椭圆内接四边形面积最大值的一种简捷求法

椭圆中四边形面积最值问题一例-------教学设计扬中市第二高级中学刘向阳一、引入问题背景：生活中我们经常要研究最优解的问题。

在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的中的最值问题等.本课重点是借助对常见的面积问题的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用.二、教学内容分析：解决椭圆最值问题，不仅要用到椭圆定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数方程思想、化归思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破.几何方法主要结合图形的几何特征，借助椭圆的定义以及平面几何知识寻找存在“最值”的位置;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,建立目标函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题.三、学生学习情况分析：椭圆的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用平面几何、代数、不等式等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力.在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。

由于椭圆的最值问题涉及到图形运动和数量变化，学生往往缺乏对问题的直觉把握和深切的感受，教学中可通过几何画板直观的呈现数、式、形的联动变化，使学生逐步形成多元联系的观点。

四、教学目标：1、 在学生原有的认知基础上进一步理解椭圆定义、标准方程和几何性质。

椭圆内接四边形面积的计算及应用昭通市巧家县第一中学 侯成顺云南师范大学数学学院 朱维宗(教授）摘要：本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形. 关键词： 椭圆；焦点； 面积1.椭圆内接焦点四边形（过一个焦点,以右焦点为例）1.1定义：在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中,AB,CD 为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形ACBD 为椭圆内接焦点四边形. 1.2性质：(1)四边形ACB D的面积24122sin ACBD S a b λθλ=（其中22112(1)(1)k k λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++ ）.证明：如右图所示,有2(,0)F c ,并且设AB,CD 的斜率分别为1k ,2k ,故有：AB: 1()y k x c =- CD ：2()y k x c =- 联立方程：1()y k x c =-及22221(0)x y a b a b+=>>2211222212a k cx x a k b⇒+=+ 2211222212(1)2()()ab k AB a e x x a k b +∴=-+=+同理有：22222222(1)()ab k CD a k b +=+故242212222222122(1)(1)1sin sin 2()()ACBDa b k k S AB CD a k b a k b θθ++∴==++ （θ为AB 与CD 的夹角）, 令22222222112212(1)(1),()()k k a k b a k b λλ=++=++ 就有：24122sin ACBD S a b λθλ= . （2）推论A: 当12.1k k =-时,.2424422222212128()12ACBD a b a b S c a b a b k k =≥++++B:当120k k +=时,242222222(1)()ACBDa b k S a k b +=+,并且有0AC BD k k +=,0AD BC k k +=. 推论证明A ：当12.1k k =-时,说明AB, CD 相互垂直,有sin sin12πθ==,21221k k =,代入面F 2DCABθ积公式就有244222121212ACBD a b S c a b k k =-++,再利用均值不等式有244222121212ACBD a b S c a b k k =-++242228()a b a b ≥-.B : 当120k k +=时, 有2212k k =,代入就有242222222(1)()ACBDa b k S a k b +=-成立.以下证明0AC BD k k +=,0AD BC k k +=.证明：不妨把椭圆的方程化为221x y αβ+=(α与β不同是为零),已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,设A 、B 、C 、D 四个点的坐标为11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y .直线AB 、DC 、AC 、BD 的斜率分别为AB k ,DC k ,AC k ,BD k .又点A 、C 在曲线C 上,22111x y αβ∴+=（1）及22331x y αβ+=（2）,用（2）带入（1）有1313()()AC x x ky y αβ+=-+,同理可得2424()()BD x x ky y αβ+=-+.已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,AC BD k k ∴=-,0AC BD k k +=132413240y y y y x x x x --∴+=--（3）及132413240y y y y x x x x +++=++（4）由这两个式子得：1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++-+++= （5） 1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++= （6）由（5）及（6）得到：12213443x y x y x y x y +++=0 （7） 14233241x y x y x y x y +++=0（8）同理有：1212()()AB x x ky y αβ+=-+ 3434()()DC x x ky y αβ+=-+43211324314214233241214321431[()()]()()AB DC y y y y k k x y x y x y x y x y x y x y x y x x x x x x x x --∴+=+=+++-+++----将（8）代入有：132431422143()()()AB DC x y x y x y x y k k x x y y ++++=-- （9）又34121234()AB DC x x x x k k y y y y αβ+++=-+++ 再将（8）代入得到： 132431421234()()()AB DC x y x y x y x y k k y y y y αβ++++=-++ （10）用（9）-（10）得到：132431422143123411()[]0()()()()x y x y x y x y x x x x y y y y αβ++++=--++若2143123411()()()()x x x x y y y y αβ+--++=0 故有： 14230y y y y += 结合平行截割线定理有：AB 与DC 平行,并且都平行于x 轴,它与AB,AC,DC,DB 的斜率不为零矛盾,132431420x y x y x y x y ∴+++= 0AB DC k k ∴+=说明直线AB,DC 与x 轴的夹角相等.同理可证明AD,BC 与x 轴的夹角也相等, 有0AC BD k k +=,0AD BC k k +=.1.3实例应用已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,过右焦点F 的直线L 与曲线相交于A 、B两点.当L 的斜率为1时,C(0,b)到AB的距离为延长CF 交椭圆于点B,求ACBD 的面积.解：由于e=23c a = 并且1AB k = 、F(c,0)故AB 的方程为：y x c =- 又C(0,b) 所以C 到AB 的距离为=4,2,2,3b c c b a +=∴=== 故椭圆的标准方程为：22194x y += 又1AB k =,1CD k =- 90AFC ∴∠= 即AB 与CD 垂直,代入公式有：244222121212ACBD a b S c a b k k =+++=139202椭圆内接焦点四边形（过两个焦点）2.1定义：在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中,AB,CD 为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于四点A 、B 、C 、D.则有四边形ACBD 为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形.2.2性质(1)面积：四边形面积32241222sin ACBD a b a b S λθλ+=[2222121()()k a c k c λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++]证明: 如右图所示,有1F (-c,0),2(,0)F c ,并 且设AB,CD 的斜率分别为1k ,2k ,故有 AB: 1()y k x c =- CD ： 2()y k x c =+ . 联立方程：1()y k x c =-及22221(0)x y a b a b +=>>2211222212a k cx x a k b⇒+=+ 2211222212(1)2()()ab k AB a e x x a k b +∴=-+=+同理有： 2222222222()2()ak a c ab CD a k b ++=+ 1sin 2ACBDS AB CD θ∴==32241222sin a b a b λθλ+(θ为AB 与CD 的夹角)[2222121()()k a c k c λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++].（2）推论A: 当12.1k k =-时,32222242222222212112()()21()()ACBD a b k a c c a b k S a k b a b k +++=++.B: 当120k k +=时,3222222411222212()()2sin ()ACBDa b k a c k c a b S a k b θ+++=+,并且有0A C B Dk k+=,0AD BC k k +=.2.3实例应用设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F (-1,0),2(1,0)F .右准线交x 轴x于点A,122AF AF =.过1F ,2F 分别作两条直线与椭圆相交于四个点D 、E 、M 、N.并且DE 与x 轴的夹角为4π.MN 与直线L 交于点G,并且有212AG AF =.求：（1）椭圆的标准方程.(2)四边形DMEN 的面积.解：（1）由于1F (-1,0),1c ∴=.又有A 2(,0)a c,2(1,0)F故有：221a AF c =- 同理211a AF c =+22212(1)3a aa c c∴+=-⇒=,22b = 所以椭圆的标准方程为：22132x y += (2)由于已知了DE与x轴的夹角为4π,故有1DE k =-,又221212AF AG AF =∴==,(3,1)G ∴ 所以有12MN k =设AN 与DE 的夹角为θ,32tan 132θ∴== 4πθ∴= ⇒sin θ=代入公式有：DMEN S =3椭圆内接以焦点为顶点的四边形3.1定义在椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>中,1F ,2F 为其左右焦点,A 、B 为椭圆上任意的两点.则四边形12AF BF 称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形. 3.2性质（1）面积： 四边形的面积为122(tan tan)22AF BF S b αβ=+证明：由椭圆的定义可知道：212AF AF a +=（1）由余弦定理有：22212122cos 4AF AF AF AF c α+-=(2)由（1）与（2）122121sin tan 22AF F S AF AF b αα∴== 同理有: 122tan2BF F S b β=122(tantan)22AF BF S b αβ∴=+（α为1AF 与2AF 的夹角; β为BF 1与BF 2的夹角）.y（2）推论：当α与β互为补角时,有：12212(tan tan )222AF BF S b b αα-=+≥. 证明：当α与β互为补角时,22αβπαβπ++=⇒=,所以有：11tantan()cot tan 22222tan 2βπαααα-=-=== 将其代入面积公式中就有; 12212(tan tan )222AF BF S b b αα-=+≥,(当2παβ==时取到“=”).3.3实例应用已知F ,2F 为椭圆2216425x y +=的两个焦点,A 、B 为椭圆上任意的两个焦点,并且A ∠与B ∠为补角,求：(1)当12AF F S =,求12AF BF S 的值. (2)当12AF BF S 取得最小值时,A ∠与B ∠的度数分别为多少？此时面积的最小值为多少？解：（1）由已知a=8,b=5,又122tan25tan 22AF F A A S b ∠∠===tan233A A π∠⇒=⇒∠=,并且A ∠与B ∠为补角,故有：23B π∠=所以有：12AF BF S =(2)由推论可以知道: 122(min)2502AF BF S b A B π==⇒∠=∠=参考资料：[1]董正洪圆锥曲线内接四边形面积的最值[M]数理化学习（高三）,2009,(3). [2]陈宇对椭圆焦点弦四边形面积最值探究[J]中学数学研究,2009,(4). [3]邱继勇圆锥曲线内接四边形的一个性质[J]中学数学研究,2005,(6).[4]王伯龙圆锥曲线中一类内接四边形性质的探究[J]中学数学月刊,2010,(11).[5] 舒金根圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似[J]中学数学研究,2011,(5).[6]马跃进、康宇圆锥曲线内接四边形的一个统一性质[J]中学数学研究,2011,(4).。

