(学案)全称量词与存在量词

全称量词与存在量词教案一、教学目标：1.理解全称量词和存在量词的概念和用法；2.掌握全称量词和存在量词在中文和英文中的表达方式；3.能够正确运用全称量词和存在量词进行句子的构建和理解。

二、教学重难点：1.全称量词和存在量词的区别和用法；2.能够准确运用全称量词和存在量词进行句子的构建和理解。

三、教学准备：1.PPT或黑板、白板；2.课堂练习题。

四、教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）教师通过提问的方式引入全称量词和存在量词的概念，让学生尝试回忆并回答。

例如：教师：你们在数学课上学过量词吗？请举例说明一下它的作用。

学生：量词可以帮助我们表达数量，比如“个”、“只”、“条”等等。

Step 2：引入全称量词和存在量词（10分钟）教师通过PPT或黑板、白板上的例子，解释并引入全称量词和存在量词的概念。

例如：全称量词：表示整个集合的数量，如“每个”、“所有的”。

存在量词：表示集合中至少存在一个的数量，如“有一个”、“有些”。

Step 3：全称量词和存在量词在中文中的使用（15分钟）教师通过PPT或黑板、白板上的例子，让学生理解和掌握全称量词和存在量词在中文中的使用方式。

例如：全称量词：每个人都要认真听讲。

存在量词：教室里有些学生正在写作业。

Step 4：全称量词和存在量词在英文中的对应（15分钟）教师通过PPT或黑板、白板上的例子，让学生理解和掌握全称量词和存在量词在英文中的对应表达方式。

例如：全称量词：every, all, each, everyone存在量词：some, any, a fewStep 5：练习及讲解（15分钟）教师给学生分发练习题，让学生根据题目要求，运用全称量词和存在量词进行句子的构建和理解。

学生完成后，教师逐一讲解答案，并解释其中的语法规则和用法。

Step 6：巩固与拓展（10分钟）教师通过提问和讨论的方式，巩固学生对全称量词和存在量词的理解和运用。

例如：教师：在下面的句子中，判断全称量词和存在量词的用法。

2.3全称量词命题与存在量词命题学习任务核心素养1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义．2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)1．通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词.2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：‘前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．’”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．知识点1全称量词与全称量词命题(1) “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．知识点2存在量词与存在量词命题(1) “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M,_p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．[提示]是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．()(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．()(3)三角形内角和是180°是存在量词命题．()[答案](1)√(2)×(3)×知识点3全称量词命题与存在量词命题的否定语句p(x)是对语句p(x)的否定．一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x∈M，p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．一般地，对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”．2.已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是________．[答案]∃x∈R，sin x>1知识点4全称量词命题与存在量词命题的真假的判定(1)判定全称量词命题为真，需要严格证明，判定全称量词命题为假，列举反例即可．(2)判定存在量词命题为真，只要列举特例，判定存在量词命题为假，需要严格证明．(3)对一个命题进行否定，就得到一个新命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．3.下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，|x|≥0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2 019<1D．∃x∈R,2x＞2B[当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．]类型1全称量词命题和存在量词命题的判断【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使1x－1＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＝1 2.[解](1)是全称量词命题．因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使1x－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝12，所以该命题是真命题．判断全称量词命题与存在量词命题的方法是什么？[提示](1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．[跟进训练]1. 判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.[解](1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．类型2全称量词命题和存在量词命题的否定【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2(1)C(2)D[(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x ∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]含有一个量词的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． [跟进训练] 2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p ：∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋3≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. [解] (1) p ：∃x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＜0，假命题． 因为∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立，所以p 是假命题． (2)q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0，真命题．因为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r 是真命题．(4) s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．因为x ＝－1时，x 3＋1＝0，所以s 是假命题．类型3 全称量词命题与存在量词命题的应用【例3】 对于任意实数x ，函数y ＝x 2＋4x －1的函数值恒大于实数m ，求m 的取值范围．[解] 令y ＝x 2＋4x －1，x ∈R ，则y ＝(x ＋2)2－5，因为∀x ∈R ，不等式x 2＋4x －1>m 恒成立，所以只要m <－5即可．所以所求m 的取值范围是{m |m <－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1) 对于全称量词命题“∀x ∈M ，a ＞y (或a ＜y )”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y 的最大值(或最小值)，即a ＞y max (或a ＜y min )．(2)对于存在量词命题“∃x ∈M ，a ＞y (或a ＜y )”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y 的最小值(或最大值)，即a ＞y min (或a ＜y max )． [跟进训练] 3．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)≤0”是假命题．∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋x ＋14(a －2)>0”是真命题．即判别式Δ＝12－4×4×14(a －2)<0.即a >94.1．设非空集合P ，Q 满足P ⊆Q ，则表述正确的是( )A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∈P ，有x ∈QC ．∃x ∉Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x ∉QB [因为P ⊆Q ，则由子集的定义知集合P 中的任何一个元素都在Q 中，所以选B.]2．下列存在量词命题中，是假命题的是( )A ．∃x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，使x 能同时被2和3整除C ．有的三角形没有外接圆D ．某些四边形不存在外接圆C [A 中，x ＝－1或x ＝3满足题意，是真命题；B 中，x ＝6满足题意，是真命题；C 中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D 中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.]4．能够说明“存在两个不相等的正数a ，b ，使得a －b ＝ab ”是真命题的一组有序数对(a ，b )为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13(答案不唯一) [存在两个不相等的正数a ，b ，如a ＝12，b ＝13，使得a －b ＝ab 是真命题．]5．若命题“∃x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．{a |a >4} [∵命题∃x ∈R ，x 2－4x ＋a ＝0为假命题，∴方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根．则Δ＝(－4)2－4a <0，解得a >4.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是什么？[提示] 看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题．2．你是怎样判断命题的真假的？[提示] 对集合M 中的每一个元素x 验证P (x )都成立即为真命题．对于假命题只要举出一个反例即可．3．如何否定全称量词命题与存在量词命题？[提示] 第一步 否定量词(全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词)．第二步 否定命题的结论．。

第一章集合与常用逻辑用语《1.5 全称量词与存在量词》教案【教材分析】本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，然后看条件的特征得出全称量词命题及存在量词命题，从而判断命题的真假；然后归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.【教学目标与核心素养】课程目标1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.数学学科素养1.数学抽象：全称量词命题、存在量词命题与全称量词命题的否定与存在量词命题的否定的理解；2.逻辑推理：通过实例得出全称量词命题、存在量词命题含义，并通过两者的联系与区别得出全称量词命题与存在量词命题的否定；3.数学运算：关于命题真假的判断；4.数据分析：含有一个量词的命题的否定；5.数学建模：通过对全称量词命题、存在量词命题概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

【教学重难点】重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、问题导入：下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x ＋１是整数；(2) x ＞３；(3) 对所有的；(4) 对任意一个是整数.(5) 至少有一个能被2和3整除；(6) 存在有一个使2+1=3要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本24-29页，思考并完成以下问题1.什么是全称量词？常见的全称量词有哪些？怎样表示全称量词命题？2.什么是存在量词？常见的存在量词有哪些？怎样表示存在量词命题？3.什么是命题的否定？4.怎样表示全称量词命题的否定？5.怎样表示存在量词命题的否定？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。

《全称量词与存在量词》教案完美版《全称量词与存在量词》教案1.4.1全称量词1.4.2存在量词(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定.教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（三）教学过程学生探究过程：1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。

1．推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。

（3）、(4)是命题且是真命题。

（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。

注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。

因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。

（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）命题（8）是真命题。