下载文档原格式
第一讲分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
![六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版(最新整理)](https://img.taocdn.com/s1/m/d0da7808d15abe23492f4d2f.png)
第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有1a b⨯a b <1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级奥数得分的速算与巧算简介本文档旨在介绍六年级奥数中的速算与巧算方法，帮助学生在考试中提高得分。
通过掌握这些技巧，学生可以更快地计算数学题目，提高解题效率。
速算方法快速计算乘法- 九九乘法口诀：掌握好九九乘法口诀是快速计算乘法的基础。
学生可以多加练，通过口诀快速推算乘法结果。
快速计算除法- 倍数法：当被除数是某个数的倍数时，可以直接除以该数，并乘以倍数。
例如，72除以6，可以先将72除以6得到12，然后再乘以2，得到24，即72除以6等于24。
快速计算加法和减法- 同、末位、进位法：对于两位数的加法和减法，可以使用同、末位、进位法快速计算。
具体方法是将两个数字的个位数相加或相减，得到末位数，然后再将十位数相加或相减并加上进位（如果有），得到十位数。
巧算方法十字相加法- 十字相加法适用于两个两位数相加的情况。
将两个两位数竖直排列，分别计算个位、十位和百位的和，并按照十位、百位、千位的顺序写下结果。
这样可以更方便地进行大位数的加法计算。
集合运算法- 集合运算法适用于含有括号的加法或减法运算。
首先将括号中的数值计算出来，然后再进行其他运算。
这样可以简化计算过程，提高计算速度。
结论通过研究和掌握速算与巧算方法，学生可以在六年级奥数中提高得分。
这些方法在解决复杂的数学题目时起到了很大的帮助作用。
建议学生在平时多加练，熟练掌握这些方法，并在考试时加以应用。
相信通过努力和练，学生一定能够在奥数考试中获得优异的成绩。
*注意：本文中的计算方法基于中国六年级奥数的常见要求和标准，可能与其他地区或机构的要求略有不同。
建议学生在实际学习中结合自身情况进行适当调整。
以上计算方法仅供参考，不可作为权威指南。
*。
![六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版](https://img.taocdn.com/s1/m/2eeadb8df46527d3240ce0fa.png)
第一讲 : 分数的速算与巧算教课目的本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项： 是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项概括是密不行分的，本讲要修业生掌握裂项技巧及找寻通项进行解题的能力2、 换元： 让学生能够掌握等量代换的观点，经过等量代换讲复杂算式变为简单算式。
3、 循环小数与分数拆分： 掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，波及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项概括法通项概括法也要借助于代数，将算式化简，但换元法不过将“形同”的算式用字母取代并参加计算，使计算过程更为简 便，而通项概括法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常有的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即1 形式的，这里我们把较小的数写在前方，即 a b ，那么有a b111 1a b b ()a a b(2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3) n (n1 (n 2) 1 [ n 1 1) (n 1]1) 2 (n 1)(n2)1 1 11n (n 1) (n 2) (n 3)[(n 2)(n1) (n]3 n (n 1)2) (n 3)裂差型裂项的三大重点特点：（1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，但是只需将 x 提拿出来即可转 化为分子都是 1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常有的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）a ba b1 1 （ 2） a 2b 2 a 2b 2 a ba b a b a b b a a ba b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对照：裂差型运算的中心环节是 “两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不单有 “两两抵消” 型的，同时还有转变为 “分 数凑整”型的，以达到简化目的。
第一讲 分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
第一讲分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
第一讲计算之公式应用及技巧教学目标：重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近几年来又以考察：1.速算巧算；2.分数的计算技巧为明显趋势。
本讲我们将系统地归纳和总结这一部分的技巧和方法。
1.回顾提取公因数（式）和凑整的应用；2.精讲公式应用、循环小数化分数、分数的拆分。
专题回顾【例1】13242648397241296 12424836124816⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析】原式=3333331324(1234)9 124(1234)⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯+++，（此题学生容易做成1324(1234)9124(1234)⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯+++，虽然答案对,但是老师要强调错误原因。
）【拓展】（首师大附中入学选拔试题）1202505051313131321212121212121212121+++【分析】原式=12101510101131010101125131 2121101211010121101010121212121⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯。
【例2】求3333333×6666666乘积的各位数字之和。
【分析】原式=9999999×2222222=（10000000-1）×2222222=11111110000000-2222222=11111107777778所以，各位数字之和为8×7=56。
金典精讲常用公式下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。
同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。
