教育教学论文题目：圆锥曲线的直径及其求法地址：开远市第九中学作者：代顺志2017年5月16日目录摘要 (1)关键词 (1)1问题的提出. (1)1.1研究的问题 (1)1.2研究的意义 (1)1.3研究的方法 (2)2.二次曲线发展简史 (2)2.1圆锥曲线发展简史 (2)2.2圆锥曲线已有的一些研究结论 (3)3圆锥曲线的直径 (3)3.1 椭圆阿波罗尼定理及其证明. (3)3.2 双曲线阿波罗尼定理及其证明 (5)4.阿波罗尼定理的运用 (7)5.结论与思考 (13)参考文献 (14)圆锥曲线的直径及其求法摘要：圆锥曲线是解析几何的组成部分,其中阿波罗尼定理更是圆锥曲线的重要定理［1］,圆锥曲线直径的许多性质及定理使二次曲线的许多问题能够代数化、程序化从而得到方便的解决，阿波罗尼定理的发现是圆锥曲线的一个突破，同时圆锥曲线的研究促进了解析几何的发展，通过几何与代数相结合的方法.让其代数属性和几何属性得到重视.关键词：二次曲线；椭圆型；双曲型；抛物型；阿波罗尼圆锥曲线是二次曲线一个重要的组成部分,研究阿波罗尼定理的目的是使圆锥曲线的直径求解更为方便简洁,在理论运用上突出其价值,阿波罗尼定理使得圆锥曲线理论上更进一步,同时在几何上使人们更加直观的认识了圆锥曲线的性质.该文主要探讨了椭圆以及双曲线的阿波罗尼定理,以及阿波罗尼定理在理论上的运用.1问题的提出1.1研究的问题：圆锥曲线包括了椭圆、双曲线、抛物线以及圆,其中圆的直径是圆的最长的弦,而椭圆、双曲线、抛物线的直径是平行弦的中点的连线,平行于直径的弦的中点的连线形成了一条新的直径,叫做共轭直径［2］.椭圆与双曲线更有共轭半径，关于共轭半径有各自的阿波罗尼定理,本文旨在给出阿波罗尼定理及相关知识点的运用.1.2研究的意义：阿波罗尼定理是解析几何圆锥曲线的重要理论,它的发现使解析几何中许多问题代数化、简便化从而得到有效的解决［3］.圆锥曲线的应用价值表现为对数学和其它学科的关联以及他们在现实生活中广泛的应用,其在绘图上的深入的运用而体现了数学中数与形的完美结合,圆锥曲线的研究促进了解析几何的发展，通过几何与代数相结合的方法.使得圆锥曲线的代数属性和几何属性得以重视［4］.圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域还是在我们的实际生活中都占有重要的地位,通过对圆锥曲线的深入研究,导出了许多重要的曲面,诸如圆柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面等各种抛物面,人们对它的研究也不断深化,其研究成果又广泛地得到实践应用.圆锥曲线作为数学问题的一个分支，到今天理论上几乎很难有什么突破，随着科技的发展,人们将圆锥曲线的一般性质编码程序化，很多复杂的圆锥曲线问题得以容易的解决,但是很多问题还是还需要不停的研究讨论在细节上力求突破创新,在圆锥曲线的直径及其定理的运用上还可以再深入讨论.1.3研究的方法：研究数学问题的思想方法众多,在圆锥曲线的直径及其求法这个问题上主要采用了文献法以及案例研究法,该项研究以江苏师范大学数学系出版的《解析几何》以及张泽湘的《二次曲线》为基础,并结合其他国内外出版物作参考.同时查阅圆锥曲线的直径求法解法以及最前沿的运用,确保了资料的广泛性、准确性、与时俱进.最后通过具体的理论运用感受阿波罗尼定理的理论价值,在运用中更加熟悉阿波罗尼定理在圆锥曲线中的重要地位,提高人们对于阿波罗尼定理的认识.2二次曲线发展简史2.1圆锥曲线发展简史：希腊数学家阿波罗尼对圆锥曲线理论研究后取得突出的成就,阿波罗尼的著作《圆锥曲线》总结了古人的著作,特别是是欧几里得的著作,将古人的研究成果去粗存精、并融会贯通,使新的著作更加系统化更加完善.随着对古人研究的深入了解,阿波罗尼又提出许多创新意见.并将其整理成8篇著作,共计487个命题,成功将圆锥曲线的性质研究达到最完善细致，以致后来的学者无法寻找到新的研究内容长达几个世纪之久［5］.阿波罗尼的8篇著作合称《圆锥曲线》，著作完成后的1300余年里,几乎所有的数学家在圆锥曲线的研究上没有新的发现［6］.17世纪初期,当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下,物理学家Kepler给了圆锥曲线的性质的新定义以及新发现.