与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法作者：俞新来源：《广东教育·高中》2009年第10期在多年的高考中出现了与椭圆有关的四边形的面积问题.这类问题具有一定的难度,许多同学都感到无从下手,从而影响了水平的发挥和总体成绩,甚感可惜!其实,与椭圆有关的四边形的面积的计算还是有规律可找的.本文通过最近两年高考中的与椭圆有关的四边形面积问题的解法分析来指导同学们掌握该类问题的三种方法,仅供参考.解法一、对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半例1 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2 . 过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:+解析 (Ⅰ)椭圆的半焦距c==1,由AC⊥BD可知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x20+y20=1,所以+≤+=(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程+=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2)则x1+x2=-,x1x2=,|BD|=|x1-x2|==.因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为-,所以|AC|==.四边形ABCD的面积S=|BD||AC|=≥=,当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上所述,四边形ABCD的面积的最小值为.评注本题中因为四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,所以四边形的面积就是AC 与BD乘积的一半.而AC与BD的长可以通过相交弦长公式求得.解法二、平行四边形的面积等于两条邻边与其夹角正弦值的乘积例2 已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(Ⅱ)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.解析 (Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由x2+3y2=4,y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A,C在椭圆上,所以△=-12n2+64>0,解得-设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以y1+y2=.所以AC的中点坐标为(,).由四边形ABCD为菱形可知,点(,)在直线y=x+1上,所以=+1,解得n=-2, 所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|, 所以菱形ABCD的面积S=|AC|2.由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1+y2)2=,所以S=(-3n2+16)(-评注因为菱形是特殊的平行四边形,所以可以用平行四边形的面积计算方法求解,当然注意到菱形的对角线互相垂直,所以也可以用解法1的方法求解,但本题中对角线|BD|的长并不是直线y=x+1与椭圆的相交弦长,所以要注意避免下面的错误解法:把y=x+1代入椭圆方程x2+3y2=4并整理得4x2+6x-1=0,所以|BD|=•=,因此菱形ABCD的面积S=••,所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值.解法三、四边形的面积等于两个三角形的面积之和例3 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若=6,求k的值;(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0). 如图1,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1(Ⅱ)法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为h1==,h2==.又|AB|==,所以四边形AEBF的面积为S=|AB|(h1+h2)=••==2=2=2≤2,所以当=4k,即当k=(∵k>0)时,上式取等号,所以S的最大值为2.法二:由题设,|BO|=1,|AO|=2.设y1=kx1,y2=kx2,由①得x2>0,y2=-y1>0,故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2==≤=2,所以当x2=2y2时,上式取等号,所以S的最大值为2.评注本题中法一是将四边形AEBF的面积看成是三角形ABE与三角形ABF的面积之和,而法二是将四边形AEBF的面积看成是三角形BEF与三角形AEF的面积之和.我们知道,椭圆、双曲线和抛物线三种圆锥曲线的问题通常应该类比学习,即双曲线和抛物线的四边形面积的计算也可仿与椭圆中有关的四边形面积的计算方法进行,限于篇幅本文不再一一展开,在文末仅举抛物线中一例供同学们练习.例4 设F是抛物线y2=4x的焦点,A、B为抛物线上异于原点O的两点,且满足•=0.延长AF、BF分别交抛物线于点C、D(如图2).求四边形ABCD面积的最小值.解析设A(x1,y1)、C(x2,y2),由题设知,直线AC的斜率存在,设为k.因直线AC过焦点F(1,0),所以直线AC的方程为y=k(x-1).联立方程组y=k(x-1),y2=4x,消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,由根与系数的关系知:x1+x2=,x1x2=1,于是|AC|====,又因为AC⊥BD,所以直线BD的斜率为-,从而直线BD的方程为y=-(x-1),同理可得|BD|=4(1+k2),故S ABCD=|AC|•|BD|==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.另解:设B(x3,y3)、D(x4,y4),联立方程组y=(x-1),y2=4x,得x2-(2+4k2)x+1=0,所以x3+x4=4k2+2,x3x4=1,又|FA|=x1+1,|FC|=x2+1,|FB|=x3+1,|FD|=x4+1,所以四边形ABCD的面积为SABCD=|AC|•|BD|=(x1+x2+2)(x3+x4+2)=(+2).(4k2+2+2)==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.责任编校徐国坚。

