人教版 高中数学【选修 2-1】2.2.1《综合法和分析法》习题及答案

．综合法和分析法
预习课本～，思考并完成下列问题()综合法的定义是什么？有什么特点？
()综合法的推证过程是什么？
()分析法的定义是什么？有什么特点？
()分析法与综合法有什么区别和联系？
[新知初探]
．综合法
．综合法、分析法的区别
[点睛]一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
[小试身手]
．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ()综合法是执果索因的逆推证法．( ) ()分析法就是从结论推向已知．( )
()所有证明的题目均可使用分析法证明．( )
答案：()× ()× ()×
．若＞＞，则下列不等式中不正确的是( )
．＞．＞
＞
．＞
答案：
．欲证－＜－成立，只需证( )
．(－)＜(－) ．(－)＜(－) ．(＋)＜(＋) ．(－－)＜(－)
答案：
．如果＞，则实数，应满足的条件是．
答案：＞＞。

2019人教版精品教学资料·高中选修数学2．2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法．2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性．基础梳理1．综合法．(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．其一般表示形式是由因导果．(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q2．分析法．(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因．(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3．分析综合法．(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，就可以证明结论成立．这种证明方法称为分析综合法．(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：P⇒P1→P1⇒P2→…→P n⇒P′⇓Q m⇐Q′←…←Q1⇐Q2←Q⇐Q1基础自测1．设x，y∈R＋，且x＋y＝6，则lg x＋lg y的取值范围是(B)A．(－∞，lg 6] B．(－∞，2lg 3]C．[lg 6，＋∞) D．[2lg 3，＋∞)解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2xy≤6，即0＜xy≤9，∴lg xy≤lg 9，即lg x＋lg y≤2lg 3.故选B.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a”索的因应是(C)A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐3a2＋ac－(a＋c)2＞0⇐(2a＋c)(a－c)＞0⇐(a－b)(a－c)＞0.故选C.3．已知f(x)＝x2，则f′(3)的值为__________________．解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝2×3＝6.答案：64．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．解析：f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数⇐a－1≤5⇐a≤6.答案：(－∞，6]（一）综合法证题的基本步骤(1)分析题目的条件和结论，寻找已知与结论之间的有关数学公式、公理、定理、定义等，确定解决的初步思路；(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论．（二）分析法证题的步骤以及格式欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，…，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“⇐”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错．（三）分析综合法的综合应用在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤．分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辩证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野．1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．1．“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”应用了(B )A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.2．要证明3＋5＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B ) A ．综合法 B ．分析法 C ．比较法 D ．归纳法解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b 2＞a ＋b2.又因为y ＝lg x 为增函数，所以有m ＞n .答案：m ＞n4．如图，长方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1， AD ＝2，E 是BC 的中点．(1)求证：直线BB 1∥平面D 1DE ； (2)求证：平面A 1AE ⊥平面D 1DE ；(1)证明：在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥DD 1， 又∵BB 1⊄平面D 1DE ， DD 1⊂平面D 1DE ，∴直线BB 1∥平面D 1DE .(2)证明：在长方形ABCD 中， ∵AB ＝AA 1＝1， AD ＝2，∴AE ＝DE ＝ 2.∴AE 2＋DE 2＝4＝AD 2， 故AE ⊥DE .∵在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ACBD ， ∴DD 1⊥AE .又∵DD 1∩DE ＝D ， ∴直线AE ⊥平面D 1DE . 而AE ⊂平面A 1AE ，所以平面A 1AE ⊥平面D 1DE .1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝(D ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．52．在三角形中，a 为最大边，要想得到三角形为锐角三角形的结论，三边a ，b ，c 应满足说明条件(A )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：若三角形为锐角三角形，即∠A 为锐角，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，∴b 2＋c 2－a 2＞0.3．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是{a n }的前n 项和，则(B) A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＞S 5 D ．S 6＝S 5解析：∵a 2＋a 8＝－6＋6＝0，∴a 5＝0，又公差d >0，∴S 5＝S 4.4．要使 3a －3b ＜3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是(D) A ．ab ＜0且a ＞b B ．ab ＞0且a ＞b C ．ab ＜0且a ＜bD ．ab ＜0且a ＜b 或ab >0且a >b解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件． 3a －3b ＜3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b ＜a －b ⇔3ab 2＜3a 2b ，∴当ab ＞0时，有3b ＜3a ，即b ＜a ；当ab ＜0时，由3b ＞3a ，即b ＞a . 所以选D.5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确命题的个数是(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①因为a ∥b ，b ∥α⇒a ∥α或a ⊂α，所以①不正确．②因为a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，当a 与b 相交时，才能α∥β，所以②不正确． ③α∥β，过a 作一平面γ，设γ∩β＝c ，则c ∥a ，又a ⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确．④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确． 综上知③，④正确．6．a ＞0，b ＞0，则下列不等式中不成立的是(D )A ．A ＋B ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥a ＋b D.2aba ＋b ≥ab解析：特殊法，取a ＝1，b ＝4，则D 不成立．7．函数f (x )＝In 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________．