2019年高考文科数学平面向量-分类汇编(文)

2019年全国卷高三期末考试文科数学分类汇编---平面向量1.（2019安徽合肥市期末）设向量()3 4a =-，，向量b 与向量a 方向相反，且10b =，则向量b 的坐标为( ).DA.6855⎛⎫- ⎪⎝⎭，B.()6 8-，C.6855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.()6 8-， 2.(2019湖北荆门市期末)正六边形ABCDEF 的边长为1，则AE BF ⋅=uu u r uu u r ．323.（2019山东潍坊市期末）设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝ ﹣13 ．【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值． 【解答】解：； ∵；∴； 解得λ＝﹣13． 故答案为：﹣13．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算． 4.（2019湖北期末）已知等边内接于，为线段的中点，则（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC 中点为E ，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.（2019吉林期末）已知向量，的夹角为，且，，，则__________．【答案】(或)【解析】【分析】由题意，利用向量的夹角公式，得，进而求解向量的夹角，得到答案。

【详解】由题意，利用向量的夹角公式，得，又由，∴ .【点睛】本题考查平面向量的夹角，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算求解能力.6.（2019安徽黄山市期末）G为的重心，若，则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用重心的性质，结合向量的线性运算即可得到结果.【详解】设BC的中点为D，则，又G为的重心，∴又，∴∴故选：D【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及三角形重心的性质，考查数形结合的思想，属于基础题.7.（2019福建厦门市期末）在中，，，为的中点，则（）A. B. C. D. 5【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，求得，代入计算，即可求解.【详解】由题意，如图所示，根据平面向量的基本定理和数量积的运算，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中利用平面向量的基本定理，转化为向量和是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8.（2019广东肇庆市期末）已知的边上有一点满足，则可表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相加加法和减法的运算，将向量转化到两个方向上，化简后得出正确的结论.【详解】画出图像如下图所示，故，故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量减法运算，属于基础题.9.（2019湖北宜昌市期末）已知，，且，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．【详解】，即：又，向量与向量的夹角的余弦为，向量与向量的夹角为：故选：B【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力．10（2019湖南湘潭市期末）.已知单位向量的夹角为，则___．【答案】1【解析】因为单位向量的夹角为，所以，，故答案为.（）11.（2019湖南长沙市期末）在中，，，，且是的外心，则CA AOA. 16B. 32C. -16D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.12（2019陕西榆林市期末）.已知向量满足，，，则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意明确•，进而求出的值.【详解】根据题意得，（）222﹣2•，又（）22+2•2＝1+4+2• 6∴2•1，∴（）2＝1+4﹣1＝4，∴2．故选：A．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.13.（2019陕西榆林市期末）已知，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得到，结合同角基本关系式及二倍角正切公式得到结果.【详解】∵，，，且，∴，即，∴，∴，，即∴故选：B【点睛】本题考查三角函数的化简求值问题，涉及的知识点是数量积的坐标运算，二倍角公式，同角基本关系式，考查恒等变换能力.14.（2019四川内江市期末）若，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，对两边平方即可求出，从而可求出，这样即可求出与的夹角．【详解】∵；∴；∴；∴；又；∴的夹角为．故选：D．【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角，属于基础题.15.（2019四川内江市期末）在中，已知，，点D为BC的三等分点(靠近C)，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【详解】如图，＝8﹣1＝7﹣2cos∠BAC∵∠BAC∈（0，π），∴cos∠BAC∈（﹣1，1），∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），故选：C．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．16.（2019云南昆明市期末）已知向量，，若，则______.【答案】2【解析】【分析】由得=0，计算可得t的值.【详解】已知向量，，所以= .，得==3+9-6t=0，所以t=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.17.（2019辽宁省实验中学期末）中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用向量数量积的运算，求得的大小，由余弦定理计算的长度，由此判断三角形为直角三角形.利用向量加法的平行四边形法则，判断点的位置，从而确定取得最大值时点的位置，由此计算出的长.【详解】依题意，.由余弦定理得，故，三角形为直角三角形.设，过作，交于，过作，交于.由于，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，点位于线段上，由图可知最长时为.由于，所以.所以.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理解三角形，考查平面向量加法的平行四边形法则，综合性较强，属于中档题.18.（2019辽宁省实验中学期末）已知向量()∥，，则夹角的余弦值为________ .【答案】【解析】【分析】设，根据向量共线和向量垂直的条件得到的值，进而得到向量的坐标，然后可求出夹角的余弦值．【详解】设，则，∵()∥，，∴，即．又，,∴．由，解得，∴．设的夹角为，则，即夹角的余弦值为．故答案为．【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量的坐标是关键，同时也考查转化和计算能力，属于基础题．。

2019年高考数学试题分项版——平面向量（原卷版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，8)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.2．(2019·全国Ⅱ文，3)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A.B．2 C．5D．503．(2019·全国Ⅰ理，7)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.4．(2019·全国Ⅱ理，3)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于() A．－3 B．－2 C．2 D．35．(2019·北京理，7)设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||+>”AB AC BC 的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，13)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________. 2．(2019·北京文，9)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________. 3．(2019·浙江，17)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．4.(2019·江苏，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是_________．5．(2019·全国Ⅲ理，13)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.6．(2019·天津理，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.。