破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。

圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。

要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。

本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。

第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。

分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。

此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。

故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。

解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax yk a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+ax y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。

故椭圆离心率的最小值为36。

（或2222)ab a b ≤=-，得：03b a <≤，由e =136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。

椭圆中的最值和定值问题一 椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过动点问题一般不会出现，椭圆中的定值问题包括以下几个方面： 1、与椭圆有关的直线过定点(1)00)(y x x k y +-=表示横过定点),(00y x 的直线；(2)0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 的交点；2、与椭圆有关的圆过定点问题0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ表示横过直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆的方程； 3、与椭圆有关的参数的定值问题 二 椭圆中的最值问题 1、参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如),(,,,,y x c b a k 等值的变化，此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解； 2、由于直线或椭圆的动点引起的长度或面积的变化。

此类问题主要是建立参数)),((y x k 或如的函数，运用函数或基本不等式求值；探究一 与椭圆有关的定值问题 在椭圆中出现的定值问题，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点问题。

例1 椭圆1422=+y x 的左顶点为A ，过A 做两条相互垂直的弦AN AM ,交椭圆于N M ,两点(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点；若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请给出理由。

例2 椭圆的两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，且椭圆过)23,1( (1)求椭圆的标准方程；(2)过)0,56(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为左顶点，试判断MAN ∠是否为定值；探究二 与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题一般建立两类函数：一是关于k 的函数，二是关于点),(y x 的函数；例3 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆于y 轴交于B A ,两点，其右准线与x 轴交于点T ，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆弧AC 上一点 (1)求证：T C A ,,三点共线；(2)如果FC BF 3=，四边形APCB 的最大面积是326+，求此时椭圆的方程和点P 的坐标；探究三 椭圆和圆的综合问题 椭圆和圆的综合问题中，题目中往往存在多种曲线混合，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值问题。

椭圆内接多边形面积最大值1. 引言嘿，朋友们！今天咱们聊聊一个有趣又看似复杂的话题——椭圆内接多边形的面积最大值。

别担心，我保证不讲那些复杂的公式，让我们一起用轻松幽默的方式来理解这个问题。

想象一下，如果你有一个椭圆，里面可以画一个多边形，那这个多边形的面积最大可以有多大？这就像是在椭圆这个大家庭里，找出最能展现自己风采的小伙伴！是不是听起来很有意思？2. 椭圆的基本概念首先，我们得搞清楚什么是椭圆。

