必修三第二章：统计复习
一、抽样方法：
（一）简单随机抽样（适用范围：总体个数较少） 1抽签法：
（1） 将总体中的所有个体编号（号码可以从 1到N ）；
（2） 将1到N 这N 个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等） ；（3）将
号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
（4） 从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取 k 次；
（5） 从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出 2. 随机数表法：
（1） 对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致） ； （2） 在随机数表中任选一个数作为开始；
（3） 从选定的数开始按一定的方向读下去， 得到的数码若不在编号中， 则跳过；若在编号中，则取出； 如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止 （4） 根据选定的号码抽取样本?
（二）系统抽样（等距抽样）.J （适用范围：总体个数较多） （1） 采用随机的方式将总体中的个体编号；
（2） 将整个的编号按一定的间隔（设为 k ）分段，当 —（N 为总体中的个体数，n 为样本容量）是
n
整数时，k =N ;当N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数
N ，能被n
n n N /
整除，这时k
,并将剩下的总体重新编号；
n
（3） 在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号 I ;
（4） ........................... 将编号为l,l ?k,l ?2k, ,I （n- 1）k 的个体抽出. （三）?分层抽样：（适用范围：总体中由差异明显的几部分构成）
（1）将总体按一定标准分层;
（3） 按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
每层抽取个数=每层的总数×抽取比例
（4） 在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）
注意：不管哪种抽样方法，在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会 （概 率）均为—。 ....N
1. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
2. 中位数：将一组数据按大小依次排列，
（2）计算各层的个体数与总体的个数的比；抽取比例
抽取的样本个数n 总体个数N
(1)数据个数为奇数时，处在最中间位置的一个数据叫这组数据的中位数
(2)数据个数为偶数时，处在最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数
3.平均数：X1X2X3亠亠X n
X 二
n
(一)频率分布直方图
1编制频率分布表的步骤如下:
(2)分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
(3)登记频数，计算频率，列出频率分布表.
作频率分布直方图的方法为：(1)把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；(2)以此线段为
频率
底作矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形；
组距
(2)各个小矩形的面积和为1
2.在频率分布直方图中
1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
2中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。
3.平均数是频率分布直方图的重心”是直方图的平衡点.
平均数等于频率分布直方图中每一个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。
(二).频率折线图：
1?如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.
2. ①频率分布表一一数据详实
②频率分布直方图- 分布直观
③频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势
(1)求极差，决定组数和组距，组距
极差
组数
频率分布直方图如下图
频率
（三）茎叶图
1?制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎” ，个位数字作为“叶”，茎按从小到大的 顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出 ?相同的数重复写。 2?在茎叶图中，茎也可以放两位，
3?茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 茎叶图做法：
四、总体特征数的估计： 一组样本数据X 1, X 2, ,X n
注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 4.平均数和方差的运算性质：
如果数据X i , X 2,……,Xn 的平均数为X ,方差为S 2 ,则
（1） 新数据X 1 b,X 2 bJH,X n b 的平均数为X b ,方差仍为s 2 ； （2） 新数据a%, ax ?, H ∣,aX 1的平均数为ax ,方差为a 2s 2 ； （3） 新数据aX 1 b, aX 2 ? b, IH,aX n b 的平均数为aX b ,方差为a 2s 2.
1. 平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用 的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据 序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数 .
2. 方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小） ，标准差也会受极端值（特别
大或特别小的值）的影响? ⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
甲 茎 乙 9 4
2 5 9 97 6 78 92 7 1
3 410 8 4578
1 9 8
从茎叶图可以看出, 乙组数据分布相对集中,
因此稳定性比甲组好；同时，乙组的数据平均值也 1.平均数： -X 1 亠X 2 亠X 3， 亠
X n
X 二
I
J(Xi -X) n i 吕
、：[(X i
—X )2 (X
2 —X
)2
(X^X )2
.... (X n —X )2]
3.方差
I n
S 2
(X i
n
V
1
[(X 1 -X )2
n
(X 2 - X
)2
2 2
(X 3-
χ)
.... (X n -X
)]
大于甲，故乙组实力高于甲组实力。 2.标准差: 2
2
②制作散点图，判断线性相关关系
Σ ^y i- nxy
b =_ >?y1十乂2丫2 十…X n y∏ — nxy
③线性回归方程：y =bx -a （最小二乘法）
为Xi -nχ2xι2+ x22+ ...x n2— nχ2
i =I
X0123
y
35-a7+a
1
则y与X的回归直线方程y = bx+ a必过定点___________ 注意：线性回归直线经过定点&,勺）。
［例2］从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：甲：534, 517, 528, 522, 513, 516, 527, 526, 520, 508, 533, 524, 518, 522, 512
乙：512, 520, 523, 516, 530, 510, 518, 521, 528, 532, 507, 516, 524, 526, 514
画出上述数据的茎叶图
正解：用前两位数作为茎，茎叶图为
甲乙
8507
8763251024668
876422052013468
435302
54
从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数和众数都
是522,乙机床生产的零件的指标分布也大致对称，平均分也在520左右，中位数和众数分别是520和516,总的看，甲的指标略大一些.
