高中数学第一章常用逻辑用语3全称量词与存在量词课时作业含解析北师大版选修1_1

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．任意x∈R，x2>0B．任意x∈Q，x2∈QC．存在x0∈Z，x20>1D．任意x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20>0C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2 5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x ＋1是整数(x ∈R )；②对所有的x ∈R ，x >3；③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．36．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号)①存在x ∈R ，x 2＝0；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．8．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．9．下列命题中，真命题有__________．(填序号)①不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0；②对任意实数x ，均有x ＋1>x ；③方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根；④不等式x 2－x ＋1|x |＋1<0的解集为∅. 三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2.(3)存在T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |.(4)存在x 0∈R ，使x 20＋1<0.11．已知对任意x >0，a <x ＋1x恒成立，求a 的取值范围．能力提升12．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 D ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 01．判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写找到．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题知识梳理1．整体或全部 全称量词2．个别或一部分 存在量词作业设计1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D [“存在”是存在量词．]3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．]4．B 5.C6．A [对于选项A ，存在m ∈R ，当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确．]7．①②③解析 对于命题①，当x ＝0时，x 2＝0；对于命题②，有一个角是直角的菱形是正方形；对于命题③，整数1既不是合数，也不是素数．8．(－2,2]解析 当a ＝2时，显然符合条件；当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ a <2，Δ＝4(a －2)2－4(a －2)×(－4)<0， ⇒－2<a <2.综上，a 的取值范围是(－2,2]．9．①②④解析 对于选项③，方程x 2－2x ＋3＝0没有实根，是假命题．10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x >0 (a >0，a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0，∴命题(4)是假命题．11．解 由于对任意x >0，a <x ＋1x恒成立， 只需a <⎝⎛⎭⎫x ＋1x min 恒成立． ∵x >0，x ＋1x≥2，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2. ∴a <2.故a 的取值范围是(－∞，2)．12．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a ，此时函数对应的图像开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.]。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《常用逻辑用语》1.3全称量词与存在量词习题导学案（无答案）北师大版选修1-1学习目标 1. 认识常见的全称量词和存在量词；并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．2. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3. 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神． 重点：理解全称量词与存在量词的意义．难点：全称命题和特称命题真假的判定和含一个量词的否定．学习过程2.已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则 （ ）A. 00:,sin 1p x R x ⌝∃∈≥B. 00:,sin 1p x R x ⌝∀∈≥C. 00:,sin 1p x R x ⌝∃∈>D. 00:,sin 1p x R x ⌝∀∈>3．命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是 ( )A.不存在00,20x x R ∈>B.存在00,20x x R ∈≥C.对任意的00,20x x R ∈≤D.对任意的00,20x x R ∈>4．命题：“对任意的32R 10x x x ∈-≤，+”的否定是 ( )A.不存在32R 10x x x ∈-≤，+B.存在32R 10x x x ∈-≤，+C.存在32R 10x x x ∈->，+D.对任意的32R 10x x x ∈->，+5.若函数()()2,a f x x x R x=+∈，则下列结论正确的是 ( )A. ()a R f x ∀∈，在(0，＋∞)上是增函数B. ()a R f x ∀∈，在(0，＋∞)上是减函数C. ()a R f x ∃∈，是偶函数D. ()a R f x ∃∈，是奇函数6.下列命题中真命题的个数是 ( )①42x R x x ∀∈>，②若p q ∧是假命题，则p q 、都是假命题③命题“32240x R x x ∀∈++≤，”的否定为“32000,240x R x x ∃∈++>” A.0 B.1 C.2 D.37.命题：“对任意的3210x R x x ∈-+≤，”的否定是 ( )A.不存在3210x R x x ∈-+≤，B.存在3200010x R x x ∈-+≤，C.存在3200010x R x x ∈-+>，D.对任意的3210x R x x ∈-+>，10.有四个关于三角函数的命题： ( ) 1p ：221,sin cos 222x x x R ∃∈+= 2p ：sin()sin sin x y R x y x y ∃∈--，，＝ 3p ：x R ∀∈，1cos 2sin 2x x -= 4p ：sin cos 2x y x y π=⇒+= 其中的假命题是 ( )A. 14 p p ，B. 24p p ，C. 13p p ，D. 23p p ，11.“32,x N x x ∀∈>”的否定是__________________________3、“200,10x R x ∃∈+<”的否定是________________________ 12.若命题“∃0x ∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围？。

第一章DIYIZHANG常用逻辑用语
§3全称量词与存在量词
课后篇巩固提升
A.所有的奇函数的图像都关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.空间中不相交的两条直线相互平行
D.存在大于或等于9的实数
A.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(=0时f(使f(=1时,f(=0时,f(x)是偶函数.
