§ 3 全称量词与存在量词(学案)

§ 3 全称量词与存在量词（学案）学习目的1、理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容．2、了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．自主整理1.表示整体或全部的含义的量词叫作,其形式为“所有”“”“任何一个”“”“”等,通常用符号“∀”表示. 读作“任意”.2.含有全称量词的命题,叫作命题,它的一般形式可表示为“x∈M,p(x)”,其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.3.表示个别或一部分的含义的量词叫作,其形式为“有些”“”“”“存在”等,通常用符号“∃”表示,读作“存在”.4.含有存在量词的命题叫作命题,它的一般形式可表示为“∃x∈M,p(x)”,其中M 为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.5.全称命题的否定是命题.即全称命题p:x∈M,p(x),它的否定非p:∀x∈M,非p(x).6.特称命题的否定是命题.即特称命题p:∃x∈M,p(x),它的否定非p:∀x∈M,非p(x).例题讲解【例1】判断下列命题是否为全称命题,并判断其真假.(1)所有的素数是奇数; (2)x∈N,2x+1是奇数;(3)每一个平行四边形的对角线都互相平分.变式练习1.判断下列全称命题的真假.(1)∀x∈R,f(x)=x2的值域是(0,+∞);(2)任意两个面积相等的三角形是全等三角形;(3)所有函数的定义域都不是空集.【例2】判断下列命题是否为特称命题,并判断其真假.(1)存在一个x ∈R ,使11-x =0; (2)存在一组m 、n 的值,使m-n=1;(3)至少有一个集合A,满足A {1,2,3}.变式练习2.判断下列命题是全称命题还是特称命题?并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除.(3)∀x ∈{x|x 是无理数},x 2是无理数;(4)∃x ∈{x|x ∈Z },log 2x>0.【例3】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.(1)三角形的内角和为180°;(2)每个二次函数的图像都开口向下;(3)存在一个四边形不是平行四边形.变式训练3.写出下列命题p 的否定:(1)p:所有能被5整除的整数的末位数字是0或5;(2)p:有的等腰三角形是直角三角形;(3)p:任意两个等边三角形都是相似的;(4)p:∃x ∈R ,x 2+2x+2=0.【例4】若全称命题“ x ∈［-1,+∞)时,x 2-2ax+2≥a 恒成立”是真命题,求实数a 的取值范围.变式训练4.函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x 成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值;(2)当f(x)+2<log a x,x ∈(0,21)恒成立时,求a 的取值范围.基础练习作业1.判断下列命题的真假:(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(4)存在一个实数,使等式x 2+x+8=0成立;(5)有一个实数x,使x 2+2x+3=0;(6)存在两个相交平面垂直于同一直线;(7)有些整数只有两个正因数.2.判断下列命题的真假:(1)x ∈R ,|x|+2≥2; (2)∀x ∈［0,2π］,sinx>0; (3)∀x ∈R ,x 2+3>0; (4)∀x ∈N ,x 4≥1;(5)∃x ∈Z ,x 3<1; (6)∃x ∈Q ,x 2=3;(7)∃x ∈R ,x 3-3x+2=0; (8) x ∈R,x 2+1=0.3.为了使下列命题p(x)成为真命题,求x的范围.(1)p(x):x+1>x; (2)p(x):x2-5x+6>0; (3)p(x):sinx>cosx.4.设集合S={四边形},p(x):内角和为360°,试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S,p(x)”.5.设q(x):x2=x,试用不同的表达方式写出特称命题“∃x∈R,q(x)”.解析:存在量词、特称命题的不同形式有:“有x,…”“存在x,…”等,要紧扣这些形式表述特称命题.6.若特称命题“∃x∈R,使log2(ax2+x+2)<0”为真命题,求a的取值范围.7.写出下列全称命题的否定:(1)∀x ∈R ,x 2+x+1>0;(2)∀x ∈Q ,31x 2+21x+1是有理数.8.写出下列特称命题的否定:(1)∃α、β∈R ,使sin(α+β)=sinα+sinβ;(2)∃x 、y ∈Z ,使3x-2y=10.9.写出下列命题的否定.(1)所有的直角三角形都相似;(2)有些无理数的平方是有理数.10.写出下列命题的否定,并判断它们的真假.(1)p:“∀x ∈Q ,x ∈R ”;(2)p:“∃x ∈R ,x 2+x+1<0”.11.写出下列命题p的否定,并判断真假.