19.（本题12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分
成六段40,50 , 50,60 ,…，90,100后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
⑴求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
⑵估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和
平均分；（要写出必要的过程，否则不得分）；
40 50 60 70 80 90 100
19. (I)因为各组的频率和等于1,
故第四组的频率：f4 =1 -(0.025 0.015 2 0.01 0.005) 10 = 0.3,
频率0 3
组I市』03,直方图如右图所示
(∏)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、
六组频率和为(0.015 0.03 0.025 0.005) 10=0.75
所以，抽样学生成绩的合格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分：
45 f1 55 f2 65 f3 75 f4 85 f5 95 f6
=45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05 = 71,
注意：平均数等于频率分布直方图中每一个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。
例2.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据
X3456
y 2.534 4.5
(2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于X的线性回归方程y = bX ? ?；
(3) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性
回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？( 19.65吨)
(参考数值：3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 =66.5)
21. (1)散点图如下
九年级上册数学圆章节知 识点总结 Prepared on 21 November 2021
与圆相关的基本知识和计算 一、知识梳理： （一）：圆及圆的有关概念 1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆； 2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧； 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦； 4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧； 5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角； （二）圆的有关性质： 1.对称性：圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线； 2.垂径定理及其推论： （1）、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； （2）、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。 4.圆周角与圆心角的关系 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；
（2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，0 90的圆周角所对的弦是直径； 5.圆内接四边形对角互补。 （三）点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系． (1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内． 2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （四）直线与圆的位置关系 1、(1)直线与圆的位置关系有关概念 ①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． ②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点． ③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． (2)用数量关系判断直线与圆的位置关系 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： (1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)； (2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)； (3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)． 2、切线 (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． (3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． (4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． （五）三角形的外接圆和内切圆 1、三角形的外接圆 （1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
章末小结与提升 函数{ 变量与函数{ 常量与变量函数与函数值函数图象的画法 { (1)列表(2) 描点 (3) 连线 函数的表示方法{列表法解析式法 图象法一次函数{ 正比例函数{图象性质一次函数{图象 性质一次函数与方程、不等式的关系函数的应用 类型1 变量与函数 典例1 已知W=x+1, y=W 2 ,那么y 是不是x 的函数?若不是,请说明理由;若是,请写 出y 与x 之间的函数关系式. 【解析】y 是x 的函数. ∵W=x+1,y=W 2,∴y= x+1 2 . 【针对训练】 1.下列平面直角坐标系中的曲线不能表示y 是x 的函数的是 (C ) 2.甲、乙两人以相同的路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中l 甲,l 乙分别表 示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s (千米)随时间t (分钟)变化的函数图象,则每分钟乙比甲多行驶 3 5 千米.
3.已知直线m ,n 之间的距离是3,△ABC 的顶点A 在直线m 上,边BC 在直线n 上,求△ABC 的面积S 和BC 边的长x 之间的函数关系式,并指出其中的变量和常量. 解:由题意得S=3 2x ,变量是S ,x ;常量是3 2. 4.下表给出了菲菲家去年橘子的销售额(元)随橘子卖出质量(千克)的变化的有关数据: (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当橘子卖出5千克时,销售额是多少? (3)估计当橘子卖出50千克时,销售额是多少? 解:(1)表中反映了橘子的卖出质量与销售额之间的关系,橘子的卖出质量是自变量,销售 额是因变量. (2)当橘子卖出5千克时,销售额为10元. (3)当橘子卖出50千克时,销售额估计为100元. 类型2 一次函数的图象和性质 典例2 已知一次函数y=(2m+4)x+(3-n ),求: (1)当m 是什么数时,y 随x 的增大而增大? (2)当n 为何值时,函数图象与y 轴的交点在x 轴下方? (3)m ,n 为何值时,函数图象过原点? 【解析】(1)当2m+4>0时,y 随x 的增大而增大,解不等式2m+4>0,得m>-2. (2)当3-n<0时,函数图象与y 轴的交点在x 轴下方,解不等式3-n<0,得n>3. (3)当2m+4≠0,3-n=0时,函数图象过原点,则m ≠-2,n=3.
