计数原理、概率、 (1)

概率论中的计数原理例题和知识点总结在概率论中，计数原理是非常基础且重要的一部分，它为我们解决各种概率问题提供了有力的工具。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解计数原理，并对相关知识点进行总结。

一、知识点梳理1、加法原理如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

2、乘法原理如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。

3、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记作 Anm ，Anm ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) 。

4、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记作 Cnm ，Cnm ＝ n! ／ m!（n m)！。

二、例题解析例 1：从 0 到 9 这 10 个数字中，任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，有多少种取法？解：第一步，百位数字不能为 0，有 9 种选择；第二步，十位数字有 9 种选择（因为百位已经选了一个数字）；第三步，个位数字有 8种选择。

根据乘法原理，共有 9 × 9 × 8 ＝ 648 种取法。

例 2：有 5 本不同的语文书，4 本不同的数学书，3 本不同的英语书，从中任取 2 本不同学科的书，有多少种不同的取法？解：分三种情况讨论：（1）取语文和数学书，有 5 × 4 ＝ 20 种取法；（2）取语文和英语书，有 5 × 3 ＝ 15 种取法；（3）取数学和英语书，有 4 × 3 ＝ 12 种取法。

概率的计数原理与应用概率是数学中的一个重要分支，它研究的是事件发生的可能性。

而计数原理则是概率论的基础，通过统计、组合和排列等方法，可以精确地计算出事件的可能性。

本文将探讨概率的计数原理及其在实际应用中的重要性。

一、组合与排列的计数原理在概率计算中，我们常常需要计算从一个集合中选取出若干元素的方式数量。

这就涉及到了组合和排列的计数原理。

1. 组合的计数原理组合是指从一个集合中选取出若干个元素，不考虑顺序的问题。

在计数时，我们使用C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数，计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘。

例如，C(6,2)表示从6个元素中选取2个元素的组合数，计算公式为：C(6,2) = 6! / (2!(6-2)!) = 6! / (2!4!) = 152. 排列的计数原理排列是指从一个集合中选取出若干个元素，考虑顺序的问题。

在计数时，我们使用P(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的排列数，计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!例如，P(6,2)表示从6个元素中选取2个元素的排列数，计算公式为：P(6,2) = 6! / (6-2)! = 6! / 4! = 30二、概率的计数原理应用概率的计数原理在实际应用中有着广泛的应用。

