5.1向 量

【重点知识梳理】一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量,其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a b b a＋＝＋(2)结合律：()() a b c a b c ＋＋＝＋＋减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同；当λ<0时,λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时,λa＝0.2．运算律：设λ,μ是两个实数,则：①λ(μa)＝(λμ) a；②(λ＋μ) a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.四、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b＝λa.【特别提醒】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个．(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线；另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合．【高频考点突破】考点一向量的有关概念例1、给出下列命题：①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量；②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b；④λ,μ为实数,若λa＝μb,则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4④不正确．当λ＝μ＝0时,a与b可以为任意向量,满足λa＝μb,但a与b不一定共线．【答案】C【变式探究】给出下列命题：①a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ②若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b ；③由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________．考点二 向量的线性运算例2、 (1)如图,正六边形ABCDEF 中,BA ＋CD ＋EF ＝( )A ．0B ．BEC ．ADD ．CF(2)在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ＝2DB ,CD ＝13CA ＋λCB ,则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23【变式探究】平行四边形OADB 的对角线交点为C ,BM →＝13BC →,CN →＝13CD →,OA →＝a ,OB →＝b ,用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.分析：求向量的线性表示式．一是直接运用三角形法则与平行四边形法则来求,二是应用平行考点三、共线向量例3、设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB＝a＋b,BC＝2a＋8b,CD＝3(a－b)．求证：A,B,D三点共线；(2)试确定实数k,使k a＋b和a＋k b共线．∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k－λ＝λk－1＝0,即k2－1＝0.∴k ＝±1.【变式探究】设e 1,e 2是两个不共线向量,已知AB →＝2e 1－8e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－ke 2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值．考点四 考查综合应用例4、如图,在矩形OACB 中,E 和F 分别是边AC 和BC 的点,满足AC ＝3AE ,BC ＝3BF ,若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________.【变式探究】(2011·杭州模拟)已知P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB →＝λP A →＋PB →,其中λ∈R,则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【经典考题精析】（2013·江苏卷）设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD ＝12AB,BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1＋λ2的值为________．（2013·陕西卷）设a ,b 为向量,则“| a b ⋅|＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2013·四川卷）在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB →＋AD →＝λAO →,则λ＝________．【答案】2【解析】根据向量运算法则,AB →＋AD →＝AC →＝2AO →,故λ＝2.（2013·重庆卷）在平面上,AB 1→⊥AB 2→,|OB 1|＝|OB 2→|＝1,AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|＜12,则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72C.⎝⎛⎦⎤52，2 D.⎝⎛⎦⎤72，2（2012·浙江卷）设a ,b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |,则存在实数λ,使得b ＝λaD ．若存在实数λ,使得b ＝λa ,则|a ＋b |＝|a |－|b |【当堂巩固】1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )．正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】：选C a ＋(－a )＝0,故③错． 2．若a ＋b ＋c ＝0,则a ,b ,c ( )A ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B ．一定不可能构成三角形C ．都是非零向量时能构成三角形D ．一定可构成三角形【解析】：选A 当a ,b ,c 为非零向量且不共线时可构成三角形,而当a ,b ,c 为非零向量共线时不能构成三角形．3．已知平面上不共线的四点O ,A ,B ,C .若OA ＋2OC ＝3OB ,则|BC ||AB |的值为( ) A.12B.13C.14D.16【解析】：选A 由OA ＋2OC ＝3OB ,得OA －OB ＝2OB －2 OC ,即BA ＝2CB ,所以|BC ||AB |＝12. 4．如图,正方形ABCD 中,点E 是DC 的中点,点F 是BC 的一个三等分点(靠近B ),那么EF ＝( )A.12 AB －13AD B.14 AB ＋12AD C.13 AB ＋12DAD.12 AB －23AD5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA ＋OB ＋CO ＝0,则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】：选A 由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ,由O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形,且∠CAO ＝60°,故A ＝30°.6．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ,则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点7.如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过G 作直线与AB ,AC 两边分别交于M ,N 两点,且AM ＝x AB ,AN ＝y AC ,则x ·yx ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12【解析】：选B (特例法)利用等边三角形,过重心作平行于底面BC 的直线,易得x ·y x ＋y ＝13. 8．若点M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AM ＝AB ＋3AC ,则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45故C ,M ,D 三点共线,且MD ＝35CD ,也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为35,则△ABM 与△ABC 的面积比为35. 9．已知e 1≠0,λ∈R ,a ＝e 1＋λe 2,b ＝2e 1,则a 与b 共线的条件是( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝010.如图,已知AB＝a,AC＝b,BD＝3DC,用a,b表示AD,则AD等于()A．a＋34b B.14a＋34bC. 14a＋14b D.34a＋14b【解析】：选B AD＝AB＋BD＝AB＋34BC＝a＋34(b－a)＝14a＋34b.11．设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,BC2＝16,|AB＋AC|＝|AB－AC|,则|AM|＝________.12．已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量OA,OB,OC,OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD,则四边形ABCD的形状为________．【解析】：∵OA＋OC＝OB＋OD,∴OA－OB＝OD－OC,∴BA＝CD.∴四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形13．设向量e1,e2不共线,AB＝3(e1＋e2),CB＝e2－e1,CD＝2e1＋e2,给出下列结论：①A,B,C共线；②A,B,D共线；③B,C,D共线；④A,C,D共线,其中所有正确结论的序号为________．14．设i,j分别是平面直角坐标系Ox,Oy正方向上的单位向量,且OA＝－2i＋m j,OB＝n i＋j,OC＝5i－j,若点A,B,C在同一条直线上,且m＝2n,求实数m,n的值．15.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE＝23AD,AB＝a,AC＝b.(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；(2)求证：B,E,F三点共线．【解析】：(1)延长AD到G,使AD＝12 AG,连接BG,CG,得到▱ABGC,16．设e1,e2是两个不共线向量,已知AB＝2e1－8e2, CB＝e1＋3e2,CD＝2e1－e2.(1)求证：A,B,D三点共线；(2)若BF＝3e1－k e2,且B,D,F三点共线,求k的值．即3e1－k e2＝λe1－4λe2,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12, ∴k ＝12.17．已知O ,A ,B 三点不共线,且OP ＝m OA ＋n OB ,(m ,n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1,求证：A ,P ,B 三点共线； (2)若A ,P ,B 三点共线,求证：m ＋n ＝1.。