圆 章末小结与提升
类型1旋转的性质及应用 1. 如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正确的是 (C) A.线段AB与线段CD互相垂直 B.线段AC与线段CE互相垂直 C.点A与点E是两个三角形的对应点 D.线段BC与线段DE互相垂直 2.如图所示,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N. (1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点; (2)将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△CAN为等腰直角三角形; (3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时,那么(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 解:(1)∵M为DE的中点,∴DM=EM. ∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM, 又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN, ∴AM=MN,即M为AN的中点.
(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN, 又∵DA=AB,∴AB=NE. ∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC, ∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE, ∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°, ∴∠BCN+∠ACB=90°, ∴∠ACN=90°,∴△CAN为等腰直角三角形. (3)成立. 证明:由(2)可知AB=NE,BC=CE, ∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE. ∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM, 又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+(180°-∠DBE)=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC. ∴△ABC≌△NEC,再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形, ∴(2)中的结论仍然成立. 类型2垂径定理及推论 1. 如图所示,在☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长度为(D) A.2 B.8 C.2 D.2
《圆》章节知识点 一、圆的概念 1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”。 2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小。 3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。 4.①连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“?”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。③在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧。理解：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。 5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。 6.①三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。 （补充）圆的集合概念 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫 中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线。
第二章 函数 章末小结（二） 一、教学目标 1、知识与技能：（1）总结知识,形成网络； （2）掌握函数单调性的定义和函数奇偶性的定义； （3）会用定义判断函数的单调性和奇偶性； （4）掌握二次函数的图像与性质,并学会图像的变换； （5）了解简单的幂函数。 2、 过程与方法：(1)通过例题讲解让学生回顾掌握函数的两条重要的性质单调性和奇偶性． (2)让学生归纳整理本章所学知识使知识形成网络． 3、情感．态度与价值：学生感受到学习函数的性质对研究函数的重要性，增强学好函数的信心。 二、教学重点: 复习函数的单调性和奇偶性和二次函数． 教学难点：判断函数的单调性和奇偶性． 三、学法指导：学生通过自主整理、回顾复习． 四、教学过程 （一）、函数的知识导图: （二）、复习函数的基础知识 1．函数的单调性的定义及其应用 2．函数的奇偶性 3．二次函数的图像与性质 4．幂函数 （三）、应用举例 1．函数的单调性 例1．下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（ ）． .()3A f x x =- 2.()3B f x x x =- .()||C f x x =- 3.()2 D f x x =-+