第五章 平面向量第1节 平面向量的概念、基本定理及坐标运算题型62 向量的概念及共线向量1. （2013辽宁文3）已知点()()1341A B -，，，，则与向量AB u u u r同方向的单位向量为（ ）. A. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，B. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D. 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1.解析 (3,4),AB =-u u u r 则与其同方向的单位向量()1343,4,555AB AB ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭u u u ru u u r e .故选A.题型63 平面向量的线性运算1.（2013江苏10）设E D ，分别是ABC △的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 .1.分析 利用平面向量的加、减法的运算法则将DE u u u r 用AB u u u r ，AC u u u r表示出，对照已知条件，求出1λ，2λ的值即可.解析 由题意DE BE BD =-=u u u r u u u r u u u r ()212323BC BA AC AB -=-+u u u r u u u r u u u r u u u r112263AB AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ， 于是1212,63λλ=-=.故1212λλ+=. 2. （2013四川文12）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，则λ= .2.分析 根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.解析 由向量加法的平行四边法则，得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r.又O 是AC 的中点，所以2AC AO =，所以2AC AO =u u u r u u u r ，所以2AB AD AO +=u u u r u u u r u u u r .又AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r ，所以2λ=. CBDAO3.（2014福建文10）设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r等于（ ）. A.OM u u u u r B.2OM u u u u r C.3OM u u u u r D. 4OM u u u u r4.（2014新课标Ⅰ文6）设F E D ,,分别为ABC △的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （ ）.A.ADB.AD 21 C. BC D. BC 21 5.（2014浙江文9）设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，t +b a 的最小值为（ ）.A ．若θ确定，则a 唯一确定B ．若θ确定，则b 唯一确定C ．若a 确定，则θ唯一确定D ．若b 确定，则θ唯一确定 6.（2017全国2文4）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则（ ）. A ⊥a b B. =a b C. //a b D. >a b6.解析 由||||+=-a b a b 平方得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b .故选A.7.（2017天津文14）在ABC △中，60A ∠=o，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r，()AE AC AB λλ=-∈R u u u r u u u r u u u r，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为 .7.解析 解法一：如图所示，以向量AB uuu r ，AC u u u r为平面向量的基底，则依题意可得1cos603232AB AC AB AC ⋅==⨯⨯=o u u u r u u u r u u u r u u u r .又因为2BD DC =u u u r u u u r，则()2233AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AC AB +u u ur u u u r . 又因为AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r，则()2221243333AD AE AC AB AC AB λλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2221211233533333λλλ⎛⎫⨯-⨯+-=- ⎪⎝⎭，即得311λ=. 解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易DCA得()0,0A ，()3,0B，(C，则可得2533AD AB BD AB BC ⎛=+=+= ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()AE AC AB λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，于是有()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=-u u u r u u u r ，解得311λ=.2018年1.（2018全国Ⅰ文7）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r 解析 如图所示，1111131()()2242444EB BE BA BD AB BC AB AC AB AB AC =-=-+=-=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .故选A.题型64 向量共线的应用1.（2015北京文6）设a ，b 是非零向量，“a b =a b ⋅”是“//a b ”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件1.解析 由cos ,⋅=a b a b a b ，若⋅=a b a b ，则cos ,1=a b ，即,0=a b ， 因此//a b .反之，若//a b ，并不一定推出⋅=a b a b ，而是⋅=a b a b ，原因在于： 若//a b ，则,0=a b 或π.所以“⋅=a b a b ”是“//a b ”的充分而不必要条件.故选A.题型65 平面向量基本定理及应用1．（2013广东文10）设a 是已知的平面向量且a ≠0．关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；③给定向量b 和正数，总存在单位向量c ，使λμ=+a b c . ④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c .上述命题中的向量b 、c 和a ，在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 1.分析 利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断. 解析 对于①，若向量,a b 确定，因为-a b 是确定的，故总存在向量c ，满足=-c a b ， 即=+a b c ，故正确；对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数,λμ，满足λμ=+a b c ，故正确；对于③，如果λμ=+a b c ，则以,,λμa b c 为三边长可以构成一个三角形，如果b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ满足λμ=+a b c ，故正确； 对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“,,λμa b c 为三边长可以构成一个三角形”这时单位向量b 和c 就不存在，故错误.故选C.2.（2016四川文9） 已知正ABC △的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是（ ）.A.B. C.D.2. B 解析 正三角形的对称中心为，易得，.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.则. 设，由已知，得.又，所以，所以. 3244344943637+433237+ABC O 120AOC AOB BOC ∠=∠=∠=oOA OB OC ==uu r uu u r uuu r O OA x ()((201A B C --，，，(,)P x y 1PA =uu r ()2221x y -+=PM MC =uuu r uuur 1,22x y M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭1,22x y BM ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭uuur因此.它表示圆上的点与点距离平方的， 所以.故选.3.(2018全国1文7)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r3.解析 如图所示，1111131()()2242444EB BE BA BD AB BC AB AC AB AB AC =-=-+=-=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .故选A.题型66 向量的坐标运算1.（2014广东文3）已知向量()()1,2,3,1==a b ，则-=b a （ ）. A.()2,1- B.()2,1- C.()2,0 D. ()4,32.（2014北京文3）已知向量()2,4=a ，()1,1=-b ，则2-=a b （ ）.A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,92. 解析 由()2,4=a 知()24,8=a ，所以()()()24,81,15,7-=-=a b .故选A.3.（2014湖南文10）在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ，()30C ，，动点D 满足1CD =u u u r,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的取值范围是（ ）. A.[]46，B.⎤⎦()(222221124x y x BM ++++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r 22(2)1x y -+=()x y，(1--，1422max 149144BM ⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭uuu r BC.⎡⎣D.⎤⎦4.（2014陕西文18）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点()()()1,1,2,3,3,2A B C ，点(),P x y 在ABC △三边围成的区域（含边界）上，且()OP mAB nAC m n =+∈R u u u r u u u r u u u r，.（1）若23m n ==； （2）用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.5.（2015全国1文2） 已知点(0,1),(3,2)A B ，向量()4,3AC =--u u u r，则向量BC =u u u r （ ）.A. ()7,4--B. ()7,4C. ()1,4-D. ()1,45.解析 由题意可得()()03,123,1BA =--=--u u u r，()()34,137,4BC BA AC =+=----=--u u u r u u u r u u u r.故选A.6.（2015年湖南文9） 已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P的坐标为()2,0，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）.A. 6B. 7C. 8D. 96.解析 解法一 由题意，AC 为直径，所以22PA PB PC PO PB PO PB ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r…，当点B 为()1,0-时，4PB +u u u r取得最大值7.故选B.解法二 由题意得，AC 为圆的直径，故可设()()(),,,,,A m n C m n B x y --，所以()6,PA PB PC x y ++=-u u u r u u u r u u u r ，而()222261236371249x y x y x x -+=+-+=-…， 当且仅当“1x =-”时“=”，取所以PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为7.故选B.7.（2015年江苏6）已知向量()2,1=a ，()1,2=-b ，若m n +a b ()9,8=-(),m n ∈R ，则m n -的值为 ．7.解析 由题意m n +a b ()()2,11,2m n =+-()2,2m n m n =+-()9,8=-， 从而2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，故3m n -=-．评注 也可以将m n -用2m n +与2m n -线性表示，如()()1322355m n m n m n -=++-=-． 题型67 向量平行（共线）的坐标表示1. (2013陕西文2）已知向量()()12m m ==，，，a b ，若∥a b ，则实数m 等于（ ）.A.B.C.D. 01.解析由2//12m m m ⇒=⨯⇒==a b 故选C.2.（2015四川文2）设向量()2,4=a 与向量(),6x b =共线，则实数x =（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.解析 由向量平行的性质，得2:4:6x =，解得3x =.故选B.3.（2016全国甲文13）已知向量()=4m ，a ，向量()=32-，b ，且∥a b ，则m =_________. 3. 解析 因为，所以，解得. 4.（2017山东文11）已知向量()26=，a ，()1,λ=-b ，若//a b ，则λ= .4.解析 由//a b ，得62λ-=，解得3λ=-.2018年1.（2018全国Ⅲ文13）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．解析 ()()()22,42,24,2=+-=a +b .又()2∥c a +b ，则42λ=，得12λ=.第2节 平面向量的数量积题型68 平面向量的数量积1.（2013湖北文7）已知点(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD uuu r方向上的投影为（ ）.A．2 B．2 C．2- D．2- 1.分析 首先求出,AB CD u u u r u u u r的坐标，然后根据投影的定义进行计算.解析 由已知得()()2,1,5,5AB CD ==u u u r u u u r，因此AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为6-//a b 2430m --⨯=6m =-AB CDCD⋅==u u u r u u u ru u u r.故选A.2．(2013福建文10）在四边形ABCD中，()()1,2,4,2,AC BD==-u u u r u u u r则该四边形的面积为（）.AB．C．5D．102.分析先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积.解析因为()()1,24,2440AC BD⋅=⋅-=-+=u u u r u u u r，所以AC BD⊥u u u r u u u r，所以11522ABCDS AC BD=⋅==四形u u u r u u u r边.故选C.3. (2013湖南文8）已知,a b是单位向量，0a b⋅=.若向量c满足1,c a b--=则c的最大值为（）.1123.分析将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解.解析因为,a b是单位向量，所以1==a b.又0⋅=a b，所以⊥a b，所以+=a b所以()2222221--=-⋅++⋅++=c a b c c a b a b a b.所以()2210-⋅++=c c a b.所以()221⋅+=+c a b c.所以()212cosθθ+=++是与的夹角c c a b c a b.所以21cosθ+=≤c.所以210-+≤c.11≤c.所以c1.故选C.4.(2013天津文12）在平行四边形ABCD中，1AD=，60BAD︒∠=，E为CD的中点.若·1AC BE=u u u r u u u r，则AB的长为.4.分析用,AB ADu u u r u u u r表示ACuuu r与BEu u u r，然后进行向量的数量积计算.解析由已知得1,,2AC AD AB BE AD AB=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以212AC BE AD AB AD AB⋅=-⋅+⋅u u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111222AD AB AB AD AB-=+⋅-u u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r2111||||cos 601,22AB AD AB =+⋅︒-=u u u r u u u r u u ur 所以1||=.2AB u u u r5.（2013浙江文17） 设12,e e 为单位向量，非零向量12,,x y x y =+∈b e e R ，若12,e e 的夹角为30o，则||||x b 的最大值等于________.5.分析 为了便于计算可先求2x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭b 的范围，再求xb 的最值.解析 根据题意，得()()()1222222212122x x x x y xy x y ⎛⎫=== ⎪ ⎪++⋅+⎝⎭b e e e e e e22222cos 6x x y xy =π++2114y x ==⎛+ ⎝⎭⎝⎭.因为21144y x ⎛++ ⎝⎭≥，所以204x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭≤<b ，所以02x ≤<b .故xb 的最大值为2. 6. (2013安徽文13）若非零向量a b ，满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为 .6.解析 由2,=+a a b 两边平方，得()22224,=+=+⋅a a b a a b 所以2⋅=-a b b .又3,=a b 所以cos ,a b 22133-⋅===-b a b a b b . 7. （2013山东文15）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA u u u r ()1,t =-，OB uuu r()2,2=．若90ABO ∠=o，则实数t 的值为 ．7.分析 利用向量垂直的充要条件，列方程求解.解析 因为90ABO ∠=︒，所以AB OB ⊥u u u r u u u r ，所以0OB AB ⋅=u u u r u u u r .又AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r()()()2,21,3,2t t =--=-，所以()()()2,23,26220t t ⋅-=+-=.所以5t =.8. (2013重庆文14） 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，()()312OA OB k =-=-u u u r u u u r，，，，则实数k = .8.分析 画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.解析 如图所示，由于()()312,OA OB k =-=-u u u r u u u r ，，，所以()1,1AB OB OA k =-=-u u u r u u u r u u u r .在矩形中，由OA AB ⊥u u u r u u u r 得0OA AB ⋅=u u u r u u u r，所以()()3,11,10k -⋅-=，即()31110k -⨯+⨯-=，解得4k =.9.（2014大纲文6）已知，a b 为单位向量，其夹角为60o ，则(2)-⋅=a b b （ ）. A ．1- B ．0 C ．1 D ．210.（2014新课标Ⅱ文4）设向量，a b满足+=a b-=a b ⋅=a b （ ）.A.1B.2C.3D.511. （2014山东文7）已知向量((),3,m ==a b . 若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（ ）.A.B.C. 0D.12. （2014安徽文10）设，a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234，，，x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344⋅+⋅+⋅+⋅x y x y x y x y 所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ）. A.23π B.3π C.6πD.0 13. 分析 本题考查向量的数量积的最值.解析 11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r由如下三种可能： ① 222222210⋅+⋅=+=a a b b a b a ； ② 248cos ,⋅=a b a a b ；③ 2222254cos ,++⋅=+a b a b a a a b . 易知，当228cos ,4=a a b a 时，1cos ,2=a b ，,3π=a b ， 此时22254cos ,7+=a a a b a ， 因此最小值为24a .当22254cos ,4+=a a a b a 时，得1cos,4=-a b，此时2420⋅=-<a b a，不满足题意，故舍去.综上所述，若最小值为24a，则a与b的夹角3π.故选B.14.（2014四川文10）已知F为抛物线2y x=的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB⋅=u u u r u u u r（其中O为坐标原点），则ABO△与AFO△面积之和的最小值是（）.A.2B.3C.172D.1015.（2014重庆文12）已知向量60(26)||10=--=⋅=o与的夹角为，且，，，则a b a b a b_________.16.（2014江西文12）已知单位向量12，e e的夹角为α，且1cos3α=，若向量1232=-a e e，则||=a.17.（2014陕西文13）设π2θ<<，向量()()sin2cos1cosθθθ==，，，-a b，若0⋅=a b，则=θtan_______.18.（2014四川文14）向量()1,2=a，()4,2=b，m=+c a b()m∈R，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=____________.19．（2014湖北文12）若向量()1,3OA=-u u u r，OA OB=u u u r u u u r，0OA OB⋅=u u u r u u u r，则AB=u u u r.20.（2014江苏12）如图所示，在平行四边形ABCD中，已知8AB=，5AD=，3CP PD=u u u r u u u r，2AP BP⋅=u u u r u u u r，则AB AD⋅u u u r u u u r的值是．21. （2014天津文13）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD∠=o，点E，F分别在边BC，DC上，3BC BE=，DC DFλ=.若1AE AF⋅=u u u r u u u r，则λ的值为________.22.（2015全国2文4）向量()11,=-a,()12,=-b，则()2+⋅=a b a（）.A. 1-B. 0C. 1D. 222.解析由向量的坐标表示方法知，22==2a a，3⋅-a b=.故有()22=2=223=1+⋅+⋅⨯-a b a a a b .故选C.23.（2015福建文7）设向量=(1,2)a ，()1,1b =，k =+c a b ．若⊥b c ，则实数k 的值等于（ ）. A ．32-B ．53-C ．53D ．3223.解析 由已知可得()()()1,21,11,2k k k =+=++c ，因为⊥b c ，则0=gb c ，即120k k +++=，解得32k =-.故选A.24.（2015广东文9） 在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ，()2,1AD =u u u r，则u u u r u u u r AD AC ⋅=（ ）.A ．5B ．4C ．3D ．2 24.解析 因为四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形法则可得(1,2)(2,1)(3,1)AC AB AD =+=-+=-u u u r u u u r u u u r ，所以231(1)5AD AC =⨯+⨯-=u u u r u u u rg .故选A.评注 本题考查1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．25.（2015重庆文7）已知非零向量a ，b 满足||=4b a ，且(+)⊥2a a b ，则a 与b 的夹角为 （ ）. A.π3 B. π2 C. 2π3 D. 5π625.解析 因为(+)⊥2a a b ，所以()20+=g a a b ，即22-g a b =a ，所以cos ,==g a b a b a b 222124-=-a a，所以a 与b 的夹角为23π．