解析：因为f (－x )＝In 1＋x 1－x ＝In ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝In 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以f (－a )＝－f (a )＝－b .答案：－b8．设a ＝3＋7，b ＝2＋6，则a 、b 的大小关系为________．解析：由12＋3＞16＋7，化简得2－3＞7－ 6.从而2＋6＞3＋7，即a ＜b答案：a ＜b9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p 与q 的大小关系为________．解析：p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )⎝ ⎛⎭⎪⎫b m ＋d n＝ab ＋nbc m ＋madn＋cd ≥ab ＋cd ＋2abcd ∴q 2≥p 2，∴p ≤q . 答案：p ≤q10．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：x 2＋mx ＋4＜0⇔m ＜－x －4x，∵y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(1，2)上单调递增，∴－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ∈(－5，－4)．∴m ≤5.答案：(－∞，－5]11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2.代入上式得（a ＋c ）24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．12．如下图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .证明：(1)由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知，EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面ABC 而BC ⊂平面ABC . ∴EF ∥平面ABC .(2)由三棱锥ABC ­A 1B 1C 1为直三棱柱知，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1D ⊥CC 1，又A 1D ⊥B 1C .CC 1∩B 1C ＝C ，又CC 1，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1D ⊥平面BB 1C 1C .又A 1D ⊂平面A 1FD ， ∴平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .►品味高考1．(2014·安徽高考)设a＝log3 7，b＝21.1，c＝0.83.1，则(B)A．b＜a＜c B．c＜a＜bC．c＜b＜a D．a＜c＜b解析：∵a＝log3 7，∴1＜a＜2.∵b＝21.1，∴b＞2.∵c＝0.83.1，∴0＜c＜1.故c＜a＜b，选B.π，c＝π－2，则(C)2．(2014·天津高考)设a＝log2π，b＝log12A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞aπ＜0.因为π＞1，解析：因为π＞2，所以a＝log2π＞1.因为π＞1，所以b＝log12所以0＜π－2＜1，即0＜c＜1.所以a＞c＞b.3．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA ⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴ABDE为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD.∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.∴PA⊥CD.又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF.∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.。

人教版高中数学精品资料高中数学 2.2.1综合法与分析法练习 新人教A版选修2-2一、选择题1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定[答案] B[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．2．(2015·长春外国语学校高二期中)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定[答案] C[解析] 取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4， ∴P <Q ，故选C.证明如下：要证P <Q ，只要证P 2<Q 2， 只要证2a ＋7＋2aa ＋<2a ＋7＋2a ＋a ＋，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．3．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥2 3D ．abc (a ＋b ＋c )≤13[答案] B[解析] ∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c D ．不能确定[答案] C[解析] 因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x21－x＜0，所以b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，所以b ＝1＋x >2x ＝a ，所以a <b <c .[点评] 可用特值法：取x ＝12，则a ＝1，b ＝32，c ＝2.5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y2<y ，故排除A 、B 、C ，选D.6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A [解析] a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f (a ＋b2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 二、填空题7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________________．[答案] a >c >b [解析] b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c ，而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2， 所以a >c .也可用a －c ＝22－6＝8－6>0显然成立，即a >c .8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________________． [答案] a ≠b 且a ≥0，b ≥0[解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 三、解答题9．已知n ∈N *，且n ≥2，求证：1n>n －n －1.[证明] 要证1n>n －n －1，即证1>n －n n －，只需证nn －>n －1，∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2， 只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立． 10．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0， 求证：aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m. [证明] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m，只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m＞0即可．∵aa ＋m ＋bb ＋m －cc ＋m＝a b ＋mc ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋mb ＋ma ＋mb ＋mc ＋m，∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， ∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0，∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2， ∵△ABC 中任意两边之和大于第三边， ∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0， ∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0， ∴aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.一、选择题11．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( ) A ．