椭圆就像是一颗椭圆形的鸡蛋，外面光滑，里面却可以容纳不少内容。

它的两个焦点像是一对亲密的朋友，无论怎么转动，总是形影不离。

椭圆的主要特点是它的长短轴，长轴就是那条特别拉长的线，短轴则是它的小伙伴。

我们可以把椭圆想象成一个大舞台，而多边形就像是这个舞台上表演的小演员，想在这里占据最大的位置。

2.1 椭圆与多边形的关系好了，咱们明白椭圆是什么了，现在来聊聊它跟多边形的关系。

想象一下，你要在这个椭圆里放一个多边形，比如说三角形、正方形甚至是五边形。

可是，想要让它们的面积最大，就得在椭圆的限制下，灵活变动，像是个变色龙一样。

这就像在一个超大的游乐场里，想尽可能多地玩到各种游戏，怎么才能不让自己掉队呢？2.2 为什么选择正多边形说到多边形，咱们不妨聊聊正多边形。

你知道吗，正多边形就像是超级英雄，凭借着对称性，能在椭圆里优雅地舞动。

其实，正多边形的优势就藏在它的结构里。

比如说，正六边形，六条边均匀分布在椭圆内，像是在为椭圆量身定做的一样，面积自然就大得惊人。

你可不能小看这六条边，组合起来的力量可真不是盖的！3. 最大面积的探讨那么，怎样才能求出这个最大面积呢？其实，简单来说，就是把多边形的每条边都紧贴椭圆的边缘，咱们把这称为“内切”。

就像打篮球，你得紧紧贴着三分线，才能保证投篮的角度最佳。

通过几何的思维，正多边形的边数越多，它就越接近椭圆的边缘，面积也会相应地增加。

简直是画龙点睛，完美无瑕！3.1 数学小秘密哎，你知道吗，其实数学里也有小秘密。

椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，是研究二次曲线射影几何理论的试金石。

作者在研究椭圆切线性质过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。

一、定理的提出指鹿为马者看清楚了：（别说莫须有，古代有，小时候见过，请截图为证据）图20中,D、A、B、C的调和分割，是完美四边形的命题，是四边形命题大狗熊yy定理是D、Q、B、R的四个极点调和分割，是切线命题。

大狗熊yy定理：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

大狗熊yy定理，，对于其他圆锥曲线----抛物线和双曲线也适合，，，幻灯播放新定理2：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。

新定理2是新定理1的一种特殊情况，如图2，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC ＝CB。

二、新定理的证明新定理证明思路：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简单易证。

采用坐标线性变换方法和坐标旋转方法，可将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。

这个能图形成立吗？1）需证明A、B、C、D四点共线，即四个极点共线于Q点的极线上；2）需证明F、Q、E、B四点共线，需证明A、G、Q、H四点共线；3）需证明GD、CH、FB三线共点于E点；4）需证明A、B、C、D四点是调和点列。

定义1：对于线段AB的内分点C和外分点D，满足则称点C、D调和分割线段AB或A、B、C、D是调和点列。

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椭圆焦点弦四边形面积的最值
作者：吴涛苏进文
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第05期
定义：以椭圆的两条焦点弦为对角线的四边形称之为椭圆焦点弦四边形．
问题1：（2005年高考全国卷Ⅱ理21）P、Q、M、N四点都在椭圆x2上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与，与共线，且
，求四边形PMQN的面积的最大值和最小值．
问题2：（2007年高考全国卷Ⅰ理21）已知椭圆x23+的左、右焦点分别为
、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P．
（1）略；
（2）求四边形ABCD的面积的最小值．
由于问题1中的条件与，与共线，且，F 为焦点，所以PQ与MN是两条互相垂直的焦点弦．问题2中的AC与BD也是两条互相垂直的焦点弦．通过比较，它们的题设背景相同，探求目标一致，因此，两道考题的结论实际上是求两条互相垂直的焦点弦为对角线的四边形的面积的最值问题．笔者经过深入研究，对上述两
道考题统一推广为如下一般结论：
本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

