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第五节 函数的幂级数展开从前一节可以知道，如果幂级数∑∞=-00)(n n nx x a的收敛半径R >0, 那么它的和函数在收敛区间（x 0-R ，x 0+R ）上 有任意阶导数，在收敛域上内闭一致收敛. 当在收敛域上有和函数∑∞=-=)()(n nn x x a x f 时，有),3,2,1,0(,!)(0)(ΛΛ==n a n x f n n .也就是说∑∞=-00)(n nn x x a 可以写成∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f. 显然只用到f (x )在x 0点有任意阶导数的条件. .反之, 如果（x 0-R ，x 0+R ）上的函数f (x ) 在x 0点有任意阶导数, 能否在（x 0-R ，x 0+R ）上被表示为一个幂级数的和函数 ? 先看一个例子.00)(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧=-x x ex f x,在（—∞,+∞）上有任意阶导数, ),3,2,1,0(,0)0()(ΛΛ==n fn ,那么ΛΛΛΛ+++++=∑∞=n n n n x n x x x n f!!20!100!)0(20)( 在（—∞,+∞）上一致收敛于和函数S (x )= 0, 但对一切x ≠0, S (x )≠f (x ).在什么条件下∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f的和函数在一个非空开区间上等于f (x ) ? 为了方便,我们给出如下的:定义 1 设f (x )在x 0有任意阶导数,那么称∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f为f (x ) 在x 0的Taylor(泰勒)级数 .由于f (x ) 在x 0任意阶导数,那么存在一个r >0, 对于任意正整数n , 有Taylor 公式 :∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()(, x ∈（x 0-r ，x 0+r ）. 其中)(x R n 是余项. 它的Lagrange:型为:10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于x 和x 0 之间 .由此我们可以得到如下的结论:定理 11.26 设f (x )在x 0有任意阶导数, r >0, 那么f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内等于它的Taylor 级数的和函数的充分必要条件是: f (x )在x 0的Taylor 公式余项: )(x R n 满足:对任意( x 0-r ，x 0+r ）内的x 有 0)(lim =∞→x R n n (证明由读者完成).定义 2 设f (x )在x 0有任意阶导数, r >0, f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内等于它的Taylor 级数的和函数, 那么我们说f (x ) 在 ( x 0-r ，x 0+r ）内可以展开成Taylor 级数.并称∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f为f (x ) 在x = x 0 处的Taylor 展开式.或x = x 0 处的幂级数展开式.推论 如果f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内可以展开成Taylor 级数,则Taylor 展开式是唯一的. 即是说,如果f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内是一个幂级数的和函数, 那么f (x ) 在( x 0-r ，x 0+r ）内的Taylor 展开式就是原幂级数(为什么?). 特别, 当x 0=0时, f (x ) 的Taylor 级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f也称为Maclaurin 级数.为了研究是否有Taylor 展开式,我们必须了解Taylor 公式的余项. 虽然我们已知Taylor 公式的Lagrange 余项. 下面还给出Taylor 公式余项的另一个形式—积分形式.引理 . 设r >0, f (x )在x 0在( x 0-r ，x 0+r ）上有任意阶导数, 则对任意正整数n , 有∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( 其中 ⎰-=+xx n n n dt t x t f n x R 0))((!1)()1(.证明 ∑=--=nk k k n x x k x fx f x R 000)()(!)()()(, 那么 ∑=---=nk k k n x x k x f x f x R 100)()()!1()()(')(',∑=---=nk k k n x x k x f x f x R 200)()()!2()()('')('',…………,)()()(0)()()(x f x f x R n n n n -=, )()()1()1(x f x R n n n++=,并0)()(")(')(0)(000=====x R x R x R x R n n n n n Λ.重复使用分部积分得到:⎰⎰⎰---=-==xx n xx n xx n xx n n dt t R x t x t t R x t d t R dt t R x R 0)('')())((')()(')(')(⎰⎰--=-=xx n x x n t x d t R dt t R t x 002)()(''!21)('')( ΛΛ=-=⎰xx n dt t x t R 02))(('''!21⎰⎰-=-=++xx n n x x n n n dt t x t f n dt t x t R n 00))((!1))((!1)1()1(. 