3f (ln2)>2f (ln3) B ．3f (ln2)<2f (ln3) C ．3f (ln2)＝2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定 [答案] B [解析] 令F (x )＝fxx(x >0)，则F ′(x )＝fx －f xx 2，∵x >0，∴ln x∈R ，∵对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )，∴f ′(ln x )>f (ln x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )为增函数，∵3>2>0，∴F (3)>f (2)，即f3>f2，∴3f (ln2)<2f (ln3)．12．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b [答案] D [解析]3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b .∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ； 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a .13．(2014～2015·哈六中期中)若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy ≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m 、n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论：①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是( )个． ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列，∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)构成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.二、填空题15．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0， 则cos(α－β)＝________________. [答案] －12[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ① cos α＋cos β＝－cos γ② ①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1 2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－12.16．(2014～2015·唐山一中高二期末)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式可为________________．[答案] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[解析] 第一个等式右端是一个数，左端是2个数；第二个等式右端是2个数，左端是4个数；第三个等式右端是3个数，左端是6个数，2＝1×2,4＝2×2,6＝3×2，第n 个等式左端的分母从1到2n ，右端分母从n ＋1到2n ；左端奇数项为正，偶数项为负，右端全为正，分子都是1，故第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.三、解答题 17．求证：α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[证明] 要证明原等式成立．即证明sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin β， 又因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原命题成立．18．已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43.[证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ， ∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得 (a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，∴a ＋b >1，要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4，∵a ＋b >0，∴只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )， 又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证：3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)， 也就是证明(a －b )2>0.因为a 、b 是不等正数，故(a －b )2>0成立． 故a ＋b <43成立．综上，得1<a ＋b <43.。

2.2.1综合法与分析法一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是( )A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法[答案] C[解析] 综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项C错误．2．“对任意角θ，都有cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了( ) A．分析法B．综合法C．综合法与分析法结合使用D．间接证法[答案] B[解析] 证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．3．要证明3＋7<25，可选择的方法有下面几种，其中最合理的是( )A．综合法B．分析法C．特殊值法D．以上均不合理[答案] B[解析] 利用分析法易确定命题成立的充分条件．4．欲证2－3<6－7，只需要证( )A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2[答案] C[解析] 将不等式等价转化为2＋7<3＋ 6.由于两边都为正数，所以可平方化简．5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·bm＋dn(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( )A．p≥q B．p≤qC．p>q D．不确定[答案] B[解析] q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A [解析]a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)．二、填空题7．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为________.[答案] m >n[解析] 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b >0，所以a ＋b2>a ＋b2，所以m >n .8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________. [答案] a ≠b 且a ≥0，b ≥0[解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0只需a ≠b 且a 、b 都不小于零即可．9．在算式30－△＝4×□中的△，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，□)应为________.[答案] (10,5)[解析] 设(△，□)为(a ，b )，则30－a ＝4b ， 即a ＋4b ＝30，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·a ＋4b 30＝5＋4b a ＋ab 30≥5＋430＝310， 当且仅当4b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．又有a ＋4b ＝30，可得a ＝10，b ＝5.三、解答题10．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.[分析] 这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结论特点和条件a ＋b ＋c ＝1的合理应用．可用综合法和分析法两种方法证明．[证明] 证法1：(综合法)(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c －1)＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c＝b ＋ca ＋ca ＋babc≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 证法2：(分析法)要证(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8成立，只需证1－a a ·1－b b ·1－cc≥8成立．