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第十四章 幂级数

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第十四章 幂级数选择题1．xnnn 21=∞∑的收敛区间为( )(A) (-1,0) (B) [0,1] (C) [-1,1] (D) (-1,1) 2．f(x)=ln(2+x)展开成x 的幂级数是( )(A) ln2+()--=∞∑1211n n n nxn (B) ln ()21211⋅-⋅-=∞∑n n n nxn(C) 1+()--=∞∑111n n nxn(D)()ln ()--=∞∑12211n n nn x 3．函数f(x)=e x-2展开成x 的幂级数为( ) (A) 1+x+xx2323!!++ (B) 1-x+xx2323!!-+(C) 1+x 2+xx4623!!++ (D) 1- x 2+xx4623!!-+4．已知a x n n n =∞∑1在x= -2处收敛, 则在x=3/2处此级数(A)收敛 (B)发散 (C)可能收敛 (D)可能发散5．级数()()11112+-=∞∑n nnn x 的收敛半径R=(A) 1 (B) e (C) e -1 (D)e -26．.级数x nn n 21=∞∑的收敛域为( )(A) (-1,1) (B)(-1,1] (C) [-1,1) (D)[-1,1]7．下述展开式正确的是( )(A) e x xxn xn=+++++122x ∈R(B) e xnx xxn =+++++122!! x ∈[-1,1](C) e x xxn xn=+++++122!!x ∈R(D) e=1+1+12131++++ n8．下列级数在所示区间上不一致收敛的是( )(A) ∑-∞=2)!1(n nn xx ∈[-r.r] (r>0) (B) ∑∞=12n n nx x ∈[0,1](C) ∑+-∞=-1221)1()1(n nn x xx ∈(-∞+∞,) (D) ∑∞=1n nxn 0<r ≤x ≤19．.级数xnnn =∞∑1的收敛域为( )(A) (-1,1) (B) [-1,1) (C) (-1,1] (D) [-1,1]填空题1．在(-1,1) 内,级数()--=∞∑111n n n xn的和函数是________ ,级数()--=∞∑11311n n nn 的和为______________2．设|x|<1 ,级数xn n 21+=∞∑的和函数是_________,()-=∞∑102n n n x 的和函数是__________3．级数xnn n -=∞∑11的和函数为______________4．.级数()()x x n n nn 2111+++=∞∑的收敛域是___________________.5．.级数()x nnn -=∞∑321的收敛域是6． 幂级数∑∞=+01n nn x的收敛区间是______________.7．ext-⎰2dx 的幂级数展开式为_______________8．arctgx 的幂级数展开式为________________________计算题1． 将d dxe dt xtx()2⎰展开成x 的幂级数2．求级数∑+∞=0)12(n nx n 的和函数3．求级数xnnn =∞∑1 的收敛区间,并求和函数4．求级数xn n nn ⋅=∞∑21的收敛半径和收敛区间。