答案:D 解析:函数f(x)=3-x 为减函数, f(x)=x 2-3x 在3 (,)2-∞上为减函数,在3(,)2 +∞上是增函数, ? ??≥-<=-=)0()0(||)(x x x x x x f 在(0,+∞)上为减函数,只有函数f(x)=-23+x 在(-2,+∞)上是增函数,所以在(0,+∞)上为增函数．故选择D ． 练习1．已知 f(x)=x 2 -2x+8,如果g(x)=f(x+2),则g(x)（ ）． A ．在区间(-∞,1)上是单调减函数,在区间[1,+∞]上是单调增函数 B ．在区间(-∞,0)上是单调减函数,在区间[0,+∞]上是单调增函数 C ．在区间(-∞,-1)上是单调减函数,在区间[-1,+∞]上是单调增函数 D ．在区间(-∞,3]上是单调减函数,在区间[3,+∞)上是单调增函数 答案:C 解析:因为f(x)=x 2-2x+8,所以g(x)= f(x+2)=(x+2)2-2(x+2)+8=x 2+2x+8=(x+1)2+7,所以g(x)在区间(-∞,-1]上是单调减函数,在区间[-1, +∞)上是单调增函数． 反思归纳：判断函数单调性的方法有①图象法；②按复合函数的判断方法同向增异项减；③定义法。 2．函数的奇偶性 例2．函数9()1f x x =+是（ ）． A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 答案:B ． 解析:函数9()1f x x =+的定义域为[-1,1], 又9()1f x x -=+-9()1f x x ==+,所以)(x f 为偶函数． 练习2: 判断下列函数的奇偶性： ①x x x x f -+-=11)1()(, ②2211)(x x x f --=,③22(0)()(0) x x x f x x x x ?+?? 反思归纳：奇偶性的判断方法先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义式或变形定义式验证。
第1章统计案例 1．独立性检验 所谓的独立性检验，就是根据采集的数据，利用公式求出χ2的值，比较χ2与临界值的大小关系，来判断两个变量是否相关的问题，是一种假设检验． 独立性检验问题的基本步骤为： (1)找相关数据，作列联表； (2)求统计量χ2； (3)判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的确信度． 若χ2>10.828，则有99.9%的把握认为“x与y有关系”； 若χ2>7.879，则有99.5%的把握认为“x与y有关系”； 若χ2>6.635，则有99%的把握认为“x与y有关系”； 若χ2>5.024，则有97.5%的把握认为“x与y有关系”； 若χ2>3.841，则有95%的把握认为“x与y有关系”； 若χ2≥2.706，则有90%的把握认为“x与y有关系”； 如果χ2<2.706，就认为没有充分的证据显示“x与y有关系”．
2．回归分析 对于两个变量之间是否存在线性关系，可根据得到的数据，作散点图．如果这些点在一条直线附近，则两变量呈线性相关关系，再列表，计算，它们之间的相关程度可由相关系数进行判断，我们可以根据所得的线性回归方程进行有效的预测． 若两变量之间存在线性关系，设线性回归方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^ ＝ ∑i ＝1n x i y i －n x －y － ∑i ＝1 n x 2 i －n x － 2 ，a ^＝y － －b ^x － ，从而求出线性回归方程． 其线性相关程度可用计算两个随机变量间的相关系数r 来判断，r ＝ ∑i ＝1n x i y i －n x －y － ∑i ＝1 n x 2 i －n x － 2 · ∑i ＝1 n y 2 i －n y －2 ，|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强； |r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱． (考试时间：120分钟 试卷总分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列现象属于相关关系的序号是________． ①家庭收入越多，消费也越多 ②圆的半径越大，圆的面积越大 ③气体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而减小 ④在价格不变的条件下，商品销售量越多销售额也越多 解析：根据相关关系的概念可知①属于相关关系． 答案：① 2．为研究变量x 和y 的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x －相同，y － 也相同，则l 1与l 2的位置关系是________． 解析：每条回归直线都过样本中心(x －，y －)，故l 1与l 2有公共点(x －，y － )．
第十九章 一次函数章末小结教案 一、教学目标 1、知识与能力目标： 进一步巩固一次函数的相关知识，初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。 2、过程与方法目标： （1）经历提出问题，收集和整理数据，获取信息，处理信息（画出函数的图象），形成如何决策的具体方案。 （2）在利用图像探究方案的决策过程中，体会“数形结合”思想在数学应用中的重要地位。 3、情感态度与价值观： 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 二、问题的引入： 用火柴棒搭一行三角形，小明按图（1）搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需6支火柴棒，搭3个三角形需9支火柴棒.小花按图（2）搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需5支火柴棒，搭3个三角形需7支火柴棒，…，照这样的规律搭下去，你能用所学知识表示出小明和小花搭x 个三角形各需要的火柴棒数. 三、知识要点回顾 1.一次函数的概念：函数y=_______(k 、b 为常数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数. ★理解一次函数概念应注意下面两点： ⑴解析式中自变量x 的次数是___次， ⑵比例系数 _____. 2. 平移与平行的条件 （1）把 y =kx 的图象向上平移b(b>0)个单位得y = ，向下平移b 个单位得y = （2）若直线y =k 1x +b 与y =k 2x +b 平行，则 ______， .反之也成立 （1）