【例3】 计算199297395501⨯+⨯+⨯++⨯L【分析】原式()()()()11012121012231012350101250=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯L 222211012121012231012350101250=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯L ()()222212350101212350=++++⨯-⨯++++L L =50511016⨯⨯42925=注：这条算式与222212350++++L 的值相等。
分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 '（一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
~（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
（ 六年级 ） 备课教员：第三讲 速算与巧算一、教学目标： 1. 能够运用运算定律和性质进行正确、灵活地计算。
2. 辨析能力、良好审题习惯及计算能力得到提升。
3. 在学习中体会计算的乐趣。
二、教学重点： 培养学生良好的审题习惯及运用好正确的运用定律、性质进行计算的能力。
三、教学难点： 灵活运用运算定律和性质进行计算。
四、教学准备： PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：同学们，看谁能快速地说出答案！0.7+0.35+0.3 10752103++ 0.8×4×12.5 师：第一题的答案是？第二题呢？第三题呢？师：同学们算得真快，那么老师再换下题目，看你们是不是又快又准！5276103++ 12.4×3×7 12.7-3.25-6.28 师：同学们刚才算得那么快，为什么现在一下子算不出来了呢？生：……师：说得非常好！原来它们不能简算。
也就是说能简算的要简算，不能简算的 我们只能按运算顺序计算。
师：今天这节课，老师要带你们学习一些新的、较为复杂的简便计算。
板书：简便计算师：同学们回顾一下，我们学过的简算有哪些？（根据学生回答板书在黑板上，包括有：加法交换律、加法结合律；减法的性质；乘法交换律、乘法结合 律、乘法分配律；除法的性质。
）生：……师：这些运算定律除了在整数中能运用，同样适合在小数和分数的计算中。
接 下来，我们就用它们来解决一些问题。
二、探索发现授课（40分）（一）例题一：（13分）计算：4.75-9.63+（8.25-1.37）师：这是一道小数的加减混合算式。
去掉小数点，同学们会计算吗？谁愿意试 一试！生：……师：非常棒！老师来变个戏法，再把小数点加上去，同学们会发现什么？ 生：……师：没有一点影响，这就告诉我们，整数的简算也适合小数。
板书：4.75-9.63+（8.25-1.37）=4.75+8.25-9.63-1.37=13-（9.63+1.37）=13-11=2(通过删除小数点到加上小数点让学生感知整数的简算也适合小数的简算。
![六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版](https://img.taocdn.com/s1/m/d7aaf6e15901020206409c28.png)
第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥林匹克数学第一集：第一讲：速算与巧算一、例题讲解十个数字，几种计算符号，构造了千变万化的数学计算，计算要做到又快又正确。
关键在于掌握运算技巧，“硬算”加“巧算”。
“巧算”是对算式整体以及其中的每个数进行观察，剖析算式的特点和各数之间的可能存在的联系。
恰当地利用运算定律，改组运算顺序，使计算简便易行。
要达到“速”与“巧”主要掌握以下几点计算技巧：1．凑成容易算的数，在心算中培养凑整、搭配、替代的思维习惯。
如凑成整十、整百、整千……又如若干比较接近的数相加时，可选择一个基数作为计算基础。
在此数上加上或减去这个基数的相差数。
2．利用运算定律简化运算。
3．根据某些算式的定律，学会创造条件，进行分组，分类地计算，使计算简便。
4．适当配对，能使计算简便。
例1：610+270+190分析：题中610+190=800，凑成整百数，所以先把“+190”搬家，搬到“+270”的前面，然后再把610+190的和算出来。
解：610+270+190=（610+190）+270=800+270=1070（说明：加法的结合律和交换律是计算中常用的方法。
）例２：320-60+180分析：题中320+180的和是整百数，可以先把“+180”搬到“-60”的前面，再算出320与180的和。
解：320-60+180=（320+180）-60=500-60=440例3：6998+995+97+59分析：题中6998、995、97和59接近整千、整百、整十的数。
可以先把这些加数分别看作：7000-2、1000-5、100-3、60-1，然后再算出（7000+1000+100+60）-（2+5+3+1）的结果。
解：6998+995+97+59=7000-2+1000-5+100-3+60-1=（7000+1000+100+60）-（2+5+3+1）=8160-11=8149例4：计算18+21+23+20+15+19分析：先确定一个数作为基准，并将其他数与这个数作比较。
分数的速算与巧算教学目标木讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统更习和学习小升初常考计算题型.1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，木讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等坦代换的概念，通过等生代换讲更杂算式变成筒不算式。
3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间筒小的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题.4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使诃算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的更杂算式，用字母表示后化简为常见的一股形式.知识点拨一、裂项综合(一)、“裂差”型运算⑴对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即」-形式的，这里我们把较小的数写在前而，即“<〃，那么有axbaxh b-a a b⑵对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：-------- ------- 丁，-------- ；一二------------ 『形式的，我们有：n x (n +1) x (n + 2) MX (n + l)x (n + 2)x (n + 3)____ ! ___ =i[—! _____ !—]n x (n + l)x(n + 2) 2 〃x (〃 +1) (〃 +1)(〃 + 2)______ ! ______ =1[ ___ ! ---- ------ ! _____ ]n x(n +1)x(n + 2)x(n + 3) 3 nx(n + l)x(n + 2) (n + l)x(n + 2)x(〃 + 3)裂差型裂项的三大关键特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的,更杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将X提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值.