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第三章 离散傅立叶变换优秀课件

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《离散傅里叶》PPT课件

《离散傅里叶》PPT课件
射关系，即
F () f (t)e jt dt
f (t) 1 F ()e jt d 2
2.离散、非周期时域信号 f (n) ←映射→周期、连续频域信号 F(e j ) ，它有序列的傅里叶变换
构成映射关系，即
F (e j ) f (n)e jn n
f (n) 1 F (e j )e jn d 2
N 1
f
p
( n)W Nnk
W
nN N
n0
N 1
f p (n)WNnk Fp (k ) n0
周期序列 f p (n) 的傅里叶级数系数 Fp (k) 也是以 N 为周期的周期序列。
时域中的一个周期序列 f p (n) 必定与频域中的一个周期序列 Fp (k) 一一
对应，在信号处理理论中通常称 Fp (k) 为周期序列 f p (n) 的离散傅里叶级
数变换（Discrete Fourier Series 简写为 DFS），即
Fp (k) DFS[ f p (n)]
而 f p (n) 称为离散傅里叶级数的逆变换（Inverse Discrete Fourier Series 简 写为 IDFS），即
f p (n) IDFS[Fp (k)]
1.连续、非周期时域信号 f (t) ←映射→非周期、连续频域信号 F() ，它由傅里叶变换构成映
N 1
N 1
Fk [
e ] jn0 ( k r )
k 0
n0
上式中方括弧中的和式由正交关系求出，即：
N 1 e jn0r
n0
N
0
r mN r mN
式中 m 为整数，方括弧中的和式只有当 k r mN 或 k mN r 时，取非零值 N，由于后 一个和式变量 k 的取值范围为[0, N 1]，所以 m 必须取零值（即 m 0），这就是说只有当 k r 时，方括弧中的和式取非零值，于是

信息与通信第3章离散傅里叶变换PPT课件

信息与通信第3章离散傅里叶变换PPT课件

n
~x(n)
1
(b)
0123456 7
n
~x(n)
x(n rN ) x(n%N) x((n))N
r
x(n) ~x (n)RN (n) x((n))N RN (n)
x(n)为周期序列的主值序列
第4页/共46页
| X~(k)|
(c)
01 2 3 4 5 6 7
k
| X(k)|
(d)
01 2 3 4 5 6 7
四、用MATLAB计算序列的DFT
• Xk = fft(xn,N) • xn = ifft(Xk,N)
第12页/共46页
【例3.1.2】
(a)16点 DFT的 幅 频 特 性 图 4
3
(b)16点 DFT的 相 频 特 性 图 2
相位
幅度
2
0
1
0
0
0.5
1
1.5
2
/
(c)32点 DFT的 幅 频 特 性 图 4
W ( N 1)1 N
W 02 N
W 12 N
W ( N 1)2 N
W 0( N 1) N
W 1( N 1) N
x(0) x(1)
WN(
N
1)(
N
1)
x(N 1)
x(0) x(1)
1 N
W 00 N
W 10 N
x(N 1)
WN(N 1)0
W 01 N
W 11 N
1
n0
DFT的物理意义2：X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间[0, 2π] 上的N点等间隔采样。
第9页/共46页
三、DFT的隐含周期性
N 1

离散傅里叶变换(DFT)ppt课件

离散傅里叶变换(DFT)ppt课件

幅度为
1 N
X~ (k )，其中k

0,1, , N
N
1表示其频谱分布规律
8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示

因为周期序列不满足条件： x(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ 其DTFT可以用公式
表示。
x(n) x(n kN ),k
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)

DFS [ x(n )]

N
1

x(n)e
j 2 N
nk
一般记：
反变换：x(n)
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
6
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：


x(n)


x(n mN ) x((n))N
x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)

N 1

数字信号处理课件--第三章4离散傅里叶变换的性质-PPT精选文档

数字信号处理课件--第三章4离散傅里叶变换的性质-PPT精选文档
a , b 为 任 意 常 数
则
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 m a x [ N , N ] 相等，均为N，且 N 1 2
课件 2
2、序列的圆周移位
( n ) x ( ( n m ) ) R ( n ) 定义： x m N N
取主 ( n m ) 延拓 序列 xn ( ( m ) ) N
n l N n l N
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
课件 6
2 n l 1 D F T x ( n ) c o s X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2

