln )124x ax x ax x ax ++=-++-2222()(ln )124x ax x ax x +-=-+-2222(1)(ln )124x ax x ax x +-=-+-22(1)14x ax -≥-．当12x <<时，2(4,1)x -∈--，∴222(1)11(1)(2)4x ax ax ax ax --≥--=-， 故()(2)f x ax ax ≥-，等号若成立，则2ln ,21,x ax x ax ⎧+=⎪⎨⎪=⎩即ln x x =，由（1）知不成立，故等号不成立，从而()(2)f x ax ax >-．【考点】1、利用导数研究函数的单调性进一步求最值；2、利用导数证明不等式. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数转化为不等式恒成立问题证明.22．在直角坐标系xoy 中，(2,0)M -.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，(,)(,)13A CB BM πρθρθ+=为曲线上一点，，且．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求22OA MA +的取值范围．【答案】（Ⅰ）22(1)(1x y ++=；（Ⅱ）[10-+.【解析】试题分析：（Ⅰ）设(,)A x y ，利用cos ,sin x y ρθρθ==，得出点B 的坐标，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）利用曲线的参数方程，表示22OA MA+10α=+，即可求解取值范围.试题解析：（Ⅰ）设A(x ，y)，则x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ， 所以x B ＝ρcos(θ＋3π错误！未找到引用源。