那就是圆锥曲线有离心率以及焦点，同时指出抛物线有一个在无穷远处的焦点,直线是圆心在无穷远处的圆.Kepler发现了有这样一个规律：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线,都可以相互转换，不用考虑其他的因素，只要注意焦点的变化即可［7］.后来大数学家欧拉发表了解析几何发展史上的一部经典著作《分析引论》.欧拉在《分析引论》中给出了二次曲线新的定义:从一般二次方程出发,圆锥曲线的各种情形,经过适当的坐标变换，得到标准形式［5］.之后的一个世纪里,数学界深入探讨了解析几何，在直角坐标系的基础上又建立极坐标系,直角坐标系跟极坐标系之间能够互相转换.在这样的历史背景下下使得椭圆、抛物线、双曲线、圆的二次方程可以在直角坐标与极坐标间转化.相距Kepler、欧拉之后圆锥曲线在理论上已经没有大的突破,两个世纪的时间里人们只能在细节上对圆柱曲线优化以及圆锥曲线的实际运用中寻求发展［8］.2.2圆锥曲线已有的一些研究结论：将过点(x0,y0)且具有方向X∶Y的直线{x=x0+Xty=y0+Yt代入二次曲线F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13y+a33中令A=a11x0+a12y0+a13+a12x0+a22y0+a23F(X,Y)=a11X2+2a12XY+a22Y2于是可以写成F(X,Y)t2+2At+Ϝ(x0,y0)=0（1）F(X,Y)≠0.这时上式是关于t的二次方程,当t的判别式大于零时,直线与二次曲线有两个交点.当判别式小于零时,直线与二次曲线仅有一个交点.当判别式大于零时,直线与二次曲线无实交点.（2）F(X,Y)=0，但A≠0零时此时是t的一次方程,所以直线与二次曲线有唯一的交点.（3）当F(X,Y)与A均为零时,直线是二次曲线的一部分［9］.定义2.1满足F(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐进方向,否则叫非渐进方向［2］.由F(X,Y)=a11(XY )2+2a12(XY)+a22推出X：Y的值是由a122−a11a22来确定虚实,椭圆型曲线没有实渐进方向,抛物型曲线有一个实渐进方向,双曲型曲线有两个实渐进方向,这三种曲线的非渐进方向均有无数个.二次曲线的对称中心是二次曲线的中心,中心二次曲线有一个中心,所有其他的二次曲线叫做非中心二次曲线.二次曲线的渐近线通过它的中心并且以渐进方向为方向,由渐进方向的虚实可以判定椭圆、双曲线、抛物线渐近线的数目以及虚实.二次曲线的切线可以分为两类,一类是与二次曲线重合,直线上的点均可以看做切点.另一类是直线与二次曲线交于两个重合的点，这个点是唯一的切点.每一个奇异点二次曲线的切点,过奇异点的直线均为二次曲线的切线,而正常点的切线有且仅有一条.二次曲线的直径是二次曲线一组平行弦中点的轨迹,平行于直径的一组弦的中点的轨迹叫做共轭直径，椭圆型曲线与双曲型曲线的直径通过它们的中心,抛物型曲线的直径是它的中心直线.椭圆型曲线与双曲型曲线的共轭方向是非渐近方向.而抛物型曲线的共轭方向是渐近方向.椭圆一对直径满足kk′=−b2a2,则这对直径互为共轭直径.双曲线一对直径满足kk′=b2a2,则这对直径互为共轭直径.椭圆中心到它直径端点的线段叫做椭圆的半径,在共轭直径上的两条半径叫做这个椭圆的共轭半径.双曲线中心到它直径端点的线段叫做双曲线的半径,在共轭直径上的两条半径叫做这个双曲线的共轭半径.二次曲线的主直径是指所有直径中互相垂直的一组直径,主直径的方向叫做二次曲线的主方向,二次曲线的主方向由特征方程决定的,其中二次曲线的特征根不全为零且全都是实数,椭圆型曲线与双曲型曲线至少有两条主直径,抛物型曲线有且仅有一条主直径［9］.3圆锥曲线的直径3.1椭圆阿波罗尼定理及其证明设a′和b′是椭圆的共轭半径的长度,φ是它们所夹的角,则a′b′sinφ=ab(这里a和b是椭圆两个半轴的长).图1（椭圆阿波罗尼定理）证明:设OP和OR为椭圆的共轭半径,点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且|t2−t1|=π2.