2 n l 1 D F T x ( n ) s i n X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2 j
2 nl x(n) x(n)sin N
课件 7
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到：
任意序列可表示成 x e ( n ) 和 x o ( n ) 之和:
x ( n ) x ( nx ) ( n ) e o
* * x ( n ) x ( n ) 1 / 2 [ x ( n ) x ( n ) ] 其中： e e
课件
3
课件
4
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ] m m N N
m k W () N Xk
证 ： D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ][ D F T x ( n m ) R ( n ) ] N N N

课件：第三章 离散傅立叶变换(1ok)

课件：第三章 离散傅立叶变换(1ok)

m
28
DFT的第二种物理意义（DFT与DFS的关系）
DFT： x(n) X (k) 序列取主值，变换也取主值
DFS： x(n) X (k)
x(n) x(n)RN (n) X (k) X (k)RN (k)
x
N
(n)
x((n))N
X (k) X ((k))N
结论：有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是
x(1) x((1))8 x(?) =x(7) ~x (9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
26
若x(n)实际长度为M，延拓周期为N
x(n) ~x (n).RN (n)
x(n) x((n))N
仅对N≥M时成立。
当N<M时，
~x (n)
解：（1）x(n)的傅里叶变换
X (ej )
n
R4 (n)e-jn
3
e-jn
n0
1 e-j4 1 e-j
e-j2 (e j2 e-j2 ) e-j / 2 (e j / 2 e-j / 2
)
e-j3 /2 sin(2) sin( / 2)
9
例：离散傅里叶变换
（2）x(n)的4点DFT
6
3.１ 离散傅里叶变换的定义及物理意义
• 离散傅里叶变换的定义 • DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 • DFT的隐含周期性
7
3.１.1 离散傅里叶变换的定义
• 离散傅里叶正变换(DFT)定义
x(n)长度为M，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn n0
x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的 主值序列。

信号与系统课件-第三章离散傅立叶变换DFT

信号与系统课件-第三章离散傅立叶变换DFT

拓展延伸：其他相关变换方法简介
要点一
拉普拉斯变换
要点二
Z变换
用于分析线性时不变系统的稳定性及频率响应特性。
用于分析离散时间线性时不变系统的稳定性及频率响应特 性。
THANKS
感谢观看
高频谱利用率
OFDM技术通过采用正交子载 波的方式，实现了频谱资源的 有效利用，提高了系统的频谱 利用率。
03
抗多径干扰能力强 04
由于OFDM系统采用了多载波调 制方式，每个子载波上的符号周 期相对较长，因此具有一定的抗 多径干扰能力。
适用于高速数据传 输
OFDM技术通过将高速数据流分 解成多个低速子数据流进行传输 ，降低了对单个载波的传输速率 要求从而适用于高速数据传输 场景。
共轭对称性
若x[n]为实序列，则其DFT满足 X[k]=X*[N-k]，其中*表示共轭。
周期性与非周期性信号处理方法
周期性信号处理方法
对于周期性信号，可以通过截取一个周期的信号进行DFT分析，得到该信号的频谱特性。由于DFT具有周期性， 因此可以通过对截取信号的DFT结果进行周期延拓得到整个周期信号的频谱。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01
离散傅立叶变换（DFT）定义及性质
02
DFT是将连续时间信号在时域和频域上都进行离散化处理的一 种变换方法。
03
DFT具有线性性、时移性、频移性、共轭对称性等基本性质。
关键知识点总结回顾
直接计算法
根据DFT定义直接进行计算，但计算量大，不实用。
快速傅立叶变换（FFT）
仿真实验：不同窗函数对信号重构影响
实验目的
说明本实验的目的在于研究不同 窗函数对信号重构的影响，以便 在实际应用中选择合适的窗函数。

