扬州市2020届高三上学期数学期中试题一、填空题1．已知集合{}3,4A =，{}1,2,3B =，则A B = ______.2．若(3)2i z i +=-（i 为虚数单位），则复数z =______.3．函数||3()x m y m -=∈R 是偶函数，则m =______.4．双曲线2214y x -=的渐近线方程是__________．5．抛物线24y x =上横坐标为4的点到焦点的距离为______.6．设函数2ln ,0,()1,0,2x x x f x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩则()()2f f e -=______.7．直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为______.8．函数1()xx f x e +=的极大值是______.9．将函数cos y x =的图象向右平移2π个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()f x 的图象，则6f π⎛⎫=⎪⎝⎭______.10．梯形ABCD 中，AB CD ∥，90BAD ∠=︒，33AD AB DC ===，若M 为线段BC 的中点，则AM BD ⋅ 的值是______.11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，222sin sin 3sin A B C -=，1cos 3A =-，则ABC ∆的面积是______.12．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.13．已知实数x ，y 满足32y >且69240xy x y -+-=，则3x y +的最小值是______.14．已知关于x 的不等式2(1)0x x k e e --+<有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是______.二、解答题15．已知关于x 的不等式103x x +<-的解集为集合A ，函数()f x =B （其中m ∈R ）.（1）若0m =，求A B ；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.16．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．已知圆C ：22(2)4x y +-=，直线l 过点(3,0)A -.（1）若l 与圆C 相切，求l 的斜率k ；（2）当l 的倾斜角为4π时，l 与y 轴交于点B ，l 与圆C 在第一象限交于点D ，设AB BD λ= ，求实数λ的值.18．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若23EF =米，2AOB θ∠=，5412ππθ≤≤.（1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.19．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以线段12F F 为直径的圆与椭圆交于点55P ⎛- ⎝⎭.（1）求椭圆的方程；（2）过y 轴正半轴上一点(0,)A t 作斜率为(0)k k >的直线l .①若l 与圆和椭圆都相切，求实数t 的值；②直线l 在y 轴左侧交圆于B 、D 两点，与椭圆交于点C 、E （从上到下依次为B 、C 、D 、E ），且AB DE =，求实数t 的最大值.20．已知函数2()ln 22()f x x ax ax a a =--++-∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）是否存在非负整数a ，使得函数()f x 是单调函数，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）已知()()3g x f x x =+-，若存在(1,)b e ∈，使得当(0,]x b ∈时，()g x 的最小值是()g b ，求实数a 的取值范围.（注：自然对数的底数e 2.71828=⋅⋅⋅）21．已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量.（1）求实数a ，λ的值；（2）求2A .22．一个盒子中装有大小相同的2个白球、3个红球；现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中.（1）求两次取得的球颜色相同的概率；（2）若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为X ，求X 的概率分布列与数学期望()E X .23．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，点E 、F 分别在棱1AA 、1BB 上移动，且1AE AA λ= ，1(1)BF BB λ=-.（1）若12λ=，求异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值；（2）若二面角A EF C --的大小为θ，且sin 5θ=，求λ的值.24．设111(1)nk k n n k S C k+==-∑，*,n k ∈N .（1）求21S S -，32S S -；（2）猜想11n n k S k=-∑的值，并加以证明.教学扬州市2020届高三上学期数学期中试题一、填空题1．已知集合{}3,4A =，{}1,2,3B =，则A B = ______.【答案】{}1,2,3,4【解析】根据并集的定义写出A B ．【详解】解：集合{}3,4A =，{}1,2,3B =，则A B = {}1,2,3,4．故答案为：{}1,2,3,4．【点睛】本题考查了集合的并集运算问题，是基础题．2．若(3)2i z i +=-（i 为虚数单位），则复数z =______.【答案】1122i-【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：(3)2i z i +=- ，2(2)(3)55113(3)(3)1022ii i i z i i i i ----∴====-++-．故答案为：1122i -．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．