5．将f x x()=+11展成()x -3的幂级数，并确定其收敛区间。

6．.函数f(x)=1322x x -+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛区间 7．.将函数f(x)=162xx -- 展开成x 的幂级数,并确定收敛区间.证明题1． 设a n >0,A a n n k k n===∑012(,,,) 且 A n →+∞,a A n n→0证明a x n n n =∞∑0的收敛半径为1(10分)应用题1、.利用幂级数的展开式求limln()n nnxdx →∞+⎰1111.选择题答案1．D 2．C 3．D 4． A 5．C 6．D 7． C8．D 9．B填空题答案1．ln (1+x), ln (4/3). 2．xx x 11122-+,3． -+ln()1x x4．[-1,0] 5．[2,4] 6．[-1,1)7．x xxxn xn nn -+-++-+++11312513712135721!!!()!8．x xxxn nn -+++-+++352135121()计算题答案1． ex2=102n xn n!=∞∑且收敛半径为+∞ (得3分)∴=⎰⎰∑=∞e dt xt n dtxtxnxn 220!=xn n nn 2021!()+=∞∑(得5分)∴=+⎰∑-=∞d dxe dt xnn n xtxn n []()!2211221 (得8分)2．时级数发散而当1,1112lim±==∴=+∞→x R n nn (得3分))1,1(-∴级数收敛域为令s(x)=∑⎰-+'=∑+∑=∑+∞=-∞=∞=∞=10111)(22)12(n x n n nn nn nxdx nxx xnxx n (得5分)=)11()1(111)1(211)(221<<--+=-+'-=-+'∑∞=x x x xxx x xx x n n (得8分)3．解:由limlimn n nn a a n n R →∞+→∞=+=∴=1111 (得2分)x=-1是交错级数, 收敛 x=1调和级数,发散)1,1[-∴收敛区间为 (得4分)又xntdt tdt tdt n n n xn n n xx=∞-=∞-=∞∑⎰∑∑⎰⎰===-1111111()=-ln(1-x) 即和函数为-ln(1-x) -1≤x<1 (得7分) 4．解: 2212)1(2limlim11=∴=+=+∞→+∞→R n n a a n n n nn n (得2分)当=-2时,级数为交错级数()!-=∞∑11n nn 收敛, 当x=2级数为11nn =∞∑是调和级数发散,故级数的收敛区间为[-2,2) (得7分)5．431141)3(4111-+=-+=+x x x(得2分)1||,110<=-∑∞=x xxn n(得3分)nn nx x )43()1(43110∑∞=--=-+∴ (得4分)故1114134+=--=∞∑xx nn n()()=()()--+=∞∑1431nn n nx71,143<<-<-x x (得7分)6．解:f x x x x x ()()()=--=---1121211(得2分)而12121121221x x x nn n -=-⋅-=-+=∞∑ x ∈(-2,2) (得4分)11110x xx nn -=--=-=∞∑ x ∈(-1,1)因此 f(x)=21211n n n nx ++=∞-∑x ∈(-1,1) (得6分)7．解：f(x)=-151312-++⎛⎝⎫⎭⎪xx (得2分)131311313133322-=-=+++++⎛⎝ ⎫⎭⎪xx x x xnn . =13x n nn 3=∞∑-3<x<3 (得3分)()1212112121221222+=+=-+++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥x x x x xn nn=nnn nx 2)1(210∑∞=- -2<x<2 (得4分)所以f(x)=-+-=∞=∞∑∑15133121200[()x x nn n nn nn=-+-+=∞+∑15131211[()]n n nn nx -2<x<2 (得6分)证明题答案1。

证明：1 lim (1-)lim0,n n n n nnA a A A -→∞→∞==1l i m1.n n nA A-→∞∴=……………(2分) 又：1l i l i m 1,n n n nA A-→∞→∞== ……………( 5分)而l i l , (n n →∞→∞=利用迫敛性可以证明。

） (8))lim1.n →∞∴= ……………(10分)结论成立。

应用题答案1、令1xt =,则1111nxdx nln()+⎰=21311nt tdt nln()+⎰(得2分)=212023311nt t t tdt n-+⎰()=211121011ntt n(ln )()--+ (得4分)=22)1(0ln 21→+-nnn (得6分)。