∵a ＋b ＋c ＝1，∴只需证a ＋b ＋c －a a ·a ＋b ＋c －b b ·a ＋b ＋c －cc≥8成立，即b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥8.只需证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc ≥8成立．而2bc a·2ac b·2ab c≥8显然成立，∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8成立．一、选择题1．在R 上定义运算⊙a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1＋∞)D．(－1,2) [答案] B[解析] x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1. 2．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b [答案] D[解析]3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b .∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ； 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a .3．(2015·哈六中期中)若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B ．4.(2015·某某梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m ，n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论：①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是( )个．( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列，∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)构成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A ．二、填空题5．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则 cos(α－β)＝________.[答案] －12[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ① cos α＋cos β＝－cos γ② ①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1即2cos(α－β)＝－1，所以cos(α－β)＝－12.6．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. [答案] －3 [解析] ∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.三、解答题7．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，证明△ABC 为等边三角形．[证明] ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin C ＝sin(A ＋B )． 又2cos A sin B ＝sin C ，∴2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0.又A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B ． 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴2ab cos C ＝ab ，cos C ＝12，∴C ＝60°.又A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形． 8．已知：a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1.求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2. 下面是证明过程：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8.∵a ＋b ＝1，∴即证2a ＋1·2b ＋1≤2， 只需证(2a ＋1)(2b ＋1)≤4，即证ab ≤14.∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14.∵ab ≤14成立，因此2a ＋1＋2b ＋1≤22成立．试分析找出上述证明过程中的错误，并给予订正． [解析] 上述解法中，对ab ≤14的证明是错误的．因为ab ≤a ＋b2成立的条件是a ≥0，b ≥0，而原题条件是a ≥－12，b ≥－12，不满足上述条件．正确解答为：在错解中，得2a ＋1·2b ＋1≤2. ∵a ≥－12，b ≥－12，∴2a ＋1≥0,2b ＋1≥0. ∴2a ＋1·2b ＋1≤2a ＋1＋2b ＋12＝2a ＋b ＋12＝2，即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．。

高中数学人教版选修1-2 第二章推理与证明 2.2.1 综合法和分析法选择题下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的表述有（? ）A．2个B．3个? C．4个? D．5个【答案】C【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．选择题要证明，可选择的方法有多种，其中最合理的是（? ）A．综合法? B．类比法?C．分析法D．归纳法【答案】C【解析】要证，只需证2a＋7＋＜2a＋7＋，只需证，只需证a（a＋7）＜（a＋3）（a＋4），只需证0＜12，故选用分析法最合理．选择题命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ）（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的过程应用了（? ）A．分析法B．综合法C．综合法与分析法结合使用D．间接证法【答案】B【解析】这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用综合法，故选B.选择题已知y>x>0，且x＋y＝1，那么（? ）A．xx>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则，2xy＝，∴x，若f（a）＝b，则f（－a）等于（? ）A．b B．－bC.? D．【答案】B【解析】∵f（－x）＝＝－f（x），∴函数f（x）是奇函数，∴f（－a）＝－f（a）＝－b.选择题已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的（? ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件? D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，∵A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.选择题设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有（? ）A．1≤ab≤B．ab2ab，即>ab，可排除A、D.又.故选B．选择题已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（? ）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内【答案】C【解析】由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．填空题设e1、e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.【答案】6【解析】A、B、C三点共线，则＝λ，即2e1＋ke2＝λ（e1＋3e2）．∴λ＝2，k＝6.填空题如图所示，在直四棱柱中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）．【答案】对角线互相垂直【解析】本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．填空题若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，，a2＋b2，2ab 中最大的是________．【答案】a＋b【解析】由0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，得a＋b＞，a2＋b2＞2ab.又a＞a2，b＞b2，所以a＋b＞a2＋b2，从而a＋b最大．解答题设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.【答案】见解析【解析】证明：证法一（分析法）：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．