过P(x1,y1)和R(x2,y2)分别作椭圆的切线相交于A,可知四边形PORA为平行四边形,所以它的面积为S PORA=a′b′sinφ作OE⊥AP,E为垂足,则S PORA=|OR|∙|OE|点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且|t2−t1|=π2,则x1=acos t1,y1=bsin t1；x2=acos t2,y2=bsin t2.且t2=t1+kπ2这里k=±1.所以 |OR|=√x22+y22=√a2cos t22+b2sin t22=√a2cos(t1+kπ2)2+b2sin(t1+kπ2)=√a2sin t12+b2cos t12因为切线AP的方程为(bcos t1)x+(asin t1)y−ab=0，∴|OE|=|−ab|√a2sin t12+b2cos t12=ab√a2sin t12+b2cos t12从而S PORA=√a2sin t12+b2cos t12∙ab√a2sin t12+b2cos t12=ab综上所述a′b′sinφ=ab定理得证.当两个半轴交角为90°,ab=ab sin90°,所以这个定理实际上说的是a′b′sinφ是常数.所以这个定理也可以叙述为:作椭圆任意一对共轭直径上的平行四边形的面积是常数,等于作在两个半轴上的长方形的面积.这就是椭圆的第一个阿波罗尼定理.椭圆中任意一对共轭半径长度平方的和等于这两个半轴的长度的平方的和:a′2+b′2=a2+b2证明:设OP和OR为椭圆的一对共轭半径,点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且t2=t1+π2,从而x1=acos t1,y1=bsin t1x2=a cos(t1+π2)=−a sin t1y2=b sin(t1+π2)=b cos t1∴a′2+b′2=x12+y12+x22+y22=a2cos t12+b2sin t12+a2sin t12+b2cos t12=a2+b2定理得证.这个定理是说共轭半径的平方和是常数,即等于两条半轴的平方和,叫做关于椭圆的第二个阿波罗尼定理.3.2双曲线阿波罗尼定理及其证明设a′和b′是双曲线的共轭半径的长度,φ是它们所夹的角,则a′b′sinφ= ab(这里a和b是椭圆两个半轴的长).图2（双曲线阿波罗尼定理）证明:设OP和OR为双曲线的共轭半径,点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且|t2−t1|=π2.过P(x1,y1)和R(x2,y2)分别作双曲线的切线相交于A，可知四边形PORA为平行四边形,所以它的面积为S PORA=a′b′sinφ作OE⊥AP，E为垂足,则S PORA=|OR|∙|OE|点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且|t2−t1|=π2,则x1= a sec t1,y1=b tan t1；x2=a tan t2,y2=b sec t2且t2=t1.∴|OR|=√x22+y22=√a2tan t22+b2sec t22=√a2tan t12+b2sec t12因为切线AP的方程为b2x1x−a2y1y=a2b2,或b2(asec t1)x−a2(b tan t1)y−a2b2=0，即(bsec t1)x−(atan t1)y−ab=0所以 |OE|=|−ab|√a2tan t12+b2sec t12=ab√a2tan t12+b2sec t12从而S PORA=√a2tan t12+b2sec t12∙ab√a2tan t12+b2sec t12=ab综上所述a′b′sinφ=ab定理得证当两个半轴交角为90°，ab=ab sin90°,所以这个定理实际上说的是a′b′sinφ是常数.所以这个定理也可以叙述为:作双曲线上任意一对共轭半径上的平行四边形的面积是常数,等于半轴上的长方形的面积.这就是双曲线的第一个阿波罗尼定理.