下面以几个例子来说明其应用场景。

1. 抽奖活动抽奖活动是常见的一种概率事件。

在抽奖过程中，我们可以利用计数原理来计算中奖的概率。

例如，一共有10个人参与抽奖，其中3个人可以获得奖品，那么中奖的概率可以通过计算C(10,3)来得出。

2. 赛事结果预测对于体育比赛等赛事，我们可以利用概率的计数原理来进行结果预测。

例如，在一场足球比赛中，两支球队A、B对阵，我们可以计算出射门次数、进球次数等数据，然后根据这些数据利用概率计算得出A、B获胜的概率。

3. 网络安全在网络安全领域，计数原理也被广泛应用。

例如，在密码学中，我们可以利用组合和排列的计数原理来计算密码的破解难度。

第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.二、常用结论1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.考点一分类加法计数原理1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.答案：362.如图，从A 到O 有________种不同的走法(不重复过一点).解析：分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.答案：53.若椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.解析：当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个；当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个；当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个；当m ＝5时，n ＝6,7，共2个.故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.答案：204.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________.解析：若a 2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a 2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).答案：240考点二 分步乘法计数原理[典例精析](1)已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )(a ，b ∈M )表示平面上的点，则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )A.6B.12C.24D.36(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.[解析] (1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).[答案](1)A(2)120[解题技法]利用分步乘法计数原理解决问题的策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.[题组训练]1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况.答案：632.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答).解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数.答案：186考点三两个计数原理的综合应用[典例精析](1)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A.24B.48C.72D.96(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.60B.48C.36D.24[解析](1)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法.②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.故共有24＋48＝72种涂色方法.(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.[答案](1)C(2)D(3)B[解题技法]1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.[题组训练]1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).答案：40[课时跟踪检测]A级1.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7.当x≠2时，∵P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A.504B.210C.336D.120解析：选A分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40B.16C.13D.10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.4.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A.32个B.34个C.36个D.38个解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝2(种).共有2×2×2×2×2＝32(个)子集.5.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A.3B.4C.6D.8解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，也有4个.故共有8个等比数列.6.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )A.6种B.12种C.18种D.24种解析：选A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A 或B 处，若8放在B 处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A 处，也有3种方法，所以共有6种方法.7.(2019·郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A.4 320种B.2 880种C.1 440种D.720种解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法.3 4 12 D 34 A C B 98.(2019·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个解析：选B由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个).9.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝24(种).第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种).答案：2 88010.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.答案：8B级1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()A.24种B.4种C.43种D.34种解析：选C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种投法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个解析：选B由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个).3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()A.24种B.72种C.84种D.120种解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A―→B―→C―→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.4.(2018·湖南十二校联考)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________.解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.答案：300－3，－2，－1，0，1，2，若a，b，c∈M，则：5.已知集合M＝{}(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.。

计数原理与概率排列组合1. 定义、公式排列与排列数组合与组合数定义1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

公式。

排列数公式组合数公式性质（1）（2）备注排列组合常见问题及解法一、分析题意明确是分类问题还是分步问题，是排列还是组合问题5. 用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。

{二、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑6. 五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；（3）甲、乙必须在两端；（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在两端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；三、捆绑与插空7. 8人排成一队(1)甲乙必须相邻(2)甲乙不相邻(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻四、间接法8. 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有多少种五、隔板法9. 10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法（六、定序问题七、10. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢…七、排列组合综合应用11. （1）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有______种．（用数字作答）（2）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有__________种（用数字作答）．（1）根据题意，先安排第一棒，再安排最后一棒，由于甲既可以传第一棒，又可以传最后一棒，因此应分类讨论，然后再逐类排出。

第十章计数原理概率§10.1概率与统计初步考纲要求1．理解分类计数原理和分步计数原理2．能应用分类计数原理和分步计数原理分析、解决一些简单的问题３．了解概率的定义，以及古典概率的计算知识要点１．分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第一类办法中有ｍ１种不同的方法，在第二类办法中有ｍ２种不同的方法，…，在第ｎ类办法中有ｍｎ种不同的方法。

那么完成这件事共有：Ｎ＝ｍ１＋ｍ２＋…＋ｍｎ种不同的方法。

２．分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第一步有ｍ１种不同的方法，做第二步有ｍ２种不同的方法，…，做第ｎ步有有ｍｎ种不同的方法。

那么完成这件事共有：Ｎ＝ｍ１×ｍ２×…×ｍｎ种不同的方法。

３．对两个原理的理解（１）共同点：两个原理都是将一个事件分成若干个分事件来完成。

（２）区别：两个原理一个与分类有关，一个与分步有关。

若完成一个事件有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是互斥的，无论哪一类办法都能单独完成这一事件，求完成这件事的方法就用分类计数原理；若完成一个事件需要分ｎ步完成，各个步骤都不可缺少，需要依次完成所有的步骤，才能完成这一事件，而完成每一步步骤有若干种不同的方法，求完成这件事的方法就用分步计数原理。

典例分析例１．某单位职工义务献血，Ｏ型血的共有１６人，Ａ型血的共有１２人，Ｂ型血的共有１０人，ＡＢ型血的共有２人。

（１）从中任选一人去献血，有多少种不同的选法？（２）从四种血型的人中各选一人去献血，有多少种不同的选法？分析：从Ｏ型血的人中选1人有16种选法；从A型血的人中选1人有12种选法；从B型血的人中选1人有1０种选法；从AB型血的人中选1人有2种选法。

（１）任选一人献血，即无论选哪种血型的一个人此事已完成，所以用分类计数原理。

（２）要从四种血型中各选一人献血，即选４人。

要从每种血型的人中依次选出１人，这件事情才完成。

所以用分步计数原理。

解：（１）Ｎ＝１６＋１２＋１０＋２＝４０（种）（２）Ｎ＝１６１２×１０×２＝３８４０（种）点评：关键是分清题目涉及的问题是分类还是分步的问题，再选用相应的原理解题。

