直线与椭圆怎么联立

第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。

椭圆和直线联立后算出来的判别式椭圆和直线是数学中常见的几何图形，它们的联立方程在解决实际问题中起着重要的作用。

在代数中，通过联立椭圆和直线的方程，可以得到一个判别式，这个判别式能够告诉我们椭圆和直线的位置关系以及它们的交点情况。

在本文中，我将深入探讨这个判别式的含义、应用以及解题方法。

1. 椭圆和直线的联立方程我们先来看一下椭圆和直线的一般方程分别是怎样的。

椭圆的一般方程可以写成：\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]而直线的一般方程可以写成：\[ Ax + By + C = 0 \]其中，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长，A、B、C为直线的系数。

当这两个方程联立在一起时，就得到了椭圆和直线的联立方程。

2. 联立方程的判别式将椭圆和直线的方程联立在一起，得到二次方程：\[ (\dfrac{Ax}{a})^2 + (\dfrac{By}{b})^2 + C = 0 \]这个二次方程的判别式D可以表示为：\[ D = AC - B^2 \]3. 判别式的意义和应用判别式D的符号可以告诉我们椭圆和直线的位置关系。

当D>0时，联立方程有两个实数根，说明椭圆和直线相交；当D=0时，联立方程有一个实数根，说明椭圆和直线相切；当D<0时，联立方程没有实数根，说明椭圆和直线没有交点。

通过判别式，我们可以很方便地判断椭圆和直线的位置关系，从而解决相关的几何问题。

4. 解题方法和个人理解在实际解题中，我们可以先将椭圆和直线的方程联立，然后利用判别式D来判断它们的位置关系，最后根据具体情况求出交点的坐标。

个人认为，判别式提供了一种非常直观、简便的方法来解决这类问题，能够帮助我们更深入地理解椭圆和直线的几何性质。

总结通过本文的学习，我们深入了解了椭圆和直线联立后得到的判别式的含义、应用以及解题方法。

判别式提供了一种简单而直观的判断椭圆和直线位置关系的方法，为我们解决相关问题提供了很大的帮助。

1.直线与椭圆怎么联立2.圆的诸多性质3.参数方程4.点差法5.极点极线6.仿射7.极坐标应用1.直线与椭圆怎么联立答：设y=kx+b，韦达定理1.为了防止把b看成6，一般设y=kx+m2.定点（0，m）在y轴上，设直线为y=kx+m。

定点（n，0）在x轴上，设直线为x=ky+n。

称仿斜截式。

2.圆的诸多性质--一方面也是为仿射做铺垫切割线定理相交弦定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

第二定义扇形的面积底乘高除以二（弧长乘半径除以二）Apollonius圆平面内到两个定点的距离之比为常数k（k≠1）的点的轨迹是圆，这个圆就是阿波罗圆。

已知：定点M（c,0），N（-c,0），P（x，y）求证：平面内到两个定点M，N的距离之比为常数k（k≠1）的点P的轨迹是圆证明：d1=√[（x-c）²+y²]d2=√[（x+c）²+y²]d1/d2=√[（x-c）²+y²]/√[（x+c）²+y²]=k通分后化简得(k²-1)x²+(k²-1)y²+(k²+1)x+(k²-1)c²=0约分x²+y²+(k²+1)/(k²-1)x+c²=0此形式为圆的一般方程。

3.参数方程怎么搞参数方程一般联立时切勿使用4.点差法5.极点极线定义：对于二次曲线C：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0和一点P（x0，y0）其中A²+B²≠0，P不在曲线的中心和渐近线上用x0*x代x²，yo*y代y²，（x0+x）/2代x，（yo+y）/2代y，得到一条直线方程则称点P和直线l是关于曲线C的一对极点和极线即点P是直线l关于曲线C的极点，直线l是点P关于曲线C的极线。

直线与椭圆
1. 直线与椭圆的位置关系：
直线y＝kx＋m与椭圆＝1（a>b>0）的位置关系判断方法：
联立，消去y得一个一元二次方程。

位置关系解的个数Δ的取值
相交两解Δ>0
相切一解Δ＝0
相离无解Δ<0
2. 弦长公式：
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0），椭圆方程为＝1（a>b>0）或＝
1（a>b>0），直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1），B(x2，y2），则|AB|＝，
∴|AB|＝＝
＝。

或|AB|＝＝
＝。

其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到。

例题对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系。

思路分析：
答案：联立方程组得：＋（x＋m）2＝1，
整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝（8m）2－4×5（4m2－4）＝16（5－m2）
当Δ＞0，即－＜m＜时，方程有两个不同的实数根，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±时，方程有两个相等的实数根，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程无实数根，直线与椭圆相离。