A.[4,+∞)
B.[1,4]
C.[e,4]
D.(-∞,1]
],都有tan 的最小值为.
5.若“对任意x∈[0,π
4
0≤x≤π
,可得0≤tan的最小值为1.
4
k>0,方程x2+x-k=0无实根
√2,2√2]
,2x 2-3ax+9≥0对一切x ∈R 恒成立,因此(-3a)2-72≤0,解得-2√2≤a≤2√2.
x ∈R,|x-2|+|x-4|≤3
(1)所有正方形都是矩形;
(2)至少有一个实数x 使x 3+1=0;
(3)存在θ∈R,函数y=sin(2x+θ)为偶函数;
(4)任意x,y ∈R,|x+1|+|y-1|≥0.
10.已知函数f(x)=x 2-4x+a+3,a ∈R.若函数y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求a 的取值范围.
f(x)的图像的对称轴为直线x=2,
所以f(x)在[-1,1]上是减少的,
欲使f(x)在[-1,1]上存在零点,应有{f (1)≤0,f (-1)≥0,
即{a ≤0,8+a ≥0.
所以-8≤a≤0. 故实数a 的取值范围是[-8,0].。

[学习目标] 1.通过生活和数学中的实例，理解全称量词和存在量词的意义.2.掌握全称命题和特称命题的定义.3.能判定全称命题和特称命题的真假.4.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.知识点一全称量词和全称命题(1)全称量词：“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”.(2)全称命题：含有全称量词的命题叫作全称命题.知识点二存在量词和特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词.(2)特称命题：含有存在量词的命题叫作特称命题.知识点三全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题.特称命题的否定是全称命题.思考(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？(2)对省略量词的命题怎样否定？答案(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.题型一全称量词与特称命题的真假判断例1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.(1)存在x∈R，使x2＋2x＋2＝0；(2)所有的三角形中，两边之和大于第三边；(3)至少有一个实数T，使得sin(x＋T)＝sin x；(4)对任意的实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.解(1)特称命题.因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，即x2＋2x＋2≠0，所以为假命题.(2)全称命题，因为三角形中，任意两边之和大于第三边，所以为真命题.(3)特称命题.当T＝2π时，sin(x＋2π)＝sin x，故为真命题.(4)全称命题，取x1＝0，x2＝π，有x1<x2，但tan 0＝tan π＝0，所以为假命题.反思与感悟(1)要判定全称命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称命题就是假命题.(2)要判定特称命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个特称命题是假命题.跟踪训练1判断下列命题的真假.(1)所有的素数都是奇数；(2)任意x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；(4)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0；(5)存在两个相交平面垂直于同一条直线.解(1)2是素数，但2不是奇数，所以全称命题“所有的素数都是奇数”是假命题.(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1，所以全称命题“任意x∈R，x2－1≥1”是真命题.(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题.(4)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以特称命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.(5)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题.题型二含有一个量词的命题的否定例2判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：存在x∈R，x2＋2x＋5>0；(3)p：x∈R，则方程x2＋2x＋1＝0有解.解(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题，又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，p的否定：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立.(2)由于命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特称命题，又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，p 的否定：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≤0.(3)由于x ∈R 表示x 是任意实数，即命题中含有全称量词“任意”，因而是全称命题，p 的否定：存在x ∈R ，使方程x 2＋2x ＋1＝0无解.反思与感悟 全称命题的否定是一个特称命题，特称命题的否定是一个全称命题，因此在书写它们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论. 跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)存在x 0∈R ，x 20＋1<0.解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.因为|－2|＝2，所以命题的否定是假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.因为菱形是平行四边形，所以命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“不存在x 0∈R ，x 20＋1<0”，即“任意x ∈R ，x 2＋1≥0”.因为x 2＋1≥1>0，所以命题的否定是真命题.题型三 全称命题、特称命题的综合应用例3 (1)若命题p ：存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，求实数a 的取值范围；(2)若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由ax 20＋2x 0＋a <0，得a (x 20＋1)<－2x 0，∵x 20＋1>0，∴a <－2x 0x 20＋1＝－2x 0＋1x 0，当x 0>0时，x 0＋1x 0≥2，∴－2x 0＋1x 0≥－1， 当x 0<0时，x 0＋1x 0≤－2，∴－2x 0＋1x 0≤1， ∴－2x 0＋1x 0的最大值为1.又∵存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立， ∴只要a <1，∴a 的取值范围是(－∞，1).(2)①当m ＋1＝0即m ＝－1时，2x －6<0不恒成立. ②当m ＋1≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1<0，Δ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，Δ＝(m －1)2－4(m ＋1)·3(m －1)<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m <－1311或m >1，综上，m <－1311. 反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别.跟踪训练3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)若命题p ：1－sin 2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围.