裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
第五讲裂项消去（二）将一个分数拆分成两个或两个以上分数相加、减的形式，然后进行计算的方法叫做裂项法，它是一种常考的变形技巧，这类问题每年变化很大，但一般只要接触过就不容易做错失分，在此提醒同学们平时要多练多记。
本讲有两部分，第一部分重在“裂”，第二部分重在“变”，希望能对同学们学习有所帮助。
以下两个公式可供参考，但希望同学们理解分数裂项精髓而不是记忆公式：1.1111()()n n k n n k k=-⨯++3.11a ba b a b+=+⨯1511199701989926122097029900++++++222246810355779911+++⨯⨯⨯⨯222222233420102011233420102011+++++++⨯⨯⨯23111(12)(12)(123)(12310)(1211) ----⨯++⨯+++++++++149637791105[7()]3231220304256--+-+÷111132011411111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223234232011++++++++++++六年级数学计算专题(五)裂项消去(下)练习试卷简介: 全卷共5题，全部为选择题，共100分。
整套试卷立足基础，有一定难度，主要考察学生对分数加减法的灵活掌握程度，并在此基础上的变形、裂项等简算技巧。
学习建议:加强解题时思维的严密性，提高对常识问题的理解和应用，理论联系实际，让自己的知识更加丰富。
一、单选题(共5道，每道20分)1.A.B.6C.D.52.A.B.1C.D.23. A.B.C.D. 4. A. B. C. D. 5.A. B.C.D.1。
小升初裂项相消法裂项相消法（拆分法）是一种数学计算方法，它将一个分数拆分成两个或两个以上的分数相减或相加，然后进行计算。
这种方法也被称为拆分法。
列项相消公式有以下几种形式：1）$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$2）$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)$3）$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{(-1)^{k+1}}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)$4）$\frac{1}{n(n+1)(n+k)}=\frac{1}{k}\left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+k)(n+k+1)}\right]$5）$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$另外，还有以下形式：6）$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$数列是按一定次序排列的一列数，每个数叫做这个数列的项。
数列的项数就是数列中数字的个数。
等差数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
这个常数叫做等差数列的公差。
等差数列的和可以用以下公式计算：和=（首项+末项）×项数÷2.等差数列的项数可以用以下公式计算：项数=（末项-首项）÷公差+1.等差数列的末项可以用以下公式计算：末项=首项+公差×（项数-1）。
以下是一些例题：例1：$\frac{1}{1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8}=\ frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\times3\times5\times7\times}\frac{1}{9 }\right)$例2：$\frac{1}{2\times6\times12\times20\times30\times42\times56}=\fr ac{1}{2\times3\times4\times5\times6}\left(\frac{1}{1\times2}+\fr ac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1 }{5\times6}+\frac{1}{6\times7}+\frac{1}{7\times8}\right)$例3：$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100$例4：$\frac{1}{3\times5\times7\times9\times11\times13}=\frac{1}{2\times3\times5\times7\times9\times11}\left(\frac{1}{1\times3}+\frac {1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}+\frac{1}{7\times9}+\frac{1}{ 9\times11}+\frac{1}{11\times13}\right)$例5：$1+3+5+7+9=25$例6：$-1+3-5+7-9+11-13+15-17+19=25$例7：$1+2+12+20+30=65$例8：$\frac{1}{3\times5\times7}+\frac{1}{5\times7\times9}+\frac{1}{ 7\times9\times11}=\frac{xxxxxxxx}{xxxxxxxx7}$例9：$-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10=5$例10：$-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16-17+18-19+20=0$例11：$2+6+12+20=40$例12：$2+6+12+20+30+42+56=168$例13：$1\times3^{-1}+4\times5^{-1}+7\times7^{-1}+10\times9^{-1}+13\times11^{-1}=2.828$1.将分数相加化简得到：$$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot5}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot7}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{4\cdot 5}-\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{6\cdot 7}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\cdot 7}$$所以原式等于$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\cdot 7}$$2.原式可化为$$\frac{1}{6}\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{2001\cdot 2002}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2001\cdot 2002}$$所以原式等于$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2001\cdot 2002}$$3.