数字信号处理程佩青第三版课件第三章离散付氏变换
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数字信号处理第三版第3章.ppt
x1(n) x2 (n)
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
《数字信号处理教程》(第三版)第三章
N 1 N 1
~ km ~ kn x1 (m ) WN X 2 (k ) WN n 0 m 0
1 N
N 1
N 1 m 0
~ ~ (m ) X (k ) W ( m n)k x1 2 N
n 0
N 1
~ ~ x1 ( m ) x2 ( n m )
域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，
人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
3.3 周期序列的离散傅立叶级数（DFS）
~ 设x (n)是周期为N的一个周期序列 ~ ~ x ( n) x (n rN ) ，r为任意整数
注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数 表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周
第三章
离散傅立叶变换
理解傅里叶变换的几种形式
了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷 积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共 轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间 的关系
了解频域抽样理论
理解频谱分析过程
了解序列的抽取与插值过程
3.2Leabharlann 傅立叶变换的几种可能形式傅立叶变换
~ x (n) x(n模N ) x(( n)) N
其中，(n模N)或((n))N数学上表示“n对N取余数或取模值”。
~ ~ 和 ~ 所对应的x(n)。 例： ( n)的周期为N=9，求 x ( 25) x ( 5) x
~ x (25) x(25模9) x(( 25))9 x(7) ~ x (5) x(5模9) x(( 5)) x(4)
数字信号处理教学课件第三章
X ( e j )
j n x ( n ) e
n
X (e j )是的连续周期函数。
1 x ( n) 2
X (e j )e jnd
时域 FT 连续，非周期
频域 非周期，连续
FS DTFT
连续，周期 离散，非周期
非周期，离散 周期，连续
10
四、离散傅里叶级数（DFS→DFT）
时域抽样
时域截断
时域周期延拓
周期延拓中的搬移通过与 ( t nTs ) 的卷积来实现 周期延拓后的周期函数具有离散谱
经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
3
学 习 方 法
从工程需要出发，理解信号频谱分析的实际问题。即
在实践中领悟处理原理的意义
从解决问题出发，理解各种信号处理方法的目的。即
上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计 算机上运算。我们感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况，这就是离散傅里叶级数（变换）。
根据以上讨论： 时域：离散 频谱：周期 频域：离散 时域：周期 因此，DFS必是一种时域、频谱均为离散和周 期的一种傅里叶变换。
11
总之，一个域的离散必然造成另一个 |X ( j)| x (t) 1 域的周期延拓。
23
n n1 mN
0 n1 N 1 m为整数
~ ( n)是周期为N＝8的序列，求n=19和n=-2两 例如，x 数对N的余数。 因为
n 19 3 2 8
((19 ))8 3
n 2 6 (1) 8
因此
~ x (19) ((19)) 8 x(3)
第3章 离散傅里叶变换
jIm(z)
j n x ( n ) e
n
X (e j )是的连续周期函数。
1 x ( n) 2
X (e j )e jnd
时域 FT 连续，非周期
频域 非周期，连续
FS DTFT
连续，周期 离散，非周期
非周期，离散 周期，连续
10
四、离散傅里叶级数（DFS→DFT）
时域抽样
时域截断
时域周期延拓
周期延拓中的搬移通过与 ( t nTs ) 的卷积来实现 周期延拓后的周期函数具有离散谱
经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
3
学 习 方 法
从工程需要出发，理解信号频谱分析的实际问题。即
在实践中领悟处理原理的意义
从解决问题出发，理解各种信号处理方法的目的。即
上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计 算机上运算。我们感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况，这就是离散傅里叶级数（变换）。
根据以上讨论： 时域：离散 频谱：周期 频域：离散 时域：周期 因此，DFS必是一种时域、频谱均为离散和周 期的一种傅里叶变换。
11
总之，一个域的离散必然造成另一个 |X ( j)| x (t) 1 域的周期延拓。
23
n n1 mN
0 n1 N 1 m为整数
~ ( n)是周期为N＝8的序列，求n=19和n=-2两 例如，x 数对N的余数。 因为
n 19 3 2 8
((19 ))8 3
n 2 6 (1) 8
因此
~ x (19) ((19)) 8 x(3)
第3章 离散傅里叶变换
jIm(z)
课件：第三章 离散傅立叶变换(1ok)
m
28
DFT的第二种物理意义（DFT与DFS的关系）
DFT： x(n) X (k) 序列取主值，变换也取主值
DFS： x(n) X (k)
x(n) x(n)RN (n) X (k) X (k)RN (k)
x
N
(n)
x((n))N