解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为[74，＋∞).(2)由1－sin 2x ＝sin x －cos x ，得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝sin x －cos x ， 即|sin x －cos x |＝sin x －cos x ， ∴sin x ≥cos x .结合三角函数图像得，2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，此即为所求x 的取值范围.即p ：任意x ∈[2k π＋π4，2k π＋5π4](k ∈Z )，有1－sin 2x ＝sin x －cos x 是真命题.恒成立问题例4 不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立.求m 的取值范围. 解 方法一 ∵Δ＝4m 2＋4>0恒成立， ∴设其两根为x 1，x 2，且x 1<x 2.∵{x |1≤x ≤3}⊆{x |x 2－2mx －1>0}＝{x |x >x 2或x <x 1}， ∴方程x 2－2mx －1＝0的两根x 1，x 2都大于3或小于1. ∵x 1x 2＝－1<0，∴两根都小于1.令f (x )＝x 2－2mx －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m <1，f (1)>0，解得m <0.∴m 的取值范围为{m |m <0}.方法二 ∵1≤x ≤3，x 2－2mx －1>0，∴m <x 2－12x ＝12(x －1x ).当x ∈[1,3]时，函数y ＝x －1x 单调递增，∴12(x －1x )∈[0，43]，∴m <0. 名师点评 一元二次不等式在某区间的恒成立问题，一般来说，常有以下两条途径，如方法一：转化为方程根的分布问题，如方法二：通过分离参数，转化为求函数最值的问题.1.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A.存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0 B.存在实数x 0，使sin x 0＝π2C.对一切α，sin(180°－α)＝sin αD.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 答案 A解析 含有存在量词的命题只有A ，B ， 而sin x 0≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故选A.2.命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“綈p ”形式的命题是( ) A.存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根 B.不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根 C.对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根 D.至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根 答案 C解析 命题p 是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p ：对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根.3.对下列命题的否定说法错误的是( )A.p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形C.p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形D.p ：存在n ∈N,2n ≤100；綈p ：任意n ∈N,2n >100. 答案 C解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.4.命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0答案 C解析全称命题的否定是特称命题.5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________.答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.1.判断全称命题、特称命题的真假(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.2.含有量词命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题，即“所有的对象满足某一性质的”否定是“存在一些对象不满足某一性质”.(2)特称命题的否定是全称命题，即“存在一些对象满足某一性质”的否定是“所有的对象都不满足某一性质”.(3)写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“特称命题”，并确定相应的量词，其次根据含一个量词的命题的否定的定义写出相应的命题.。

§全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题课时目标.理解全称量词和存在量词的意义.掌握全称命题和特称命题的定义，能判定全称命题和特称命题的真假．．全称量词与全称命题短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示或的含义，这样的词叫作全称量词，含有的命题，叫作全称命题．．存在量词与特称命题短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示或的含义，这样的词叫作存在量词，含有的命题叫作特称命题．一、选择题．下列语句不是全称命题的是()．任何一个实数乘以零都等于零．自然数都是正整数．高二(一)班绝大多数同学是团员．每一个向量都有大小．下列命题是特称命题的是()．偶函数的图象关于轴对称．正四棱柱都是平行六面体．不相交的两条直线是平行直线．存在实数大于等于．下列命题不是“存在∈，使>”成立的表述方法的是()．有一个∈，使>．有些∈，使>．任选一个∈，使>．至少有一个∈，使>．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()．斜三角形的内角是锐角或钝角．至少有一个实数，使>．任一无理数的平方必是无理数．存在一个负数，使>．下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是°.．．．．．给出下列命题：①存在实数>，使>；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数，使－＋＝的根为负数．其中特称命题的个数为()．个．个．个．个题号答案二、填空题．对任意>，>恒成立，则实数的取值范围是．．命题“存在∈，使得＋＋≤”是命题(用真或假填空)．．下列命题：①存在<，使>；②对于一切<，都有>；。

§3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一全称量词和全称命题短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.知识点二存在量词与特称命题短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题叫作特称命题.【预习评价】(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示(1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.题型一全称量词与全称命题【例1】试判断下列全称命题的真假：(1)任意实数x，使x2＋2>0；(2)所有自然数x，使x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于任意实数x，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“对于任意实数x，x2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“所有自然数x，x4≥1”是假命题.(3)由于任意角α，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.规律方法判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时，可以用反例进行否定.