故选C ． 26.（2015陕西文8）对任意的平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）. A. g …a b a b B. --…a b a b C. ()22+=+a b a b D. ()()22+-=-g a b a b a b26.解析 因为cos ⋅=，…a b a b a b a b ，所以A 选项正确； 当a 与b 方向相反时，B 选项不成立，所以B 选项错误； 向量平方等于向量模的平方，所以C 选项正确；()()22+⋅-=-a b a b a b ，所以D 选项正确.故选B.27.（2015年湖南文9） 已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为()2,0，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）.A. 6B. 7C. 8D. 927.解析 解法一 由题意，AC 为直径，所以PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r 2PO PB +u u u r u u u r…2PO PB +u u u r u u u r，当点B 为()1,0-时，4PB +u u u r 取得最大值7.故选B.解法二 由题意得，AC 为圆的直径， 故可设()()(),,,,,A m n C m n B x y --，所以()6,PA PB PC x y ++=-u u u r u u u r u u u r，而()222261236371249x y x y x x -+=+-+=-…，当且仅当“1x =-”时取“=”，所以PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为7.故选B.28.（2015安徽文15）ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB =u u u ra ， 2AC =+u u u ra b ，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）.①a 为单位向量；②b 为单位向量；③⊥a b ；④//BC u u u rb ；⑤()4BC +⊥u u u r a b .28.解析 由题意作图，如图所示.因为等边三角形ABC 的边长为2，2AB =u u u ra ，所以22AB ==u u u ra ，得1=a .故①正确；因为2AC AB BC BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r a ，所以BC =u u u rb ，得2=b .故②错误，④正确；由2AB =u u u r a ，BC =u u u rb ，ABC △为等边三角形，可得a 与b 的夹角为120o .故③错误；由()()21444412402BC ⎛⎫+=+=+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭u u u r g g g a b a b b a b b.所以()4BC +⊥u u u ra b ，故⑤正确. 综上可知，正确的编号是①④⑤.评注 1. 考查平面向量的基本概念；2. 考查平面向量的性质.29.（2015湖北文11）.已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r.29 .解析 因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，所以0OA AB ⋅=u u u r u u u r即()=0OA OB OA ⋅-u u u r u u u r u u u r ，22239OA OB OA OA ⋅====u u u r u u u r u u u r u u u r .30.（2015山东文13）过点(1P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A B ，，则u u u r u u u rPA PB ⋅= .30.解析 根据题意，作出图形，如图所示.由平面几何知识，得PA PB ==u u u r u u u r. 由切线长定理，得2APB OPB ∠=∠. 在Rt OPB △中，tan OB OPB PB ∠==，所以30OPB ∠=o. 可得60APB ∠=o.所以3cos cos602PA PB PA PB APB =∠==o u u u r u u u r u u u r u u u r g .31.（2015天津文13）在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC = ，60ABC ∠=o，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且23BE BC =u u u r u u u r ，16DF DC =u u u r u u u r，则AE AF u u u r u u u rg 的值为 ．31.解析 在等腰梯形ABCD 中，由//AB DC ，2,1,60AB BC ABC ==∠=o，得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ，1AB AD ⋅=u u u r u u u r ，12DC AB =u u u r u u u r，所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21312AB BC AD AB ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u rAB AD ⋅+u u u r u u u r 221131218BC AD AB BC AB ⋅++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111291331818++-=.32.（2015浙江文13） 已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212⋅=e e ．若平面向量b 满足 121⋅=⋅=b e b e ，则=b ．32.解析 设1OA =e u u u r ，2OB =e u u u r ，由2OB =e u u u r，得121cos 2=e e ，，即12π3=e e ，. 又12⋅=⋅e e b b ，得120⋅-⋅=e e b b ，即()120⋅-=e e b ，故()12⊥-e e b .过点O 作直线l AB ⊥，如图所示，因为11⋅=e b ，21⋅=e b ，据平面向量数量积的几何意义知，OC uuu r在OA uuu r，OB uuu r上的投影均为1，所以1cos303OC ==ou u u r.故3=b .33.（2016北京文9）已知向量(=a，)=b ，则a 与b 夹角的大小为_________.33.解析 由已知可得，. 所以. 34.（2016全国丙文3）已知向量12BA ⎛= ⎝⎭u u u r ，12BC ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r ，，则ABC ∠=（ ）. A.30o B.45o C.60o D.120o34. A 解析 因为，，，所以. π62===ab 11⋅==ab 2cos ,⋅=⋅⨯==a b a b a bcos BA BC BA BC ABC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u ur 122BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u ur 122BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r cos BA BCABC BA BC⋅∠==⋅u u u r u u u ru u u r u u ur 1122⎛⎫⋅ ⎪由，所以.故选A.35.（2016全国乙文13）设向量()=1x x +,a ，()=12,b ，且⊥a b ，则x = . 35. 解析 由题意，解得. 36. （2016山东文13）已知向量()=1,1-a ，()=6,4-b .若()t ⊥+a a b ，则实数t 的值为________.36. 解析 由题意可得t +=a b ()(),6,4t t -+-=()6,4t t +--，，解得.37.（2016天津文7）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）.A.85-B.81 C.41 D.811 37.B 解析由题意作图，如图所示.则.故选B.38.（2016上海文12）如图所示，已知()0,0O ，()1,0A ，()0,1B -，P 是曲线y =上一个动点，则OP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是 .38.解析 由题意设，故，由线性规划的有关知识知.故填.评注 也可以设，，则，.利用三角有关知识求解.39.（2016浙江文15）已知平面向量a ，b ，1=a ，2=b ，·1=a b .若e 为平面单位向量，则··+a e b e 的最大值是________. 0πABC <∠<30ABC ∠=o23-()210x x ⋅=++=a b 23x =-5-()()()6,41,12100t t t t +⋅+--⋅-=+=a b a =5t =-()111cos60448AF BC AE EF BC AC BC ⋅=+⋅=⋅==o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r FEDCBA(),P x y ()(),1,1OP BA x y x y ⋅=⋅=+u u u r u u urx y ⎡+∈-⎣⎡-⎣()cos ,sin P αα[]0,πα∈cos sin OP BA αα⋅=+u u u r u u u r[]0,πα∈解析 由已知得，所以. 不妨取，，设，则，取等号时与同号.所以（其中，，取为锐角）..易知当时，取最大值1，此时为锐角，，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到..40.（2016江苏13）如图所示，在ABC △中，D 是BC 的中点，E ，F是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=u u u r u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r的值是 .40. 解析 解法一（基底法）：令，，则，，，则，，，，，，故，，因此，.故.解法二（建系法）：可以考虑以为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，，则，，.1cos ,2==ab a b a b ,60=o a b ()1,0=a (=b ()cos ,sin ααe =cos cos cos cos αααααα+=++++=…ae be 2cos ααcos αsinα()2cos +αααααθ=+=sin θ=cos θ=θ()+αθ…π+2αθ=()sin +αθαsin αcos α78DC =u u u r a DF =u u u r b DB =-u u u r a 2DE =u u u r b 3DA =u u u r b 3BA =+u u u r a b 3CA =-+u u r a b 2BE =+u u u ra b 2CE =-+u u u r a b BF =+u u u r a b CF =-+u u u r a b 2294BA CA ⋅=-+=u u u r u u ra b 221BF CF ⋅=-+=-u u u r u u u r a b 2138=a 258=b 22451374888BE CE ⨯⋅=-+=-=u u u r u u u r a b D BC x BC y (),0C a (),F b c (),0B a -()2,2E b c ()3,3A b c B则，，，，，.由题意，，因此，，故.评注 特别地，可以假定，建立特殊的直角坐标系.这类问题以前也遇到过，比如下面一题.在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，.若，则.解析 解法一（配凑）：由题意得，，从而，平方整理得.（或）. 故.故填.解法二：（建系）建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设，，从而，，. ()3,3BA b a c =+u u u r ()3,3CA b a c =-u u r ()2,2BE b a c =+u u u r ()2,2CE b a c =-u u u r(),BF b a c =+u u u r (),CF b a c =-u u u r 222994BA CA b c a ⋅=+-=u u u r u u r 2221BF CF b c a ⋅=+-=-u u u r u u u r 2138a =2258b c +=2224513744888BE CE b c a ⨯⋅=+-=-=u u u r u u u r DA BC ⊥ABCD E F AD BC 1AB =EF =CD =15AD BC ⋅=u u u r u u u r AC BD ⋅=u u u r u u u rEFD CBAEF EA AB BF =++u u u r u u u r u u u r u u u r EF ED DC CF =++u u ur u u u r u u u r u u u r 2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r 2AB DC ⋅=u u u r u u u r2EF EC EB =+u u u r u u u r u u u r ED DC EA AB =+++u u u r u u u r u u u r u u u r AB DC =+u u u r u u u r ()()AC BD AD DC BC CD ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AD BC AD CD DC BC DC CD =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()AD BC DC AD BC CD =⋅+⋅-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 13AD BC DC BA =⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r13(),D m n (),C a b ()1,0B ,22m n E ⎛⎫⎪⎝⎭1,22a b F +⎛⎫⎪⎝⎭由题意，从而，即通过，求解，①②得，即④，而③即为⑤，⑤④得，即.故填.可见，强制建系归根结底转化为恰当的代数（强烈的目标意识）处理，而合理的建系会对运算起到简化作用.41.（2017全国1文13）已知向量()1,2=-a ，(),1m =b .若向量+a b 与a 垂直.则m = .解析 由题得()1,3m +=-a b ，因为+a b 与a ()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =.42.（2017全国3文13）已知向量()2,3=-a ，()3,m =b ，且⊥a b ，则m = . 解析 因为⊥a b ，所以0⋅=a b ，即，解得.评注 考查向量的坐标运算，属于基础题型，公式套用即可，没有难度.43.（2017浙江10）如图所示，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =u u u r u u u r ，2·I OB OC =u u u r u u u r ，3·I OC OD =u u u r u u u r，则（ ）. (a,b )15CD EF AD BC ⎧=⎪⎪=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u r ()()()()2222223122222,1,15CD m a n b m a n b EF AD BC m n a b ⎧=-+-=⎪⎪+⎪⎛⎫⎛⎫=-+-=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⋅=-=⎪⎩u u u r u u u r ()()()()()2222318115m a n b m a n b m a bn ⎧-+-=⎪⎪--+-=⎨⎪-+=⎪⎩①②③()(),1,AC BD a b m n ma a bn ⋅=-=-+u u u r u u u r -()()2215m a m a ----=2m a -=-15ma m bn -+=+13ma a bn -+=13AC BD ⋅=u u u r u u u r13A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<43.解析 如图所示，动态研究问题D D ¢®，O O ¢®．此时有90AOB?o ，90BOC?o ，90COD ?o ，且CO AO >，DO BO >．故OB OCOA OBOC OD ???uu u r uuu ruu r uu u r uuu r uuu r.44.（2017浙江15）已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 .44.解析 解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ． 易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==； 当AO BC ⊥时，AB AC +最大，此时2AB AC AB +== 解法二()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值45.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA u u u r，OB uuu r，OC uuu r的模分别为1，1，B Aa，OA u u u r 与OC uuu r 的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC uuu r的夹角为45︒．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(),m n ∈R ， 则m n += ．45.解析 解法一：由题意OC OA mOA OA nOB OAOC OB mOA OB nOB OB⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （*）而由tan 7α=，得sin α=cos α=，11cos 4OA OB απ⎛⎫⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 3cos cos sin sin 445ααππ=⋅-⋅=-．将（*）式化简为 13 5531 5m n m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①②式①加式②，得3m n +=．故填3．解法二（坐标法）：如图所示，以OA 所在的直线为x 轴，过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得()1,0A ，17,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由 OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，得()1734,1,0,5555m n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13557455m n n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故3m n +=．故填3．B解法三（解三角形）：由tan 7α=，可得sin 10α=，cos 10α=，如图所示，根据向 量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩即2100210m m +=⎪⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得57,44m n ==，所以3m n +=．2018年1.（2018全国Ⅱ文4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ）. A ．4B ．3C ．2D ．0解析 ()()2222222113⋅-=-⋅-⋅⨯--=a a b a a b =a a b =.故选B.2.（2018北京文9）设向量()1,0=a ，1,m =-（）b ,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 解析 因为()1,0=a ，1,m =-（）b , 所以()()(),01,1,m m m m m ---=+-a b = 由()m ⊥-a a b 得：()0m ⋅-=a a b ，所以()10m m ⋅-=+=a a b ， 即1m =-.3.（2018天津文8）在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为().（A ）15- （B ）9- （C ）6-（D ）0解析 如图所示，联结MN ，由2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，由题意可知：221OM OM ==u u u u r u u u u r ，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-u u u u r u u u r结合数量积的运算法则可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r .故选C.4.（2018浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则-a b 的最小值是（ ）. A1BC ．2D ．2解析 2430-⋅+=b e b ，即22430-⋅+=b e b e ，则()()30--=b e b e ，所以()()3-⊥-b e b e ，则b 的终点落在如图所示的单位圆上（设点O 为其圆心）.若使-a b 最小，即使圆上的点到a 的距离最小. 作OA ⊥u u u r a 于点A ，则min 2sin 113OA r π-=-=-a b .故选A.π32019年1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析 因为()-⊥a b b ，所以()22cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ，所以22cos ,2<>===⋅bba b a bb又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>=a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= AB ．2C ．D ．50解析 因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ，所以-==a b A.3. （2019全国Ⅲ13）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=a b ___________. 解析 ()8264⋅⨯-+⨯=-a b =2，==a10==b，cos ,10==-a b ． 4.（2019北京文9）已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．解析 因为⊥a b ，所以()4630m ⋅=-⨯+⨯=a b ，得8m =.5.（2019天津文14）在四边形中，，， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.ABCD AD BC ∥AB =5AD =30A ∠=︒E CB AE BE =BD AE ⋅=u u u r u u u r解析 因为AB BE =，//AD BC ，30A ∠=o ，所以在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=o ，又AB =2AE =，所以25BE AD =-u u u r u u ur .因为AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r，所以25AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r .又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2272cos 55AB AB AD A AD -+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u ur 72125251525-+⨯⨯-⨯=-. 6.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 .解析 设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r ，因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322AB AC =u u ur u u u r ，所以223AB AC=u u u r u u u r ，所以AB AC =7.（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________，最大值是_______.解析：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，0AB AD ⋅=u u ur u u u r ，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++u u u r u u u r=由于(1,2,3,4,5,6)i i λ=λi (i =1,2，3，4，5，6)取遍1±， 可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=，可得所求最小值为0；由13564λλλλ-+-=，24564λλλλ-++=，可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为题型69 向量与三角形四心——暂无。