3. 求交点坐标. 如何求直线 y =kx +b 与坐标轴的交点坐标？ 4.正比例函数的图象与性质 （1)图象:正比例函数y = kx (k 是常数，k ≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y = kx . (2)性质:当k >0时,直线y = kx 经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k <0时,直线y = kx 经过第二,四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大y 反而减小. 5.一次函数的图象及性质. （1）一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象是过点（0，___),（____，0)的__________. (2)性质:当k >0时, 从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； 当k <0时, 从左向右下降，即随着 x 的增大y 反而减小. 6. 一次函数y =kx +b (k ≠0)k 的作用及b 的位置. k 决定直线的方向和直线的陡、平情况 k ＞0，直线左低右高，b ＞0，直线交y 轴正半轴（x 轴上方）； k ＜0，直线左高右低，b ＜0，直线交y 轴负半轴（x 轴下方）； k 的绝对值 越大直线越陡。 7、用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 四、复习检测 1． 函数 中，自变量x 的取值范围是 ( ) A. x < 3 3 C. x > 3 D. x ≥3 2．下列各图表示y 是x 的函数的 是（ ） 3．在夏天，一杯开水放在桌面上，其水温T 与放置时间t 的关系，大致可表示为 ( ) 4.已知一次函数y =kx +b , y 随着x 的增大而减小，且kb <0，则在直角坐标系内它的图象大致为（ ） A B D C y =
数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的数的相关容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于数，不明白数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理
2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源
误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 绝对误差限： （2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。 相对误差： 相对误差限： 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。 （3）有效数字的定义 有效数字的第一种定义:设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到小数点后第k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。
第1节粒子运动状态的经典描述 一．回顾 1.最概然分布 （1）分布：粒子在能级上的分布 （2）最概然分布：概率最大的分布 2.粒子运动状态描述--力学运动状态 (1)经典力学描述（2）量子力学描述 二．粒子向空间描述 1.运动状态确定 自由度为r的粒子，任意时刻的力学运动状态由r个广义坐标（q）和r个广义动量（p）的数值确定，则粒子的能量为 2. 向空间 （1）空间：由r个广义坐标和r个广义动量构成一个直角坐标系，这个2r维的空间，就称为空间。 （2）代表点（相点） （3）相轨迹. 3．常见粒子的描述 1. 自由粒子 定义：不受力的作用而作自由运动的粒子。 描述：粒子能量为 2. 线性谐振子 3. 转子 第2节粒子运动状态的量子描述 1．波粒二象性与测不准关系 1.波粒二象性 德布罗意关系 2. 测不准关系 2．常见粒子的量子态描述 1线性谐振子 2. 转子 （1）， 当L 确定时，可将角动量在其本征方向投影（z轴） （2）能量 （3）简并与简并度 3. 自旋角动量
自旋角动量（）是基本粒子的内禀属性 4. 自由粒子 （1）一维 （2）三维 容器边长L,动量和能量分量 x: , y: z; 总动量和总能量 （3）量子态数 第3节系统微观运动状态的描述 1、系统 1、对象：组成系统的粒子为全同近独立粒子 2、全同粒子系统具有完全相同的内禀属性的同类粒子的系统 3、近独立粒子系统：系统中的粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单粒子能量。 4、系统的能量 N个全同近独立粒子 . 2、系统的微观状态的经典描述 1、力学方法：。 2、可分辨全同粒子 系统中任意两个粒子交换位置，系统的力学运动状态就不同。 3、量子描述 1、全同性原理 2、状态的描述 （1）、定域系：全同粒子可辨 非定域系：全同粒子不可分辨 定域系需要要确定每个粒子的个体量子数； 非定域系确定每个个体量子态上的粒子数 （2）、微观粒子的分类 玻色子：自旋量子数位整数 费米子：自旋量子数为办整数 4、系统分类 1、玻色系统：玻色子不受泡利原理控制； 2、费米系统：费米子受泡利原理约束，不可分辨； 3、玻尔兹曼系统：粒子可分辨，同一个个体量子态上粒子数不受限制。
第一章 整式的乘除 水塘中学 李学英 知识小结 一、幂的运算性质 1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 m n m n a a a +=? 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。 nm m n a a =)( 3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。 n n n b a ab =)( 4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 10 =a （0≠a ） 注意 00没有意义。 5、负整数指数幂： p p a a 1= - （p 正整数，0≠a ） 6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。m n m n a a a -=÷ 注意：以上公式的正反两方面的应用。 常见的错误：632a a a =?，532)(a a =，33)(ab ab =，326a a a =÷，4222a a a =+ 二、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。 三、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。 四、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。 ()()bn bm an am n m b a +++=++ 五、平方差公式 两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。 即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的