技巧点拨：直线与椭圆的位置关系有相交、相切和相离三种情况，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件。

谈直线和椭圆的公式化解题直线和椭圆的关系是解析几何中的典型题目,是高考中经常出压轴题的考点,大多数学生都害怕解析几何,如何帮助学生突破这一重难点是摆在同行面前的一大难题.其实仔细分析每年的高考试题,我们还是会发现此类题目具有一定规律性.本文将给出试题中常用的一些公式,力求公式化解题,把师生从题海里解放出来,使一些繁杂的化简运算结论化，进而节省出宝贵的时间.从解题思路上来看,解决该类题目最主要的方法是将直线方程与椭圆方程联立.我在这里概括为如下五步：第一步 设直线方程当直线斜率不存在时,此时问题往往比较简单； 当直线斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+. 第二步 联立方程设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,记222n a k b =+,由22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得,222222()0nx a kmx a m b ++-=. 第三步 计算∆的值2224()a b n m ∆=->0……①.师生们每次都要计算的0∆>,等价于20n m ->,即方程的二次项系数减去直线l 在y 轴上的截距的平方.第四步 设交点坐标设直线l 与椭圆C 的交点为11(,)E x y 、22(,)F x y . 第五步 写出和与积222212122(),a km a m b x x x x n n--+=⋅=……②.解决直线和椭圆的有关问题还可能用到如下公式,本文只考虑直线l 斜率存在的情形.1.2222212122(),b m b m a k y y y y n n-+=⋅=……③.2.EF =.大家熟悉的公式是12EF x =-,但求解最终结果的运算量比较大.如果师生掌握了这个公式,就可以运用前面求出的∆的值直接得出结果,从而有效降低运算量.说明：12x x n-=,由一元二次方程20(0,0)ax bx c a ++=≠∆>可得12x x a-==,进而公式④具有一般性.3.121122OEF S m x x m n∆=⋅-=⋅……⑤. 其中o 为坐标原点,以面积为条件的题目往往比较难,以此公式应对可有效降低运算难度. 下面以近几年高考题为例说明上述公式在解题中的应用. 例1（2013年山东文22）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆的面积为4E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP tOE =,求实数t 的值.解:（I ）椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为,y kx m =+得 222(12)42(1)0k x kmx m +++-=,记221n k =+由公式①得28()0,n m ∆=->即2n m > …………（*）设1122A（x ,y ）,B(x ,y ),则由公式③得122+.my y n= 由公式⑤得故224316160n nm m -+=,又12121()(,)(,),22OP tOE t OA OB t x x y y n n==+=++=-因为P 为椭圆C 上的点，所以22222222212(21)[()()]1,12km m k m m t t t n n n n+-+===即， 所以222222443t m n m t m n m ====或，由题意知0t >，从而2t t ==或 当直线AB的斜率不存在时，亦可求得23t t ==或综上，23t t ==或 例2（2012年高考北京文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为, 直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当AMN ∆,求k 的值. 解:（I ）椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）由22142y kx kx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(42)84(2)0k x k x k +-+-=,由公式①得22244242()32(32)0k k k ⎡⎤∆=⨯⨯+--=+>⎣⎦.设1122(,),(,)M x y N x y , 由公式④得MN =又因为点(2,0)A 到直线y kx k =-的距离d =所以AMN ∆的面积为12S MN d =⋅===, 解得1k =±.例3（2011年高考山东理22）已知直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y ,Q ()22,x y 两不同点,且△OPQ 的面积其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明x 12+x 22和y 12+y 22均为定值； （Ⅱ）略； （Ⅲ）略.解：（Ⅰ） 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠,得 222(23)63(2)0k x k m x m +++-=,记232n k =+由公式①得224()0,n m ∆=->即2n m >…………（*）由公式⑤得所以2n =,故224440n nm m -+=,从而22,n m =即22322,k m +=且符合（*）式,当直线l 的斜率不存在时, 亦有222212123,2,x x y y +=+= 综上所述,222212123;2,x x y y +=+=结论成立. 例4（2010年高考山东理21）如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）略；（Ⅲ）是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？ 若存在,求λ的值；若不存在,请说明理由.解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为22184x y +=,双曲线的标准方程为22144x y -=.（Ⅲ）由于1PF 的方程为111(2)=2y k x k x k =++,椭圆的方程为22184x y +=.由公式①得1=∆()()2221114848425121k k k ⎡⎤⨯⨯+-=+⎣⎦.由公式④得1AB ==由于2PF 的方程为222(2)=2y k x k x k =--,椭圆的方程为22184x y +=. 由公式①得2=∆()()2222224848425121k k k ⎡⎤⨯⨯+--=+⎣⎦.由公式④得CD ==2. 则22122212212111()11k k AB CD k k +++=+++,又 121k k ⋅=, 所以22112121212111()111k k AB CD k k +++=+++22112211212()8118k k k k ++=+=++. 故·AB CD AB CD +=. 因此存在8λ=,使·AB CD AB CD λ+=恒成立.例5（2009年高考山东理22）设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （两点,O 为坐标原点,（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由.解:（I ）椭圆E 的方程为22184x y +=.（II ）假设存满足条件的圆,设该圆的切线方程为y kx m =+.而椭圆E 的方程为22184x y +=,284n k =+.由公式①得△=2128()0n m ->,即222840n m k m -=+->. 设1122(,),(,)A x y B x y ,由公式②得2128(4)m x x n -=,由公式③得22124(8)m k y y n-=要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即28(4)m n -+224(8)m k n-=0,所以2238(1)m k =+,从而223808m k -=≥,又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r ===所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤, 当切线的斜率不存在时也满足OA OB ⊥. 综上, 存在满足题目条件的圆,其方程为2283x y +=.由公式④得AB==而2238(1)m k=+,故AB==①当0k≠时||AB=因为221448kk++≥所以22111844kk<≤++,所以2232321[1]1213344kk<+≤++,||AB<≤2k=±时取”=”.②当0k=时,||3AB=.③当AB的斜率不存在时,两个交点为或(,所以此时||AB=,综上, |AB |||AB≤例6（2007年高考山东理21）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.解:(I)椭圆的标准方程为221.43x y+=(II)由22143y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,222(34)84(3)0k x mkx m+++-=,记284n k=+.由公式①得248()0n m ∆=->即22340k m +->设1122(,),(,)A x y B x y ,由公式②得2121284(3),.mk m x x x x n n-+=-⋅=由公式③得22123(4).m k y y n-⋅=以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 即1AD BD k k ⋅=-,1212122y yx x ∴⋅=---,1212122()40y y x x x x +-++=, 从而2223(4)4(3)1640m k m mk n n n--+++=,化简得2271640m mk k ++=,解得1222,7k m k m =-=-,且满足22340k m +->. 当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时,2:()7l y k x =-,直线过定点2(,0).7综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2(,0).7。