只需证（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b）成立，又因为a＋b ＞0，所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立，只需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证（a－b）2＞0成立．而a≠b，则（a－b）2＞0显然成立．由此命题得证．证法二（综合法）：a≠b?a－b≠0?（a－b）2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab.注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，可得（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b），∴a3＋b3＞a2b＋ab2.解答题已知a＞0，b＞0，用两种方法证明：.【答案】见解析【解析】证明：证法一（综合法）：因为a＞0，b＞0，所以，所以.证法二（分析法）：要证，只需证，即证，因为a＞0，b＞0，a－b与同号，所以成立，所以成立．解答题在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．【答案】见解析【解析】证明：由A、B、C成等差数列，得2B＝A＋C.? ①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ②由①②，得B＝，③由a、b、c成等比数列，得b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.将④代入，可得a2＋c2－ac＝ac，即（a－c）2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．。

第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第2课时分析法A级基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是( )A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．答案：C2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a，则证明的依据应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是 ( )A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.答案：C4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m⊂α解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．答案：D5．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，则P，Q，R的大小关系是 ( )A．P>Q>R B．P>R>QC．Q>P>R D．Q>R>P解析：先比较Q与R的大小．Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)．因为(7＋2)2－(6＋3)2＝7＋2＋214－(6＋3＋218)＝2(14－18)<0，所以Q<R.又P＝2>R＝2(3－1)，所以P>R>Q.答案：B二、填空题6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b7．当x>0时，sin x与x的大小关系为________．解析：令f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)>f(0)＝0，则x>sin x.答案：x>sin x8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1­ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证明A1C⊥B1D1只需证明B1D1⊥平面A1C1C因为CC1⊥B1D1只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1从而得B1D1⊥A1C1.答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)三、解答题9．已知a >1，求证：a ＋1＋a －1<2a .证明：因为a >1，要证a ＋1＋a －1<2a ，只需证(a ＋1＋a －1)2<(2a )2，只需证a ＋1＋a －1＋2（a ＋1）（a －1）<4a ， 只需证（a ＋1）（a －1）<a ，只需证a 2－1<a 2，即证－1<0.该不等式显然成立，故原不等式成立．10．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α. 证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立． 只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．B 级 能力提升1．设a ，b ，c ，d 为正实数，若a ＋d ＝b ＋c 且|a －d |<|b －c |，则有( )A ．ad ＝bcB ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad ≤bc 解析：∵|a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc ①又a ＋d ＝b ＋c∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ②由②－①，得4ad >4bc ，即ad >bc .答案：C2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝3a －4a ＋1，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )是周期为3的奇函数，且f (1)>1，所以f (2)＝f (－1)＝－f (1)，因此3a －4a ＋1<－1，则4a －3a ＋1<0， 解之得－1<a <34.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，343．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，证明：a x ＋c y ＝2. 证明：要证明a x ＋c y ＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，也就是证明2ay ＋2cx ＝4xy .由题设条件b 2＝ac ，2x ＝a ＋b ，2y ＝b ＋c ，所以2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋(a ＋b )c ＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋bc ＋ac ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy 成立，故a x ＋c y ＝2成立．。

选修2-2 2.2 第1课时 综合法与分析法一、选择题1．证明命题“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下： ∵f (x )＝e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝e x －1e x . ∵x >0，∴e x >1,0<1e x <1 ∴e x －1e x >0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是 [答案] A[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a 索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 [答案] C[解析] 要证b 2－ac <3a只需证b 2－ac <3a 2只需证b 2－a (－b －a )<3a 2只需证2a 2－ab －b 2>0.只需证(2a ＋b )(a －b )>0，只需证(a －c )(a －b )>0.故索的因应为C.3．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( ) A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定 [答案] B[解析] q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A [答案] A[解析]a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 5．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<cos α＋cos β[答案] D[解析] ∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cos α＞cos(α＋β)又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．6．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.7．