(1)p:有些直线和圆相切;(2)p:任意一个正方形的四条边相等;(3)p:所有对角线相等的四边形都是矩形;(4)p:∃x∈R,|x|>x;(5)p:∀x、y∈R,x2+y2>0.12.已知a>0,命题p:∃x∈R,|x-4|+|x-3|<a为真命题,求a的取值范围.13.若全称命题p:∀x∈［1,3］,x2-2mx-1>0为真命题,求实数m的取值范围.14.若命题p:∃x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0是假命题,求实数a的取值范围.15.若命题“∀x∈R,关于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-1<0都成立”为真命题,求a的取值范围.16.已知特称命题“存在c>0,使y=c x在R上为减函数”为真命题,同时全称命题“∀x∈R,x+|x-2c|>1”为真命题,求c的取值范围.课后总结1.对于全称量词和全称命题要注意以下两点:(1)将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称命题“对M中任意一个x,都有p(x)成立”,可简记为“∀x∈M,p(x)”.(2)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某些性质的命题.2.对于存在量词和特称命题要注意以下两点:(1)特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”.(2)特称命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某些性质的命题.3.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,即它们互为否定形式.在写出两种命题的否定时,要牢固掌握形式上有两个变化,全称量词与特称量词的变化,条件p(x)和非p(x)的变化.4.如何判断全称命题的真假?解析:要判断全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立.如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.5.如何判断特称命题的真假?解析:要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题.6.如何写出一个全称命题的否定?解析:一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定非p是:∃x∈M,非p(x).全称命题的否定是特称命题,x∈M变为∃x∈M,p(x)变为非p(x),要注意形式上的变化.7.如何写出一个特称命题的否定?解析:一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题p:∃x∈M,p(x),它的否定非p是:∀x∈M,非p(x).特称命题的否定是全称命题,∃x∈M变为∀x∈M,p(x)变为非p(x),要注意形式上的变化.§ 3 全称量词与存在量词学习目的1、理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容．2、了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．自主整理1.表示整体或全部的含义的量词叫作全称量词,其形式为“所有”“每一个”“任何一个”“任意一条”“一切”等,通常用符号“∀”表示. 读作“任意”.2.含有全称量词的命题,叫作全称命题,它的一般形式可表示为“x∈M,p(x)”,其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.3.表示个别或一部分的含义的量词叫作存在量词,其形式为“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等,通常用符号“∃”表示,读作“存在”.4.含有存在量词的命题叫作特称命题,它的一般形式可表示为“∃x∈M,p(x)”,其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.5.全称命题的否定是特称命题.即全称命题p:x∈M,p(x),它的否定非p:∀x∈M,非p(x).6.特称命题的否定是全称命题.即特称命题p:∃x∈M,p(x),它的否定非p:∀x∈M,非p(x).例题讲解【例1】判断下列命题是否为全称命题,并判断其真假.(1)所有的素数是奇数; (2)x∈N,2x+1是奇数;(3)每一个平行四边形的对角线都互相平分.解析:依据全称命题的概念来判定.要判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M 中每个元素x,证明p(x)成立,要判定全称命题是假命题,只需找到M中一个元素x0,使得p(x0)不成立即可.答案:(1)是全称命题.由于2是素数,但2不是奇数,所以全称命题:“所有的素数是奇数”是假命题.(2)是全称命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以全称命题:“∀x∈N,2x+1是奇数”是真命题.