2 2 2 3 3 3 2 1 5 1 1 ������������ = ������������ − ������������= (a+b)- a- b= a- b. 3 6 6 2 6 2 3 2 3 1 1 6 6 1 6 5 6 1 6 1 1 6 6
1 3
1 6
1 6
������������ = ������������ = (������������ + ������������)= (a+b)= a+ b,
关闭
A
解析 答案
第五章
知识梳理 双击自测
5.1
平面向量的概念及线性运算
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-9-
1 2 3 4 5
3.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且������������=a,������������=b,则 ������������= .
关闭
������������ = ������������ + ������������ + ������������ =-a+b+ a=b- a
关闭
依题意得,������������ = ������������ ,故������������ + ������������=0,即������������ − ������������ + ������������ − ������������ =0,即有������������ − ������������ + ������������ − ������������=0,则 a-b+c-d=0,故选 A.
关闭
由向量的平行四边形法则,得������������ + ������������ =2������������ , 所以������������ = (������������ + ������������).

§5.1平面向量的概念及线性运算课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．3．在△ABC 中，点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .(×)(2)单位向量都相等．(×)(3)任一非零向量都可以平行移动．(√)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)2．下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC ．向量AB →与BA →是平行向量D ．平行向量不一定是共线向量答案C解析A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 项，|a |＝|b |说明a ，b 的长度相等，不能判断它们的方向，故B 错误；C 项，向量AB →与BA →方向相反，是平行向量，故C 正确；D 项，平行向量就是共线向量，故D 错误．3．(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是()A.AB →＋AC →＝BC→B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC →答案BC4．(必修第二册P16T3改编)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，即2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝kλ，3＝6k ，解得λ＝－4.题型一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法正确的是()A ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cB ．若四边形ABCD 满足AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形C ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．与非零向量a 共线的单位向量为±a |a |答案ABD解析对于A ，由相等向量的定义知，A 正确；对于B ，因为AB →＝DC →，所以AB ∥DC 且AB ＝DC ，则四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；对于C ，若b ＝0，则由a ∥b ，b ∥c ，无法得到a ∥c ，故C 错误；对于D ，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a 共线的单位向量为±a|a |，故D 正确．(2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是()A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF→答案D解析方法一(排除法)AD →，BC →不共线，AC →，BD →不共线，故A ，B 错误；PE →，PF →方向相反，C 错误；故选D.方法二在等腰梯形ABCD 中，AD →，BC →不平行，AC →，BD →不平行，故A ，B 错误；∵AB ∥CD ，∴PD PB ＝CD AB ＝PC PA，∴PB PD ＝PAPC ，则PB ＋PD PD ＝PA ＋PC PC ，即BD PD ＝AC PC ，即PD BD ＝PC AC ，∵EF ∥AB ，∴PE AB ＝PD BD ＝PC AC ＝PF AB，∴PE ＝PF ，即P 为EF 的中点，∴EP →＝PF →，故C 错误，D 正确．思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与非零向量a 同方向的单位向量．跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一条直线上C ．