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幂级数

幂级数


k −1
=
1 在 x < 2 上成立， x2 1− 2
所以： f ( x ) = f ( 0 ) +
∫
x
0
f ′ ( t ) dt = ∫
x
0
1 1 2+x ， x < 2， dt = ln 2 t 2 2−x 1− 2 1 2 +1 = 2 ln ln 2 2 −1
最后我们求得：
∑ 2 ( 2k − 1) = f (1) =
则在 ( x0 − R, x0 + R ) 上，函数 S ( x ) 可导，且有：
S ′ ( x ) = ∑ nan ( x − x0 )
n =1
∞
n −1
， ∫ S ( t ) dt = ∑
x x0
an n +1 ( x − x0 ) 。 n =0 n + 1
∞
此定理也是由于一致收敛级数之性质而来的。 例4. 由幂级数
高等微积分讲义
第9讲
幂级数的定义与性质
∑a (x − x )
n =0 n 0 ∞ n
幂级数是指形如
的函数项级数， 由于形式相对简单因而其性质也较容易
研究清楚，并且具有一些一般函数项级数所没有的特殊性质。
1
对于级数
收敛性与收敛半径
∑a (x − x )
n =0 n 0
∞
n
，令： lim n an x − x0
∑( x − x )
n=0
0
∞
n
级数的收敛半径为 1，当 x − x 0 = ±1 时，级数均发散，所以级数的收敛区间 为 ( x0 − 1, x0 + 1)
∞
例2. 考虑级数
数学分析2课件：14-1 幂级数

数学分析2课件：14-1 幂级数


n1 2
原级数的收敛域为 ( 2, 2).
定理3（Cauchy-Hadamard定理）
如果幂级数 an x n 的所有系数an 0 ,
n0
设
lim n
n
an
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
二、幂级数的一致收敛性
定理4 : 证
若 an xn收敛半径为R 0,则在( R, R)内的
n0
收敛，则 an xn在[0，R](或[ R,0])一致收敛。
n0
证 设 an xn在x R收敛，
n0
由 | an xn || an Rn |, 用优级数法，可否？
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(-R, R)称为幂级数的收敛区间.
幂级数的收敛域为下列4种情况之一：
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛域(,).
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
n2
lim an1 lim 2 n 2 n an n n 1
R 1, 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
收敛
故收敛域为(0,1].
(3) 当 时,R 0 .
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
幂级数经典课件

幂级数经典课件


收敛域的性 质：收敛域 是一个开区 间且包含原 点
收敛域的应 用：在函数 分析、微积 分等领域有 广泛应用
幂级数的收敛域的性质
收敛半径：幂级 数在收敛域内收 敛
收敛域：幂级数 在收敛域内收敛 且收敛半径为R
收敛半径的性质： 收敛半径R是幂级 数收敛域的半径
收敛域的性质：收 敛域是幂级数收敛 的区间且收敛半径 为R
幂级数的性质
收敛性：幂级数 是否收敛取决于 其收敛半径
解析性：幂级数 在其收敛半径内 解析
幂级数的和：幂级 数的和等于其收敛 半径内的解析函数
幂级数的展开：幂 级数可以展开为泰 勒级数或其他幂级 数形式
幂级数的收敛性
收敛性定义：幂级数在收敛区间内其部分和数列的极限存在 收敛性判别：使用比值判别法、根判别法、积分判别法等 收敛性应用：在函数逼近、数值分析、微分方程求解等领域有广泛应用 收敛性研究：幂级数的收敛性是数学分析中的重要课题有许多研究成果和理论
幂级数的求和的定义与性质
幂级数的求和： 将无穷多个幂 级数项相加得 到新的幂级数
求和的定义： 求和是指将无 穷多个幂级数 项相加得到新
的幂级数
求和的性质： 求和后的幂级 数具有与原幂 级数相同的收 敛半径和收敛
域
求和的应用： 求和在解决数 学问题、物理 问题等方面有
广泛应用
幂级数的求积的定义与性质
幂级数在解决初等数学问题中的应用
幂级数在微积分中的应用
幂级数在函数逼近中的应 用
幂级数在数值分析中的应 用
幂级数在概率论中的应用
幂级数的展开式的定义
幂级数：由无穷多个项组成的函数 展开式：将幂级数表示为无穷多个项的和 展开式形式：_0 + _1x + _2x^2 + ... 展开式的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用
幂级数的知识点总结

幂级数的知识点总结

幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。

我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。

当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。

当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。

2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。

收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。

3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。

我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。

二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。

2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。

具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。

三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。