【训练1】试判断下列全称命题的真假：(1)任意x∈R，x2＋1≥2；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数.解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋1≥1，所以“任意x∈R，x2＋1≥2”是假命题.(2)当直线的倾斜角为π2时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.(3)无论底数a>1还是0<a<1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.题型二存在量词与特称命题【例2】判断下列特称命题的真假：(1)存在x0∈Z，使得x30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)存在x0∈R，使得cos x0＝π2.解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x0∈Z，使得x30<1”是真命题.(2)真命题，如梯形.(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义.(4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1，1]，而π2>1， ∴不存在x 0∈R ，使cos x 0＝π2，∴“存在x ∈R ，使得cos x 0＝π2”是假命题.规律方法 判定特称命题真假的方法——代入法：在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真，否则命题为假. 【训练2】 试判断下列特称命题的真假：(1)存在x 0∈Q ，x 20＝3；(2)存在x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0；(3)存在x 0∈R ，tan x 0＝1； (4)存在x 0∈R ，lg x 0＝0.解 (1)由于使x 20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x 0∈Q ，x 20＝3”为假命题.(2)因为x 0>0，y 0>0，所以x 20＋y 20>0，所以“存在x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0”为假命题.(3)当x 0＝π4时，tan π4＝1，所以“存在x 0∈R ，tan x 0＝1”为真命题. (4)当x 0＝1时，lg 1＝0，所以“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”为真命题.【探究1】 若命题p ：存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0为真命题，求实数a 的取值范围.解 方法一 由ax 20＋2x 0＋a <0，得a (x 20＋1)<－2x 0，当x 0＝0时，a ＜0；∵x 20＋1>0，∴a <－2x 0x 20＋1＝－2x 0＋1x0， 当x 0>0时，x 0＋1x 0≥2，∴－2x 0＋1x≥－1，当x 0<0时，x 0＋1x 0≤－2，∴－2x 0＋1x≤1， ∴－2x 0＋1x的最大值为1. 又∵存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立，∴只要a <1，∴a 的取值范围是(－∞，1).方法二 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0成立；当a ＞0时，由题意得⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＞0，解得－1＜a ＜1， 综上，a 的取值范围是(－∞，1).【探究2】 若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.解 ①当m ＋1＝0即m ＝－1时，2x －6<0不恒成立. ②当m ＋1≠0，则⎩⎨⎧m ＋1<0，Δ<0⇒⎩⎨⎧m <－1，Δ＝[－（m －1）]2－4（m ＋1）·3（m －1）<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m <－1311或m >1，综上，m <－1311.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1311.【探究3】 已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围.解 关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞.【探究4】 若命题p ：1－sin 2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围.解 由1－sin 2x ＝sin x －cos x ，得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ，∴（sin x－cos x）2＝sin x－cos x，即|sin x－cos x|＝sin x－cos x，∴sin x≥cos x.结合三角函数图像得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，此即为所求x的取值范围.规律方法应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质；所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.课堂达标1.下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3解析①③是全称命题.答案 C2.下列命题中，不是全称命题的是()A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是特称命题.答案 D3.已知命题：“对任意x＞3，x＞a恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是________.解析对任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.答案(－∞，3]4.已知命题：“存在x0∈[1，2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________.解析要使命题为真命题，则22＋2×2＋a≥0，即a≥－8.答案[－8，＋∞)5.判断下列命题的真假.(1)p：任意x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0.解(1)∵任意x∈R，x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，∴p为真命题.(2)q为真命题.(3)∵任意x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，∴r为假命题.课堂小结1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.基础过关1.下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①②④都是全称命题.答案 C2.下列命题中特称命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1.A.0B.1C.2D.3解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题.答案 B3.下列全称命题中真命题的个数为()①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A.1B.2C.3D.4解析①②③为真命题.答案 C4.给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________.解析①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.答案①②④5.若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________.解析∵f(x)＝(a2－1)x是减函数，∴0<a2－1<1，∴1<a2<2，∴a∈(－2，－1)∪(1，2).答案(－2，－1)∪(1，2)6.