2019年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，8)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.2．(2019·全国Ⅱ文，3)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |等于( ) A. B ．2 C ．5 D ．50 答案 A解析 ∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝ ＝ . 即2x ＋y －2π＋1＝0.3．(2019·全国Ⅰ理，7)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.4．(2019·全国Ⅱ理，3)已知 ＝(2,3)， ＝(3，t )，| |＝1，则 · 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为＝ － ＝(1，t －3)，所以| |＝ ＝1，解得t ＝3，所以 ＝(1,0)，所以 · ＝2×1＋3×0＝2，故选C.5．(2019·北京理，7)设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“AB 与AC 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>”，“ ||||AB AC BC +>” ⇒ “AB 与AC 的夹角为锐角”，由此能求出结果． 【解析】：点A ，B ，C 不共线，“AB 与AC 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>”， “||||AB AC BC +>” ⇒ “AB 与AC 的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的充分必要条件． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 答案 －解析 ∵a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)， ∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a |＝ ＝2 ，|b |＝ ＝10. ∴cos 〈a ，b 〉＝＝＝－. 2．(2019·北京文，9)已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 答案 8解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0. 又∵a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )， ∴－4×6＋3m ＝0，解得m ＝8.3．(2019·浙江，17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 |的最小值是________，最大值是________． 答案 0 2解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当 时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 |取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6|取得最大值＝2.4.(2019·江苏，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是_________．答案解析方法一以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得E，则直线OA：y＝x，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，联立可得O，则·＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，·＝·＝，由·＝6·得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，则＝＝＝.方法二由A，O，D三点共线，可设＝λ，则＝(＋)，由E，O，C三点共线可设＝μ，则－＝μ(－)，则＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)＋μ，由平面向量基本定理可得解得μ＝，λ＝，则＝(＋)，＝－＝－，则6·＝6×(＋)·＝＝·，化简得32＝2，则＝.5．(2019·全国Ⅲ理，13)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.答案解析设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝. 6．(2019·天津理，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.答案－1解析方法一在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，所以cos∠ABD＝＝－，则sin ∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×＝－1.。

