概率论与数理统计(全概率公式和贝叶斯公式)

概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。

2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。

4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。

二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。

2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。

3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。

4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。

三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。

k 1
全概率公式与贝叶斯公式
利用条件概率公式不全概率公式可得到贝叶斯公式.
3. 贝叶斯公式 设 B1, B2 ,, Bn 为完备事件组，则
已知结果A，分析导致 出现此结果的第i个原
P(Bi A)
PP(A(BBii)) P ( Bi )
A
,
k
n
1P(PA()Bk
)
P
(
A
Bk )
i 1, 2,, n
解：A”检查结果为阳性” B1“被检查者患有此病”，B2“被检查者没患此病” 显然，B1，B2为完备事件组.
典型例题分析
由题意知 P(B1) 0.005 P( A B1 ) 0.95
P(B2 ) 0.995 P(A B2 ) 0.01.
由贝叶斯公式可得
可知在查为阳 性的情况下， 确实患病的概 率并丌是很大！
解：A”顾客买下”, Bi ”买下的这箱中有i只残次品”, i =0,1,2. 显然，B0 ，B1，B2为完备事件组.
P(B0 ) 0.8, P(B1) 0.1, P(B2 ) 0.1; P( A B0) 1,
P(
A
Байду номын сангаас
B1)
C149
C
4 2
0
4, 5
P( A B2 ) CC142480
12 . 19
（1）由全概率公式
P(A)
2 i0
P(A
B )iP(B
)i
0.81
0.14 ＋0.1120.94 5 19
（2）由贝叶斯公式
P(B0
A) P( A B0 )P(B0) P( A)
0.8 0.94
0.85
4. 贝叶斯方法包含的重要思想

C72 C125
C52 C120
ห้องสมุดไป่ตู้
C82 C125
C32 C120
C81C71 C125
C42 C120
?
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结束
三、全概率公式应用
例2. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比赛
取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛
取得3个新球的概率．
解：Ai={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 )
由乘法公式得， P(B/Ω1)= P(Ω1B)/P(Ω1)= P(Ω1B)，
所以，P(B)= P(Ω1B)，其中 Ω1为Ｅ1的基本空间件。
而，Ω1B= (A1+A2+…+An)B= A1B+ A2B+…+ AnB，从而有
n
n
P(B) P(1B) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式推导 三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
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全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入
引例1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
…
故 BAi BAj =Φ（i≠j），
按概率的可加性及乘法公式有
n
B BA1 BA2 BAn BAi
n
n
i1 n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
i 1
i 1

B3
i 1
P(原因) P(结果 | 原因)
A
Bn
Bn1
2019/3/19
概率论与数理统计
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设Ai ={第i 个人抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5
则Ai ={第i 个人未抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5 求P(Bi ) ?
2 P( A1 ) 5
P( A2 )=P(A1 )P(A2|A1 ) P( A1 )P( A2|A1 )
A1 A2
2019/3/19
概率论与数理统计
16
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个
复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件 的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终 结果.
B2
B1
A
B3
Bn1
Bn
2019/3/19
概率论与数理统计
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例1 次品检验问题 箱中装有甲乙丙三个灯泡厂生产的同种型号的
2
S
P( A1 ) 5
A1
A1
PP((AA22)) =P(A2S) =P(A2 A1 A2 A1 )
A2
有限可加性
=P(A2 A1 ) P( A2 A1 )
乘法定理
==PP((AA11))PP((AA22||AA11)) PP((AA11))PP((AA22||AA11))
最简单的全概率公式
2019/3/19
= 1 0.1 1 0.2 1 0.3
2
4
4
=0.175
“执因求果”
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概率论与数理统计
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已知这个灯泡是次品,现在追究是哪个厂的责任大
甲厂生产 原因: B1 “执果索因” P(Bi | A)