初中解题技巧之构造法专题

构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。

构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。

充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

CBAD CBAME DCBA九年级中考数学思维训练——构造法“构造法”是武汉市近几年中考的热点，它对学生常规常法的训练要求很高，并能灵活的运用. 本案例就平时积累的自编自改的题目，谈谈构造法如何解决问题，仅供参考.一、全等与相似的相互转换例1、如图，△ACD 中，AD ＝3，CDBC ⊥AC 于C ，AC =BC ，求BD 的最大值.简解：作CE ⊥CD ，且CE =CD⇒2BCD ACEDE ∆≅∆⎧⎪⎨==⎪⎩，∴AE =BD ，又∵AD -DE ≤AE ≤AD+DE ，∴1≤BD ≤5.变式：如图，△ACD 中，AD，CD＝BC ⊥AC 于C ，AC =2BC ，求BD 的最大值.简解：作CE ⊥CD ，CE =2CD⇒BCD ACEDE ∆∆⎧⎪⎨==⎪⎩ ∴AE =2BD ，又∵AD -DE ≤AE ≤AD+DE ，∴0≤AE≤∴0≤BD.例2、如图，五边形ABCDE 中，∠BCD =∠BAE =90°，CB = CD ，AB ＝3，AE ＝4，连AC ，M 在DE 上，且∠CAM =45°，求DMEM.MED CBAEDC BAPCBA作CF ⊥CA 交直线AM 于F ，⇒CDF CBA ∆≅∆，∴DF =BA=3，易证DF ∥AE ，∴DM EM =DF AE =34变式：如图，五边形ABCDE 中，∠BCD =∠BAE =90°，CB = CD ，AB ＝AE ，连AC ，M 在DE 上，AC ＝10，且∠CAM =45°，求五边形ABCDE 的面积.简解：作CF ⊥CA 交直线AM 于F ，⇒CDF CBA ∆≅∆，∴DF =BA=AE ，⇒DFM EAM ∆≅∆，∴A C F A B C D E S S ∆=五边形 而11010=502ACF S ∆=⨯⨯，∴=50ABCDE S 五边形.二、全等三角形的构建例3、如图，四边形ABCD 中，对角线相交于E ，且E 为对角线BD 的中点， ∠DAE =45°，∠BCE =135°，若CE =1， BC=，则AC = .简解：作DM ⊥DA 于D ，⇒ADM ∆为等腰直角三角形，且DM ∥CB ，易证DME BCE ∆≅∆，∴DM =BC=， 再作DN ⊥AC 于N ，可得MN =3，∴AC =8.例4、等腰直角△ACB ，BC = AC=4，∠ACB =90°，P 为△ACB 内一点，连BP 若∠CBP =∠PCB =15°，求P A 的长(两种构建思维)；简解：思考一：作BF ⊥CP 于F ，作AE ⊥CP 于E ，易证：BFC CEA ∆≅∆.∴BF =CE =m ，可得PB =PC=2m ，∴CE = PE =m ，∴P A = CA=4.Q EDCAβαQPEDCBAFEDA思考二：作等边△EPC，证：CPB CEA PEA∆≅∆≅∆∴P A= CA=4.三、构建平行线截比或者辅助圆例5、如图：点B在线段AC上，D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD= BC，AD=3，CE=5.P为A，B(与A，B不重合)上，且DP⊥PQ交直线BE于Q，求DP PQ.简解：思考一：作PF∥BD，∴DFBP=DABA=35，易证：PDF QPB∆∆，∴DFBP=DPPQ，而∴DFBP=DAAB=35，∴DPPQ=35.思考二：四点共圆∵∠DPQ=∠DBQ=90°，∴∠α=∠β，而tan∠α=DAAB=35，tan∠β=DPPQ=35.例6、如图：点B在线段AC上，D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，AD= BC ，CD⊥BE于F，连AF.求证：tan∠AFB=AB BC.简解：思考一：作AQ⊥CD于Q，∴∠α=∠β，tan∠α=tan∠β，易证：CQA EFC∆≅∆∴AQ=CF，而tan∠β=QF AQ，即tan∠β=QFAQ=QFCF，又∵BF∥AQ，∴QFCF=ABBC∴tan∠AFB=AB.FE DCBAF EDCBAFEDCBAFEDCBA思考二：四点共圆∵∠DAB=∠DFB =90°，∴可证∠ADB =∠AFB ，而tan ∠ADB =ABAD，易证：DAC BCE ∆≅∆ ∴AD = CB ，∴tan ∠ADB =AB AD =AB BC ，∴tan ∠AFB =AB AD =ABBC. 四、依托基本图形构建相似例7、□ABCD 中，AB =6，BC =8，E ，F 分别为BC ，AB 上的点，当∠DEF =∠B =60°，DF ⊥EF 于F ， 求AF 的长度(三种构建思维).由条件知：∠EFD =60°，∴EF ED =12. 思考一：作等边△BEQ ，易证：FQE ECD ∆∆ ，∴QF CE =QE CD =EF ED =12，∴QE =3，∴BE =3，CE =5，∴QF =2.5， ∴AF =0.5.思考二：作等边△CDM ，易证：FBE EMD ∆∆ ，∴FB EM =BE EM =EF ED =12，∴DM =DC =6，∴BE =3，ME =11，∴BF =5.5，∴AF =0.5.思考三：作EQ ⊥AB 于Q ，DM ⊥BC 于M ，易证：FQE EMD ∆∆ ，∴FQ EM =QE DM =EF ED =12，∴CM =3，∴DM =QE BE =3，∴QF =12EM =4，∴BF =5.5，∴AF =0.5.。