对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ，使a ＝λb 答案AC解析对于A ，若|a |＝0，则a ＝0，故A 正确；对于B ，若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故B 错误；对于C ，若a ，b 方向相同，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，若a ，b 方向相反，则|a ＋b |<|a |＋|b |，若a ，b 不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a ＋b |<|a |＋|b |.综上可知对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |，故C 正确；对于D ，若a ≠0，b ＝0，则a ∥b ，此时不存在实数λ，使a ＝λb ，故D 错误．(2)(多选)如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是()A ．|AB →|＝|EF →|B.AB →与FH →共线C.BD →与EH →共线D.CD →＝FG →答案ABD解析由四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，知|AB →|＝|EF →|，即A 正确；由图形可知AB →与FH →的方向相反，CD →与FG →的方向相同且长度相等，即AB →与FH →共线，CD →＝FG →，故B ，D 正确；而∠BDE 与∠DEH 不一定相等，BD →与EH →不一定共线，故C 错误．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2若|AB →|＝7，|AC →|＝4，则|BC →|的取值范围是()A ．[3,7]B ．(3,7)C ．[3,11]D ．(3,11)答案C解析由题意知|AB →|＝7，|AC →|＝4，且|BC →|＝|AC →－AB →|，当AC →，AB →同向时，|BC →|取得最小值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|－|AB →||＝|4－7|＝3；当AC →，AB →反向时，|BC →|取得最大值，|BC →|＝|AC →－AB →|＝||AC →|＋|AB →||＝|4＋7|＝11；当AC →，AB →不共线时，3＝||AC →|－|AB →||<|BC →|<||AC →|＋|AB →||＝11，故|BC →|的取值范围是[3,11]．命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →等于()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析因为BD ＝2DA ，所以AB →＝3AD →，所以CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋3AD →＝CA →＋3(CD →－CA →)＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .命题点3根据向量线性运算求参数例4(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于()A ．－12B.79C.3－222D.1＋22答案A 解析如图，在矩形ABCD 中，DO →＝12(DA →＋DC →)，在△DAO 中，DE →＝12(DA →＋DO →)，∴DE →＋12DA →＋12DC ＝34DA →＋14DC →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34，∴λ2－μ2＝116－916＝－12.思维升华平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F .若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →等于()A.14a ＋b B.13a ＋b C.14a ＋13b D.13a ＋13b 答案B解析在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线交CD于点F ，则△DEF ∽△BEA ，所以DF BA ＝DE BE ＝13，则DF BA ＝DF DC ＝13，所以DF →＝13DC →＝13AB →，则AF →＝AD →＋DF →＝13AB →＋AD →＝13a ＋b .(2)(2023·聊城模拟)M 是△ABC 内的一点，若BM →＝13BA →＋λBC →，AM →＝12AB →＋μAC →，则λ＋μ等于()A.76B ．1 C.56D.13答案D解析由AM →－BM →＝AB →，得AB →＝12AB →＋μAC →－13BA →－λBC →，所以16AB →＝μAC →－λBC →，即AB →＝6μAC →－6λBC →＝6μAC →＋6λCB →，又AB →＝AC →＋CB →，故μ＝λ＝16，故λ＋μ＝13.题型三共线定理及其应用例5(1)(2023·徐州模拟)已知向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，则k ＝________.答案±22解析因为向量a ，b 不共线，向量8a －k b 与－k a ＋b 共线，所以8a －k b ＝t (－k a ＋b )＝－kt a ＋t b ，t ∈R ，＝－kt ，k ＝t ，解得k ＝±2 2.(2)已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案3解析如图，延长AG 交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线，∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3.思维升华利用向量共线定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.