已知命题p：“任意x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题p、q皆是真命题，求实数a的取值范围.解由p、q皆是真命题，知p为真命题，q也为真命题.若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立，所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.综上，实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}.7.若任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围.解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ′＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1，1].能力提升8.给出以下命题：①任意x∈R，有x4>x2；②存在α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③存在a∈R，对任意x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 3α＝3sin α成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图像开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题.故选B.答案 B9.已知命题p：存在x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A.[0，4]B.(0，4)C.(－∞，0)∪(4，＋∞)D.(－∞，0]∪[4，＋∞)解析∵p是假命题，∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.答案 A10.下面四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________.解析x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.∵当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.答案011.若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 112.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并求出m 的取值范围；(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )， 即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可.故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.m 的取值范围是(－4，＋∞).(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .∵f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4. ∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞).13.(选做题)已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]上任意的x ，都有f (x )≤0.求实数p 的取值范围.解 在[－1，1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立.又由二次函数的图像特征可知，⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≤0，即⎩⎨⎧4＋2（p －2）－2p 2－p ＋1≤0，4－2（p －2）－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3.∴p 的取值范围是(－∞，－3]∪[32，＋∞).。

3．3 全称命题与特称命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题和特称命题否定的方法．知识点一全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．一般地，全称命题“所有的x∈A，使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A，使p(x)不成立”．知识点二特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．一般地，特称命题“存在x∈A，使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A，使p(x)不成立”．1．若命题p是含一个量词的命题，则p与其否定真假性相反．( √)2．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( ×)3．从全称命题的否定看，既要把全称量词转换为存在量词，又要把p(x)否定．( √)题型一全称命题的否定例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任意n∈Z，则n∈Q；(2)等圆的面积相等，周长相等；(3)偶数的平方是正数．考点全称命题的否定题点全称命题的否定解(1)存在n∈Z，使n∉Q，这是假命题．(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．反思感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．2．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.考点全称命题的否定题点全称命题的否定解(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)存在x∈Z，x2的个位数字等于3.题型二特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定：(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．考点特称命题的否定题点含存在量词的命题的否定解(1)任意x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．反思感悟与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.考点特称命题的否定题点含存在量词的命题的否定解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”． 由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定：“任意x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”． ∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3， 因此命题的否定是假命题．题型三 全称命题、特称命题否定的应用例3 已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对于任意x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围． 考点 全称命题与特称命题的否定题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4>m ，若p (x )为真命题，则m <－ 2. ∵p (x )为假命题，∴m ≥－2，①由q (x )为真命题，得Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2，② 由①②可得－2≤m <2.引申探究 若例3中“如果对于任意x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题”改为“如果对于任意x ∈R ，p (x )与q (x )有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m 的取值范围． 解 由例3知p (x )为真命题时，m <－2，q (x )为真命题时，－2<m <2.由题意知p (x )与q (x )两命题有一真一假， 当p (x )为真，q (x )为假时，⎩⎨⎧m <－2，m ≤－2或m ≥2，得m ≤－2.