5．如图F4－3，直线y＝kx＋b经过A(3，1)和B(6，0)两点，则不等式0＜kx＋b＜x的解为________．方法技巧专题四构造法训练构造法是一种技巧性很强的解题方法，它能训练思维的创造性和敏捷性．常见的构造形式有：1.构造方程；2.构造函数；3.构造图形．一、选择题图F4－11．如图F4－1，OA＝OB＝OC，且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是()A．40°B．50°C．60°D．70°2．已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是()A．6B．3C．－3D．03．设关于x的一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足() A．1＜α＜β＜2B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2D．α＜1且β＞2二、填空题4．如图F4－2，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于________．图F4－213图F4－36．关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是________．7．[2016·成都]如图F4－△4，ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB ＝________．图F4－48．如图F4－5，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，EF⊥BC于点F，BC＝5，EF＝3.图F4－5(1)若AB＝DC，则四边形ABCD的面积S＝________；(2)若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′________S(用“＞”或“＝”或“＜”填空)．三、解答题9．如图F4－6，直立于地面上的电线杆A B，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC＝6m，CD＝4m，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度．(结果保留根号)图F4－6参考答案1．C[解析]以点O为圆心，以OA为半径作⊙O.∵OA＝OB＝OC，∴点B，C在⊙O上．∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.故选C.注：此题构造了圆．2．A[解析](1)当m＝n时，(m－1)2＋(n－1)2＝2(m－1)2.此时当m＝1时，有最小值0.而m＝1时，代入原方程求得a＝.＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3.∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值．∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6.故选A.5．3＜x＜6[解析]作直线OA，易知直线OA的解析式为y＝x.由图可知，不等式kx＋b＞0的解为x＜6；不等式kx＋b＜x的解为x＞3.所以不等式0＜kx＋b＜x的解为3＜x＜6.注：此题构造了一次函数y＝x.7.[解析]如图，作直径AE，连结CE，则∠ACE＝90°.32∵不满足条件a≥2，∴舍去此种情况．(2)当m≠n时，∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的方程x2－2ax＋2＝0的两个根．∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋11212注：此题根据两个等式构造了一个一元二次方程．3．D[解析]一元二次方程(x－1)(x－2)＝m(m＞0)的两根实质上是抛物线y＝(x－1)(x－2)与直线y＝m两个交点的横坐标．如图所示，显然α＜1且β＞2.故选D.注：此题构造了二次函数．4．15[解析]分别将线段AB，CD，EF向两端延长，延长线构成一个等边三角形，边长为8.则EF＝2，AF＝4，故所求周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.注：此题构造了等边三角形．131133136．x1＝－4，x2＝－1[解析]根据方程的特点联想二次函数的顶点式．将函数y＝a(x＋m)2＋b的图象向左平移2个单位得函数y＝a(x＋m＋2)2＋b的图象，因此将方程a(x＋m)2＋b＝0的解x1＝－2，x2＝1分别减去2，即得所求方程的解．注：此题构造了二次函数．392∴＝.∴AB＝.∴AB＝＝.∴AB＝BE×tan E＝(6＋43)×3∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°.∴∠ACE＝∠AHB.∵∠B＝∠△E，∴ABH∽△AEC.AB AH AE·AHAE AC AC∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，18×2639242注：此题构造了直角三角形．8．(1)15(2)＝[解析](1)平行四边形的面积等于底乘高；(2)如图，连结BE，并延长BE交CD的延长线于点G，连结CE.易证△EAB≌△EDG.∴BE＝EG.∴S四边形ABCD＝△SBCG＝2△SBCE＝BC·EF＝15.注：此题根据平行线间线段的中点构造了全等三角形．9．解：如图，延长AD交BC的延长线于E，过点D作DF⊥BE于F.∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°.∵CD＝4，∴DF＝2，CF＝2 3.由题意得∠E＝30°，∴DC＝DE.∴CE＝2CF＝43.∴BE＝BC＋CE＝6＋4 3.3＝23＋4.答：电线杆的高度为(23＋4)m.注：此题构造了直角三角形．三角函数只能应用于直角三角形中，因此用三角函数解决四边形或斜三角形的问题时，必须构造直角三角形．。