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y [答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y 2<y ，故排除A 、B 、C.8．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14； ③b a ＋a b ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] C[解析] ∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0 a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≤0， (a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2.∴应选C.9．若x ，y ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2B. 2 C ．2D ．1 [答案] B[解析] 原不等式可化为a ≥x ＋y x ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y ＝1＋2xy x ＋y要使不等式恒成立，只需a 不小于1＋2xy x ＋y 的最大值即可． ∵1＋2xy x ＋y≤2，当x ＝y 时取等号，∴a ≥2， ∴a 的最小值为 2.故应选B. 10．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x 2，C (x )＝a x ＋a －x 2，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③C (x ＋y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )；④C (x －y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④[答案] D [解析] ∵S (x )＝a x －a －x 2，C (x )＝a x ＋a －x 2， ∴S (x ＋y )＝a x ＋y －a －x －y 2，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2 ＝a x ＋y ＋a x －y －a y －x －a －x －y ＋a x ＋y －a －x －y ＋a y －x －a －x －y 4 ＝2(a x ＋y －a－x －y )4＝a x ＋y －a－x －y 2.∴S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )同理：S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )C (x ＋y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )C (x －y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．应选D.二、填空题11．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________．[答案] a ≥0，b ≥0且a ≠b[解析] ∵a a ＋b b ＞a b ＋b a⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 12．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． [答案] ≤[解析] ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0 ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， ∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 13．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________． [答案] 12≤a ≤32[解析] |x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(a －1，a ＋1)则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤12a ＋1≥32， (且等号不同时成立)解得12≤a ≤32. 14．给出下列不等式：①a >b >0，且a 2＋b 24＝1，则ab >a 2b 2； ②a ，b ∈R ，且ab <0，则a 2＋b 2ab≤－2； ③a >b >0，m >0，则a ＋m b ＋m >a b； ④⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4(x ≠0)． 其中正确不等式的序号为________．[答案] ①②④[解析] ①a >b >0，∴a ≠b 2∴a 2＋b 24＝1>2a 2·b 24＝ab ∴1－ab >0，∴ab －a 2b 2＝ab (1－ab )>0，∴ab >a 2b 2正确．②a 2＋b 2ab ＋2＝(a ＋b )2ab∵ab <0，(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2ab ≤－2，②正确； ③a ＋m b ＋m －a b ＝(b －a )m b (b ＋m )∵a >b >0，m >0，∴b (b ＋m )>0，b －a <0，∴(b －a )m b (b ＋m )<0， ∴a ＋m b ＋m <a b，③不正确． ④⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋4|x |≥4，④正确． 三、解答题15．设a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. [证明] (1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，∴1ab≥4. ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab ＋4＝8，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8. (2)∵a ＋b2≤a 2＋b 22，则a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a ＋b ＋1b 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫1＋21ab 22≥252. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 16．已知a >b >0，求证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b. [证明] 欲证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b成立． 只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b ⇐⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2<(a －b )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2 ⇐a －b 2a <a －b <a －b 2b ⇐a ＋b 2a <1<a ＋b 2b⇐1＋b a <2<1＋a b ⇐b a <1<a b ⇐b a <1<a b. ∵a >b >0，∴b a <1<a b 成立．从而，有(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b. 17．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0， 求证：aa ＋m ＋b b ＋m ＞c c ＋m. [证明] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －c c ＋m ＞0即可 ∴a a ＋m ＋b b ＋m －c c ＋m ＝a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2∵△ABC 中任意两边之和大于第三边∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0∴aa ＋m ＋b b ＋m ＞c c ＋m .18．若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . [证明]要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )， 即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ac >0，且上述三式中等号不能同时成立．所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc 成立，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立．。

