期末复习题
一、填空题
1、=?→x
t t x
x 0
20
d cos lim
.
2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b
x
x x f x 2d )(d d .
3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t
)0( d )(1
等于 . 4、若2
e x -是)(x
f 的一个原函数，则
='?
10
d )(x x f .
5、
=++?-112d 1|
|x x x x .
6、已知2
1)(x
x
x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .
7、设
?
=+π0
),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f .
8、设曲线k
x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3
1
，则=k . 9、设y
x
y y x y x f arcsin
)1()2(),(22---=，则
=??)
1,0(y f .
10、设y
x z 2e =，则
=???y
x z
2 . 11、交换积分次序 =?
?x y y x f x ln 0e 1d ),(d .
12、交换积分次序 =?
?
---x
x y y x f x 11
1
2
2d ),(d .
13、交换积分次序
?
?-2
210
d ),(d y y
x y x f y ＝ .
二、选择题
1、极限x
t
t x x cos 1d )1ln(lim
2sin 0
-+?→等于（ ） （A ）1
（B ）2
（C ）4
（D ）8
2、设x x t t f x
e d )(d d e 0=?-，则=)(x
f （ ） (A)
2
1x
(B) 21x - (C) x 2e - (D) x
2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（ ）B
（A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ）
)(d )(x f t t F x a
='?
（D ）)()(]d )([a f x f t t F x
a
-=''?
4、设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上的平均值是（ ）
（A ）
2
)
()(b f a f + （B ）?b a x x f d )(
（C ）?-b a x x f a b d )(1 （D ）?-b a x x f b
a d )(1
5、积分?
=t s
x x t f t
I 0
d )(与（ ）有关。
（A ）x t s ,,
（B ）t s ,
（C ）t x ,
（D ）s
6、下列方程中变量可分离的是 ( )
（A ）
2d d t t x t x
+=
（B ）t t
x
x
x t sin e d d += （C ）22d d t x t
x
+=
（D ）
)ln(d d t x t
x
= 7、( ) 是微分方程0d ln d ln =+y y x x x y 满足条件2
1e e
21
-==x y 的特解。
（A ）0ln ln 2
2
=+y x （B ）2ln ln 2
2
=+y x （C ）0ln ln 2
2
=+y x
（D ）2
1ln ln 2
2
=
+y x 三、计算题
1、计算下列不定积分： (1) ?--x
x x 1)
2(d (2)
x x x d ln ? (3) ?x x d ln 2
(4)
?++311d x x
(5)
?-x x x
d 1
1
22
(6) ?
+x x
x
d 2cos 12
2、计算下列定积分：
(1)
?20d sin e
π
x x x
(2)
x x d ln 22
e e 1
?
(3) x x x x d arctan 11
0 2
2
?+
(4)
?
-+5ln 0
x
x
x d 1e 3
e e x (5) ?
-12
11
2d e
x x (6)
?
-10
2d 1arctan x x x
(7)
?
-12
12
2
d 1x x x (8) ?
+40
d 1
2x x x
3、设???????
<≤-+≤≤-=02 ,2120 ,41)(2
x x x x
x f ，求
?
-20
d )1(x x f .
4、设???<+≥=-0
,10
,e )(2
x x x x f x ,求?
-31
d )2(x x f 。
5、设),(y x f z =是由方程
y
z z x ln =确定的隐函数，求y z x z ????,。
6、设)ln(2
2y x z +=，求yy xx z z '''',。
7、y
x y x y x y x f arctan arctan ),(2
2
-=，求y x f ???2。
8、已知 23
3=++yz z x ，求x z ??，y
z
??。 9、求函数)2(e ),(22y y x y x f x
++=的极值。
10、计算二重积分??D
y x x x
d d sin ，其中}10,{≤≤≤≤=y y x y D 。
11、计算二重积分
??
-D
y x x d d 12，其中D 是以)1,1(),0,1(),0,0(为顶点的三角形区域。
12、计算
??
-1
x
10
d e d 2
y x y .
13、计算
?
?
+10
13
2
d 1d x y y
xy x .
14、计算
?
?
-1
12
1
d sin d y x x
x
y 。
15、求微分方程满足初始条件的特解：
0d d =+x
y
y x ，4)3(=y . 16、求微分方程 0e =-+'x
y y x 的通解。 17、求方程2
x x y x y -+-='e 22的通解。
18、求微分方程042)1(2
2
=-+'+x y x y x 的通解。 19、求解微分方程 0d )ln (d ln =-+x x y y x x ，1|e ==x y .