椭圆中面积的最值问题作者：陈开懋幸芹来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期椭圆中面积的最值问题，一般分为两种情况：一是题目直接考查某直线或某图形与已知椭圆所围成阴影部分的面积；二是考查椭圆中的其他问题，但可以转化为该椭圆中某特定面积问题加以计算解答. 解决此类问题的常规方法是将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量后利用韦达定理以及点到直线距离公式建立目标函数，将面积问题转化为求函数最值问题，应熟练掌握.[椭圆中的三角形面积最值]例1 已知椭圆C：[x24+y23=1]，若经过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆于A，B两点，求△ABF1面积的最大值.解析设直线AB的方程为[x=my+1][m∈R]，把[x=my+1]代入[x24+y23=1]得，[（3m2+4）y2+6my-9=0]，显然[Δ>0]，设A[x1，y1]，B[x2，y2]，则[S=12×2×y1-y2=][y1-y2]，又[y1+y2=-6m3m2+4]，[y1∙y2=-93m2+4]，[（y1-y2）2=][（y1+y2）2-4][y1∙y2=483m2+3（3m2+4）2]，令[t=3+3m2]，则[t≥3，][（y1-y2）2=48t+1t+2]，由于函数[y=t+1t]在[3，+∞]上单调递增，所以[t+1t≥103]，故[（y1-y2）2≤9]，即[S≤3]，故△ABF1面积的最大值等于3.例2 已知椭圆[x22+y24=1]，过椭圆上的点P（1，[2]）作倾斜角互补的两条直线PA，PB 分别交椭圆于A，B两点，求△PAB面积的最大值.解析设直线AB的方程为：[y=2x+b]，代入[x22+y24=1]，得[4x2+22bx+b2-4=0]，所以[Δ=8b2-16（b2-4）>0]，解得[b2设A[x1，y1]，B[x2，y2]，则|AB|=[1+22][x1+x22-4x1x2]=[34-b22]，点P到直线AB的距离[d=b3]，∴ [SΔPAB=12AB∙d=12b∙][4-b22]=[122-b2-42+16][≤][2]，当且仅当b=±2时取等号，所以△PAB面积的最大值是[2].总结（1）选择合适的三角形面积表达式：①直接法：[SΔABC=12×底×高]，其中求底一般用到弦长公式，求高一般用到点到直线的距离公式；②割补法：用垂直于坐标轴的线段进行分割，并将垂直于坐标轴的线段当三角形的底边，高用点坐标表示.（2）关于面积目标函数中变量的选择：①选择点坐标作为变量；②选择直线的斜率作为变量；③选择直线的截距作为变量；④同时选择直线的斜率和截距作为变量.（3）关于直线方程形式的设法：①[y=kx+b]；②[x=my+n]. 选择不同直线方程的形式，可以起到减少分类讨论和简化运算的效果.（4）面积目标函数最值的常见求法：一元函数法、基本不等式法、线性规划、三角换元法、代数换元法.[椭圆中的四边形面积最值]例3 设椭圆中心在坐标原点，点A（2，0），C（0，1）是它的两个顶点，直线[y=kx （k>0）]与椭圆相交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值.[O][y][x][B][A][D][C]解析因为点A（2，0），C（0，1）是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程为[x24+y2=1].由椭圆的对称性知，点B，D关于原点对称，设点B（x0，y0）（x0>0），则[x204+y20=1]，即[x20+4y20=4]. 设四边形ABCD的面积为S，则S=S△ABD+ S△BCD=2S△AOB+2S△COB=|OA|[⋅]y0+|OC|[∙]x0=2y0+x0. 接下来可以用两种方法处理：方法一（三角换元）：∵ [x204+y20=1]，可设x0=2cos[θ]，y0=sin[θ]，∴ S=2y0+x0=2sin[θ]+2cos[θ]=2[2]，sin（[θ]+45°）≤2[2]，当且仅当[θ]=45°时取等号. 故四边形ABCD面积的最大值是2[2].方法二（利用基本不等式）：[S=2y0+x0=（x0+2y0）2]=[x20+4y20+4x0y0]=[4+2∙x0∙2y0≤][x20+4y20+4]=2[2]，当且仅当2y0=x0=[2]时取等号.故四边形ABCD面积的最大值是2[2].总结椭圆中的四边形面积常见处理技巧是将四边形分割成若干个三角形的面积之和，再利用前面所讲的三角形面积计算技巧来处理. 此题将四边形ABCD的面积表示成关于点B的坐标（x0，y0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD的面积表示成关于k的函数，则运算量要大许多. 当然，本题还可以以AC为分割线，将四边形ABCD的面积转化为两个三角形△ACB和△ACD的面积之和.[与椭圆面积有关的其他问题]例4 已知点A（0，-2），椭圆E：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）的离心率为[32]，F是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为[233]，O为坐标原点.（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解析（1）设F（c，0），由条件知，[2c=233]，得[c=3].又[ca=32]，所以a=2，b2=a2-c2=1.故E的方程为[x24+y2=1].（2）当l⊥x轴时不合题意，故可设l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.将y=kx-2代入[x24+y2=1]，得（1+4k2）x2-16kx+12=0，当Δ=16（4k2-3）>0，即k2>[34]时，x1，2=[8k±24k2-34k2+1]，从而|PQ|=[k2+1]|x1-x2|=[4k2+1·4k2-34k2+1].又点O到直线l的距离d=[2k2+1].所以△OPQ的面积S△OPQ=[12]d·|PQ|=[44k2-34k2+1].设[4k2-3]=t，则t>0，S△OPQ=[4tt2+4]=[4t+4t].因为[t+4t]≥4，当且仅当t=2，即k=±[72]时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ的面积最大时，k=±[72]，l的方程为y=[72]x-2或y=-[72]x-2.通过以上几个例子，我们发现解决椭圆中的面积最值问题往往采取割补法表示图形的面积，再利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数最值，以及利用函数的单调性、各种平面几何中最值的思想来解决. 同时分割方法的不同、设未知元的不同，会导致运算的繁简不同，在解题时应注意方法的优化.。