专题07平面向量1．【2019年高考全国I卷文数】已知非零向量a，b满足|a |2|b|，且(a b)b，则a与b的夹角为A．C．π62π3B．D．π35π62．【2019年高考全国II卷文数】已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=A．2C．52B．2D．503．【2019年高考北京卷文数】已知向量a=（–4，3），b=（6，m），且a b，则m=__________．4．【2019年高考全国III卷文数】已知向量a (2,2),b (8,6)，则cos a,b ___________. 5．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，AD∥BC,AB 23,AD 5,A 30，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE ，则BD AE _____________．6．【2019年高考江苏卷】如图，△在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB AC 6A O EC ，则ABAC的值是_____.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个i(i 1,2,3,4,5,6)取遍时，|AB BC CD DA AC BD|123456的最小值是________；最大值是_______.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCDuu r中，AB=4,AD 2．若点M，N分别是C D，BC的中点，则AM MNA．4B．3C．2D．19．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a，b满足|a|1，|b|3，1且与 b的夹角为6，则(a b ) (2a b )A ．1 2B ．32C ．12D ．3 210．【安徽省江淮十校 2019 届高三年级 5 月考前最后一卷数学试题】已知向量a (1,2)，b (2,3)，c (4,5) ，若 (ab )c ，则实数A ．12B ．1 2C ．2D ． 211．【2019 届北京市通州区三模数学试题】设a ， b均为单位向量，则“ a 与 b夹角为 2π”是“ 3| a b | 3 ”的A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．【辽宁省丹东市 2019 届高三总复习质量测试数学（二)】在△ABC 中，ABAC 2 A D ，AE DE 0 ，若 EBxAB y AC ，则A ．C ．y 3xy3xB ．D ．x 3 yx3y13．【2019 年辽宁省大连市高三 5 月双基考试数学试题】已知直线 y =x +m 和圆 x +y =1 交于 A 、B 两点，O为坐标原点，若AO AB3 2，则实数 m =A ．1B ．32C ．2 2D ．1 214．【天津市和平区 2018-2019 学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD的边长为 2，BAD120，点 E ，F 分别在边 BC， DC上，BC3BE，DCDF ，若 AE AF1，则 的值为A ．3B ．2a 222C．32D．5215．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD中，AB 3,AD 4,交于点O，过点A作AE B D，垂足为E，则AE ECAC与BD相A．C．725125B．D．14425122516．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F 为CE的中点，则AFA．31AB AD44B．13AB AD44C．12AB AD D．31AB AD4217．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a=（－4，3），b=（6，m），且a b，则m=__________. 18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆x2y24x 50的弦AB的中点为(1,1)，直线AB交x轴于点P，则PA PB的值为__________.3。

