高阶导数

East China University of Science And Technology §2．5 高阶导数设路程函数)(t s s =速度)(d d 't s tsv ==加速度t v a d d =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=t s t d d d d 22d d t s Δ=或''''')(ss v a Δ===East China University of Science And Technology如果函数y =f (x )的导数y ′=f ′(x )仍然是x 的可导函数。

则把y ′=f ′(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数，类似地，二阶导数y ′′=f ′′(x )的导数叫做函数y =f (x )的三阶导数，记作y ′′，f ′′(x )，或22dx yd ， y ′′′，f ′′′(x )， 或33dx y d ，即 y ′′=(y ′)′ ，f ′′(x )=[f ′(x )]′ ，或)(22dxdy dx d dxyd =。

即 y ′′′=(y ′′)′，f ′′′(x )=[f ′′(x )]′ ，或)(2233dx y d dx d dx yd =。

xx f x x f x Δ−Δ+→Δ)()(lim''0()y f x x =称此极限值为在点的二阶导数,记为存在如果East China University of Science And Technology 一般地，函数y =f (x )的(n −1)阶导数的导数叫做函数y =f (x )的n 阶导数，记作y (n )，f (n )(x )，或n n dxyd ，我们把y =f (x )的导数f ′(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数，把二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

即 y (n )=[y (n −1)]′，f (n )(x )=[f (n −1)(x )]′，或n n dxy d )(11−−=n n dx yd dx d 。

即 y (n)
1 x2 2nxy ( n1) n(n 1) y ( n2) x y ，且 ， y (0) y ． ( n 2,3, ) 2 2 2 1 x (1 x ) 1 x2
这就是 y ( n ) 满足的递推关系． 例 11 设 y x 2 sin x ，求 y ( n ) ． 解
【本讲总结与下讲预告】
f ( x) g ( x)
所以莱布尼茨公式成立． 设公式对 n m 成立，即
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ，
(k ) ( x) g ( m k ) ( x) ． f ( x) g ( x)( m) Ck mf k 0
m
当 n m 1 时，有
例4 解
1 已知函数 y y ( x) 由方程 x y sin y 0 确定，求 y ． 2
1 在方程 x y sin y 0 两端关于变量 x 求导，将 y 看作中间变量，得 2
1 y
1 y cos y 0 ． 2
在上式两端关于 x 求导，将 y , y 均看作中间变量，得
(n)
(n)
f ( n ) ( x) g ( n ) ( x) ；
k f ( n ) ( x) （ k 是常数） ；
(n) (k ) Ck ( x) g ( n k ) ( x) ． nf k 0 n
（3） f ( x) g ( x)
定理中的最后一个导数公式又称为莱布尼茨公式． 证 （只证明（3） ） ．当 n 1 时，由于
§3.5 高阶导数
【导语】 【正文】
一、高阶导数的概念
当物体运动的距离 s 与运动时间 t 之间的关系为 s s (t ) 时，导数 s (t ) 表示的是瞬时速度

记号 C(n)(I): 在I上具有n阶连续导数的函数全体
C()(I): 在I上具有任意阶导数的函数全体.
例1 设 y
f
1 x
,
其中
f
具有二阶导数,
求
d2 y dx2
.
2 隐函数的二阶导数 设方程F(x,y) = 0确定隐函数y = y(x), 则y"的求法有:
方法一 由隐函数求导法求出y', 再用求导法则对y' 关于x求导, 仍视y为隐函数y(x).
Chap3 ― 6
高阶导数
3.6.1 高阶导数的概念
1 定义 设y = f (x)在U(x0)可导, 则f (x)在点x0处的
二阶导数
def
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
➢ 二阶导数也可记为
y(x0 ),
d2 y dx2
d2 f ,
dx2
.
x x0
x x0
➢ 二阶导(函)数 f "(x) = (f '(x))'
例7 求下列函数的n阶导数
(1) y ln(1 x)
(2) y 1 , (a 0) ax b
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
y(n)
(1)n
a n n! (ax b)n1
.
3.6.2 Leibniz法则——高阶导数求法之二 定理 设函数u, v有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) = u(n) v(n)； (cu)(n) =cu(n), 其中c为常数
(2) (uv)(n) C0nu(n)v C1nu(n1)v Cnn1uv(n1) Cnnuv(n)

§ 4 高阶导数高阶导数的概念：加速度高阶导数定义:注意区分符号和以函数为例介绍高阶导数计算方法.高阶导数的记法: 函数在处的阶导数记为相应的阶导数记为二. 几个特殊函数的高阶导数:1.多项式: 多项式的高阶导数.例1 求和.2. 正弦和余弦函数: 计算、、、的公式.3．和的高阶导数：4．的高阶导数：5．的高阶导数：6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数为例，求.三. 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则1．2．3．乘积高阶导数的Leibniz公式：例设求利用萊布尼兹公式，取注意：利用萊布尼兹公式时要注意与的选取次序，否则会使计算复杂。

例2 求解例3 求解例4 其中二阶可导. 求例5 验证函数满足微分方程并依此求解两端求导即对上式两端求阶导数, 利用Leibniz公式, 有可见函数满足所指方程.在上式中令得递推公式注意到和, 就有时,时,四. 参数方程所确定函数的高阶导数:例6 求解习题课一. 可导条件:例1 设在点的某邻域内有证明在点可导.例2 设函数在点可导, 则在点不可导.例3设函数定义在区间内, 试证明: 在点可导的充要条件是存在内例4的函数（仅依赖于和. 使在点连续且适合条件并有证设存在, 定义易验证函数在点连续, 且设又在点连续. 则有即存在且二. 求导数或求切线:例4 求和例5 求例6 求解设其中为的多项式. 注意到对任何正整数则有所以，对有例7 抛物线方程为求下列切线:⑴过点( 该点在抛物线上 ) ( )⑵过点.(该点不在抛物线上 ) ( 和)一. 曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达.例8 设确定、和的值，使函数在点可导. )四. 奇、偶函数和周期函数的导函数：例9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法)例10 设是偶函数且在点可导, 则.证即由存在，简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.五. 关于可导性的一些结果:1. 若是初等函数, 则也是初等函数. 在初等函数的定义域内, 导函数不存在的点是函数的不可导点. 例如函数的定义域是, 但导函数在点没有定义, 因此点是函数的不可导点.2.存在仅在一点可导的函数. 例如该函数仅在点可导.3.存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分析》Vol P3—5, 或Mark Lynch , 《A continuous ， nowheredifferentiable function 》，Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8—9.近年来, 对这一问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社，1998.）P5—8.小结：莱布尼兹（G.W.Leibniz 1664.7.1—1716.11.4）生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父亲遗留下来的各种学科书籍。