决落在参数的灵活处理上．在定点定值问题上，通过参数的引入，求解目标用参数表示出来（通常是将求解目标表示成关于参数函数式），然后通过条件，整体消去参数，得到定点（值）．在例1中，通过引入动点00()P x y ，作为参数，将求解的目标，00002|||||2||1|12x y AN BM y x ⋅=+⋅+−−22000000000044484||22x y x y x y x y x y ++−−+=−−+000000004484||422x y x y x y x y −−+=−−+．范围（最值）问题的求解一般通过参数引入，构造求解目标关于参数的函数或者不等式，然后结合参数范围求解函数与不等式的问题．如在上面的例2中第（Ⅱ）问求AOB ∆的面积的最大值，通过令1t m=，把AOB ∆的面积用如下函数式表示：1()2S t =||AB d ⋅=． 通过第（Ⅰ）问求出的参数范围，结合二次函数的性质得出面积的最大值．求解取值范围（或最值）运算过程中，通常会遇到以下两种情况：（1）得到的函数式是整式的情形，例如2017年浙江卷解析几何题中求||||PA PQ ⋅最大值时引入参数k 后，||||PA PQ ⋅转变为3()(1)(1)f k k k =−−+．此种情形求取值范围一般采用导数思路求解．（2）得到的函数式分式情形，如2019年高考数学浙江卷第21题（Ⅱ）问中求12S S 的最小值及此时点G 的坐标时得到的函数式为：122243S mS m m =−++，此种情形处理策略是把分子分母中次数低一方转变为常数，然后通过基本不等式，双勾函数，二次函数，导数等知识研究另一方．在这一过程中通常会使用换元思想．圆锥曲线问题的基本思想就是用代数的方法研究几何问题，具有很强的综合性．因此学生在面对这类问题的心理通常都是运算量太大，做不下去．笔者在教学过程中发现学生在解此类题型的过程中主要问题出现在参数引入及处理上．本文结合两个高考原题，针对圆锥曲线的热点问题从引入什么变量作参数，如何求解参数的范围及其最后参数如何灵活处理三个递进层面进行了探索并给出了相应的策略．希望能够给学生解此类问题提供思路与策略．椭圆内接（外切）n 边形的最大（最小）面积建模李 虎 广东省中山市第一中学（528403）如何将一个竖直放置圆柱形的木棒，加工成一个n 棱柱木棒，使得削掉的部分体积最小？如何将一个竖直放置的圆柱形的木棒，竖直放入一个n 棱柱的纸筒，使得纸筒的横截面积最小？若木棒竖直放置，俯视图是椭圆，加工成一个n 棱柱木棒，如何使得削掉的部分体积最小？若木棒竖直放置，俯视图是椭圆，竖直放入一个n 棱柱的纸筒，如何使得纸筒的横截面积最小？上述问题在工业加工，快递打包定制木箱（纸箱）中经常遇到．抽象出来即为圆（椭圆）内接（外切）n 边形的最大（最小）面积问题．1 问题提出椭圆22221x y a b+=的内接n 边形面积最大值是多少？椭圆22221x y a b +=外切多边形面积的最小值是多少？ 2 知识准备 命题2.1 函数sin y x =在(0π)，上满足1sin(x α+ 212(1))sin (1)sin x x x ααα−≥+−，对12(0π)x x ∀∈，，，(01)α∀∈，成立（当且仅当12x x =时取等号）．证明 如图1，可以根据图形发现其几何意义．下面用构造法证明．构造11()sin (1)sin sin((1)F x x x x αααα=+−−+− )x ，12[]x x x ∈，，显然1()0F x =，()(1)cos (1)F x x αα′=−−−1cos((1))x x αα+−，因为1120(1)πx x x x αα<<+−<<，故()0F x ′<．所以对12(0π)x x ∀∈，，，(01)α∀∈，，有2()0F x <， 即1212sin((1))sin (1)sin x x x x αααα+−>+−， 当12x x =时，容易验证：1212sin((1))sin (1)sin x x x x αααα+−=+−．图1命题2.2 函数sin y x =在(0π)，上满足11(sin x n+ 122sin sin )sin()nn x x x x x n+++++≤ ，对12x x ∀ ，，，(0π)n x ∈，成立（当且仅当12n x x x === 时取等号）． 证明 （1）当12n =，时成立． （2）假设当n k =时成立， 即121(sin sin sin )k x x x k+++12sin()(1)kx x x k k+++≤≥（当且仅当12k x x x === 时取等号）． 则当1n k =+时，1211(sin sin sin sin )1k k x x x x k ++++++1211(sin()sin())1k k x x x k x k k++++≤++ 1211sin()sin()11k k x x x k x k k k +++++++ 121sin()11k k x x x x k k ++++≤+++ 121sin()1k k x x x x k +++++=+ ， 由命题2.1知，当且仅当121kk x x x x k++++= 且12k x x x === 时取等号，即当且仅当121k x x x +=== 时取等号．由数学归纳法及（1）（2）知结论成立．命题2.3 函数tan y x =在π(0)2，上满足不等式11tan tannniii i x x nn==≥∑∑，对π(0)2i x ∀∈，，12i n = ，，，成立（当且仅当12n x x x === 时取等号）． 证明 类似命题2.2，这里从略． 3 预备模型命题3.1 半径为r 的圆的内接n 边形中正n 边形面积最大，且最大面积22πsin (3)2n Sr n n=≥． 证明 因为要找面积最大的内接n 边形，所以不妨设圆心在n 边形的内部．设n 边形的n 个顶点分别为12n A A A ，，，，连接i OA ，12i n = ，，，，n 边形面积11i i nOA A i S S +∆==∑（规定11n A A +=，并设1i i i AOA θ+∠=，i = 12n ，，，）．于是有1221111sin 22i i n nOA A ii i S S r r θ+∆=====∑∑ 22112πsin sin sin 22nini i i nr nr n nθθ==≤=∑∑，当且仅当12θθ= n θ== 时取等号，此时n 边形为正n 边形．命题3.2 半径为r 的圆的外切n 边形中，正n 边形的面积最小，且最小面积πtan (3)S rn n n=≥．证明 设n 边形的n 个顶点分别为12n A A A ，，，，连接i OA ，12i n = ，，，，O 与1i i A A +切于i P ，1i =， 2n ，，（规定11n A A +=，并设1i i i A OP θ+∠=，12i =，， n ，）．那么n 边形面积211tan tan nni i i i S r r r θθ===⋅=∑∑ 22211tan πtan tan n n i i i i nr nr nr n n n θθ===≥=∑∑．当且仅当1θ 2n θθ=== 时取等号，此时n 边形为正n 边形． 4 建立模型 引理4.1 用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线，则这条曲线是椭圆．（本证明参考了人教A 版选修2-1中Dandelin 双球模型） 证明 在圆柱内上下各放一个半径与圆柱半径相同的球，使得他们分别与截面切于点E F ，，在截口曲线上任取一点P ，过点P 作圆柱的一条母线分别与两个球切于Q R ，（如图2）．由球和圆的几何性质，可以知道PQ PF =，PR PE =．于是PE PF +=PQ PR QR +=．由切点QR 的产生可知，它们之间的距离是定值．这样，截口曲线上任意一点P 到两个定点E F ，的距离之和为常数．由椭圆的定义可知截口曲线是椭圆．引理4.2 （面积射影定理）锐二面角l αβ−−大小为θ，α内一封闭多边形的面积为S ，其在β内正射影的面积为S ，则cos SSθ=．特别地，若封闭图形E 的正射影E ′是一个直径为2b 的圆，则E 比为长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，且cos S S θ=椭圆圆．图3结论1 椭圆22221x y a b+=内接多边形面积最大值12πsin (3)2S nab n n n′=∈≥N ，．证法1 将椭圆按引理4.2投影，则任意椭圆内接n 边形变为圆的内接n 边形，由命题3.1知，圆内接n 边形正n 边形的面积最大，且最大面积22S nb =⋅ 2πsin(3)n n≥，按照投影的方法可以倒回来找到对应的椭圆内接n 边形，再根据引理4.2可得椭圆面积的最大值12πsin (3)2S a S S nab n n b b n a′===∈≥N ，．证法2 借助椭圆的参数方程cos sin x a y b θθ= = ，，[0θ∈，2π)且θ为参数．因为要找内接n 边形面积的最大值，所以椭圆中心O 在多边形的内部．设n 边形的n 个顶点分别为12n A A A ，，，，连接i OA ，12i n = ，，，（规定11n A A +=，并设1||i i i θθα+−=，12i n = ，，，）．因此n 边形面积11i i nOA A i S S +∆=′=∑111cos cos 11cos cos 12001i i ni i i a b a b θθθθ++==∑ 111|sin()|2ni i i ab θθ+=−∑ 11sin 2ni i ab α==∑1sin 12ni i nabnα==∑ 11sin 2nii nab nα=≤∑12πsin2nab n =． 当且仅当12n ααα=== 时取等号，即n 边形n 个顶点对应的n 个离心角成等差数列．结论2 椭圆22221x y a b +=外切多边形面积最小值πtan (3)S nab n n n=∈≥N ，．证法1 同结论1这里从略．证法2 设边1i i A A +与椭圆相切于i P ，i P 的离心角为i θ，则1ii i αθθ+=−，11n A A +=且按逆时针排列． 切点(cos sin )i i a b θθ，， 所以边1i i A A +的方程为cos sin 1i ix y a bθθ+=． 同理，12i n = ，，，，12i i A A ++所在的直线方程为：11cos sin 1i i x y a bθθ+++=． 由此可得1i A +的坐标为： 11sin sin cos cos ()(12)sin sin i i i i i iab i n θθθθαα++−−= ，，，，， 于是有椭圆外切多边形的面积：112112111sin sin cos cos 1sin sin sin sin cos cos 112sin sin 01i i i i i in i i i i i i i a b S a bθθθθααθθθθαα++++++=++−−−−=∑ 11121121sin sin cos cos 11sin sin cos cos 2sin sin n i i i i i i i i i i i ab θθθθθθθθαα++=+++++−−=−−∑111111|sin sin sin()|2sin sin ni i i i i i i ab αααααα++=++−+∑111(tan tan )222ni i i ab αα+=+∑ 1tan2ni i ab α==∑1tan2ni i nabnα==∑12tannii nab nα=≤∑πtannab n=． 注意到π(0)22iα∈，，12i n = ，，，等号当且仅当12n ααα=== ．即切点对应的离心角成等差数列． 5 模型价值本模型借助圆内接多边形类比椭圆内接多边形情况，从学生的最近发展区出发培养学生的探索精神和创新意识．αβl从学生熟知的图形入手，结合图形分析性质，借助导数和数学归纳法证明发现的结论，既培养了学生数形结合意识，又锻炼了学生逻辑推理能力，对学生的核心素养的培养有重要意义．借助数学史中的Dandelin双球模型，让数学史走入中学课堂，同时又证明了圆柱的斜截面为椭圆，在现实生活中也有常见的例子：圆柱水杯，斜放，水面形成的截面为椭圆；在太阳光的照射下，圆柱体的影子等等．同时也锻炼了学生的几何意识，立体几何问题平面化的数学思想．模型建立的过程遵循认知规律，循序渐进，由易到难．对于竞赛的学生由于学习了行列式，本文采用行列式求面积作为证法2，既体现了行列式的求面积的强大功能，同时又把椭圆的参数方程知识融入到建模中，让学生去更加深入的体会离心角的概念，并发现内接（外切）多边形这些点之间的联系．参考文献[1]杨全超．椭圆内接多边形面积的最大值．中学数学研究，2008（4）：16[2]米其韬．关于椭圆内接多边形面积的最大值问题．辽宁师专学报（自科学版），2007（12）：3-4，42（本文系中山市教育科研2018年度重点项目《高中数学学科核心素养之数学建模的教学实践研究》（课题编号：A2018021）阶段性研究成果之一）初中生数学建模素养的培养实验——以一节数学活动课为例蔡颖福建省厦门市海沧区东孚中学（361027）在科学技术迅猛发展的今天，数学应用已然成为技术发展的基础，而数学模型沟通了数学与外部世界的联系，是数学应用的重要形式．《义务教育数学课程标准（2011版）》提出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”[1]．另外，《普通高中数学课程标准（2017年版）》将“数学建模”作为学科核心素养提出．“数学建模”已成为数学教育各学段不可忽视的一大主题，如何将数学建模理念贯穿于课程教学，如何切实地培养学生的建模素养，值得一线教师思考与尝试．基于此，本文以《人教版九年级下册·数学》“相似三角形”章末“数学活动”为例，通过合理的教学设计与实践，探讨建模教学在初中阶段的落地与初中生数学建模素养的培养，进而提出若干建议．1 课例背景图1上述片段节选自《人教版义务教育教科书九年级下册·数学》“相似三角形”章末“数学活动”[2]．本活动的顺利开展应基于学生已完整学习“相似三角形”的相关内容．在符合学情的前提下，为拓展思路，创新设计，故隐去教材中提供的三种测量方法，仅以“如何测量学校旗杆的高度”为课题展开研究．2 课例设计由于学生刚学习“相似三角形”一章内容，其中不乏利用相似三角形计算长度的例题与练习，这对于课例的设计有启发性作用．为区别“数学建模”与“解应用题”的区别，同时为引导建模思路，完善建模过程，增强建模体验，设计以下报告单辅助实验开展．表1 数学实验报告单班级研究人员实验名称实验目的：实验原理：建立数学模型（含实验步骤、示意图表示）：模型求解：反思与总结（含操作过程中的困难、模型的优化等）：。