(3)是全称命题.显然它是真命题.小结若全称命题为真命题,可由相关数学知识推证.若全称命题为假命题,只需举出一反例说明即可.变式练习1.判断下列全称命题的真假.(1)∀x∈R,f(x)=x2的值域是(0,+∞);(2)任意两个面积相等的三角形是全等三角形;(3)所有函数的定义域都不是空集.答案:(1)因为x=0时,f(x)=0∉(0,+∞),所以此命题为假命题.(2)一个正三角形与一个直角三角形可以做到面积相等,但它们不是全等三角形.故此命题是假命题.(3)由函数的概念,可知此命题是真命题.【例2】判断下列命题是否为特称命题,并判断其真假.(1)存在一个x ∈R ,使11-x =0;(2)存在一组m 、n 的值,使m-n=1; (3)至少有一个集合A,满足A{1,2,3}. 解析:用特称命题的概念来判定.要判定特称命题“∃x ∈M,p (x)”是真命题,只需在集合M 中找到一个x 0,使p(x 0)成立即可,如果在集合M 中,使p(x)成立的元素不存在,那么它是假命题. 答案:(1)是特称命题.不存在x ∈R ,使11-x =0成立,所以该命题是假命题. (2)是特称命题.当m=4,n=3时,使m-n=1成立,所以该命题是真命题.(3)是特称命题.存在A={3},使A {1,2,3}成立,所以该命题是真命题.小结 只需找到命题中满足条件的一个元素就可以说明特称命题是真命题,如果这样的元素不存在,那么这个特称命题就是假命题.变式练习2.判断下列命题是全称命题还是特称命题?并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除.(3)∀x ∈{x|x 是无理数},x 2是无理数;(4)∃x ∈{x|x ∈Z },log 2x>0.答案:(1)全称命题,真命题;(2)特称命题,真命题;(3)全称命题,假命题;(4)特称命题,真命题.【例3】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.(1)三角形的内角和为180°;(2)每个二次函数的图像都开口向下;(3)存在一个四边形不是平行四边形.解析:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.答案:(1)是全称命题且为真命题.命题的否定是:三角形的内角和不全为180°,即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题.命题的否定是:存在一个二次函数的图像开口不向下.(3)是特称命题且为真命题.命题的否定是:所有的四边形都是平行四边形.小结 全称命题p:∀x ∈M,p(x),它的否定非p:∃x ∈M,非p(x);特称命题p:∃x ∈M,p(x),它的否定非p:∀x ∈M,非p(x),要注意形式上的变化.变式训练3.写出下列命题p 的否定:(1)p:所有能被5整除的整数的末位数字是0或5;(2)p:有的等腰三角形是直角三角形;(3)p:任意两个等边三角形都是相似的;(4)p:∃x ∈R ,x 2+2x+2=0.答案:(1)非p:存在一个能被5整除的整数的末位数字不是0或5;(2)非p:所有的等腰三角形都不是直角三角形;(3)非p:存在两个等边三角形,它们不相似;(4)非p:∀x ∈R ,x 2+2x+2≠0.【例4】若全称命题“∀x ∈［-1,+∞)时,x 2-2ax+2≥a 恒成立”是真命题,求实数a 的取值范围. 解析:由于此全称命题是真命题,所以可以推证出a 的值,求出在x ∈［-1,+∞)时,f(x)min ≥a,利用一元二次不等式与一元二次函数的关系解题.答案:解法一:由题意,∀x ∈［-1,+∞),令f(x)=x 2-2ax+2≥a 恒成立.所以f(x)=(x-a)2+2-a 2可转化为∀x ∈［-1,+∞),f(x)min ≥a 成立,即∀x ∈［-1,+∞),f(x)min =⎪⎩⎪⎨⎧-<-++-≥-.1,2)1(,1,2222a a a a a . 由f(x)的最小值f(x)min ≥a,知a ∈［-3,1］.解法二:x 2-2ax+2≥a,即x 2-2ax+2-a≥0,令f(x)=x 2-2ax+2-a,所以全称命题转化为∀x ∈［-1,+∞)时,f(x)≥0成立.所以Δ≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>--=∆,0)(,1,0)2(442a f a a a 即-2≤a≤1或-3≤a<-2.所以-3≤a≤1.综上,所求实数a 的取值范围是［-3,1］.小结 由“恒成立”三个字即知是由全称量词构成的全称命题.由此来探讨“∀x ∈［-1,+∞),f(x)≥a”只需f(x)min ≥a .解法二中等价转化为∀x ∈［-1,+∞),x 2-2ax+2-a≥0成立,结合一元二次函数的解集与图像间的关系求解.变式训练4.函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x 成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值; (2)当f(x)+2<log a x,x ∈(0,21)恒成立时,求a 的取值范围. 