X (k) X ((k))N
结论：有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是
x(1) x((1))8 x(?) =x(7) ~x (9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
26
若x(n)实际长度为M，延拓周期为N
x(n) ~x (n).RN (n)
x(n) x((n))N
仅对N≥M时成立。
当N<M时，
~x (n)
解：（1）x(n)的傅里叶变换
X (ej )
n
R4 (n)e-jn
3
e-jn
n0
1 e-j4 1 e-j
e-j2 (e j2 e-j2 ) e-j / 2 (e j / 2 e-j / 2
)
e-j3 /2 sin(2) sin( / 2)
9
例：离散傅里叶变换
（2）x(n)的4点DFT
6
3.１ 离散傅里叶变换的定义及物理意义
• 离散傅里叶变换的定义 • DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 • DFT的隐含周期性
7
3.１.1 离散傅里叶变换的定义
• 离散傅里叶正变换(DFT)定义
x(n)长度为M，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn n0
x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的 主值序列。
数字信号处理DSP第三章1 离散傅里叶变换-PPT精选文档
7
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
Xk ( ) xne ()
n 0 N 1 2 j n k N
1 j n k 1N N xn ( ) Xke () N k 0
2
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的 2019/3/25 课件
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而频域、连续频率—序列的傅里叶变换
n Xe ( j ) xne ( ) j n
1 j j n x () n X ( e ) e d 2
时域的离散化造成频域的周期延拓， 而时域的非周期对应于频域的连续 2019/3/25 课件
P132:
2019/3/25
3 4 5(1)(2)(3) 6 8 9 10 11 12 14 19 20 26 课件
2
第三章 离散傅里叶变换
DFT: Discrete Fourier Transform
2019/3/25
课件
3
一、Fourier变换的几种可能形式
第三章学习目标
理解傅里叶变换的几种形式
了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握
周期卷积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移
位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷 积及两者之间的关系
了解频域抽样理论
理解频谱分析过程 了解序列的抽取与插值过程
2019/3/25 课件 1
本章作业练习
时间函数 频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
第3章5-8 离散傅里叶变换及其快速算法 数字信号处理 教学课件
把图3. 19中与x(4)水平相邻的所有节点和与x(1)水平相邻的所有节 点交换，把与x(6)水平相邻的所有节点和与 x(3)水平相邻的所有节点 交换，而与x(2)、x(5)和x(7)水平相邻各节点位置不变，就可以从图3. 19得到图3.22。图3.22与图3.19的区别只是节点的排列不同，而支路 传输比，即WN的 各次幂保持不变。显然图3.22所示流程图的输入是 正序(自然顺序)排列的，输出是码位倒置 排列的，所以输出要进行 变址计算。图3. 22所示的流程图相当于最初由库利和图基给出的时 间抽选算法。
3.5.3 蝶形、同址和变址计算
1. 蝶形计算 任何一个N为2的整数幂(即N=2M)的DFT，都可以通过M次分解，最
后成为2点的 DFT来计算。M次分解构成了从x(n)到X(k)的M级迭代计 算，每级由N/2个蝶形组成。图3.20表示了蝶形的一般形式表示。 其输入和输出之间满足下列关系：
从上式可以看出完成一个蝶形计 算需一次复数乘法和两次复数加法。 因此，完成N点的时间抽选FFT计 算的总运算量为
后4个k值的X(k)表示为：
因为Βιβλιοθήκη 所以(3.65)(3.66)
按照式(3.65)和式(3.66)可画出图3．15所示的信号流程图。
式(3.65)和式(3.66)把原来N点DFT的计算分解成两个N/2点DFT的计 算。照此可进一 步把每个N/2点DFT的计算再各分解成两个N/4点 DFT的计算。具体说来，是把{x(0)，x(2)，x(4)，x(6)}和{x(1)，x(3)， x(5)，x(7)}分为{x(0)，x(4) | x(2)，x(6)}和{x(1)，x(5) | x(3)，x(7)}。这样， 原信号序列被分成{x(0)，x(4) | x(2)，x(6) I x(1)，x(5) I x(3)，x(7)}4个2项 信号。G(k)和H(k)分别计算如下:
3.5.3 蝶形、同址和变址计算
1. 蝶形计算 任何一个N为2的整数幂(即N=2M)的DFT，都可以通过M次分解，最
后成为2点的 DFT来计算。M次分解构成了从x(n)到X(k)的M级迭代计 算，每级由N/2个蝶形组成。图3.20表示了蝶形的一般形式表示。 其输入和输出之间满足下列关系：
从上式可以看出完成一个蝶形计 算需一次复数乘法和两次复数加法。 因此，完成N点的时间抽选FFT计 算的总运算量为
后4个k值的X(k)表示为：
因为Βιβλιοθήκη 所以(3.65)(3.66)
按照式(3.65)和式(3.66)可画出图3．15所示的信号流程图。