当p (x )为假，q (x )为真时，⎩⎨⎧m ≥－2，－2<m <2，得－2≤m <2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．反思感悟 若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．跟踪训练3 已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围解 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2p －2－2p 2－p ＋1≤0，4－2p －2－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.∴p ≥32或p ≤－3.故p 的取值范围是－3<p <32.1．命题“任意x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x <0 D ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0 考点 全称命题的否定 题点 全称命题的否定 答案 C解析 全称命题的否定是特称命题． 2．下列命题的否定为假命题的是( ) A ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 B ．任意x ∈R ，lg x ＜1C ．所有能被3整除的整数都是奇数D ．任意x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1 考点 特称命题的否定题点 含有一个量词的命题真假判断 答案 D解析 对于选项A ，因为x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1＞0，所以存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B ，因为当x ＞10时，lg x ＞1，所以任意x ∈R ，lg x ＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C ，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题； 对于选项D ，显然成立，因此其否定是假命题．3．若“存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x cos x >m ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．考点 存在量词与特称命题的真假判断 题点 存在性问题求参数的范围答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意知，对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x cos x ≤m 为真命题；又∵sin x cos x ＝12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴m ≥12.4．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根； (2)有些三角形的三条边相等； (3)余弦值为负数的角是钝角． 考点 含有量词的命题的否定的应用 题点 全称命题与特称命题的否定及真假判断 解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m ， 方程x 2＋mx －1＝0必有实数根． 其否定：存在一个实数m ， 使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根， 因为该方程的判别式Δ＝m 2＋4>0恒成立， 故为假命题．(2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题． (3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题为“对任意的x∈A,2x∈B”，则该命题的否定是( )A．对任意x∈A,2x∉BB．对任意x∉A,2x∉BC．存在x∉A,2x∈BD．存在x∈A,2x∉B考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 D解析原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 C解析由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.4．已知命题p：任意x>0，总有(x＋1)e x>1，则命题p的否定为( )A．存在x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．存在x>0，使得(x＋1)e x≤1C．任意x>0，总有(x＋1)e x≤1D．任意x≤0，总有(x＋1)e x≤1考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 B解析“任意x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“存在x>0，使得(x＋1)e x≤1”．故选B. 5．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则命题p的否定为( ) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根考点特称命题的否定题点含存在量词命题的否定答案 C解析命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即为对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．6．已知命题p：存在x∈R，x2＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( ) A．[0,4] B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)考点全称命题与特称命题的否定的应用题点由全称命题与特称命题的真假求参数范围答案 A解析∵p是假命题，∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.7．下列命题中是假命题的是( )A ．存在m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·243m m x－＋是幂函数，且在(0，＋∞)上是减少的B ．任意a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．存在α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β D ．任意φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 考点 全称命题与特称命题的真假判断 题点 全称命题与特称命题的真假判断 答案 D解析 ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1， ∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上是减少的，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴对任意a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解， 即f (x )有零点，故B 真； 当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真； 当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．8．已知函数f (x )＝|2x －1|，若命题“存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( ) A ．a ≥0B．a <0C ．b ≤0D．b >1 答案 B解析 函数f (x )＝|2x －1|的图像如图所示．由图可知f (x )在(－∞，0]上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的， 所以要满足存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2， 使得f (x 1)>f (x 2)为真命题，则必有a <0，故选B.9．