答案:(1)因为f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2.又因为f(1)=0,所以f(0)=-2.(2)由(1)知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)x,即f(x)=x 2+x-2.∀x ∈(0,21),f(x)+2<log a x 恒成立,即为∀x ∈(0,21)时,f(x)-log a x+2<0恒成立,在x ∈(0,21)时,f(x)为增函数,-2<f(x)<45-. 显然a>1时,∀x ∈(0,21),log a x ∈(-∞,-log a 2),上式恒成立的不等式不可能. 当0<a<1时,∀x ∈(0,21),log a x ∈(-log a 2,+∞),即∀x ∈(0, 21)时,f(x)-log a x+2<43分 3[]4式+log a 2.因为∀x ∈(0,21),f(x)-log a x+2<0恒成立,所以⎪⎩⎪⎨⎧<<≤+.10,02log 43a a 所以443≤a<1.基础练习作业1.判断下列命题的真假:(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(4)存在一个实数,使等式x 2+x+8=0成立;(5)有一个实数x,使x 2+2x+3=0;(6)存在两个相交平面垂直于同一直线;(7)有些整数只有两个正因数.解析:要判定全称命题“∀x ∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M 中每个元素x,证明p(x)成立,如果在集合M 中找到一个元素x 0,使得p(x 0)不成立,这个全称命题就是假命题;判定特称命题“∃x ∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M 中找到一个元素x 0,使p(x 0)成立即可,如果在集合M 中,使p(x)成立的元素x 不存在,那么这个特称命题就是假命题.答案:(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面内的点P 是一一对应的关系,该全称命题是真命题.(2)如函数f(x)=0,x ∈R ,它既是偶函数又是奇函数,所以原特称命题是真命题.(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示,由平面几何的知识可知它是正确的,所以原全称命题是真命题.(4)因为x 2+x+8=(x+21)2+431>0,所以使x 2+x+8=0成立的x 不存在.所以原特称命题是假命题.(5)由于∀x ∈R ,x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x 2+2x+3=0的实数x 不存在,所以特称命题“有一个实数x,使x 2+2x+3=0成立”是假命题.(6)由于垂直于同一直线的两个平面互相平行,不会相交,所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一直线”是假命题.(7)由于存在整数2只有两个正因数1和2,所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.2.判断下列命题的真假:(1)x ∈R ,|x|+2≥2; (2)∀x ∈［0,2π］,sinx>0; (3)∀x ∈R ,x 2+3>0; (4)∀x ∈N ,x 4≥1;(5)∃x ∈Z ,x 3<1; (6)∃x ∈Q ,x 2=3;(7)∃x ∈R ,x 3-3x+2=0; (8) x ∈R,x 2+1=0.解析:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M 中的每个元素x,证明p(x)成立;判定全称命题是假命题,只要能举出集合M 中的一个x=x 0,使得p(x 0)不成立即可,即举出一个反例就行.要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M 中,至少能找到一个x=x 0,使p(x 0)成立即可,否则,这个特称命题是假命题.答案:(1)∀x ∈R ,总有|x|≥0,因而|x|+2≥2,所以该全称命题是真命题.(2)0∈［0,2π］,但sin0=0,所以sin0>0不成立,所以该全称命题是假命题. (3)∀x ∈R ,x 2≥0,所以x 2+3≥3>0.所以x 2+3>0.所以命题“ x ∈R,x 2+3>0”是真命题. (4)由于0∈N ,当x=0时,x 4≥121不成立,所以命题“∀x ∈N ,x 4≥1”是假命题. (5)由于-1∈Z ,当x=-1时,能使x 3<1,所以命题“∃x ∈Z ,x 3<1”是真命题.(6)由于使x 2=3成立的数只有±3,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x ∈Q ,x 2=3”是假命题.(7)因为只有x=1或x=2时,满足x 2-3x+2=0,而不是∀x ∈R ,x 2-3x+2=0成立,所以命题“∀x ∈R ,x 2-3x+2=0”是假命题.