平方。 ()()2 2b a b a b a -=-+ 六、完全平方公式 两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。 ()ab b a b a 2222++=+ ()ab b a b a 2222 -+=- 常见错误：()222b a b a +=+ ()222b a b a -=- 七、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。 八、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。 练习 幂的乘方 1. ()2 3x = ； 4 231???? ??? ???? ?? = ；n y 24? ? ? ??= () 3 a a -?-= ； ()a n a ?2 = ； 3() 214() a a a ?= ； ()3 3 2?? ? ?? ?- c = ； 2. 若（a 3）n ＝（a n ）m （m ，n 都是正整数），则m ＝____________． 3.计算3 221?? ? ??-y x 的结果正确的是（ ） A. y x 2 441 B. y x 3 6 8 1 C. y x 3581- D. y x 3681- 4.判断题：（对的打“√”，错的打“×”） 532a a a =+( ) 632x x x =?( ) （x x 532)=（ ）a a a 824=?（ ） 5. 若m 、n 、p 是正整数，则p n m a a )(?等于（ ）． A ．np m a a ? B ．np mp a + C ．nmp a D ．an mp a ? 6.计算题
三角函数知识总结 知识点一：理解终边相同的角的关系，能够表示象限角与轴线角，会判断角所在象限 考题1：已知α是第一象限角，那么2α是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 知识点二：了解弧度的定义，掌握弧长公式和扇形的面积公式，会进行角度和弧度的换算 考题2：已知扇形周长为6cm ，面积为22 cm ，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 知识点三：理解任意角的正弦，余弦，正切的定义，了解三角函数线，会用定义推导每个象限对应的三角函数值的正负号及诱导公式（一） 考题3：已知角α的终边经过)3,2(P 点，则有（ ） A ．13132sin =α B ．1313cos =α C ．13133sin =α D ．3 2tan =α 考题4：求值o o 405cos 300tan + 知识点四：掌握同角三角基本关系式1cos sin 22=α+α，αα= αcos sin tan ，1cot tan =α?α， 灵活运用这些关系处理α?αα±ααααcos sin ,cos sin ,tan ,cos ,sin 间的求值问题，以及可化为分式齐次式的求值问题。 考题5：已知α为第二象限角，且21)2tan(- =π+α，则_____cos =α 考题6：已知θ是三角形的内角，5 1cos sin =θ+θ，求θ-θcos sin ，θtan 的值。 考题7：已知5 5sin =α，求α-α44cos sin 的值。 考题8：已知2tan =α，求α +αα-αcos 2sin cos sin 2，α-α?α+α22cos cos sin sin 2的值 知识点五：掌握诱导公式并能熟练运用，能够敏锐判断何时该用诱导公式，理解诱导公式的作用 考题9：求o 585sin 的值 考题10：设)cos()sin()(β+π+α+π=x b x a x f ，其中βα,,,b a 均为常数，且 5)2000(=f ，求)2003(f 考题11：已知31)6cos(=α-π，求)3 2sin()65cos(α-π?α+π的值
数列章末总结 1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法； 2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系， 一、课前准备 （1）有关概念： 1°数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。 2°数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。 3°数列的递推公式：如果已知数列{a n}的第一项（或前n项，且任一项a n与它的前一项a n-1（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 4°若数列{a n}的前n项和为S n则 a S S n S n n n n = -≥ = ? ? ? -1 1 2 1 （） （）
※数列通项公式的求法 数列的通项公式是数列的核心内容之一。它如同函数中的解析式一样，对研究数列的性质起着重要的作用。围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化规律与趋势，而且还便于研究数列的前n 项和，因此求数列的通项公式往往是解决数列问题的突破口，在解题时，根据题目所给条件的不同，可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方法如下： 1.叠加法（累加法） 对于形如a n+1-a n =f(n)型的，用叠加法 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1-a n =3n -n ，求数列{a n }的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 2.叠乘法（累乘法） 对于形如1 ()n n a f n a +=)型的，用叠加法 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+= +，求n a 。 变式：已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求n a 。