直线与椭圆的综合应用直线0=++C By Ax 与椭圆12222=+by a x 联立得：0)(2)(2222222222=-+++B b C a ACx a x B b A a 所以我们有，结论一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a B b C a x x B b A a AC a x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a A a C b y y B b A a BC b y y 22222212212B b A a AB b a y x y x +=+ 结论二：22222222222))((2||B b A a C B b A a B A ab AB +-++= 结论三：0022222>-+⇒>∆C B b A a焦距为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与椭圆C 交于不同两点A,B,且线段AB 的中点M 不在圆椭圆的右顶点C,证明这样的直线l恒过定点,并求出该点坐标.8.已知椭圆C 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,F 1、F 2分别为其左、右焦点,P 在椭圆上任意一点,且P F P F 21⋅的最大值为1,最小值为-2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设A 为椭圆C 的右顶点,直线l 是与椭圆交于M 、N 两点的任意一条直线,若AN AM ⊥,证明直线l 过定点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足0=⋅DB DA ,试判断直线l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.课后习题1.已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为4 （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M 、N 两点，且MN =l 的方程.2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 的面积.3.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为√22,直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C 的方程. (2)当△AMN 的面积为√103时,求k 的值.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=√32. (1)求椭圆C 的方程.(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.求△PAB 面积的最大值.6．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(0，－22)，F 2(0,22)，且离心率e ＝223. (1)求椭圆的方程；(2)直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为－12，求直线l 斜率的取值范围．7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.8.设椭圆C ：+=1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.(1)求C 的方程. (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标.9.已知点P 坐标为（4，2），椭圆方程为193622=+y x ，问：是否存在过点P 的直线，使得直线与椭圆相交的交点的中点恰为P 点？10.设椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过M(2,√2),N(√6,1)两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程.(2)若直线y=kx+4(k>0)与圆x 2+y 2=83相切,并且与椭圆E 相交于A,B 两点,求证:OA →⊥OB →.11.(2016·烟台高二检测)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为√33,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33. (1)求椭圆的方程.(2)设A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C,D 两点.若AC →·DB →+AD →·CB →=8,求k 的值.。