2020中考专题13——方法技巧之构造与转化班级姓名.构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:(1)构造方程;(2)构造函数;(3)构造图形.【例题分析】例1例2.如图，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，点P为AB边上一动点，连接CP，过点P 作PM⊥CP，交BC于点M，则BM的最大值为____________.例3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（-4，0）、B（0，4），⊙0的半径为1（O 为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________.例4.如图，己知y=12-x2+32x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点，现一直线经过B、C两点，点P为BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，求PQ的最大值.【巩固训练】1.设关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根分别为α,β,且α<β,则α,β满足()A.1<α<β<2B.1<α<2<βC.α<1<β<2D.α<1且β>22.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是.3.如图,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于.第3题图第4题图第5题图4.如图，⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为。

5.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为。

初中数学解题方法之一构造法之构造方程构造法是初中数学解题的常用方法之一，它通过构造合适的问题结构，将问题转化为可解的方程或等式，从而帮助我们解决问题。

构造方程是其中一种常见的构造法。

构造方程的基本思路是先找出问题中的未知量和已知条件，然后通过逻辑推理或运用已知条件，构造出一个或多个与问题有关的关系式，最终得到方程，并解方程求解。

下面以一些具体的数学问题为例，介绍构造方程的基本步骤和一些常用的技巧。

1.确定未知量和已知条件：首先要明确问题中的未知量是什么，已知条件有哪些。

例如，问题中可能涉及到未知数的个数、长度、面积等。

2.运用逻辑关系或条件构造方程：根据问题中的逻辑关系或条件，构造方程。

可以采用等量关系、比例关系等。

3.解方程求解：得到方程后，通过计算求解方程，得到未知量的值。

下面通过几个具体问题的例子，来说明构造方程的应用。

例1：甲、乙两人同时从甲地骑自行车去乙地，甲总共骑了3小时，乙总共骑了2小时，两人相遇时甲比乙多骑36千米。

已知甲比乙骑得快一半，求甲、乙各骑的速度。

设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。

根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：甲的骑行时间：3小时乙的骑行时间：2小时甲比乙多骑36千米甲比乙骑得快一半根据已知条件，可以构造出方程：甲的速度x乘以时间3小时等于乙的速度y乘以时间2小时再加上36千米。

即：3x=2y+36根据方程，我们可以求解未知量的值。

将方程进行变形：2y=3x-36y=(3x-36)/2由于甲比乙骑得快一半，即：x=(3x-36)/2解这个方程，可以得到甲的速度是24千米/小时，乙的速度是12千米/小时。

例2：已知一个正方形的周长是20厘米，求正方形的面积。

设正方形的边长为x厘米。

根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：正方形的周长是20厘米根据已知条件，可以构造出方程：周长就是4条边的长度之和，所以可以得到：4x=20解这个方程，可以得到正方形的边长是5厘米。

