六年级奥数第三讲：分数计算技巧--分数裂项(二)

本講知識點屬於計算大板塊內容，其實分數裂項很大程度上是發現規律、利用公式的過程，可以分為觀察、改造、運用公式等過程。

很多時候裂項的方式不易找到，需要進行適當的變形，或者先進行一部分運算，使其變得更加簡單明瞭。

本講是整個奧數知識體系中的一個精華部分，列項與通項歸納是密不可分的，所以先找通項是裂項的前提，是能力的體現，對學生要求較高。

分數裂項一、“裂差”型運算將算式中的項進行拆分，使拆分後的項可前後抵消，這種拆項計算稱為裂項法.裂項分為分數裂項和整數裂項，常見的裂項方法是將數字分拆成兩個或多個數字單位的和或差。

遇到裂項的計算題時，要仔細的觀察每項的分子和分母，找出每項分子分母之間具有的相同的關係，找出共有部分，裂項的題目無需複雜的計算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項的相似部分，讓它們消去才是最根本的。

(1)對於分母可以寫作兩個因數乘積的分數，即1a b⨯形式的，這裏我們把較小的數寫在前面，即a b <，那麼有1111()a b b a a b=-⨯- 知識點撥教學目標分數裂項計算(2)對於分母上為3個或4個連續自然數乘積形式的分數，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我們有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂項的三大關鍵特徵：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，複雜形式可為都是x(x 為任意自然數)的，但是只要將x 提取出來即可轉化為分子都是1的運算。

（2）分母上均為幾個自然數的乘積形式，並且滿足相鄰2個分母上的因數“首尾相接”（3）分母上幾個因數間的差是一個定值。

二、“裂和”型運算：常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環節是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的。

1.2 分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。

分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。

法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。

对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。

公式：（ 1）平方差公式：a2b2( a b) ( a b)（ 2）等差数列求和公式：a1 a2a3an 1a n1a1 a n n2（ 3）分数的拆分公式：①11)＝1－1n(n n n 1②1d)＝1×（1－1）n(n d n n d 裂项法：例1.计算： 1 ＋1＋1＋⋯⋯＋1例3.计算：11111112233499 1002＋6＋12＋20＋30＋42例2.111例4.111计算：10× 11＋11×12＋⋯⋯＋59× 60计算：10×11＋11×12＋⋯⋯＋19× 20例5.计算1＋1＋⋯⋯＋1＋1例 9.计算：111112× 3 3×46×7 7× 814 47 710 1013 1316例6.计算： 1＋1111例 10.计算：22222 2＋6＋12＋20315356399例7.计算：1111111例 11.计算：111111 6＋12＋20＋30＋42＋56＋728244880120168例 8.计算：1＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 315356399143例 12.计算：1＋1＋2＋1＋1＋2＋3＋2＋1＋⋯⋯＋1＋2＋⋯⋯＋100 ＋99＋⋯⋯＋1 122233333100100100100100例 13.计算： 1＋ 1 ＋11＋113＋⋯⋯＋12311223242005例 14．计算： 2×（ 1－12）×（ 1－12）×（ 1－12）×⋯⋯×（1－12）2005200420032综合计算例 1.计算 : 2005120032003 2004例2. 计算:（15 ×11× 6÷ 3 × 6× 5）79111179例 3.计算: 98＋998＋9998＋⋯⋯＋ 9999899999个 9例 4.计算:（1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1－1）×（ 1－ 1 ）×（ 1－1）×（ 1－1）2 4 6 83 57 9例5. 计算 : 2004 1 －1 1 ＋2002 1 －3 1 ＋2000 1 －5 1 ＋⋯⋯＋ 4 1 －2001 1 ＋2 1 －200312 3 2 3 2 3 2 3 2 3例 6.计算:（ 1＋ 1 ＋1 ＋ 1 ÷ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1）979797979797 97979797868686868686 86868686例 7.计算: 11 1 11 111 111 11 1=.24610359例 8.计算 :567345 566=.567345 222例 9.计算 : 7116 61 1 5 511 4 41 1 3 31 12 = .67 5 6 4 5 3 4 2 3例 10.计算:11 1 1 1 1 1 1 = .36 10 15 21 28 36 451 29 1 291 291 29 1 29例 11.计算 :2330 31 = .1 31 1 311 311 31 1 312 328 29计算:12 3 4 5 6 21 2 3 4 5 6 1例 12.234 56 723456 721 1 234 562345 6=2 3 4 5 6 7 3 4 5 67能力训练：1、分数化成最简分数：12 ＝18 ＝ 4 ＝13 ＝8 ＝ 2 ＝182********2、小数化成最简分数：0.75＝ 4.8＝ 1.25＝0.36＝ 3.2＝ 5.4＝3、计算：1) 512÷12＋71 3÷13＋914÷142005 20052005200533445512＋23＋ 3 4＋⋯⋯＋ 2004 20054)2)111156＋72＋90＋110222225)21 ＋ 77 ＋ 165 ＋⋯⋯＋ 1677 ＋ 20213)111118＋24＋48＋80＋120 1 511191096) 2 ＋ 6＋ 12＋ 20 ＋⋯⋯＋ 110111111117)1＋ 26＋ 312＋ 420＋ 530＋ 642＋ 756＋ 872＋ 990137 1531 631272555118)2＋ 4＋ 8＋16＋ 32＋ 64＋128＋ 256＋ 5121111119) 345＋4 56＋5 67＋6 7 8＋789＋8 9 10。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：分数裂项计算教学目标知识点拨（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

分数计算技巧——裂项
教学内容：学习裂项，并运用裂项的方法来解答较难的分数
计算题。

教学目标：1、学会把一个分数裂成两个分数单位的差。

2、运用裂项的思想来解答较难的分数计算题。

教学过程：
一、 前置作业：
1、 直接写出得数：
2、 填空：
二、 新课教学：
1、 教学什么是“裂项”？
（1） 像这样把一个数分成两个（或几个）数的差（或和、
积、商），就叫做裂项。

（2） 把下列分数进行裂项：
()()11301-= ()()11421-= ()()11152-= ()()11632-=
2、 运用“裂项”解答较难的分数计算题：
（1）
6121+怎么计算？（口算） （2）
6121+121+怎么计算？（笔算） （3）6121+12
1+301201++怎么计算？（简算） 像这样较难的分数计算题如果再通分计算则很不好计算，这时就需要用到“裂项”的方法来简便计算了。

（4）老师讲解计算方法，学生注意思考，运用“裂项”的方法来解题，难点在哪里？应该注意些什么？
（5）小结计算方法。

3、课堂练习：
（1）
（2）
（3）
三、拓展提高：
计算：
教学后记：。

小学六年级数学分数裂项与整数裂项裂型运算知识点讲解
小学六年级数学裂项综合之裂和型运算知识点讲解
一、裂项综合
（二）、“裂和”型运算
小学六年级数学裂项综合之裂差型运算知识点讲解
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是
x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

小学六年级计算知识点：分数裂项
小升初奥数整数裂项及常用公式。