数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件


2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2

第3章 离散付里叶变换基础PPT课件

18
1. 主值(主值区间、主值序列)
主值区间:设有限长序列x(n),0 n N 1, 将其延拓为周期序列x%(n), 周期序列长度为N , 则 : n 0 : N 1区间称为主值区间.
主值序列:设有限长序列x(n),0 n N 1, 将其延拓为周期序列x%(n), 周期序列长度为N , 则 : 在n 0 : N 1主值区间内的序列称为主值序列.
k0
j 2
WN e N
11
4. 序列的傅里叶变换(DTFT)
• 非周期离散的时间信号(单位园上的Z变换(DTFT)) 得到周期性连续的频率函数。
正变换 : X (e jw ) x(n)e jwn n
反变换:x(n) 1 X (e jw )e jwndw
2 其中是数字频率,它和模拟角频率的关系为
T 12
例子
同样可看出,时域的离散造成频域的周期延拓 ,而时域 的非周期对应于频域的连续 .
13
三、DFT引入
• 由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。 • DFT是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。 • DFT变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示，
在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT 的有效快速算法--FFT,因而使离散付里叶变换 (DFT)得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的 算法中起着核心的作用。
设x%(n)为周期为N的周期序列, 则其离散傅里叶级数(DFS)变换对为:
正变换 :
X%(k)
DFS[x%(n)]
N 1
j 2 nk
x%(n)e N
N 1
x%(n)WNnk
n0
n0
反变换 :
x%(n)
IDFS[X%(k)]