第23课时 章末复习与小结（一） 【目标导航】 1.通过整理全章知识的过程，掌握本章的基本知识，基本的数学思想及方法； 2.掌握本章的基本的数学题型，解题思路，熟练解题技巧。 【要点整理】 （一）函数的概念 1、概念： 在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的 值，按照某个对应法则f ，y 都有 值与它 ，那么，把x 叫做 ，把y 叫做x 的 ． 2.表示： 将上述函数记作 ．变量x 叫做自变量，数集D 叫做函数的 ． 3.函数值的概念： 函数值．记作 . 4.函数的定义域： 。 5.定义域的求法：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ； 6.函数的值域：函数值的集合(){}|,y y f x x D =∈叫做函数的值域． 7.基本初等函数的值域的求法： 。 8. 同一函数的理解：（1）函数的三要素：1） ；2） ；3） 。 2）什么是同一函数： 。 （二）函数的表示 1. 函数的三种表示：（1） ；（2） ；（3） 。 2. “描点法”画图的基本步骤：（1） ；（2） ；（3） 。 3.三种表示法的优缺点比较：
（1）常见解析式的设法：一次函数： ；正比例函数 ；反比例函数： ；二次函数： 。 （2）待定系数法求解析式的一般步骤： 1）设； 。 2）列； 。 3）解； 。 4）写； 。 （3）简单的抽象函数的解析式的求法：① ② 。 （三）函数的性质 1.单调性： （1）单调增函数的定义： 在区间(),a b 内，随着 的增加，函数值 ，图像呈 趋势．即对于 的 ()12,,x x a b ∈，当 时，都有 成立．这时把函数()f x 叫做区间(),a b 内 的 ，区间(),a b 叫做函数()f x 的 ．此时，区间(,)a b 叫做函数()f x 的 。 （2）单调减函数的定义：在区间(),a b 内，随着 的增加，函数值 ，图像呈 趋势．即对于 的()12,,x x a b ∈，当 时，都有 成立．这时把函数()f x 叫做区间(),a b 内的 ，区间(),a b 叫做函数()f x 的 ． （2）单调性的概念： ①单调性： 。 ②单调区间： 。 （3）单调性的判定： ①判定的二种方法： ； 。 ②利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： 设元： ；作差： ；变形 ；断号 ；定论 。 （4）单调性的应用： ① “正用”若)(x f 在区间D 上单调递增，D x x ∈21,,且12x x ? 。
第一章运动的描述 一、质点： 用来代替物体、只有质量而无形状、体积的点。它是一种理想模型，物体简化为质点的条件是物体的形状、大小在所研究的问题中可以忽略。它是在研究物体的运动时，为使问题简化，而引入的理想模型。仅凭物体的大小不能视为质点的依据，如：公转的地球可视为质点，而比赛中旋转的乒乓球则不能视为质点。 物体可视为质点主要是以下三种情形： (1)物体平动时；(2)物体的位移远远大于物体本身的限度时； (3)只研究物体的平动，而不考虑其转动效果时。 1．下列关于质点的说法中，正确的是（） A．质点就是质量很小的物体 B．质点就是体积很小的物体 C．质点是一种理想化模型，实际上并不存在 D．如果物体的大小和形状对所研究的问题是无关紧要的因素时，即可把物体看成质点2．在下述问题中，能够把研究对象当作质点的是（） A．研究地球绕太阳公转一周所需时间的多少 B．研究地球绕太阳公转一周地球上不同区域季节的变化、昼夜长短的变化 C．一枚硬币用力上抛，猜测它落地时正面朝上还是反面朝上 D．正在进行花样溜冰的运动员 3关于物体能不能被看做质点，下列说法中正确的是（） A.研究子弹的运动轨迹时，只能把子弹看做质点 200的列车从上海到北京的运行时间时，应该把此列车视为质点 B.当研究一列长m C.研究自行车的运动时，因为车轮在转动，所以研究自行车时不能视其为质点 D.在研究能地球的自转时，可以把地球视为质点 二．参考系：被假定为不动的物体系。 对同一物体的运动，若所选的参考系不同，对其运动的描述就会不同，通常以地球为参考系研究物体的运动。 运动的相对性：只有在选定参照物之后才能确定物体是否在运动或作怎样的运动。一般以地面上不动的物体为参照物。 1关于参考系的选择，下列四位同学展开了讨论，其中正确的是（） A.黄娃说，只有静止的物体才能够被选作参考系 B.紫珠说，任何物体都可以被选作参考系 C.红孩说，选择地面作为参考系是最好的
第一章 一元二次方程章末小结 【知识点一】一元二次方程判定（选填） 1、下列方程中，一元二次方程的个数有（ ）（1）02=++c bx ax （2）0322=-+y x （3）0312=++x x （4）12=x （5）()01122=+++ax x a 【知识点二】从隐含条件对答案进行筛选 1、若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 1.1、当m_____ 时，方程(m －1)x 2＋2(m －7)x ＋2m ＋2＝0有两个相等的实数根. 1.2若关于x 的一元二次方程2kx 2＋(8k ＋1)x ＝－8k 有两个实数根，则k 的取值范围是_____ 1.3、若关于x 的一元二次方程 的常数项为0，则m 的值等于 2、已知方程() 031222=+--m x m x 的两个根互为相反数，则m 的值是（ ） （A ）1±=m （B ）1-=m （C ）1=m （D ）0=m 3、的值，求等于的两个实数根的平方和的方程已知关于k k x k x 602)1(x 2=+++- 3、【知识点三】判别式的四种常见题型 1、不解方程判断一元二次方程的根的情况 20152=+-x x 2、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程b(x ２－1)－2ax ＋c(x ２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状