双曲线中任意一对共轭半径长度平方的和等于这两个半轴的长度的平方的和:a′2−b′2=a2−b2证明:设OP和OR为双曲线的一对共轭半径，点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且t2=t1,从而x1=a sec t1,y1=b tan t1x2=a tan t2=a tan t1y2=b sec t2=b sec t1所以a′2−b′2=(x12+y12)−(x22+y22)=(a2sec t12+b2tan t12)−(a2tan t12+b2sec t12)=a2(sec t12−tan t12)−b2(sec t12−tan t12)=a2−b2定理得证.这个定理是说双曲线共轭半径的平方和是常数,即等于两条半轴的平方和,叫做关于双曲线的第二个阿波罗尼定理.4.阿波罗尼定理的运用例1试求双曲线x2−4y2=1的共轭直径的方程,其中一直径通过点A(8,1)［10］.设双曲线的两条共轭直径分别是y1=k1x1,y2=k2x2;y1=k1x1过(8,1)→1=k18,k1=1 8k1k2=b2a2=14→k2=2y1=18x1,y2=2x2综上所述y1=18x1,y2=2x2为双曲线x2−4y2=1的共轭直径的方程.例2已知双曲线x 2a2−y2b2=1的两共轭半径的长为a′和b′,求这两半径所夹的角［9］.图3（例2）设点A与点B的离心角分别为θ1和θ2,则A(asecθ1,b tanθ1),B(asecθ2,b tanθ2)则l1的斜率k1=basinθ1(asecθ1)2+(b tanθ1)2=a′2 a2secθ12+b2secθ12−b2=a′2secθ12=a′2+b2 a2+b2cosθ12=a2+b2 a′2+b2sinθ12=a′2−a2 a′2+b2k1=±ba√a′2−a2a′2+b2同理l2的斜率k2=basinθ2(asecθ2)2+(b tanθ2)2=b′2 a2secθ22+b2secθ22−b2=b′2secθ22=b′2+b2 a2+b2cosθ22=a2+b2 b′2+b2sinθ22=b′2−a2 b′2+b2k2=±ba√b′2−a2b′2+b2又k1k2=b2a2,l1与l2的夹角为αtanα=k1−k21+k1k2=±ba(√a′2−a2a′2+b2−√b′2−a2b′2+b2)1+b2a2=±ab(√a′2−a2a′2+b2−√b′2−a2b′2+b2)a2+b2综上所述双曲线x 2a2−y2b2=1的两共轭半径的长为a′和b′两半径所夹的角为α=tan−1±ab(√a′2−a2a′2+b2−√b′2−a2b′2+b2)a2+b2.例3已知双曲线x 2a2−y2b2=1的一端点为P(x1,y1),求它的共轭直径的两端点.设双曲线的两条共轭直径分别是y1=k1x1,y2=k2x2;y1=k1x1,k1=y1x1,x12a2−y12b2=1,b2x12−a2y12=a2b2 k1k2=b2a2,y2=k2x2k2=b2a2x1y1,y2=b2x1a2y1∙x2x22 a2−b2x1a2y1∙x2b2=1b2x22−b4a2x12y12∙x22=a2b2(b2−b4a2x12y12)x22=a2b2x22=a2b2a2y12a2b2y12−b4x12=a4y12a2y12−b2x12=−a2y12b2x2=±bay1i→(x2,y2)→(±bay1i,±bax1i)综上所述双曲线x 2a2−y2b2=1的共轭直径的两端点为(±bay1i,±bax1i).例4已知椭圆x 2a2+y2b2=1的两共轭半径的长度为a′和b′,求这两半径所夹的角[9].图4（例4）设点P 与R 的离心角均为θ1,P (a cos θ1,b sin θ1),R (−a sin θ1,b cos θ1,)则l 1的斜率k 1=batan θ1(a cos θ1)2+(b sin θ1)2=a ′2a 2cos θ12+b 2−b 2cos θ12=a ′2cos θ12=a ′2−b 2a 2−b 2sin θ12=a 2−a′2a 2−b 2k 1=±√a 2−a ′2a ′2−b 2同理l 2的斜率k 2=−ba cot θ1(−a sin θ1)2+(b cos θ1)2=b ′2a 2−a 2cos θ12+b 2cos θ12=b ′2cos θ12=b ′2−a 2b 2−a 2sin θ12=b 2−b′2b 2−a 2sin