专题11平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以c o s θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A1 B C．2 D ．2【答案】A 【解析】设，则由得，由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线1，为选A.的距离2【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知BC OM的值为==∠=,2,2,OM ON MON1,2,120==则·BM MA CN NA-B．9-A．15C．6-D．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】10-【解析】2826cos ,||||⨯-+⨯⋅===⋅a b a b a b ．【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE的斜率为3，其方程为(3y x =-， 直线AE的斜率为3-，其方程为3y x =-.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令(123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλ=+++++=0.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】【解析】，， 由得：，，即.【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =. 【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m +=⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________． 【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b ，+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2B D D C=，AE AC λ=-11 ()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________． 【答案】311 【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311A C AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。

专题06平面向量历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 平面向量的数量积2019年新课标1文科08单选题2018 平面向量基本定理2018年新课标1文科07单选题2015 平面向量的坐标运算2015年新课标1文科02单选题2014 平面向量的几何运算2014年新课标1文科06单选题2010 平面向量的数量积2010年新课标1文科02填空题2017 平面向量的坐标运算2017年新课标1文科13填空题2016 平面向量的数量积2016年新课标1文科13填空题2013 平面向量的数量积2013年新课标1文科13填空题2012 向量的模2012年新课标1文科15填空题2011 平面向量的数量积2011年新课标1文科13历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科08】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1文科07】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1文科02】已知点A（0，1），B（3，2），向量（﹣4，﹣3），则向量（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到（3，1），向量（﹣4，﹣3），则向量（﹣7，﹣4）；故选：A．4．【2014年新课标1文科06】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴（）+（）（），故选：A．5．【2010年新课标1文科02】平面向量，已知（4，3），（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设（，y），∵a＝（4，3），2a+b＝（3，18），∴∴cosθ，故选：C．6．【2017年新课标1文科13】已知向量（﹣1，2），（m，1），若向量与垂直，则m＝．【解答】解：∵向量（﹣1，2），（m，1），∴（﹣1+m，3），∵向量与垂直，∴（）•（﹣1+m）×（﹣1）+3×2＝0，解得m＝7．故答案为：7．7．【2016年新课标1文科13】设向量（，+1），（1，2），且⊥，则＝．【解答】解：∵；∴；即+2（+1）＝0；∴．故答案为：．8．【2013年新课标1文科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t（1﹣t）．若•0，则t ＝．【解答】解：∵，，∴0，∴t cos60°+1﹣t＝0，∴10，解得t＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1文科15】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1∴∴|2|解得故答案为：310．【2011年新课标1文科13】已知a与b为两个垂直的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则＝．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴＝1 故答案为：1 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，0AE DE +=u u u r u u u r r，若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】因为2AB AC AD +=u u u v u u u v u u u v ，所以点D 是BC 的中点，又因为0AE DE +=u u u v u u u v v，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，因此31,344x y x y =-=⇒=-，故本题选D.2．已知非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,则a b ⋅r r 的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,所以2222444a b a b a b -=+-⋅=r r rr r r ，即2244cos 604a b a b +-=or r r r ，即22424a b a b +-=r r r r ，又因为2244a b a b +≥r rr r ，当且仅当2a b =r r 时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=r r rr r r ，即2a b ≤r r ；因此，1cos 6012a b a b a b ⋅==≤or r r r r r .即a b ⋅r r 的最大值为1.故选B3．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r夹角为2π3”是“||a b +=r r ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】因为a r ，b r均为单位向量， 若a r 与b r夹角为2π3，则||1a b +=r r ；因此，由“a r 与b r 夹角为2π3”不能推出“||a b +=r r ”；若||a b +=r r ，则||a b +===r r解得1cos ,2a b =v v ，即a r 与b r 夹角为π3，所以，由“||a b +=r r ”不能推出“a r 与b r 夹角为2π3”因此，“a r 与b r 夹角为2π3”是“||a b +=r r ”的既不充分也不必要条件.故选D4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r ,2AD =u u u r ．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=u u u u r u u u u r（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，1122MN CN CM CB CD =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 11112222BC DC AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u ur u u u r .∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=u u u r u u u r .故选：C ．5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=（ ）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =u u u r ，则3AO =u u u r因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r 在AO u u ur 方向上的投影为AO u u u v ，因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选C6．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-rr r ，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．4【答案】B 【解析】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r ，所以(2,2)a b m -=-rr ，因为()a a b ⊥-rr r ，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=r r r ，解得3m =所以答案选B.7．已知向量a r 、b r 为单位向量，且a b +r r 在a r 31+，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】设向量a r 与b r的夹角为θ， 因为向量a r 、b r为单位向量，且a b +r r 在a r 31，则有3()||12a b a a ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭r r r r ，变形可得：3112a b +⋅=+rr ，即3 cos c2 1o1sa bθθ⋅=⨯⨯==rr，又由0θπ≤≤，则6πθ=，故选A．8．在矩形ABCD中，3,4,AB AD AC==与BD相交于点O，过点A作AE BD⊥，垂足为E，则AE EC⋅=u u u v u u u v（）A．725B．14425C．125D．1225【答案】B【解析】如图：由3AB=，4=AD得：9165BD=+=，125AB ADAEBD⋅==又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAE BD⊥Q0AE EO∴⋅=u u u r u u u r又2144cos25AEAE AO AE AO EAO AE AO AEAO⋅=∠=⋅==u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r14425AE EC∴⋅=u u u r u u u r本题正确选项：B9．已知直线y=+m和圆2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若3AO AB2⋅=u u u r u u u r，则实数m=（）A．1±B．3C．22±D．12±【答案】C【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得22+2m+m 2-1=0， ∵直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m或m ＜，设A （1，y 1），B （2，y 2），则1+2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（1+m ）（2+m ）=12+m （1+2）+m 2，AO u u u r=（-1，-y 1），AB u u u v=（2-1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r +y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32， 解得m=2±． 故选：C ．10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=u u u r u u u r，则λ的值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．52【答案】B 【解析】 由题意可得：()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r113AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B .11．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ⋅u u u r u u u r的值为（ ） A ．83- B ．1-C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：7， 又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EBEC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选：B ．12．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( ) A ．5 B ．7C 29D ．42【答案】C 【解析】∵向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2-，∴||cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．②由①②得tan 1A =-，∵A为ABC∆的内角，∴34Aπ=，∴2||3sin4 ABπ== u u u r在ABC∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB ACπ=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC=故选C．13．在△ABC中，,2,BD DC AP PD BP AB ACu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλμ===+，则λμ+=（）A．1-3B．13C．1-2D．12【答案】A【解析】因为,2,BD DC AP PD==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P为ABC∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC=+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,所以1133AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r,所以23BP AP AB AB AC=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因为BP AB ACλμ=+u u u r u u u r u u u r，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-故选：A14．在ABC∆中，543AB BC BC CA CA AB→→→→→→==g g g，则sin:sin:sinA B C=（）A．9:7:8BC．6:8:7D【答案】B【解析】设•••543AB BC BC CA CA AB t ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-， 得9,7,8a t b t c t =-=-=- 所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==9:7:8故选：B15．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C.16．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选：D ．17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r（ ）A ．a b +r rB ．12a b +r rC ．12a b +r rD ．23a b +r r【答案】C 【解析】解：设圆的半径为，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =， 所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r．故选：C ．18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r，(1)AE λ=-u u u r ()AC R λ∈u u u r，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（ ） A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D 【解析】因为90A ∠=︒，则•0AB AC =u u u r u u u r，所以()()BE CD AE AB AD AC •=-•-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--•-=---=---=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D 【解析】解：设半径为1，由已知可设OB 为轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r（λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-，2）+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θλ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=+cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；易知λ+μ=+cos θ=θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2] 故选：D ．20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（ ）A ．13B ．12C D ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0）， 由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为132tan 3BCπ=即圆心为3(0,6，22133()()26+=所以点A 的轨迹方程为：22313x y ⎛+= ⎝⎭，则213x ≤ ，则303x -≤< ， 由AQ uuu r 在BC u u u r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC u u u r方向上投影为|DP|=||， 则AQ uuu r 在BC u u u r 方向上投影的最大值是33，故选：C ．21．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为______． 【答案】5- 【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即22gRr，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x +=-， 令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-u u u r u u u r，故答案为：-5．22．已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=r r ，若||||a b a b +=-r rr r ，则λ=______．【答案】12【解析】解：()()2,1,,1a b λ=-=r Q r()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--r rr r ；a b a b +=-r r r r Q ；2λ∴+=()()22224λλ∴+=-+；解得12λ=． 故答案为：12． 23．向量()1,2a v=-，()1,0b =-r ，若()()a b a b λ-⊥+r r r r ，则λ=_________.【答案】13【解析】向量()1,2a =-v，()1,0b =-r ，所以()()()2,2,1,2a b a b λλλ-=-+=--r r r r，又因为()()a b a b λ-⊥+r r r r，所以()()0a b a b λ-⋅+=r r r r，即()()21220λλ--⨯-=，解得13λ=，故答案为13. 24．设向量12,e e r r的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -r r 与2e r 的夹角为_____． 【答案】6π 【解析】()221221242cos33e e e e e e π-⋅=-⋅=-=r r r r r r又21e e -===r r()212212212cos ,2e e e e e e e e e -⋅∴<->===-⋅r r r r r rr r r向量21e e -r r 与r 2e 的夹角为：6π本题正确结果：6π25．已知平面向量a r ，m v ，n v ，满足4a =r ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与n v的夹角最大． 【解析】设a r ，m v ，n v的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =r，(,)m x y v=，则222m x y =+u r ，4a m x ⋅=r u r， 由210m a m -⋅+=u r r u r可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，∴m v 的终点M 在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上， 同理n v 的终点N 在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上．显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m v ，n v 的夹角最大．设圆心为A ，则3AM =，∴221OM OA AM =-=，3sin 2MOA ∠=，∴60MOA ∠=︒， 设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴322sin 2132MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯⨯=. 故答案为：3．26．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为_______．【答案】5﹣13【解析】设圆心为O,AB 中点为D,由题得22sin 2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u u v u u uv u u u v u u u v , 两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=221113,()322DM ∴=+=, 所以PM 有最小值为2﹣13， 代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为5﹣213．故答案为：5﹣21327．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅u u u r u u u r 的最大值为34-，则m =________.【答案】12【解析】 以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系， 因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，3)A ，则(2,0)BC =u u u r ，(3)CA =-u u u r ，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =u u u r u u u r，其中01t ≤≤， 则(2,0)BD t =u u u r ，所以(21,0)D t -；又CE mBD tmBC ==，所以(3)CE tmCA tm tm ==-u u u r u u u r ，因此(13)E tm tm -，所以(21,3)AD t =-u u u r ，(223)DE tm t tm =--u u u r ，故2(21)(22)32(2)2(3)2AD DE t tm t tm m t m t ⋅=----=-++--u u u r u u u r2223332(2)22(2)222424m m m m t t m t m m m ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦223101(2)2424m m m m t m m --+⎛⎫=-+-+ ⎪++⎝⎭， 因为(0,1]m ∈，所以31513,2422434m m m -⎡⎫=-+∈⎪⎢++⎣⎭，又01t ≤≤， 所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅u u u r u u u r 取得最大值， 即21013244m m m -+=-+，整理得221780m m -+=，解得12m =或8m =（舍） 故答案为1228．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.23【解析】 因为1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B C C A B A B A B +=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=， 又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v =+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解23c =. 即AB 的长为23. 故答案为23329．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC的中点．若AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r (,R λμ∈)，则λμ的值为_______．43 【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝2AD ＝2×tan30°＝263，过D 作DF⊥轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF ＝263sin45°＝6223323⨯=，所以D （233-，33）， AC u u u r ＝（2,2），AD u u u r ＝（233-，33），AE u u u r ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r ， 所以，（2,2）＝λ（233-23+μ（2,1），所以，2322 232λμλμ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪，解得：343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ的值为43故答案为：4330．在平面直角坐标系xOy中，已知()11,A x y，()22,B x y为圆221x y+=上两点，且121212x x y y+=-．若C为圆上的任意一点，则CA CBu u u r u u u rg的最大值为______．【答案】32【解析】因为C为圆2+y2＝1上一点，设C（sinθ，cosθ），则()()1122sin,cos,sin,cosCA x y CB x yθθθθ=--=--u u u r u u u r，∵()11,A x y，()22,B x y为圆221x y+=上两点，∴222211221,1x y x y+=+=，又121212x x y y+=-，∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sin cosθθθθ⋅=+-+-+++u u u r u u u r()()2212121)2x x y yθϕ=++++222211221212122)2x y x y x x y yθϕ=-++++++1sin()2θϕ=-+，其中1212tany yx xϕ+=+，∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅u u u r u u u r 的最大值为32． 故答案为：32．。