已知二次函数f (x )＝2x 2－(a ＋6)x －2a 2－a ，若在区间[0,1]内至少存在一个实数b ，使f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围 答案 A解析 考虑原命题的否定，即在区间[0,1]内的所有的实数b ，使f (b )≤0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f 0≤0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ≥0，a 2＋a ＋2≥0，解得a ≤－12或a ≥0，故若在区间[0,1]内至少存在一个实数b ，使f (b )>0，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 二、填空题10．命题“存在x ∈{x |x 是正实数}，使x <x ”的否定为________命题．(填“真”或“假”) 考点 存在量词的否定题点 含一个量词的命题真假判断 答案 假解析 命题“存在x ∈{x |x 是正实数}，使x <x ”是真命题，则该命题的否定是假命题． 11．命题“任意x >0，x ＋1x≥1”的否定为________________________．考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 答案 存在x >0，x ＋1x<112．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．考点 全称命题与特称命题的否定的应用 题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围 答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题， 所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8， 故实数m 的取值范围是[3,8)． 三、解答题13．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)任意α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)存在x ，y ∈Z ,3x －4y ＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解． 考点 含有一个量词的命题 题点 含一个量词的命题真假判断解 (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题． 命题的否定为：存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β. (2)真命题．命题的否定为：任意x ，y ∈Z ,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．14．已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是假命题，求实数a 的取值范围． 考点 全称命题题点 由命题的真假求参数的范围解 因为全称命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”的否定形式为：“存在x 0∈R ，x 20＋ax 0＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题． 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象(图略)易知，Δ＝a 2－4>0，解得a <－2或a >2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．15．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1,0)，是否存在常数a ，b ，c ，使不等式x ≤f (x )≤1＋x22对一切实数x 均成立？解 假设存在常数a ，b ，c ，使题设命题成立． 因为f (x )的图像过点(－1,0)， 所以a －b ＋c ＝0.因为x ≤f (x )≤1＋x22对一切x ∈R 均成立，所以当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1， 故有a ＋b ＋c ＝1. 所以b ＝12，c ＝12－a .所以f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a .故应x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22对一切x ∈R 成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2－12x ＋12－a ≥0，1－2a x 2－x ＋2a ≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 14－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≤0，1－8a 1－2a ≤0，a >0，1－2a >0.所以a ＝14， 所以c ＝12－a ＝14. 所以存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14， 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修1-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1.下列命题中为真命题的是 ( )A.，B.,是整数C.,D.,2.下列命题中是真命题的是( )A.x∈R,sin x+cos x=B.x∈(0,π),sin x＞cos xC.x∈(－∞,0),＜D.x∈(0,+∞),＞x+13. 下面有关命题的说法正确的是( )A.命题“若－3x+2=0，则x=1”的逆命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”B.命题“若－3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”C.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”D.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”二、填空题（本题共6小题，每小题7分，共42分）4.已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是________．5.命题“对任何，”的否定是________．6.下列四个命题：；；；.其中的真命题是________．7.下列命题中的假命题是________．①，；②，；③，；④，.8. 下列四个命题：①x∈R,+x+1≥0；②x∈Q,+x－是有理数；③α,β∈R,使sin(α+β)=sin α+sin β；④x,y∈Z,使3x－2y=10.其中真命题的序号是.9.已知对，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题（本题共3小题，共40分）10.（本小题满分12分）写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)x∈R，＋x＋1＞0；(2)x∈Q，＋x＋1是有理数；(3)α，β∈R，使cos(α＋β)=cosα＋cosβ. 11.（本小题满分12分）已知两个命题.如果对，与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.12.（本小题满分16分）已知函数.（1）若,使，求实数的取值范围；（2）设，且在上单调递增，求实数的取值范围．§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修1-1）答题纸得分：_______ 一、选择题题号1 2 3答案二、填空题4.________5._________6._________7._________8._________9._________三、解答题10.解：11.解：12.解：§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修1-1）参考答案一、选择题1.B解析：一般地，要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个验证成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需要举出一个反例即可．