计数原理与概率的计算知识点总结计数原理和概率是概率论与数理统计中的重要概念和工具。

它们对于解决实际问题和理解随机事件的发生规律具有重要意义。

本文将就计数原理和概率的计算知识点进行总结。

一、计数原理计数原理是概率论中一类重要的数学方法，用于计算排列、组合、选择等情况下的可能性。

在实际问题中，经常需要求解一些特定场景下的排列和组合数，计数原理可提供有效的计算方法。

1. 排列计数排列是从给定的若干元素中选出若干元素按照一定顺序排列的方式。

对于n个元素中选取r个元素进行排列，排列数用P表示，计算公式为P(n,r)=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。

2. 组合计数组合是从给定的若干元素中选出若干元素不考虑顺序的方式。

对于n个元素中选取r个元素进行组合，组合数用C表示，计算公式为C(n,r)=n!/((n-r)!*r!)。

3. 二项式系数二项式系数是组合数的一种特殊情况，表示的是一个二项式展开式中各项的系数。

对于二项式系数C(n,k)，表示二项式展开式中x^n的系数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。

二、概率计算概率是描述事件发生可能性大小的数值，可用来解决实际问题中的随机性情况。

概率计算包括基本概率、条件概率和复合事件概率等内容，以下进行详细总结。

1. 基本概率基本概率是指一个事件发生的可能性与样本空间中所有可能事件的比值。

设S为一个试验的样本空间，E为S中的一个事件，在试验中，事件E发生的概率记作P(E)，计算公式为P(E)=n(E)/n(S)，其中n(E)表示事件E中有利结果的个数，n(S)表示样本空间S中结果的总个数。

2. 条件概率条件概率是指在已知一定条件下某一事件发生的概率。

设A、B为两个事件，且P(B)>0，那么在已知B发生的条件下，事件A发生的条件概率记作P(A|B)，计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

计数原理与概率的应用知识点总结计数原理和概率是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，包括统计学、计算机科学、工程学等。

本文将对计数原理和概率的应用进行知识点总结。

一、计数原理的应用计数原理是研究如何对事物进行计数和排列的原则。

在实际应用中，计数原理常常被用于解决组合、排列、选择等问题。

1. 组合问题组合是从给定的元素集合中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。

计数原理中的组合公式为C(n,m)，表示从n个元素中选取m个元素的组合数。

组合问题的应用场景包括抽奖、选课、排队等。

2. 排列问题排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，并考虑元素的顺序。

计数原理中的排列公式为P(n,m)，表示从n个元素中选取m个元素的排列数。

排列问题的应用场景包括密码锁、团队选拔、奖牌的颁发等。

3. 选择问题选择问题是指从给定元素集合中选取若干个元素，并考虑元素的顺序和重复情况。

计数原理中的选择公式为n^m，表示从n个元素中选取m个元素的选择数。

选择问题的应用场景包括密码破解、密码设置、排队时的座位选择等。

二、概率的应用概率是描述事件发生可能性的数值，并且具有数学计算的特性。

在实际应用中，概率经常被用于预测、风险评估、统计等领域。

1. 概率模型概率模型是用来描述事件发生可能性的数学模型。

常见的概率模型包括离散型和连续型概率模型。

在实际应用中，概率模型被广泛用于生物医学、金融、气象等领域的数据分析和预测。

2. 概率分布概率分布是描述随机变量可能取值及其对应概率的函数。

常见的概率分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布等。

概率分布在统计学中被用来描述随机事件的概率分布情况，为相关的数据分析提供支持。

3. 统计推断统计推断是通过已有的样本数据对总体参数进行估计和推断的过程。

根据概率的理论基础，通过对样本数据进行分析，可以得出总体参数的概率分布情况。

统计推断在医学研究、社会调查、市场调研等领域中被广泛应用。

总结：计数原理和概率作为数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。