(二，“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：..a + h a b 1 1 a2 +b2 a2 b2 a b(1) ---- = ------ + ------ =— +— (2) ------- = ------ + ------ = -+-axb axb axb b a axb axb axh b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1和2，有：11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015+==+=++++ 本题具体的解有： 1111111111011110126014351530=+=+=+=+ 例题精讲 模块一、分数裂项 【例 1】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 2】 计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ． 【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 3】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 4】 111111212312100++++++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。
从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，……，【例 5】22222211111131517191111131+++++=------ .【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+， 【例 6】 1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+【例 7】121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)212n n n n n a n n n n +⨯⨯+==+⨯⨯+--【例 8】 222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 【解析】 22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++【例 9】 计算：22222223992131991⨯⨯⨯=--- 【解析】 通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+，【巩固】 计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+ 【解析】 本题的通项公式为221005000n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦，可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个22505050005000-+．将项数和为100的两项相加，得 ()()()()22222222210010022001000021005000100500010050001001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+， 所以原式249199=⨯+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=⨯=）【例 10】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124 【解析】 虽然很容易看出321⨯＝3121-，541⨯＝5141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有)12()1(632112222+⨯+⨯++++n n n n＝ ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？模块二、换元与公式应用【例 11】 计算：3333333313579111315+++++++【例 12】 计算：234561111111333333++++++ 【解析】 法一：利用等比数列求和公式。
原式71113113⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 7132641132729⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 法二：错位相减法．设234561111111333333S =++++++ 则23451111133133333S =++++++，61333S S -=-，整理可得3641729S =． 法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，2345622222222333333S =++++++，则运用“借来还去”的方法可得到61233S +=，整理得到3641729S =．【例 13】 计算：22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++【例 14】 计算：222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯【例 15】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦ ．【例 16】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+三、循环小数与分数互化【例 17】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数．【例 18】 某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?【例 19】 有8个数，0.51，23,59,0.51,2413,4725是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?【例 20】 真分数7a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【例 21】 20022009和1287化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.【解析】 如果将20022009和1287转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们 发现2002112009287+=，而10.9⋅=，则第100位上的数字和为9.【例 22】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．【例 23】 ()()()()()()()()()()1111111111145=+=-=++=-- 注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.【例 24】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。