(8)因为不存在一个实数x,使x 2+1=0成立,所以命题“∃x ∈R ,x 2+1=0”是假命题.3.为了使下列命题p(x)成为真命题,求x 的范围.(1)p(x):x+1>x; (2)p(x):x 2-5x+6>0; (3)p(x):sinx>cosx.解析:分别解不等式即可.答案:(1)x ∈R ;(2)x<2或x>3;(3)2kπ+4524πππ+<<k x (k ∈Z ). 4.设集合S={四边形},p(x):内角和为360°,试用不同的表述写出全称命题“∀x ∈S,p(x)”. 解析:全称量词、全称命题的不同形式有:“所有x,>…”“任意x,…”“每一个x,…”等,要紧扣上述形式来表达全称命题.答案:(1)对所有的四边形x,x 的内角和为360°;(2)任意一个四边形x,x 的内角和为360°;(3)每一个四边形x,x 的内角和为360°;(4)对一切四边形x,x 的内角和为360°;(5)凡是四边形x,x 的内角和为360°.5.设q(x):x 2=x,试用不同的表达方式写出特称命题“∃x ∈R ,q(x)”.解析:存在量词、特称命题的不同形式有:“有x,…”“存在x,…”等,要紧扣这些形式表述特称命题.答案:(1)有些实数x,使x 2=x 成立;(2)存在实数x,使x 2=x 成立;(3)至少有一个x ∈R ,使x 2=x 成立;(4)有一个x ∈R ,使x 2=x 成立;(5)有某个x ∈R ,使x 2=x 成立.6.若特称命题“∃x ∈R ,使log 2(ax 2+x+2)<0”为真命题,求a 的取值范围.解析:特称命题是真命题,即p(x)成立,结合函数的单调性解对数不等式,还要用分类讨论的数学思想,要做到不重不漏.答案:log 2(ax 2+x+2)<0⇔0<ax 2+x+2<1,即x ∈R,使0<ax 2+x+2<1成立.当a=0时,-2<x<-1,存在实数x 满足题意.当a≠0时,⎪⎩⎪⎨⎧>-<⎪⎩⎪⎨⎧<->,0418,01418,0a a a a a a 或即0<a<41或a<0,综上所述,a<41,即所求a 的取值范围是(-∞,41). 7.写出下列全称命题的否定:(1)∀x ∈R ,x 2+x+1>0;(2)∀x ∈Q ,31x 2+21x+1是有理数. 解析:全称命题的否定是特称命题,即“∀x ∈M,p(x)”的否定是“ x ∈M,非p(x)”.答案:(1)的否定是“∃x ∈R ,x 2+x+1≤0”;(2)的否定是“∃x ∈Q ,31x 2+21x+1不是有理数”. 8.写出下列特称命题的否定:(1)∃α、β∈R ,使sin(α+β)=sinα+sinβ;(2)∃x 、y ∈Z ,使3x-2y=10.解析:特称命题的否定是全称命题,即“ x ∈M,p(x)”的否定是“∃x ∈M ,非p(x)”.答案:(1)的否定是“∀α、β∈R ,使sin(α+β)≠sinα+sinβ”;(2)的否定是“∀x 、y ∈Z ,使3x-2y≠10”.9.写出下列命题的否定.(1)所有的直角三角形都相似;(2)有些无理数的平方是有理数.解析:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.答案:(1)存在两个直角三角形不相似;(2)所有无理数的平方都不是有理数.10.写出下列命题的否定,并判断它们的真假.(1)p:“∀x ∈Q ,x ∈R ”;(2)p:“∃x ∈R ,x 2+x+1<0”.解析:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,写出否定之后,再进行它们的真假判定.答案:(1)“∃x ∈Q ,x ∉R ”,p 是真命题,非p 是假命题.(2)“∀x ∈R ,x 2+x+1≥0”,p 是假命题,非p 是真命题.11.写出下列命题p 的否定,并判断真假.(1)p:有些直线和圆相切;(2)p:任意一个正方形的四条边相等;(3)p:所有对角线相等的四边形都是矩形;(4)p:∃x ∈R ,|x|>x;(5)p:∀x 、y ∈R ,x 2+y 2>0.解析:“∀x ∈M,p(x)”的否定是“∃x ∈M,非p(x)”,“∃x ∈M,p(x)”的否定是“∀x ∈M,非p(x)”.要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M 中的每一个元素x,证明p(x)成立,判定全称命题是假命题,只要能举出集合M 中的一个x 0,使得p(x 0)不成立即可;要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M 中至少找到一个x 0,使p(x 0)成立即可,否则它是假命题. 答案:(1)非p:所有直线和圆不相切.p 是真命题,非p 是假命题.(2)非p:存在一个正方形的四条边不相等.p 是真命题,非p 是假命题.(3)非p:存在一个对角线相等的四边形不是矩形.p 是假命题,非p 是真命题.(4)非p:∀x ∈R ,|x|≤x,p 是真命题,非p 是假命题.(5)非p:∃x 、y ∈R ,x 2+y 2≤0,p 是假命题,非p 是真命题.12.已知a>0,命题p:∃x ∈R ,|x-4|+|x-3|<a 为真命题,求a 的取值范围.