式(3.65)和式(3.66)把原来N点DFT的计算分解成两个N/2点DFT的计 算。照此可进一 步把每个N/2点DFT的计算再各分解成两个N/4点 DFT的计算。具体说来，是把{x(0)，x(2)，x(4)，x(6)}和{x(1)，x(3)， x(5)，x(7)}分为{x(0)，x(4) | x(2)，x(6)}和{x(1)，x(5) | x(3)，x(7)}。这样， 原信号序列被分成{x(0)，x(4) | x(2)，x(6) I x(1)，x(5) I x(3)，x(7)}4个2项 信号。G(k)和H(k)分别计算如下:
数字信号处理-2018年最新程佩青第三版ppt课件合集.pdf
第一章离散时间信号与系统学习目标•掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。
•掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。
•理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。
•了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。
1.1 离散时间信号——序列信号是传递信息的函数。
针对信号的自变量和函数值的取值，可分为三种信号：（1）连续时间信号-----自变量取连续值，而函数值可连续可离散。
当函数值是连续的，又常称模拟信号，如语音信号、电视信号等。
（2）离散时间信号-----自变量取离散值，而函数值连续。
（3）数字信号-----自变量和函数值均取离散值。
它是信号幅度离散化了的离散时间信号。
——序列的概念(t)进行等间隔这里n 取整数。
对于不同的n 值，x a (nT)是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。
注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即∞<<∞-=n nT x n x a ),()({},...9,8,7,3,2,1...)(=n x 离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、集合符号表示法，如二、常用序列δ(n)δ(n)与u(n)之间的关系)1()()(--=n u n u n δ∑∞=-=0)()(k k n n u δ令n-k=m ，有∑-∞==nm m n u )()(δ3. 矩形序列R(n)N4. 实指数序列)()(n u a n x n ，a 为实数0n0<a<10n a>1a<-1或-1<a<0,序列的幅值摆动0n -1<a<00n a<-15. 正弦序列)sin()(φω+=n A n xnj en x 0)(ω=)sin()cos()(00n j n n x ωω+=()nj nM j ee002ωπω=+Λ2,1,0±±=M nj en x )(0)(ωσ+=6. 复指数序列这里ω为数字域频率，单位为弧度。
《数字信号处理——原理、实现及应用》第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
X (k ) = X ( z )
X (k ) = X (e jω )
z =e
j
2π k N
,k=0, 1, 2, …, N-1 ,k=0, 1, 2, …, N-1
2π ω= k N
结论: 结论: (1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间[0,2π] 上的N点等间隔采样,采样间隔为2π /N. (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔 采样,频率采样间隔为2π /N.
X ( z ) = ZT[ x(n)] = X (e ) = FT[ x(n)] = X (k ) = DFT[ x(n)]N =
jω M 1
∑
n=0 n =0
x ( n) z n x(n)e jω n k = 0,1, , N 1
返回
∑
M 1
∑
n=0
M 1 kn x(n)WN ,
回到本节
比较前面三式,得到
返回
回到本节
DFS与FT之间的关系: DFS与FT之间的关系: 之间的关系
X ( k ) = DFS [ xN ( n)] = ∑ x(n)WNkn
n =0 M 1
∞ < k < ∞
2π ∞ 2π jω X (e ) = FT [ xN (n)] = ∑ X (k )δ (ω N k ) N k =∞ x 周期延拓序列 ~ ( n) 的频谱特性由其傅里叶级数的 2π (k ) 确定,幅度相差一个常数因子 . 系数 X N
M 1 k xN (n)WN n n=0
∑
∑
n=0
M 1 k x(n)WN n
-∞ < k < ∞
M 1
X (k ) = DFT[ x(n)]N =
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X (0) 60 X (1) 9 j3 3 X (2) 3 j 3
X (3) 0 X (4) 3 j 3 X (5) 9 j3 3 16
例：已知序列x(n) R4 (n), 将x(n)以N 8为周期 进行周期延拓成x(n)，求x(n)的DFS。
解法一：数值解
N 1
X (k ) x(n)WNnk
7
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
频率函数
连续和非周期
非周期和连续
连续和周期(T0) 非周期和离散(Ω0=2π/T0) 离散(T)和非周期 周期(Ωs=2π/T)和连续 离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
8
§3.3 离散傅里叶级数DFS
( Discrete Fourier Series )
N
X~ (k ) X (e j ) 2 k N 1 ~x (n)e jn 2 k
N
n0
N
11
X k 与z变换的关系：
令x
n
x
n
0
0 n N 1 其它n
N 1
对x n作z变换: X z x n zn x n zn