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法课时过关·能力提升1.下面叙述正确的是()A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法,分析法是间接证法C.综合法、分析法都是从要证的结论出发D.综合法、分析法都是从已知条件出发答案:A2.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,若当x≤1时,f(x)=(x+1)2-1,则当x>1时,f(x)的解析式为()A.f(x)=(x+3)2-1B.f (x)=(x-3)2-1C.f(x)=(x-3)2+1D.f(x)=(x-1)2-1解析:设x>1,P(x,y)为函数y=f(x)图象上任一点,则P关于x=1的对称点P'(2-x,y)在函数y=(x+1)2-1的图象上,所以y=(2-x+1)2-1=(x-3)2-1.答案:B3.用max{a1,a2,a3,…,a n}表示数集{a1,a2,a3,…,a n}中最大的一个数,则对于a>0,b>0,且a≠b,maABC解析:∵a2+b2>2ab,∴2(a2+b2)>(a+b)2..答案:C4.如果f(x)A.1B.-1C.0D.±1解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),a=1.答案:A★5.设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(x)=A.-3B.3C.-8D.8解析:因为f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,由偶函数的性质可知:若f(x)=:①x由①知x2+3x-3=0,故其两根之和为x1+x2=-3;由②知x2+5x+3=0,故其两根之和为x3+x4=-5.因此满足条件的所有x之和为-8.答案:C6.函数y=f(x)在区间(0,2)内是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是.解析:∵y=f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(-x+2).∴x=2是f(x)图象的对称轴.又f(x)在区间(0,2)内是增函数,∴f(1)<f(1.5)=f(2.5),f(0.5)=f(3.5)<f(1).∴f(3.5) <f(1)<f(2.5).答案:f(3.5)<f(1)<f(2.5)7.命题“如果数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n,那么数列{a n}一定是等差数列”.(填“成立”或“不成立”)答案:成立★8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)>0,对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)+2=f(x1)·f(x2),且f(1)=2,则f(2)=.若令f(x1)=a,f(x2)=b,且f(x1+x2)=a+b,则a+b的取值范围是.解析:f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)-2=2×2-2=2.∵f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)-2,∴a+b=ab-2.又ab≤∴a+b≤∴(a+b)2-4(a+b)-8≥0,解得a+b≥2+a+b≤2-但a>0,b>0,∴a+b>0.∴a+b∈[2+答案:2[2+ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用综合法和分析法证明∠B为锐角.分析由于已知条件为边的关系,而证明的结论是角的问题,故需借助正(余)弦定理,应用三角函数的知识进行证明.证明证法一(分析法):要证明∠B为锐角,只需证cos B>0.因为cos B所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.又因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2.由已知2ac=b(a+c),所以只需证明b(a+c)>b2,即需a+c>b成立.因为在△ABC中,恒有a+c>b成立,所以∠B为锐角.证法二(综合法):由题意则b又因为a+c>b,所以b(a+c)=2ac>b2.因为cos B又y=cos x在(0,π)上单调递减,所以∠B所以∠B为锐角.★10.已知数列{a n}满足a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n(n∈N+).(1)证明数列{a n+1-a n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)若数列{b n}满∈N+),证明{b n}是等差数列.分析利用综合法、分析法并结合数列、不等式等知识进行证明即可.(1)证明因为a n+2=3a n+1-2a n,所以a n+2-a n+1=2(a n+1-a n).所∈N+).因为a1=1,a2=3,所以a2-a1=2.所以数列{a n+1-a n}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1),得a n+1-a n=2n(n∈N+),所以a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N+).(3)证明因所2[(b1+b2+…+b n)-n]=nb n, ①2[(b1+b2+…+b n+b n+1)-(n+1)]=(n+1)b n+1.②②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n,即(n-1)b n+1-nb n+2=0, ③nb n+2-(n+1)b n+1+2=0.④④-③,得nb n+2-2nb n+1+nb n=0,即b n+2-2b n+1+b n=0,所以b n+2-b n+1=b n+1-b n(n∈N+).所以{b n}是等差数列.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．等价条件解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件．2．要证明3＋7＜25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．分析法C ．类比法D ．归纳法解析：选B.从数据来看宜用分析法．3．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥βB ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ⊂αC ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥βD ．m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α解析：选D.A ：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B ：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C ：这两个平面有可能平行或重合；D ：是成立的，故选D.4．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x 、y 的关系是( ) A ．x ＞y B ．x ＜yC ．x ＞2yD ．不确定解析：选B.∵x ＞0，y ＞0，要比较x ，y 的大小，只需比较x 2，y 2的大小，即比较a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小，∴a 、b 为不相等的正数， ∴2ab ＜a ＋b .∴a ＋b ＋2ab 2＜a ＋b ， 即x 2＜y 2，∴x ＜y .5．(2013·张家口高二检测)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac ＜3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0解析：选C.要证明b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，只需证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，只需证－2a 2＋ac ＋c 2＜0，即证2a 2－ac －c 2＞0，即证(a －c )(2a ＋c )＞0，即证(a －c )(a －b )＞0.6．(2013·福州高二检测)已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2，则由题意知f (1)＜0，即12＋(k －3)×1＋k 2＜0，则得－2＜k ＜1.答案：(－2,1)7．(2013·济南高二检测)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值为________． 解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，得2－(x ＋y )＝xy ≤(x ＋y 2)2， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 的最小值为23－2.答案：23－28．命题“若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0”，则cos(α－β)等于________．解析：条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－12. 答案：－129．设函数f (x )对于定义域R 内任意实数都有f (x )≠0，且f (x ＋y )＝f (x )·f (y )成立． 求证：对于定义域内的任意x 都有f (x )＞0.证明：∵f (x )在定义域R 上任意实数都有f (x )≠0且f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，∴对于任意x ∈R ，有f (x )＝f (x 2＋x 2)＝f (x 2)f (x 2)＝f 2(x 2)＞0， 故有f (x )＞0.10．设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10.求证log a c ＋log b c ≥4lg c .证明：由于a ＞1，b ＞1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lg c ，只要证明lg c lg a ＋lg c lg b≥4lg c ．又c ＞1，lg c ＞0，所以只要证明1lg a ＋1lg b ≥4，即lg a ＋lg b lg a lg b≥4. 因为ab ＝10，所以lg a ＋lg b ＝1，故只要证明1lg a lg b≥4，① 由于a ＞1，b ＞1，所以lg a ＞0，lg b ＞0，所以0＜lg a lg b ≤(lg a ＋lg b 2)2＝14，。