函数||3()x m y m -=∈R 是偶函数，则m =______.【答案】0【解析】函数|3|()x m y m R -=∈是偶函数，利用偶函数的性质()()f m f m =-，求出m ．【详解】解：因为函数|3|()x m y m R -=∈是偶函数，所以()()f m f m =-，()1f m =，所以|2|()31m f m -==，20m =，0m =故答案为：0．【点睛】考查了指数函数的性质和运算，偶函数的性质，基础题．4．双曲线2214y x -=的渐近线方程是__________．【答案】2y x=±【解析】根据双曲线的渐近线公式得到,2ay x y xb =±=±故答案为：2y x =±.5．抛物线24y x =上横坐标为4的点到焦点的距离为______.【答案】5【解析】直接利用抛物线的定义，求解即可．【详解】解：抛物线24y x =上横坐标为4的点到其焦点的距离，就是这点到抛物线的准线的距离．抛物线的准线方程为：1x =-，所以抛物线24y x =上横坐标为4的点到其焦点的距离为415+=．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力，是基本知识的考查．6．设函数2ln,0,()1,0,2xx x f x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩则()()2f f e -=______.【答案】16【解析】先求出()2224f e lne --==-，从而()()2(4)f f e f -=-，由此能求出结果．【详解】解： 函数2ln ,0,()1,0,2xx x f x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩()2224f e lne --==-，()()241(4)162f f e f --=-==．故答案为：16．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为______.【答案】5【解析】直接利用两直线平行的充要条件的应用和平行线间的距离公式的应用求出结果．【详解】解：直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +-+-=平行，则(1)20a a --=，即220a a --=，解得2a =或1-．当2a =时，两直线重合，故1a =-，两直线方程可化为：260x y --=与20x y -=所以两平行线间的距离5d ==故答案为：5【点睛】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件的应用，两平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．函数1()x x f x e+=的极大值是______.【答案】1【解析】利用导数研究其单调性，极值即可得出．【详解】解：2(1)()x x x x e x e x f x e e-+-'==．可得：(0)0f '=，(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；(0,)x ∈+∞时，()0f x '<．0x ∴=时，函数()f x 取得极大值，(0)1f =．故答案为：1．【点睛】本题考查了导数研究其单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．将函数cos y x =的图象向右平移2π个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()f x 的图象，则6f π⎛⎫=⎪⎝⎭______.【答案】2【解析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，从而求得(6f π的值．【详解】解：将函数cos y x =的图象向右平移2π个单位后，可得cos(sin 2y x x π=-=的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()sin 2f x x =的图象，故()sin 632f ππ==，故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，特殊角的三角函数的值，属于基础题．10．梯形ABCD 中，AB CD ∥，90BAD ∠=︒，33AD AB DC ===，若M 为线段BC 的中点，则AM BD ⋅ 的值是______.【答案】32-【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，求得A ，B ，C ，D 的坐标，由中点坐标公式可得M 的坐标，再由向量的坐标公式和向量数量积的坐标表示，计算可得所求值．【详解】解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，可得(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)D ，(1,3)C ，M 为线段BC 的中点，可得3(2,2M ，3(2,2AM = ，(3,3)BD =- ，则332(3)322AM BD =⨯-+⨯=- ．故答案为：32-．【点睛】本题考查向量数量积的运算，注意运用坐标法，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，222sin sin 3sin A B C -=，1cos 3A =-，则ABC ∆的面积是______.2【解析】由已知利用正弦定理，余弦定理可解得c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：3b = ，222sin sin 3sin A B C -=，∴由正弦定理可得2222339a c b c =+=+，又1cos 3A =- ，∴由余弦定理可得22222cos 92a b c bc A c c =+-=++，223992c c c ∴+=++，解得1c =，又22sin 13A cos A =-，1122sin 31222ABC S bc A ∆∴==⨯⨯⨯．2．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.【答案】1515,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围．