知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。

【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。

【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。

快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。

【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。

看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。

那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。

解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。

所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。

说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。

热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。

【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。

解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。

第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。

继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。

……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。

综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。

说明 本题当然也可以用裂项法。

【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。

备战2020中考数学解题方法专题研究专题9 构造法专题【方法简介】构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。

【真题演练】1. （2018•桂林）若|3x﹣2y﹣1|+=0，则x，y的值为（）A．B．C．D．【分析】根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案．【解答】由题意可知：解得：故选：D．2. （2019•湖北天门•3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是100 ．【答案】100．【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．3. （2019•浙江衢州•4分）如图，人字梯AB，AC的长都为2米。

当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是________米（结果精确到0.1m。

参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】 1.5【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：在Rt △ADC 中， ∵AC=2，∠ACD=50°， ∴sin50°=，∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5. 故答案为：1.5.【分析】在Rt △ADC 中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.4. （2019•四川省广安市•8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元． （1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】（1）1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元； （2）当购买A 型号节能灯150只，B 型号节能灯50只时最省钱．【解答】解：（1）设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售价是y 元，35502331x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得，57x y =⎧⎨=⎩， 答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；（2）设购买A 型号的节能灯a 只，则购买B 型号的节能灯（200﹣a ）只，费用为w 元， w ＝5a+7（200﹣a ）＝﹣2a+1400， ∵a≤3（200﹣a ）， ∴a≤150，∴当a ＝150时，w 取得最小值，此时w ＝1100，200﹣a ＝50， 答：当购买A 型号节能灯150只，B 型号节能灯50只时最省钱． 【名词释义】构造法是一种技巧性很强的解题方法，它能训练思维的创造性和敏捷性，常见的构造形式有：1.构造方程；2.构造函数；3.构造图形。

构造法深度探索构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．1 构造代数式初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以解决．1．1 构造多项式例1 三个整数 a 、b 、c 的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.1．2 构造有理化因式例2 已知.2002)2002)(2002(22=++++y y x x 计算.58664322+----y x y xy x 1．3 构造对偶式根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．例3 已知是方程的两根．则的值？βα、012=--x x βα34+1．4 构造递推式数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．例4 实数满足，，，y x b a ,,,3=+by ax 722=+by ax 1633=+by ax ，求4244=+by ax 55by ax +2 构造几何图形如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．2．1 构造对称图形例5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求的最小值.4122+++=b a u 2．2构造矩形例6 已知，求以，，为三边长的三角形0,0>>b a 22b a +224b a +224b a +的面积。

2．3 构造圆例7 已知为正实数，且，求证：.y x b a ,,,1,12222=+=+y x b a 1≤+by ax 2. 4 构造三角形例8 已知方程组满足．求 xy+2yz+3xz 的值． ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++169312531222222z zx x y z y xy x例9 已知正数满足,求证：C B A c b a ,,,,,k c C b B a A =+=+=+.2k cA bC aB <++3 构造方程、不等式、函数3．1 构造二次方程方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．例10已知实数 a ≠b ，且满足;,则)1(33)1(2+-=+a a 2)1(3)1(3+-=+b b 的值为.ba a ab b +例11．已知a<0，b>0，且．则代数式值为．15152=+=+b b a a b b b b a 13+3．2 构造不等式利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．例12 设x,y 是非负整数， x+2y 是 5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y 99．则7 ≥x+5y 的最小值为 ．3．3 构造函数用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究．例 13 已知实数,且，求的最小值.0,0,0>≤<c b a ac b ac b 242-=-ac b 42-例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x ，y ，满足：.)1)(1(1201222y x xy y x ++≤--4 其他构造4．1构造反例构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式例15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：(1)若 a 2+ab+c>O ，且c>1，则0<b<2；(2)若 c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；(3)若0<b<2，且a 2+ab+c>O ，则c>1．试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。

知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。

【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。

【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。

快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。

【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。

看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。

那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。

解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。

所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。

说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。

热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。

【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。

解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。

第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。

继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。

……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。

综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。

说明 本题当然也可以用裂项法。

【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。