课时作业18 综合法与分析法知识点一综合法和分析法的概念1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个答案 C解析由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．2．要证明a＋a＋7＜a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A．综合法 B．类比法C．分析法 D．归纳法答案 C解析用综合法直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．3．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x －x ln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．答案综合法解析证明过程利用已知条件，通过导数与函数的单调性之间的关系，推导出“f(x)在区间(0,1)上是增函数”的结论，故应用的证明方法是综合法.知识点二综合法和分析法的应用4.已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.(要求用两种方法证明)证明综合法：因为a＞0，b＞0，所以ab＋ba－a－b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝(a－b)·⎝⎛⎭⎪⎫1b－1a＝a－b2a＋bab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.分析法：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)(a－b)≥0成立，所以原不等式成立．5．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219＜2. 证明 因为1log b a＝log a b ， 所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360＜log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219＜2. 6．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 要证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9， 只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－a ≥9， 只需证明(a ＋1)(2－a )≥9a (1－a )，即证(2a －1)2≥0，∵(2a －1)2≥0成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.一、选择题1．用分析法证明不等式：欲证①A ＞B ，只需证②C ＜D ，这里①是②的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分条件D ．必要条件答案 D解析 因为②⇒①，但①不一定推出②，故选D.2．A 、B 为△ABC 的内角，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A ＞0，sin B ＞0，∴sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B .3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B.a 2＋b 22＜ab ＜1 C.a 2＋b 22＜ab ＜1 D ．ab ＜1＜a 2＋b 22答案 D解析 取a ＝12，b ＝32，则a ＋b ＝2，这时a 2＋b 22＝14＋942＝54＞1. ab ＝12×32＝34＜1.∴ab ＜1＜a 2＋b 22.4．设sin α是sin θ，cos θ的等差中项，sin β是sin θ，cos θ的等比中项，则cos4β－4cos4α的值为( )A ．－1 B.12 C. 3 D ．3 答案 D解析 由已知条件，得sin α＝sin θ＋cos θ2，sin 2β＝sin θcos θ. 消去θ，得4sin 2α＝1＋2sin 2β，由二倍角公式，得cos2β＝2cos2α.又cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝2cos 22β－1－4(2cos 22α－1)＝2cos 22β－8cos 22α＋3＝2(2cos2α)2－8cos 22α＋3＝3，故选D.5．已知a 、b 、c 、d 为正实数，且a b <c d ，则( )A.a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋c b ＋d <a b <c dC.a b <c d <a ＋c b ＋dD ．以上均可能 答案 A 解析 先取特值检验，∵a b <c d ，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <c d. ∴B 、C 不正确． 要证a b <a ＋c b ＋d，∵a 、b 、c 、d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <c d 成立，∴a b <a ＋c b ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d. 故A 正确，D 不正确．二、填空题6．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案 332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴f A ＋f B ＋f C3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b ＞a b ＋b a .8．已知函数y ＝x ＋2ax 在[3，＋∞]上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92解析 若y ＝x ＋2ax 在[3，＋∞)上是增函数，则y ′＝1－2ax 2在[3，＋∞)上大于等于0恒成立，只需x ∈[3，＋∞)时2ax 2≤1恒成立，即2a ≤x 2，只需2a ≤(x 2)min ＝9，所以a ≤92.三、解答题9．证明函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．证明 ∵x 2＋1＞|x |，∴x 2＋1＋x ＞0恒成立，∴f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )的定义域为R ，∴要证函数y ＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数，只需证f (－x )＝－f (x )，只需证log 2(x 2＋1－x )＋log 2(x 2＋1＋x )＝0，只需证log 2[(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝0，∵(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )＝x 2＋1－x 2＝1，而log 21＝0，∴上式成立，故函数f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )是奇函数．10．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过点P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤2x －2.解 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b x .由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0，f ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －x ＋x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x ＞0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.。