原式可化为$$\frac{1}{6}\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{9\cdot 10}+\frac{1}{11\cdot 12}+\frac{1}{13\cdot 14}+\frac{1}{15\cdot 16}+\frac{1}{17\cdot 18}+\frac{1}{19\cdot 20}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9\cdot10}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{11\cdot12}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{13\cdot14}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{15\cdot16}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{17\cdot18}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{19\cdot 20}$$所以原式等于$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9\cdot10}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{11\cdot12}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{13\cdot14}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{15\cdot16}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{17\cdot18}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{19\cdot 20}$$4.原式可化为$$\frac{1}{6}\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{7\cdot 8}+\frac{1}{9\cdot 10}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9\cdot 10}$$所以原式等于$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9\cdot 10}$$5.原式可化为$$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$$化简后得到：$$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$$所以原式等于$$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$$6.原式可化为$$1-2+3-4+5-6+7-8+9-10$$化简后得到：$$1-2+3-4+5-6+7-8+9-10$$所以原式等于$$1-2+3-4+5-6+7-8+9-10$$7.原式可化为$$\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{5}{4}-\frac{6}{5}+\frac{7}{6}-\frac{8}{7}+\frac{9}{8}-\frac{10}{9}$$化简后得到：$$\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{5}{4}-\frac{6}{5}+\frac{7}{6}-\frac{8}{7}+\frac{9}{8}-\frac{10}{9}$$所以原式等于$$\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{5}{4}-\frac{6}{5}+\frac{7}{6}-\frac{8}{7}+\frac{9}{8}-\frac{10}{9}$$8.原式可化为$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}$$所以原式等于$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}$$9.原式可化为$$1+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{10\cdot 11\cdot 12}$$化简后得到：$$1+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{10\cdot 11\cdot 12}$$所以原式等于$$1+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{10\cdot 11\cdot 12}$$10.原式可化为$$2+\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}$$化简后得到：$$2+\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}$$ 所以原式等于$$2+\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}$$11.原式可化为$$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}$$化简后得到：$$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}$$所以原式等于$$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}$$。
分数裂项巧算方法宝子们，今天咱们来唠唠分数裂项这个超有趣的巧算方法哦。
分数裂项呢，就像是把一个大的分数拆成几个小分数的组合，就像把一个大蛋糕切成好几块小蛋糕一样。
常见的有裂和与裂差两种类型。
先说说裂差吧。
比如说像这样的式子：(1)/(n(n + 1))，它就可以裂成(1)/(n)-(1)/(n + 1)。
你看，是不是很神奇呢？那如果是(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+(1)/(4×5)这样的式子，我们就可以把每一项都按照这个方法裂项。
变成((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+((1)/(4)-(1)/(5))。
然后你会发现中间的那些分数就像玩消消乐一样，都消掉啦，最后就只剩下(1)/(2)-(1)/(5)=(3)/(10)，是不是超级简单呢？再来说说裂和。
有一些式子像(n + 1)/(n(n + 1))，这个就可以裂成(1)/(n)+(1)/(n + 1)。
比如说计算(2)/(1×2)+(3)/(2×3)+(4)/(3×4)，把每一项按照裂和来处理，就变成(1+(1)/(2))+((1)/(2)+(1)/(3))+((1)/(3)+(1)/(4))。
这里呢，就可以把相同分母的分数加起来，最后得到1 + (3)/(2)+(1)/(4)=(9)/(4)。
宝子们，在做分数裂项的时候呀，一定要先看清楚式子的类型，是裂差还是裂和。
还有哦，裂项之后要仔细检查一下有没有漏项或者符号弄错的情况。
只要掌握了这个小技巧，好多看起来很复杂的分数计算就变得轻松愉快啦。
就像找到了一把小钥匙，打开了分数计算的趣味大门呢。
所以呀，大家要多多练习这种分数裂项的方法哦，这样在数学的小世界里就能玩得更转啦。