椭圆的蝴蝶定理四边形面积英文回答：The Butterfly Theorem states that the area of a quadrilateral inscribed in an ellipse is equal to the product of the semi-major and semi-minor axes of the ellipse.Let \(a\) and \(b\) be the semi-major and semi-minor axes of the ellipse, respectively. Let \(ABCD\) be a quadrilateral inscribed in the ellipse. Let \(M\) be the midpoint of \(AC\), and let \(N\) be the midpoint of \(BD\).Since \(ABCD\) is inscribed in the ellipse, the points\(A\), \(B\), \(C\), and \(D\) lie on the ellipse. Therefore, the line segments \(AB\), \(BC\), \(CD\), and\(DA\) are all tangent to the ellipse at points \(A\),\(B\), \(C\), and \(D\), respectively.Since \(M\) is the midpoint of \(AC\), the line segment\(MN\) is parallel to \(AB\). Similarly, since \(N\) is the midpoint of \(BD\), the line segment \(NM\) is parallel to \(CD\).Therefore, the quadrilateral \(MNCB\) is a parallelogram. Similarly, the quadrilateral \(MAND\) is a parallelogram.The area of the parallelogram \(MNCB\) is equal to\(MN\cdot BC\). Since \(MN\) is parallel to \(AB\), we have \(MN=AB\). Since \(BC\) is a diameter of the ellipse, we have \(BC=2a\). Therefore, the area of the parallelogram\(MNCB\) is \(AB\cdot2a=2a\cdot AB\).Similarly, the area of the parallelogram \(MAND\) is\(CD\cdot2b=2b\cdot CD\).The area of the quadrilateral \(ABCD\) is equal to the sum of the areas of the parallelograms \(MNCB\) and\(MAND\). Therefore, the area of the quadrilateral \(ABCD\) is \(2a\cdot AB+2b\cdot CD\).Since \(AB\) and \(CD\) are diameters of the ellipse,we have \(AB=2a\) and \(CD=2b\). Therefore, the area of the quadrilateral \(ABCD\) is \(2a\cdot 2a+2b\cdot2b=4a^2+4b^2\).Therefore, the area of a quadrilateral inscribed in an ellipse is equal to \(4a^2+4b^2\).中文回答：蝴蝶定理指出，内接于椭圆的四边形的面积等于椭圆的长半轴和短半轴乘积。