2.1设c b a ,,是ABC ?三边的长，且关于x 的方程()())0(0 222>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证ABC ?是直角三角形。 3、求证：k 为何实数，方程() ()0112122=---+x k x k 一定有两个不相等的实根。 【知识点四】与几何的关系 1、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ） 2、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 3、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为 【知识点五】根据根的定义来求代数式的值 1、若的根，是方程012 =-+x x a 则2006222++a a 的值为 ． 1.1、已知a 、b 是方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个实数根,且a 2＋b 2＝1,求m 的值 1.2、已知a 2＋a －1＝0,b 2＋b －1＝0(a ≠b). 求a 2b ＋ab 2的值. 2、若关于x 的两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共解，（1），求此公共解；（2）求非 公共解之和。 2.1方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（ 3、已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ． 3.1若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为____________ 3.2已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a≠0)，则a －b 的值为（ ） A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 4、若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） （A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定
必修三第二章：统计复习 一、抽样方法： （一）简单随机抽样（适用范围：总体个数较少） 1．抽签法： （1）将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N ）； （2）将1到N 这N 个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等）；（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀； （4）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k 次；（5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出. 2．随机数表法： （1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；（2）在随机数表中任选一个数作为开始； （3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止 （4）根据选定的号码抽取样本.（二）系统抽样（等距抽样）．．．．． ：（适用范围：总体个数较多）（1）采用随机的方式将总体中的个体编号； （2）将整个的编号按一定的间隔（设为k ）分段，当n N （N 为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N / 能被n 整除，这时n N k / =，并将剩下的总体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ； （4）将编号为k n l k l k l l )1(.,,.........2,,-+++的个体抽出. （三）．分层抽样：（适用范围：总体中由差异明显的几部分构成）（1）将总体按一定标准分层； （2）计算各层的个体数与总体的个数的比；抽取比例= N n 总体个数抽取的样本个数（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； 每层抽取个数=每层的总数×抽取比例 （4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.注意：不管哪种抽样方法．．．．．．．．．．．,．在．N ．个个体的总体．．．．．．中抽取出．．．．n ．个个体组成样本，每个个体被抽到的机．．．．．．．．．．．．．．．．． 会（概率）均为．．．．．．． N n 。． 二．1.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 2.中位数：将一组数据按大小依次排列，
与圆相关的基本知识和计算 一、知识梳理： （一）：圆及圆的有关概念 1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆； 2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧； 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦； 4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧； 5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角； （二）圆的有关性质： 1.对称性：①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；②圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线； 2.垂径定理及其推论： （1）、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； （2）、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； 3.圆心角、弧、弦之间的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； （2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。4.圆周角与圆心角的关系 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； 90的圆周角所对的弦是直径； （2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，0 5.圆内接四边形对角互补。 （三）点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系． (1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．