得证. 从这个余项积分表达式中由于nt x )(-保持不变号,在[x , x 0] 或[x 0, x ]上对)()1(t f n +应用积分中值定理得,存在介于x 和x 0 之间的ξ,有10)1()1()()!1()()(!)()(0+++-+=-=⎰n xx n nn n x x n f dt t x n f x R ξξ, 这就是Lagrange 余项. 同样也可以写成.10,)()!1())(()(1000)1(≤≤-+-+=++θθn n n x x n x x x fx R如果在[x , x 0] 或[x 0, x ]上对)()1(t f n +n t x )(-应用积分中值定理得,存在介于x 和x 0 之间的ξ,有)()()!1()(!))(()(0)1()1(0x x x n f dt n x f x R xx nn nn n --+=-=⎰++ξξξξ, 也可写成.10,)()1()!1())(()(1000)1(≤≤--+-+=++θθθn n n n x x n x x x fx R这个形式的余项被称为Cauchy 余项.下面将给出基本初等函数在x=0处的Taylor 展开式.也叫做Maclaurin 展开式(1) 求k 次多项式函数kk x c x c x c c x f ++++=ΛΛ2210)(的Taylor 展开式 .解 ),,2,1,0(,!)0()(k n c n fn n Λ==, )(,0)0()(k n f n >=.所以余项 )(,0)0(k n R n >=, 显然 ,0)0(lim =∞→n n R 故 它的Taylor 展开式为k k x c x c x c c x f ++++=ΛΛ2210)(, x ∈（—∞,+∞）.(2) 有上一节知, xe xf =)(在x=0处的幂级数展开式为∑∞==0!n nxn x e , x ∈（—∞,+∞）.(3) 求x x f sin )(=,在x=0处的幂级数展开式 .由Taylor 公式知道),,(),()!12()1(!3sin 22123∞-∞∈++-+-=++x x R n x x x x n n nΛΛ),,(,10),232sin()!32()(3222∞-∞∈≤≤+++=++x x n x x R n n θππθ对任意∑∞=∞-∞∈0!||),,(n nn x x 是收敛的, 所以一般项趋于0.即得, 对任意x ∈（—∞,+∞）, 0)(lim 22=+∞→x R n n .所以, sin x 在x=0处的幂级数展开式),(,)!12()1()!12()1(!3sin 012123∞-∞∈+-=++-+-=∑∞=++x x n n x x x x n n n n nΛΛΛΛ.(4) 由可逐项可微性得, cos x 在x =0处的幂级数展开式为),(,)!2()1()!2()1(!21cos 0222∞-∞∈-=+-++-=∑∞=x x n n x x x n n n n n ΛΛΛΛ. (4) 同理可得:]1,1(,!)1(!)1(32)1ln(11132-∈-=+-+-+-=+∑∞=++x x n n x x x x x n n n n n ΛΛΛΛ. (5) 设m ≠0的实数, 求mx x f )1()(+=的x =0处的幂级数展开式.当m 是正整数时, nmn mx n n m m m x x f ∑=+--=+=0!)1()1()1()(Λ, x ∈（—∞,+∞）.当m ≠0也不是正整数时,)3,2,1(,)1)(1()1()(1)(ΛΛΛ=++--=-n x n m m m x f m n . ),3,2,1(),1()1()0()(ΛΛΛ=+--=n n m m m f n当记),3,2,1(,!)1()1(ΛΛΛ=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n m m m n m 10=⎪⎪⎭⎫⎝⎛m .所以mx x f )1()(+=在x =0处的Taylor 级数为nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(.注意到11lim 1lim=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→n n m n m n m n n ,所以由D ’Alembert 判别法, 此Taylor 级数的收敛半径R =1. 又它的在x =0处的Taylor 公式为)()1(0x R x k m x n knk m+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∑=. )(x R n 的Cauchy 型为111)1()1(111)1()1(!)()(-++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=m nn n n n n x x x n m n x n x f x R θθθθθ, 0≤θ≤1. 由于n n mx n m x x f ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=0)1()(的收敛半径为R =1. 因此01)1(lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n x n m n . 又因为0≤θ≤1,|x|<1, 我们0≤nx ⎪⎭⎫⎝⎛+-θθ11≤1,和}|)|1(,|}|1m ax {)1(0111----+≤+≤m m m x x x θ,因此,当 |x|<1时, 0)(lim =∞→x R n n .即当|x|<1时,nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(.