n
n0
N 1
X
k
x n WN nk X
连续周期信号:
~xa (t) ~xa (t kT0 )
~xa (t)
A(k )e jk0t
k
基频：0 2 / T0
k次谐波分量：e jk0t
周期序列 ~x (n) ~x (n rN )
N为(周r 为期整的数周, 期N 序为列周期：)
x(n) A(k )e jk0n
k
基频：0 2 / N
~
X (k)
11
[1
e
j 2 12
n
e
j 2 12
kn
1
e
j 2 12
n
e
j 2 12
kn
]
n0 2
2
14
X~ (k) 1
11
j 2 ( k 1)n
e 12
1
11
j 2 ( k 11)n
e 11)12
j 2 ( k 11)12
1 1 e 12
1 1 e 12
DTFT
X (e j ) x(n)e jn
n
x(n) 1 X (e j )e jn d
2
时域离散化，频域周期化。
6
但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机 上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中 函数是连续的。
因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况。
若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。
e N
10
一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换
~x (n)
x(n
iN )
x(n)
(n
iN )
i
i
x(n) X (e j )
(n
iN )
2
(
2
k)
i
N k
N
~x (n) X (e j ) 2
(
2
k )
N k
N
2
j 2 k
X (e N ) (
2
k)
N k
N
2
X~ (k) ( 2
k)
N k
n0
z
z
WN
k
e
j
2 N
k
X k 可看作是对 xn 的一个周
期 xn 做z变换然后将z变换在z
平面单位圆上按等间隔角 2
抽样得到
N
jIm
2
3
1
4
5 6
|z|=1
K=0 Re[z]
7 N=8
12
DFS的图示说明
~
x(n)
...
-N
0
N
~
X (k)
... n
-N
0
N
k
13
例：周期序列
~
x(n
)
展co开s 为nDFS，求其系数。
k次谐波分量：e jk0n 9
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k)
DFS[x(n)]
N 1
j 2 nk
x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
x(n)
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k)e N
k 0
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
其中：
WN
j 2
11 12
k
15
例：已知序列x(n)是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
N 1
X (k ) x(n)WNnk
n0
5
x(n)W6nk
n0
j 2 k
j 2 2k
14 12e 6 10e 6
j 2 3k
j 2 4k
j 2 5k
8e 6 6e 6 10e 6
第三章 离散傅里叶变换
1
主要内容
离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT） 抽样z变换——频域抽样理论
2
§3.1 引言
傅里叶变换的几种形式： 时间函数 频率函数
❖连续时间、连续频率—傅里叶变换 ❖连续时间、离散频率—傅里叶级数 ❖离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 ❖离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
2
2 j 2 ( k 1)
j 2 ( k 11)
1 e 12
1 e 12
6, k 1 12r
6,
k
11
12r
0, 其它的k
~
x(n) cos n
6
N=12
6, k 112r
X~(k) 6,
k
11
12r
0, 其它的k
6
-2 -1 0 1 2
11 12
n
-2 -1 0 1 2
解法二：公式解
X
k
DFS
x
n
N
1
x(n)e
j
2 N
kn
7
xn
n0
j k
n0
e e j 2 kn 8
3 j kn 4
n0
j k
j k
j k4
1
e
4 j
k
1e 4
e 2 e 2 e 2
j k j k
j k
e 8 e 8 e 8
e
j 3 k 8
3
§3.2 傅里叶变换的几种可能形式
FT
X a ( j)
xa
(t
)e
jt
dt
xa
(t)
1
2
X
a
(
j)e
jt
d
4
FS
X
(
jk0
)
1 T
T/ T
2 /2
~xa
(t
)
e jk 0t
dt
X
a
( j) T
|k0
~xa (t)
X ( jk0 ) e jk 0t
k
时域周期化，频域离散化 5
6
解：方法1 整理x(n)有(N=12)：
~
x(n)
1
j 2π n
e 12
1
j 2π n
e 12
1
j 2
e 12
n
1
e
j 2
12
(11) n
2
2
2
2
与DFS定义对比知：在 k 112r 和 k 11 12r 时：
~
~
X (k ) N / 2 6, 其他 X (k ) 0。
方法2 由定义式直接计算，得
n0
7
3
x(n)W8nk W8nk
n0
n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1 e 8 e 8 e 8
X (0) 4 X (1) 1 j 2 1 X (2) 0
X (3) 1 j 2 1
X (4) 0 X (5) 1 j 2 1 X (6) 0 X (7) 1 j 2 1 17