θ22=b ′2−a 2b ′2+b 2k 2=±√b 2−b ′2b 2−a 2又k 1k 2=−b 2a2,l 1与l 2的夹角为αtan α=k 1−k 21+k 1k 2=±(√a 2−a ′2a ′2−b 2−√b 2−b ′2b 2−a 2)1−b 2a 2=±a 2(√a ′2−a 2a ′2+b 2−√b ′2−a 2b ′2+b 2)a 2−b 2综上所述双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两共轭半径的长为a ′和b ′两半径所夹的角为α=tan −1±a 2(√a ′2−a 2a ′2+b 2−√b ′2−a 2b ′2+b 2)a 2−b 2例5在椭圆的共轭直径四端点的切线所成平行四边形的面积是一个常数［9］.图5（例5、例6）证明:设AOA ′,BOB ′为正交笛卡尔坐标系下椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的任一对共轭直 径,它们的斜率各为λ，λ‘,由于椭圆一对共轭直径斜率满足λλ’=−b 2a 2.设点A 为 A (x 1,y 1),则λ=y 1x 1,从而得λ‘=b 2x 1a 2y 1.将BOB ′的方程y =λ；x 与x 2a 2+y 2b 2=1联立，求得交点B (ay 1b,bx 1a ),所求平行四边形的面积 S =8∙S AOB=4[001x 1y 11−ay 1b bx 1a1]=4ab (x 12a 2+y 12b2)=4ab(常量)综上所述椭圆的共轭直径四端点的切线所成平行四边形的面积是一个常数.例6共轭直径与椭圆的交点至中心的的距离称为共轭半径,证明任何两共轭半径之平方和等于定值.证明:设AOA ′,BOB ′为正交笛卡尔坐标系下椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的任一对共轭直 径,它们的斜率各为λ，λ‘,由于椭圆一对共轭直径斜率满足λλ’=−b 2a 2.设点A 为A (x 1,y 1),则λ=y1x 1,从而得λ‘=b 2x 1a 2y 1.将BOB ′的方程y =λ；x 与x 2a 2+y 2b 2=1联立，求得交点B (ay 1b,bx 1a)所求和=OA 2+OB 2=(x 12+y 12)+(a 2y 12b 2+a 2x 12a 2)=x 12(1+b 2a 2)+y 12(1+b 2a2)=(a 2+b 2)(x 12a 2+y 12b2)=a 2+b 2(常量)例7试求椭圆x 2+4y 2=1的一对共轭直径的方程,其中一直径与x 轴成45°的角［9］.k1k2=−b2a2=−14,令k2=tan45=1,则k1=−14 y1=−14x1,y2=x2综上所述椭圆x2+4y2=1的一对共轭直径的方程为y1=−14x1,y2=x2.5.结论与思考椭圆与双曲线的阿波罗尼定理是围绕椭圆与双曲线的直径与共轭直径的知识点中最重要的定律,不仅使我们在理论上更加深入的了解了两个半轴与共轭半径不同的数量关系,让我们从另一个角度感受到了椭圆与双曲线的魅力［3］.通过圆锥曲线例题不仅体现了数形结合的数学思想方法,也突出了在圆锥曲线中直径的重要性.通过对圆锥曲线直径的研究中不但学习了新的知识点，并用所学知识解决一些问题.而更重要的是,在学习的过程中能锻炼自己观察事物的能力，分析判断力及创新能力.参考文献：［1］吴光磊,姜伯驹.解析几何[M].北京:人民教育出版社出版社,1961.125-130. ［2］江苏师范学院数学系.解析几何[M].北京:人民教育出版社出版社,1960.209-250. ［3］项武义.几何学的源起与演进[M]. 北京:科学出版社，1983.57-62.［4］张映姜,欣赏圆锥曲线体验历史文化[J].《数学通报》，2012，（11）：41-43. 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Bring attention to their algebraic geometry and attribute.Keywords: conic；elliptic；hyperbolic；parabolic；Apollo。