以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积大家好！今天咱们聊聊一个听起来有点儿复杂，但其实挺有意思的几何问题——椭圆的四个顶点，做成一个四边形，求这个四边形的面积。

嘿，别急，我知道这个名字一听就有点儿高深莫测，但是放轻松，我们一步一步来，保证你能听得懂、学得会，绝对不会让你抓耳挠腮的。

大家肯定都见过椭圆吧？那个像压扁了的圆，或者说有点儿像长得不太规矩的鸡蛋形状。

椭圆有两个非常关键的部分——长轴和短轴。

长轴就是椭圆里最长的那条线，短轴就是最短的那条。

可以想象一下，一个橙子切开来的形状，如果它稍微扁一点儿，那就基本上是椭圆了。

好了，椭圆的四个顶点就是这两条轴的交点，它们分别是：长轴的两个端点和短轴的两个端点。

听起来好像复杂，但实际操作起来并不难。

现在呢，咱们要做的就是用这四个顶点来构建一个四边形。

别看这是一个简单的四边形，别小看它哦，它的面积可有点儿意思。

想象一下，四个顶点是怎么连接起来的，它们是椭圆的“骨架”，连接成四边形后，它们仿佛组成了一幅美丽的图案，四条边就像是给这幅画框起来的线条。

好啦，话说回来，问题的关键就在于面积。

说到面积，大家都知道，常规的矩形、三角形啥的，我们是有固定的公式的。

可是椭圆的四个顶点形成的四边形，哎，这可没有那么简单。

面积的计算与它们的布局、方向、还有椭圆本身的大小和形状都有关系。

如果你特别追求准确的面积计算，当然要用一些复杂的公式，但是我说真的，如果你只想了解一下大概是什么情况，咱们就不必太纠结那些繁琐的数学步骤了。

举个例子吧，如果这四个顶点形成的四边形是一个矩形，那就简单了。

矩形的面积不就是长乘宽嘛？长轴和短轴分别就是矩形的长和宽，你直接把它们的数值相乘就能得出面积。

可是如果这四个顶点并不是正好组成一个矩形，而是稍微倾斜一点，哎，这样计算就得麻烦一些了。

你得考虑它们之间的角度，可能还得用一些三角函数啥的来计算。

可是，别被这些数学术语吓到。

说到底，咱们这个问题最重要的还是理解这四个顶点组成的四边形是和椭圆紧密相关的。