【精品】3离散傅里叶变换PPT课件


X1(k)=DFT［x1(n)］
X2(k)=DFT［x2(n)］
如果 X(k)=X1(k)·X2(k)
则
N 1
x(n )ID F T [X (k)] x 1 (m )x2((n m ))N R N (n )
m 0
N 1
或 x(n )ID F T [X (k)] x2(m )x 1 ((n m ))N R N (n )
设序列xn长度为m在频域02之间等间隔采样n点56将上式代入xz的表示式中得57上式中1因此上式就成为xn的傅里叶变换xe59例331长度为26的三角形序列编写matlab程序验证频域采样定理60dftdft的快速算法fft的出现dft在数字通信语言信号处理图像处理功率谱估计仿真系统分析雷达理论光学医学地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用
29
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 直接计算循环卷积较麻烦。计算机中
采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（FFT） 的方法计算循环卷积。下面介绍用矩阵 计算循环卷积的公式。
30
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
当n = 0, 1, 2, …, L－1时，由x(n)形成的
序列为： {x(0), x(1), …, x(L－1)}。循环移位后
(2) 时域循环移位定理： 设x(n) 是长度为N的有限长序列，
y(n)为x(n)的循环移位， 即 y(n)=x((n+m))NRN(n)
则
Y(k)=DFT［y(n)］
WNkmX(k)
其中 X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。
24
第3章 离散傅里叶变换(DFT) （3）频域循环移位定理，如果
可得下面的矩阵：
x(0)
x(1)
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k=0，1，…，7
（4）x(n)的16点DFT（N＝16）
3
X3(k)
Wkn 16
n0
k=0，1，…，15
例3.2.1 的图形显示
DFT实现了频域 离散化。
DFT与N有关，N 越大（对原序列 尾部补零） ，对 X(ejw)采样的点 数越多，越接近 原连续信号的谱。
N＝4 N＝8 N＝16
3.2.6 DFT的隐含周期性（和DFS的关系）
3.2.1 序列与周期延拓序列
任何周期为N的周期序列 x ( n ) 都可以看作长度为N的有限长
序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 x ( n )的一个周期.
~x(n)
x(nmN)
m
x(n) 0nN1
x(n) 0
其 它 n
x(n )~ x(n )R N (n )
运算符((n))N
1、表示序列以N为周期延拓
和 X ( k ) ，而 x ( n ) 刚好为一个有限长序列，从而得到其 离散的频域 X ( k ) 。
时域离散、频域离散
x(n)x((n))N X(k)X((k))N x(n )~ x(n )R N (n ) X(k)X(k)R N(k)
3.2.4 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶正变换(DFT)定义 x(n)长度为M
x(n)x(nmN)x((n))N m
2、表示n对N求余数
如果 n = n1 + MN ，0≤n1≤N-1，M为整数 则 ((n))N = n1 例如，N=8， ~ x(n)x(n ()8 )，则有
~ x(9 )x(9 ( )8)x(1 ) x(1)x((1))8x(7)
3.2.2 主值区间，主值序列
设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的
e-j2(ej2 e-j2) e-j/2(ej/2 e-j/2)
e-j3/
2
sin(2) sin(/ 2)
（2）x(n)的4点DFT（N＝4）
3
3
X1(k) x(n)W 4kn W 4kn
n0
n0
j3k
e 4
ssiinnkk04,,
4
（3）x(n)的8点DFT（N＝8）
k0 k1,2,3
3
X2(k) W8kn n0
离散傅里叶变换的导出
由于数字计算机只能计算有限长离散的序 列，因此有限长序列在数字信号处理中就 显得很重要。
任一有限长序列频域连续，使得无法利用 计算机直接进行频域数字计算，因此频域 需要离散化。
DFT
3.2 离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换的定义 DFT和z变换、DTFT的关系 DFT的隐含周期性(和DFS的关系）
注意：如果N1和N2不相等，则以N为DFT变换长度时， 其中相对较短的序列就通过补零增加到长度为N。
3.3.2 循环移位性质
序列的循环移位
设x(n)长度为N，则x(n)
的循环移位定义：
y(n)x((nm))NRN(n) xm(n)
特点：从左移出， 从右移入
见书P80 循环 移位
取主值
时域循环移位定理
3.3 离散傅里叶变换的基本性质
线性性质 循环移位性质 循环卷积定理 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性
3.3.1 线性性质
设x1(n)和x2(n) 长度分别为N1和N2，且
y(n )a1(x n ) b2(x n )
取N = max[N1，N2]，则y(n)的N点DFT为
Y ( k ) D [y ( F n ) ] a T 1 ( k X ) b2 ( k X ) 0≤k≤ N－1
主值区间：
通常把 x ( n ) 的第一个周期n=0到N-1定义为“主值区间”
主值序列： 把x(n)称为 x ( n ) 的“主值序列”
x(n)x((n))N x(n )~ x(n )R N (n )
3.2.3 DFT的导出
对 x ( n ) 和 X~(k) 分别取一个周期，刚好对应 x ( n )
第三章 离散傅立叶变换
本章目录
引言 离散傅里叶变换（DFT）的定义 离散傅里叶变换的基本性质 频率域采样 离散傅里叶变换（DFT)的应用 Matlab实现
3.1 引言
各种形式的傅里叶变换 CTFT: 时域连续，频域连续 CFS: 时域连续，频域离散 DTFT: 时域离散，频域连续 DFS: 时域离散，频域离散
N1
X(z)Z[x(n)] x(n)zn
0≤k≤ N-1
n0
X (k ) D F T [x (n )] N 1 x (n )W N k n N 1 x (n )e j2 N k n
n 0
n 0
N1
X(ejw)F[x(n)] x(n)ejwn n0
三种变换的关系 比较三式可得
X(k)X(z)zWN kej2k/N 0≤k≤ N-1
N1
X(k)D FT[x(n)]N x(n)W N kn 0≤k≤N -1 n0
离散傅里叶反变换(IDFT)定义
条件：N≥M
x(n)ID[X F (k)T ]N 1N k 0 1X(k)W N kn 0≤n≤N -1
3.2.5 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变 换分别为
DFS:
N1
X(k) x(n)WNWNkn
DFT:
N1
X(k) x(n)WNkn
n0
x(n)N 1N k01X(k)WNkn
DFT变换对，虽然在形式上是N点序列的时频变换，但 它蕴含着首先把N点的信号作周期延拓然后进行DFS， 最后从DFS中各取主值。
X(k)X(ejw )w2k/N 0≤k≤ N-1
DFT和Z变换的关系
X(k)X(z)zWN kej2k/N 0≤k≤ N-1
序列x(n)的N点DFT 相当于是在x(n)的 z变换的单位圆上 进行N点等间隔取
样，同时第一个取
样点取在z= 1处。
N＝8
单位圆上的8个等间隔取样点示意图
DFT和DTFT的关系
X(k)X(ejw )w2k/N 0≤k≤ N-1
物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω) 在区间[0，2π]上的N点等间隔取样。
例3.2.1
设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的傅里叶变 换(DTFT)，以及4点、8点、16点DFT。
解：（1）x(n)的傅里叶变换
X (ej)n R 4(n)e-jnn 30e-jn1 1 e e --jj4