【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-，因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB += ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴1解得：[]1515k ∈-故答案为[]1515k ∈-【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．13．已知实数x ，y 满足32y >且69240xy x y -+-=，则3x y +的最小值是______.【答案】12+【解析】由69240xy x y -+-=，化为9462x y x +=+，根据32y >求出x 的取值范围，把3x y +化为只含有x 的式子，根据x 的取值范围求出3x y +的最小值．【详解】解：由69240xy x y -+-=，可得9462x y x +=+，32y >，∴943622x x +>+，解不等式可得，13x >-，则943(31)1133333622(31)2(31)2x x x y x x x x x x ++++=+=+=+++++，1111312(31)222x x =++++++ ，当且仅当1312(31)x x +=+即26x =时上式取等号，3x y ∴+12，12+．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意拼凑法的运用技巧，属于中档题．14．已知关于x 的不等式2(1)0x x k e e --+<有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是______.【答案】21,3e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】直接分离参数21x k x e ->-+设函数2()1x f x x e -=-+，讨论函数的单调性，结合()1f e =，()22f =，()132f e =+，21(4)3f e =+的大小分析满足的条件；【详解】解：不等式2(1)0x x k e e --+<有且仅有三个整数解，即221x x e x k e e---<-=-；即21xk x e ->-+设函数2()1xf x x e-=-+，22()1x xxe ef x ee --'=-=；所以函数()f x 在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；2(0)1f e =-，()1f e =，()22f =，()132f e =+，21(4)3f e =+，31(5)4f e=+要使得21x k x e ->-+，有三个整数解，则()()14f k f <≤，即23e k e -<≤+故答案为：23e k e -<≤+【点睛】本题考查方程的正整数根的问题，考查分离常数的方法和数形结合分析的能力，属于中档题．二、解答题15．已知关于x 的不等式103x x +<-的解集为集合A ，函数()f x =B （其中m ∈R ）.（1）若0m =，求A B ；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(]1,2A B =- （2）(][),35,-∞-+∞ 【解析】（1）根据条件求出集合A ，B 的等价条件，结合集合交集的定义进行计算即可．（2）求出A R ð，结合R B A ⊆ð建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：（1）由103x x +<-得{}|13A x x =-<<当0m =时，由240x -+≥得[]2,2B =-，∴(]1,2A B =- ，（2）由22240x mx m -+-+≥得：{}|22B x m x m =-+ .∵{}|13A x x =-<<∴(][),13,R A =-∞-+∞ ð.∴R B A ⊆ð∴23m -≥或21m +≤-，∴5m ≥或3m ≤-.∴实数m 的取值范围为(][),35,-∞-+∞ 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合集合的运算以及集合关系进行转化求解是解决本题的关键，属于基础题．16．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）7-（2）750-+【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得，sin α、tan α的值，可得tan()4πα+的值．（2）先求得tan α的值，再利用二倍角公式求得sin 2α、cos 2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2)6πα+的值．【详解】（1）解：0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 且3cos 5α=4sin 5α∴=，4tan 3α=41tan tan34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-⋅-⋅（2）24sin 22sin cos 25ααα==，227cos 2cos sin 25ααα=-=-.则sin 2sin 2cos cos 2sin 666πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24371724325225250-+⎛⎫=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．17．已知圆C ：22(2)4x y +-=，直线l 过点(3,0)A -.（1）若l 与圆C 相切，求l 的斜率k ；（2）当l 的倾斜角为4π时，l 与y 轴交于点B ，l 与圆C 在第一象限交于点D ，设AB BD λ= ，求实数λ的值.【答案】（1）k 为0或125（2）1λ=+【解析】（1）设直线:(3)l y k x =+，若l 与圆C 相切，求出斜率k ；（2）当l 的倾斜角为4π时，设直线:3l y x =+，由223(2)4y x x y =+⎧⎨+-=⎩联立解方程求出AB =BD =||1||AB BD λ==．【详解】解：（1）直线l 过点(3,0)A -且与圆相切，若斜率不存在则直线方程为3x =-，圆心到直线的距离为3，不成立。