下面将讨论1±=x 的情况:(a) 当m ≤-1时, !21!|)1()1(|n n n n m m m n m x n m n ⋅⋅⋅≥+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΛΛ=1. 所以 n n x n m ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0发散. 即 n n mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1<x <1., (b) 当-1<m <0时, 当x =1时, ∑∑∞=∞=+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10!)1()1(1n n n n m m m n m Λ是交错级数. 由于 110<+-<n nm ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+-->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--1)!1()()1(!)1()1(n m n n m m m n m n n m m m ΛΛ. 又⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n m m m n n m m m n m 11211111!)1()1(ΛΛΛ, 从而 0lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→n m n , ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m 单调趋于0, 由Leibniz 交错级数判别法.知道 ∑∑∞=∞=+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10!)1()1(1n n n n m m m n m Λ 是收敛的. 当x = -1时,∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n m 是正项级数, 又 n m n n m n m m m n n m m m n m ||1112211||!)1()1(>⋅---⋅⋅-⋅-⋅=+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΛΛ, 由比较判别法, ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n n m 发散.故当-1<m <0时, nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1<x ≤1.. (b) 当m >0时, 111||1lim 11lim >+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→m m n n n n m n m n n n . 由Raabe 判别法得, ∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n m 收敛.这时nn mx n m x ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0)1(, -1≤x ≤1,.综上所述,将一个函数在某点展开成Taylor 级数,可以用间接法,即利用已知的函数的Taylor展开式进行. 另一种方法直接法, 即用Taylor 级数的定义,讨论其收敛域. 例如 nn x n x 205.025.0)1(∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-, |x |<1 , 那么 12!!2!)!12(125.0)1(arcsin 12112005.02+-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+∞=+∞=-∑∑⎰n x n n x n x n dt t x n n n n x,|x |≤1,.其中用Raabe 判别法,判断|x |=1时,右边的级数也是收敛. 例如 求21)(x x f =在x =1点的幂级数展开式. 当|x -1|<1时, ∑∞=-=-+=0)1(1111n n x x x , 两边求导, ∑∞=---=-112)1(1n n x n x ,即 )2,0(,)1()1(1112∈--=∑∞=-x x n x n n n .习题 11-51． 将下列函数在给定的点展开成Taylor 级数1）x 3cos ，（x =1）； 2）2sin 2x ex +,(x =0) ；3) )1ln(2x x ++,,(x =0) ； 4))1)(1(3x x x--, (x =0) ； 5) xa -1, (x =b ≠a ) ； 6) 1322+-x x x , (x =2) ；7) xxe-,(x =0) ； 8) )1(ln 2x -,,(x =0) ；2． 将下列函数展开成Maclaurin 级数 1) 232)1(-+x ; 2) )1ln(32x x x +++3) 211ln tan x x x +--3. 证明 1) 12!)!2(!)!12()1()ln(1212+--+=++∞=∑n x n n x x x n n n.2) 1!)!12(!)!2()(sin22021++=+∞=-∑n x n n x n n ,|x|≤1;4. 证明12)(sin !)!2(!)!12(sin 121+-++∞=∑n x n n x n n 在[0,0.5π]内一致收敛,并求其和函数.5.求定积分1,10,)cos 21ln(202><<+-⎰r r dt r t r π.。
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