跟踪训练3(1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量a ，b 不共线，AB →＝4a ＋6b ，BC →＝－a ＋3b ，CD →＝a ＋3b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案D解析对于A ，BD →＝BC →＋CD →＝－a ＋3b ＋(a ＋3b )＝6b ，则AB →，BD →不共线，故A 不正确；对于B ，AB →与BC →不共线，故B 不正确；对于C ，BC →与CD →不共线，故C 不正确；对于D ，AC →＝AB →＋BC →＝4a ＋6b ＋(－a ＋3b )＝3a ＋9b ＝3CD →，即AC →∥CD →，又AC →与CD →有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，故D 正确．(2)如图，在△ABC 中，AN →＝12NC →，P 是BN 的中点，若AP →＝mAB →＋14AC →，则实数m 的值是________．答案14解析因为AN →＝12NC →，所以AC →＝3AN →，因为AP →＝mAB →＋14AC →＝mAB →＋34AN →，且B ，P ，N 三点共线，所以m ＋34＝1，所以m ＝14.课时精练一、单项选择题1．(2023·广州模拟)如图，在正六边形ABCDEF 中，AF →－ED →＋EF →＋2AB →等于()A ．0 B.AB →C.AD → D.CF→答案A解析因为六边形ABCDEF 为正六边形，所以AF →－ED →＋EF →＋2AB →＝CD →＋DE →＋EF →＋2AB →＝CF →＋2AB →＝0．2.如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ＋b ＋c 可表示为()A ．2e 1－3e 2B ．3e 1－2e 2C ．2e 1＋3e 2D ．3e 1＋2e 2答案D解析由题意得a ＝e 1＋2e 2，b ＝e 1－2e 2，c ＝e 1＋2e 2，所以a ＋b ＋c ＝e 1＋2e 2＋e 1－2e 2＋e 1＋2e 2＝3e 1＋2e 2.3．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析依题意，“a |a |＝b|b |”表示与a ，b 同向的单位向量是相等向量，能推出“a ，b 共线”，所以充分性成立；“a ，b 共线”可能同向共线、也可能反向共线，所以“a ，b 共线”不能推出“a |a |＝b|b |”，所以必要性不成立．4．(2024·银川模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝x a ＋b ，d ＝a ＋(2x －1)b ，若c 与d 方向相反，则实数x 的值为()A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12答案B 解析因为c 与d 方向相反，所以存在k ∈R ，使得d ＝k c ，且k <0，即a ＋(2x －1)b ＝kx a ＋k b ，因为向量a ，b ＝1，＝2x －1，整理可得x (2x －1)＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12或x ＝1.又k <0，所以x <0，故x ＝－12.5．已知O ，A ，B 三点不共线，点P 为该平面内一点，且OP →＝OA →＋AB →|AB →|，则()A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上答案D 解析由OP →＝OA →＋AB →|AB →|，得OP →－OA →＝AB →|AB →|，所以AP →＝1|AB →|·AB →，所以点P 在射线AB 上．6.如图所示，△ABC 内有一点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0，过点G 作一直线分别交AB ，AC 于点D ，E .若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →(xy ≠0)，则1x ＋1y等于()A ．4B ．3C ．2D ．1答案B 解析因为GA →＋GB →＋GC →＝0，所以G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝tAD →＋(1－t )AE →＝txAB →＋(1－t )yAC →，所以tx ＝13，(1－t )y ＝13，所以1x ＋1y＝3t ＋3(1－t )＝3.二、多项选择题7．下列各式中能化简为AD →的是()A ．－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)B ．－BM →－DA →＋MB→C ．(AB →－DC →)－CB→D.AD →－(CD →＋DC →)答案ACD 解析对于A ，－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)＝－(CB →＋MC →＋DA →＋BM →)＝－(CB →＋BM →＋MC →＋DA →)＝－DA →＝AD →，故A 正确；对于B ，－BM →－DA →＋MB →＝MB →－DA →＋MB →＝AD →＋2MB →，故B 错误；对于C ，(AB →－DC →)－CB →＝AB →－DC →－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AD →，故C 正确；对于D ，AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →，故D 正确．8.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，且BC→＝3EC →，F 为AE 的中点，则()A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－23AB →＋13AD →D.CF →＝16AB →－23AD →答案ABC 解析∵AB ∥CD ，AB ＝2DC ，∴BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，故A 正确；∵BC →＝3EC →，∴BE →＝23BC →＝－13AB →＋23AD →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →－13AB →＋23AD ＝23AB →＋23AD →，又F 为AE 的中点，∴AF →＝12AE →＝13AB →＋13AD →，故B 正确；∴BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋13AB →＋13AD →＝－23AB →＋13AD →，故C 正确；∴CF →＝CB →＋BF →＝BF →－BC →＝－23AB →＋13AD →－12AB →＋＝－16AB →－23AD →，故D 错误．