四、应用题
1、求2x y =与2
y x =所围成的图形的面积及它绕x 轴旋转而成的旋转体体积。
2、求2
x y -=与x y =所围成的图形的面积,并求此图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 3、过曲线0,3
≥=
x x y 上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形D 的面积S 为
4
3
。 (1) 求点A 的坐标；(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积。
4、为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x 和y 时，销售利润的增加是
y
y
x x +++1025550（万元）。现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到最大？
5、某厂生产产量分别为x 和y 的两种产品，总成本50010104),(2
2
++-++=y x y x y x y x c ，需求函数分别为 p x 25.070-=，q y 5.0120-=，(q p ,为产品单价)，且产品需求要受限制,502=+y x 求
工厂获最大利润时的产量和单价。
6、设某企业的总产量函数为y x y x P 2
005.0),(=（吨），y x ,为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求y x ,使产量最大。
7、生产某种产品需要C B A ,,三种原料，且产量与C B A ,,原料的用量z y x ,,的关系为z y x Q 2
005.0=，已知三种原料售价分别为1,2,3(万元)，今用2400(万元)购买材料，问应如何进料才能使产量最大？
五、证明题
1、设)(x f 在]10[，上连续,证明：??=2
d )(sin 2d )(sin π
π
t t f t t f 。
2、设)(x f 在]10[，上连续,证明：??
=
π
π
π
d )(sin 2d )(sin x x f x x f x 。
3、证明
??
-=-1
10
d )1(d )1(x x x x x x m n n m .
解答：
一、填空题
1. 1
2. -2f (2x )
3. )(2)2a F a x F(-+
4. 1e 2--
5. ln2
6.
)152
1
-( 7. π-+12sin x 8. 2
1 9. 8 10、y
2e 2 11.
?
?
e e 10
d ),(d y
x y x f y
12.
?
??
?
+-++--+-y y y y x y x f y x y x f y 11
301101d ),(d d ),(d
13、
??
??
-+21
20
1
2
2
d ),(d d ),(d x x y y x f x y y x f x
二、选择题 1. C 2. B
3、解
选B
利用变上限积分函数的导数)(d )(d d x f t t f x x
a
=?，结合)()(x f x F ='，得
(A)
)()(d )(a F x F t t f x a
-=?
, (C)
)()(d )(a F x F t t F x a
-='?
, (D) )()(]d )([x f x F t t F x
a
='=''?,
故选(B). 4、解
选C
若函数)(x f 在],[b a 上连续，则称
?-b a
x x f a b d )(1
为)(x f 在],[b a 上的平均值，故选 (C). 5、解 选D
设x t u =，则t
u x =，u t x d 1
d =，
于是 ?
=t s
x x t f t
I 0
d )(?=s u u f 0
d )(，故积分I 与s 有关. 应选(D).
6、解 选B
由于t t
x x x
t sin e d d +=可写成t x t x t x sin e e d d ?=，故应选(B). 7、解 选D
将原方程分离变量并两边积分，得到通解为 C y x =+22ln 2
1
ln 21， 代入初始条件2
1
e e
2
1
-
==x y
，得41=
C ，所求特解为 2
1ln ln 2
2=+y x 。 三、计算题
1、计算下列不定积分： (1) 解 令x t -=
1，则21t x -=，t t x d 2d -=，于是
?--x x x
1)2(d ??+?-=t
t t t )1(d 22?+-=21d 2t t C t +-=a r c t a n 2C x +--=1a r c t a n 2. (2) 解 x x x d ln ??=)2(d ln 2x x ??-=x x x x x d 12ln 222C x x x +-=224
1
ln 2. (3) 解 ?x x d ln 2???-=x x x x x x d 1ln 2ln 2?-=x x x x d ln 2ln 2
??+-=x x x x x x x d 1
2ln 2ln 2C x x x x x ++-=2ln 2ln 2
(4) 解 令t x =+31，31t x =+，t t x d 3d 2
=，
?++311d x x ?+=t t t d 132?++-=t t t d 11132 ?++-=t t
t d )11
1(3 C t t t +++-=|1|ln 33232 C x x x +++++-+=|11|ln 313)1(2
33332
(5) 解 令t x sec =，t t t x d tan sec d =，
C t t t t t t t
t x x x
+===-???sin d cos d tan sec tan sec d 1
1
222
C x
x +-=1
2 (6) 解
????=
==
+x x x x x x x x
x x x
tan d d sec
d cos 22d 2cos 122
2
.|sec |ln tan d tan tan C x x x x x x x +-=-=?