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,AB AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A2 ．（2019年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为 （ ）A B C ．D ． 【答案】A3 ．（2019年高考大纲卷（文））已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（ ）A ．4-B ．3-C ．-2D ．-1[【答案】B4 ．（2019年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____C ．____ （ ）A 1-BC 1D 2【答案】C5 ．（2019年高考广东卷（文））设a 是已知的平面向量且≠0a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题:[①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ; 上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4(一)必做题(11~13题) 【答案】B 6 ．（2019年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（ ）A ．BC ．D ．0【答案】C7 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有（ ）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C8 ．（2019年高考福建卷（文））在四边形ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10【答案】C 二、填空题9 ．（2019年高考四川卷（文））如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_____________.【答案】210．（2019年高考天津卷（文））在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为______.【答案】1211．（2019年高考重庆卷（文））OA 为边,OB 为对角线的矩形中,(3,1)OA =-,(2,)OB k =-,则实数k =____________.【答案】412．（2019年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =-,(2,2)OB =,若90oABO ∠=,则实数t 的值为______【答案】513．（2019年高考浙江卷（文））设e 1.e 2为单位向量,非零向量b=xe 1+ye 2,x.y∈R..若e 1.e 2的夹角为6π,则|x||b|的最大值等于_______.【答案】214．（2019年高考安徽（文））若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______.【答案】13-15．（2019年上海高考数学试题（文科））已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ;以C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c .若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠,则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是________.【答案】5-。