三、填空题9．已知在四边形ABCD 中，AB →＝12DC →，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．答案等腰梯形解析由AB →＝12DC →，可得AB ∥CD 且AB ＝12DC ，所以四边形ABCD 是梯形，又因为|AD →|＝|BC →|，所以梯形ABCD 的两个腰相等，所以四边形ABCD 是等腰梯形．10．(2023·徐州模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2024，则|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最大值是________，最小值是________．答案20240解析当单位向量e 1，e 2，…，e 2024方向相同时，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2024|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2024|＝2024；当单位向量e 1，e 2，…，e 2024首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2024＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最小值为0.11．(2023·佛山模拟)等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 上一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△ABC 的面积为________．答案252解析如图，过点P 作AB ，AC 的垂线交AB ，AC 分别于点E ，F ，由于AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以AE →＝4AB →|AB →|，AF →＝AC →|AC →|，则|AE →|＝4，|AF →|＝1，所以在等腰直角△ABC 中，PE ＝1，BE ＝1，所以AB ＝5，故△ABC 的面积S ＝12×5×5＝252.12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE →＝EC →，CD →＝2CF →，则|AE →＋AF →|＝________.答案3解析因为BE →＝EC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，又因为CD →＝2CF →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋AD →，所以|AE →＋AF →|＝32|AB →＋AD →|＝32|AC →|，又因为∠BAD ＝120°，所以∠ADC ＝60°，所以△ADC 为等边三角形，所以AC ＝AD ＝2，所以|AE →＋AF →|＝32|AC →|＝32×2＝3.四、解答题13．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD 中，DE →＝2EC →，BF →＝2FC →，AC 与EF 交于点N.(1)若CN →＝λAB →＋μAD →，求λ＋μ的值；(2)设AE →＝a ，AF →＝b ，试用a ，b 表示AC →.解(1)依题意，设EN →＝tEF →，CN →＝CE →＋EN →＝CE →＋tEF →＝CE →＋t (CF →－CE →)＝(1－t )CE →＋tCF →＝－(1－t )3AB →－t 3AD →，又CN →＝λAB →＋μAD →，＝－1－t 3，＝－t 3，解得λ＋μ＝－13.(2)因为AC →＝AB →＋AD →，AE →＝23AB →＋AD →，AF →＝AB →＋23AD →，所以AE →＋AF →＝53(AB →＋AD →)＝53AC →，所以AC →＝35a ＋35b .14.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b.(1)用a ，b 表示AE →，BE →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)解在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →＋12AC →＝12a ＋12b ，故AE →＝23AD →＝13a ＋13b ，BE →＝AE →－AB →＝13a ＋13b －a ＝13b －23a .(2)证明因为BE →＝13b －23a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )，所以BE →＝23BF →，所以BE →∥BF →，又BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．15．(2023·扬州模拟)设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△BOC的面积为()A ．1B.34C.12D.14答案C 解析如图，∵OA →＋3OB →＋4OC →＝0，∴－17OA →＝37OB →＋47OC →，设－17OA →＝OD →，则OD →＝37OB →＋47OC →，即B ，C ，D 三点共线，∴|OD →||AD →|＝S △BOC S △ABC ＝18，∴S △BOC ＝4×18＝12.16.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，CO 与AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析因为CO 与AB 交于点D ，所以O ，C ，D 三点共线，所以OC →与OD →共线，设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．。