要判定一个特称命题为真，只要在限定集合中，能找到一个，使成立即可，否则这一命题就为假．据此易知B是正确的．2.D解析：A选项：sin x+cos x=sin(x+π)＜，故A为假命题；B选项：当x=π时，有sinππ，故B为假命题；由指数函数的性质知，x∈(－∞,0),＞，故C为假命题；D选项：设f(x)=，x+1，由两个函数的图像可知在(0,+∞)内，＞x+1，故D为真命题.3.D解析：A错误，逆命题为“若x=1，则－3x+2=0”；B错误，否命题为“若－3x+2≠0，则x≠1”；C 错误，否定为“x∈R,＞0”.二、填空题4.－解析：已知命题是假命题，则原命题的否定“对任意，使－”是真命题，所以－－，解得－.5.存在，－－解析：全称命题的否定为特称命题，所以命题“对任何，”的否定是“存在，－－”.6.，解析：由图像可得命题是假命题当时,所以命题是真命题由图像可得命题是假命题对，所以命题是真命题7.③解析：当时，，所以①是真命题；当时，，所以②是真命题；当时，，所以③是假命题；④显然是真命题.8.①②③④解析：①②显然正确；③中，若α=π,β=0，则sin(α+β) =1,sin α+sin β=1+0=1，等式成立，所以③正确；④中，当x=4,y=1时，3x－2y=10成立，所以④正确.9.解析：原不等式可化为，要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最值问题，.所以，即，等价于，，，或，，解得.三、解答题10.解：(1)的否定是“x∈R，＋x＋1≤0”，假命题.(2)的否定是“x∈Q，＋x＋1不是有理数”，假命题.(3)的否定是“α，β∈R，使cos(α＋β)≠cos α＋cos β”，真命题.11.解：因为－，所以当是真命题时，－.当是真命题，即对，恒成立时,有，解得－.所以当是真命题时，－.又对，与有且仅有一个是真命题，所以与一真一假当为真，为假时，.当为假，为真时，.综上，实数的取值范围是或.12.解：（1）由，使，得，，所以－，解得或.（2）由题设得，对称轴方程为，方程的根的判别式.由于在上单调递增，则有，解得.①当，即时，有，②当，即或时，设方程的根为，，(ⅰ)若，即，则有，解得；，(ⅱ)若，即，则有，解得.，由(ⅰ) (ⅱ)得或.综合①②有或.。

§3全称量词与存在量词课后作业提升1下列命题为特称命题的是()A.偶函数的图像关于y轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线是平行直线D.存在大于等于3的实数解析:选项A,B,C是全称命题,选项D含有存在量词.故选D.答案:D2下列命题中是假命题的是()A.任意x∈,x>sin xB.存在x0∈R,sin x0+cos x0=2C.任意x∈R,3x>0D.存在x0∈R,lg x0=0解析:因为sin x0+cos x0=sin,所以B错误,选B.答案:B3命题“存在实数x,使x>1”的否定是()A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1答案:C4(2013·重庆高考)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为()A.存在x0∈R,使得<0B.对任意x∈R,都有x2<0C.存在x0∈R,使得≥0D.不存在x∈R,使得x2<0答案:A5在下列特称命题中,假命题的个数是.①有的实数是无限不循环小数;②有些三角形不是等腰三角形;③有的菱形是正方形.解析:①真命题,如π为实数,是无限不循环小数,②③均为真命题.答案:06给出下列语句:①所有的偶数都是素数;②有的奇数不是素数;③|x-1|<2;④对任意x>5,都有x>3.其中是全称命题的是.(填序号)答案:①④7写出下列特称命题的否定.(1)存在α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ;(2)存在x,y∈Z,使3x-2y=10.分析:特称命题的否定是全称命题,即“存在x∈M,使p(x)成立”的否定是“对任意x∈M,p(x)不成立”.解:(1)对任意α,β∈R,有sin(α+β)≠sinα+sinβ;(2)对任意x,y∈Z,有3x-2y≠10.8已知a>0,命题p:存在x∈R,使|x-4|+|x-3|<a为真命题,求a的取值范围.分析:p与p的否定的真假相反,故利用p的否定求出a的范围,从而求出p为真命题时a的范围.解:p的否定:对任意x∈R,|x-4|+|x-3|≥a.因为对任意x∈R,|x-4|+|x-3|的最小值为1,所以p的否定成立时,0<a≤1.又因为p是真命题,所以p的否定是假命题.所以a>1,即a的取值范围是(1,+∞).。

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课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分,共20分）1．下列命题中既是特称命题，又是真命题的是( )A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个x∈R，使x2≤0C．两个无理数的和是无理数D．存在一个负数x，使错误!〉2解析：A与C是全称命题，D是特称命题但是假命题，B是特称命题，且x＝0时满足x2≤0,故也是真命题．答案:B2．“a∥α,则a平行于α内任一条直线”是（)A．真命题B．全称命题C．特称命题D．不含量词的命题解析:命题中含有“任一"全称量词，故为全称命题．答案：B3．已知命题p：对任意的x∈（0,＋∞）都有e x＞x＋1，则命题p的否定为( ）A．存在x∈(0，＋∞）使得e x＞x＋1B．对任意的x∈(0，＋∞)都有e x≤x＋1C．存在x∈（0，＋∞），使得e x≤x＋1D．对任意的x∈（0，＋∞),都有e x＜x＋1解析：由于命题p为全称命题,故其否定为特称命题，并且否定原命题的结论．答案：C4．下列命题的否定为真命题的是( ）A．有理数是实数B．末位数是0的整数能被5整除C．存在x0∈R，x错误!－3＝0D．任意的x∈R，x2＋2x>0解析:A的否定是“存在有理数不是实数”,是假命题;B的否定是“有一个末位数是0的整数不能被5整除"，是假命题；C的否定是“任意x∈R，x2－3≠0”，是假命题;D的否定是“存在x0∈R，x20＋2x0≤0”，是真命题．答案:D二、填空题（每小题5分，共10分)5．下列命题,是全称命题的是________；是特称命题的是______．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．答案：①③②④6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为____________________．解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”,是全称命题，其否定为特称命题:“有的向量与零向量不共线”．答案:有的向量与零向量不共线三、解答题(每小题10分，共20分)7．判断下列命题是特称命题还是全称命题，并判断真假．（1)正三角形都是等腰三角形;（2)存在两条异面直线有交点；(3）任意的偶数都是正数;(4）存在一条拋物线,其图像的开口向右．解析：(1）此命题隐含了全称量词“所有的”，是全称命题；而且是真命题;(2）此命题含有存在量词“存在”，是特称命题;而且是假命题；(3）此命题含有全称量词“任意的”，是全称命题;而且是假命题;（4）此命题含有存在量词“存在”，是特称命题；而且是真命题．8．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)任意x∈R，x2＋x＋1＞0;（2）存在x∈Q，错误!x2＋错误!x＋1是有理数；（3）存在α、β∈R，使sin(α＋β）＝sin α＋sin β；（4）存在x,y∈Z，使3x－2y≠10.解析：(1）的否定是“存在x∈R，x2＋x＋1≤0”．假命题．（2）的否定是“任意x∈Q，错误!x2＋错误!x＋1都不是有理数”．假命题．(3)的否定是“任意α,β∈R，使sin（α＋β)≠sin α＋sin β”．假命题．(4）的否定是“任意x，y∈Z，使3x－2y＝10”．假命题．错误!☆☆☆9．（10分)若三个方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少存在一个方程有实根，求a的取值范围．解析：由x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4；由x2＋2ax＋2＝0无实根,可知a2－2〈0,即a2〈2；由x2－ax＋4＝0无实根，可知a2－16〈0，即a2<16;∴当a2<2，即－错误!<a<错误!时，三个方程均无实根．∴当a≤－2或a≥2时,三个方程至少存在一个方程有实根．。