2019高考文科数学分类汇编向量2019高考文科数学分类汇编平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 10．[2019·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所→→→→在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于( )→→A. OM B ．2OM →→C ．3OM D ．4OM10．D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC →→→→与BD 的中点，即MA ＝－MC ，MB ＝－MD .→→→→→→→在△OAC 中，OA ＋OC ＝(OM ＋MA ) ＋(OM ＋MC ) ＝2OM . →→→→→→→在△OBD 中，OB ＋OD ＝(OM ＋MB ) ＋(OM ＋MD ) ＝2OM ，→→→→→所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.F 单元平面向量112．[2019·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝. 若向量a ＝3e 1－2e 2，3则|a |＝________．112．3 [解析] 因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×4×1＝9，所以3|a |＝3.5．、[2019·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p ) ∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6．[2019·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则→→EB ＋FC ＝( )1→→A. AD AD21→→ D. BC 2116．A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝＋＝AD .2214．、[2019·四川卷] 平面向量a ＝(1，2) ，b ＝(4，2) ，c ＝m a ＋b (m∈R ) ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．b ·c a ·c ＝，即|a |·|c ||b |·|c |（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）8m ＋20＝，即5m ＋8＝m ＝21＋24＋22.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．[2019·北京卷] 已知向量a ＝(2，4) ，b ＝(－1，1) ，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)3．A [解析] 2a －b ＝2(2，4) －(－1，1) ＝(5，7) ． 3．[2019·广东卷] 已知向量a ＝(1，2) ，b ＝(3，1) ，则 b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)3．B [解析] b －a ＝(3，1) －(1，2) ＝(2，－1) ．→12．、[2019·湖北卷] 若向量OA ＝(1，－3) ，→→→→→|OA |＝|OB |，OA ·OB ＝0，则|AB |＝________．→12．25 [解析] 由题意知，OB ＝(3，1) 或OB ＝(－3，－1) ，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4) 或AB ＝(－4，2) ，所以|AB |＝2＋4＝2 5.14．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2) ，由题意知→12．、[2019·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →→→→→＝3PD ，AP ·BP ＝2，则AB ·AD 的值是________．图1-3112．22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋AB ，BP ＝BC43313→1AD ＋AB ⎫·⎛AD ⎫＝AD 2－AD ·AB －AB 2＝2. 又＋CP ＝AD －，所以AP ·BP ＝⎛4⎭⎝4⎭⎝421631因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝2564AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .162π7．，[2019·山东卷] 已知向量a ＝(13) ，b ＝(3，m ) ，若向量a ，b 6数m ＝( )A ．23 3 C ．0 D ．－37．B [解析] 由题意得cosπa ·b 33m 333m ＝m 3. 6|a ||b |29＋m 29＋mπ13．[2019·陕西卷] 设0＜θ＜，向量a ＝(sin 2θ，cos θ) ，b ＝(1，－cos θ) ，若a ·b2＝0，则tan θ＝______.π1[解析] 由a ·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ. 又0θ，则tan θ218．[2019·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1) ，B (2，3) ，C (3，2) ，点P (x ，→→→y ) 在△ABC 三边围成的区域(含边界) 上，且OP ＝mAB ＋nAC (m ，n ∈R ) ．2→(1)若m ＝n ＝，求|OP |；3(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．2→→18．解：(1)∵m ＝n ＝，AB ＝(1，2) ，AC ＝(2，1) ，32→2∴OP ＝(1，2) ，1) ＝(2，2) ，33→∴|OP |＝2＋2＝22.→(2)∵OP ＝m (1，2) ＋n (2，1) ＝(m ＋2n ，2m ＋n ) ，⎧⎪x ＝m ＋2n ，∴⎨⎪y ＝2m ＋n ，⎩两式相减，得m －n ＝y －x.令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3) 时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.14．、[2019·四川卷] 平面向量a ＝(1，2) ，b ＝(4，2) ，c ＝m a ＋b (m∈R ) ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．b ·c a ·c14．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2) ，由题意知＝，即|a |·|c ||b |·|c |（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）8m ＋20＝，即5m ＋8＝m ＝21＋24＋22.F3 平面向量的数量积及应用→12．、[2019·湖北卷] 若向量OA ＝(1，－3) ，→→→→→|OA |＝|OB |，OA ·OB ＝0，则|AB |＝________．→12．25 [解析] 由题意知，OB ＝(3，1) 或OB ＝(－3，－1) ，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4) 或AB ＝(－4，2) ，所以|AB |＝2＋4＝25.→12．、[2019·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →→→→→＝3PD ，AP ·BP ＝2，则AB ·AD 的值是________．图1-3112．22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋AB ，BP ＝BC43313→1AD ＋AB ⎫·⎛AD ⎫＝AD 2－AD ·AB －AB 2＝2. 又＋CP ＝AD －，所以AP ·BP ＝⎛4⎭⎝4⎭⎝421631因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝2564AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .1626．[2019·全国卷] 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．B [解析] 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 60°－|b |2＝0.4．[2019·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．54．A [解析] 由已知得|a ＋b |＝10，|a －b |2＝b ，两式相减，得a ·b ＝1. 12．[2019·重庆卷] 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6) ，|b |＝，则a ·b ＝________．12．10 [解析] ∵|a |（－2）＋（－6）＝10，1∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝1010＝10.2π7．，[2019·山东卷] 已知向量a ＝(13) ，b ＝(3，m ) ，若向量a ，b 6数m ＝( )A ．23 3 C ．0 D ．－7．B [解析] 由题意得cosπa ·b 33m 33m ＝m 3. 6|a ||b |29＋m 29＋m 13．[2019·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，→→DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF. 若AE ·AF ＝1，则λ的值为________．13．2 [解析] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0) ，B (0，－，C (1，0) ，D (0．设123→→→E (x 1，y 1) ，F (x 2，y 2) ，由BC ＝3BE ，得(13) ＝3(x 1，y 13) ，可得E ⎛，－；由DC ＝3⎝33⎫→⎛1λDF ，得(13) ＝λ(x 2，y 2－3) ，可得F 3－⎪.⎭⎝λ3102423⎛1∵AE ·AF ＝⎛，－· ＋1，3－λ＝1，∴λ＝2.3⎝λ⎝33λ3F4 单元综合9．[2019·浙江卷] 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b＋t a |的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定9．B [解析] |b ＋t a |≥1，则a 2t 2＋2|a ||b |t cos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函4a 2b 2－4（|a ||b |cos θ）2数，故最小值为1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b |sin θ＝1. 若|b |确4a 定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b |唯一确定．故选B.10．[2019·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )2πππB. C. D ．0 33610．B [解析] 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b . 又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a ＋2b －4a ·b ＝2(a －b ) >0，222S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b ) 2>0，S 2－S 3＝(a －b ) 2>0，所以S 3b 的夹角为θ，则S min ＝4＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ. 又θ∈[0，π]，所以θ＝2310．[2019·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0) ，B (0，3) ，C (3，0) ，→→→→动点D 满足|CD |＝1，则|OA ＋OB ＋OD |的取值范围是( )A ．[4，6]B ．19－1，19＋1]C ．3，7]D ．[7－17＋1]→10．D [解析] 由|CD |＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α) ，→→→→→→所以OA ＋OB ＋OD ＝(2＋cos α，＋sin α) ，所以|OA ＋OB ＋OD |2＝(2＋cos α) 2＋3＋sin α) 2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋7sin(α＋φ) ，→→→→→→所以|OA ＋OB ＋OD |2∈[8－27，8＋7]，即|OA ＋OB ＋OD |∈[7－1，7＋1]．。

2019年⾼考真题⽂科数学汇编7：平⾯向量2019⾼考⽂科试题解析分类汇编：平⾯向量⼀、选择题1.【2019⾼考全国⽂9】ABC ?中，AB 边的⾼为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ?=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运⽤，以及点到⾯的距离的求解。

体现了转换与化归的思想的运⽤，以及线⾯平⾏的距离，转化为点到⾯的距离即可。

【解析】因为底⾯的边长为2，⾼为,AC BD ，得到交点为O ，连接EO ，1//EO AC ，则点1C 到平⾯BDE 的距离等于C 到平⾯BDE 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三⾓形OCE 中，利⽤等⾯积法，可得1CH =，故选答案D 。

2.【2019⾼考重庆⽂6】设x R ∈，向量(,1), (1,2),a x b ==-且a b ⊥，则||a b +=（A （B （C ）（D ）10 【答案】B3.【2019⾼考浙江⽂7】设a ，b 是两个⾮零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λ aD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C【命题意图】本题考查的是平⾯向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。

【解析】利⽤排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正⽅形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成⽴；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成⽴．4.【2019⾼考四川⽂7】设a 、b 都是⾮零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成⽴的充分条件是（）A 、||||a b =且//a bB 、a b =-C 、//a bD 、2a b = 【答案】Ｄ [解析]若使||||a ba b =成⽴，则⽅向相同，与选项中只有D 能保证，故选D. [点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且⽅向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且⽅向任意.5.【2019⾼考陕西⽂7】设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（）A2 B 12C .0 D.-1 【答案】C.【解析】∵向量a 与b 垂直，∴0a b ?=，即()11cos 2cos 0θθ?-+?=，∴22cos 1θ=．∴2cos 22cos 10θθ=-=．故选C ．6.【2019⾼考辽宁⽂1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【命题意图】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。

专题07 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A 2 B ．2 C ．2D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ， 所以22||(1)12-=-+=a b 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.4．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则c o s ,=a b ___________. 【答案】210-【解析】222228262cos ,||||1022(8)6⨯-+⨯⋅===-⋅+⨯-+a b a b a b ． 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键． 5．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535()2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(3)3y x =-， 直线AE 的斜率为33y x =. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =1y =-， 所以3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.3【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；5【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令(123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλ=+++++=≥00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max 242025y =+==故答案为0；5【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=.故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||3=b a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()22312223132+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ， 所以()12,23λλλ-+a +b =， 又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ， 即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型. 11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||3+=a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3， 则222||||||211211cos 13π+=++⋅++⨯⨯⨯a b a b a b ， 因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||3+=a b ”； 若||3+=a b 22||||||211211cos ,3+=++⋅++⨯⨯⨯a b a b a b a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3， 所以，由“||3+=a b ”不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||3+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m = A ．1±B ．3C ．22±D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴∆=-2m 2+8＞0，解得22x -<<设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±． 故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为 A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭， 且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD 得：9165BD =+=，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________. 【答案】8. 【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程22450x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-， 令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。