《用方向和距离确定位置》教学设计教学目标：1.使学生在具体情境中初步理解北偏东(西)、南偏东(西)的含义，会用方向和距离描述物体的位置，初步感受用方向和距离确定物体位置的合理性。

2.使学生经历用方向和距离描述物体位置方法的探索过程，进一步培养观察能力、识图能力和有条理地进行表达的能力，发展空间观念。

3.使学生进一步体验数学与生活的密切联系，增强用数学眼光观察现象、解决问题的意识和能力。

教学重点：用方向和距离描述物体的位置教学难点：使学生理解北偏东（西）若干度、南偏东（西）若干度等方向；确定位置中角度的测量。

教学过程：课前活动：1、上课之前，老师先来考考你们的反应能力，全体起立！2、假设，你们正面向正北方向，听口令转向正南方向，很好！转向正西方向，（反应不错吗？）转向正东方向，转回正北方向！3、请坐！我们六（8）班的同学反应真快！我相信你们在课堂上的表现会更精彩！教学过程：一、创设情境，导入课题。

1、描述情境：航行中的船只遇到故障，救援人员最需要了解什么信息？2、教学航海航空表示方向的方法：北偏东（西）、南偏东（西）二、自主探究，提炼建模。

1、思考：如果你是救援人员，你能否结合图中灯塔的位置，准确描述遇险船只的具体位置？2、研究：四人小组，结合手中的简易平面图和数学工具，想办法表示、刻画、描述船只在图中的具体位置。

3、反馈展示：学生代表展示各自的探索过程与描述方法。

对话：学生相互评价各小组确定船只位置的具体方法，并对不同方法进行补充、质疑和完善。

比较：你更欣赏哪一种方法，为什么？4、小结5、练习（1）以灯塔为观测点，描述船1、船2的位置（2）船3换个方式，老师给线索，学生找出船3的位置：船3在灯塔的南偏西方向——船3在灯塔的南偏西45度方向——船3在灯塔的南偏西45度方向5千米处（3）小结：今天学习的确定位置正是经历了这样一个由面到线再到点的过程三、多层练习，巩固内化过渡：在浩瀚的大海我们用这种方法确定位置，在蔚蓝的天空飞机怎样确定位置呢？（一）“确定位置”在雷达上的应用。