解析:p 与非p 的真假相反,故利用非p 求出a 的范围,从而求出p 真时,a 的范围.答案:非p:∀x ∈R ,|x-4|+|x-3|≥a,因为∀x ∈R ,|x-4|+|x-3|的最小值为1,所以非p 时,0<a<1.又因为p 是真命题,所以非p 是假命题.所以a>1,即a 的取值范围是(1,+∞).13.若全称命题p:∀x ∈［1,3］,x 2-2mx-1>0为真命题,求实数m 的取值范围.解析:利用集合之间的关系,结合数轴表示来解.答案:因为Δ=4m 2+4>0恒成立,所以设其两根为x 1、x 2,且x 1<x 2,由题意{x|1≤x≤3} {x|x>x 2或x<x 1},所以x 1、x 2都大于3或都小于1.因为x 1-x 2小于0,令y=x 2-2mx-1,则⎩⎨⎧><,0)1(,0f m 所以m<0.所以m 的取值范围是(-∞,0).14.若命题p:∃x ∈R ,(a-2)x 2+2(a-2)x-4≥0是假命题,求实数a 的取值范围.解析:利用命题p 与非p 真假性相反,转化命题的形式,p 为假命题,非p 是真命题,进而求解. 答案:非p:∀x ∈R ,(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0,是真命题.当a=2时,-4<0,对x ∈R 恒成立.当⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)2(16)2(4,022a a a 时,非p 是真命题,所以-2<a<2.综上,实数a 的取值范围是(-2,2］.15.若命题“∀x ∈R ,关于x 的不等式(a 2-1)x 2+(a-1)x-1<0都成立”为真命题,求a 的取值范围. 解析:用分类讨论的数学思想解含a 的关于x 的不等式即可.答案:当a=-1时,不等式不成立;当a=1时,原不等式恒成立.当⎪⎩⎪⎨⎧<----=∆<-,0)1)(1(4)1(,01222a a a 所以53-<a<1. 所以a 的取值范围是(53-,1］. 16.已知特称命题“存在c>0,使y=c x 在R 上为减函数”为真命题,同时全称命题“∀x ∈R ,x+|x-2c|>1”为真命题,求c 的取值范围.解析:等价转化题设条件,从而求出c 的范围.答案:命题“存在c>0,使y=c x 在R 上为减函数”是真命题,所以0<c<1.因为x+|x-2c|=⎩⎨⎧<≥-,2,2,2,22c x c c x c x 由全称命题“∀x ∈R ,x+|x-2c|>1”是真命题,所以∀x ∈R ,x+|x-2c|的最小值为2c.所以2c>1.所以c>21. 综上所述,21<c<1.课后总结1.对于全称量词和全称命题要注意以下两点:(1)将含有变量x 的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x 的取值范围用M 表示,那么全称命题“对M 中任意一个x,都有p(x)成立”,可简记为“∀x ∈M,p(x)”.(2)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某些性质的命题.2.对于存在量词和特称命题要注意以下两点:(1)特称命题“存在M 中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为“∃x ∈M,p(x)”.(2)特称命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某些性质的命题.3.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,即它们互为否定形式.在写出两种命题的否定时,要牢固掌握形式上有两个变化,全称量词与特称量词的变化,条件p(x)和非p(x)的变化.4.如何判断全称命题的真假?解析:要判断全称命题“∀x ∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M 中每个元素x,证明p(x)成立.如果在集合M 中找到一个元素x 0,使得p(x 0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.5.如何判断特称命题的真假?解析:要判断特称命题“∃x ∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M 中找到一个元素x 0,使p(x 0)成立即可.如果在集合M 中,使p(x)成立的元素x 不存在,那么这个特称命题是假命题.6.如何写出一个全称命题的否定?解析:一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:∀x ∈M,p(x),它的否定非p 是:∃x ∈M,非p(x).全称命题的否定是特称命题,x ∈M 变为∃x ∈M,p(x)变为非p(x),要注意形式上的变化.7.如何写出一个特称命题的否定?解析:一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题p:∃x ∈M,p(x),它的否定非p 是:∀x ∈M,非p(x).特称命题的否定是全称命题,∃x ∈M 变为∀x ∈M,p(x)变为非p(x),要注意形式上的变化.。