2、计算下列定积分：
(1)解：
?20d sin e
π
x x x
?
=
20
de sin π
x x ?-=20
20d cos e sin e π
π
x x x x
x
?-=20
2
de cos e π
πx x
-=2e π
]d s i n e c o s
e [2
20?
+ππ
x x x x
x
-
+=1e 2π?
2
d s i n
e π
x x x
解得
?2
0d sin e π
x x x
)1(e 2
1
2+=π
.
(2) 解：原式x x x x d ln d ln 2
2
e 1
1e 1
??
+-
=
x x x
x x x x
x ln d ln ]ln d ln [2
22
2
e 1
e 1
1
e
1 1e 1?
?-+--=
x x d 21e ]d 21e 1[22e 1 2
1e
1 2??-+--=22e 212e 31+-=.
(3) 解：令t t x t x x t d sec d ,tan ,
arctan 2===，则
原式t t t d tan 2
4
0 ?=πt t t d )1(sec 2
4
0 -=?πt t t t t d d sec 4
0 2
4
0 ??-=ππ40
2
4
0 2
1tan d ππt
t t -=?
24 0 40321d tan tan πππ--=?t t t t 240
321sec ln 4πππ--=t 232
12ln 214ππ--= (4) 解：令t x =-1e ，则
?
+?+?+=
20
222d 124)1(t t t t t t 原式?+=2022
d 42t t t ?+-+=2022
d 4
442t t t 2
0)2
arctan 2(2t t -=π-=4
(5) 解：令t x =-12，则
原式?
=
10
d e t t t ??
-==
1
10
10
d e e de t t t t t
t 1=
(6) 解 令t x =-2
1，则 ?-1
02
d 1arctan x x x ?=10
2
d arctan 21t t
?+-=10221
02d 121arctan 21t t t t t ?+-+-?=1022d 11121421t t t π 1
0arctan 2121421x +-?=π.2
14-=π (7) 解 设t x s i n =，
原式t t t d sin cos 2
4
2
2?=
π
π
41)cot (d 1)(csc 24
2
42ππ
πππ-=+-=-=?t t t t (8) 解 令t x =+12，原式t t t t ?
-=
31
2d 21
310)3(213
1
3=-=t t 。 3、解
?
-20
d )1(x
x f ?
-=-11
d )(1t t f t
x ??
-++=-102
1d 41
d 21t t t x
1
00
1
2arcsin 2ln t x ++=-2ln 6
+=π
4、解 设t x =-2，
?
-31
d )2(x x f ?
-=
11
d )(t t f ??
+=
-1
01
d )(d )(t t f t t f ??
--++=
1
01
2d e d )1(t t t t e
137-=
. 5、解 z z z z x z x
x '='?-2
? x z z z x +=
'；同理，)(2x z y z z y +='。 6、解
222y x x z x +=
'
，2
22y x y z y
+='
， xx z ''2
2222)()(2y x x y +-=， yy z ''2
2222)()
(2y x y x +-=。
7、解：y x
y x x f -=??arctan 2， y x f ???2222
2y x y x +-=
8、解：方程两边关于x 求偏导，0332
2
=??+??+x z y x z z x ;33 22
y
z x x z +-=???
方程两边关于y 求偏导，032
=??++??y z
y z y z z
.3 2y
z z x z +-=???。 9、解 ?????=+='=+++='0)22(e 0
)1422(e 22
2y f y y x f x
y x x ，求得驻点)1,21(),(-=y x ， 0e 2)1,21(>=-''=xx
f A ，0)1,21(=-''=xy f B ，e 2)1,21(=-''=yy f C ，0e 422<-=-AC B ， 所以)1,21(-为极小值点，极小值为.2
e )1,21(-=-
f 10、解 原式?
?
=x x y x
x
x 2
d s i n d 10
?
-=10
d )s i n (s i n x x x x 1s i n 1)s i n c o s c o s (1
-=-+-=x x x x 。
11、解
??
-D
x σd 12
3
1
d 1d 1d 1
20
2
1
=
-=-=???x x x y x x x 。 12、解 交换积分次序，
??
-=
y
y x y 0
10
d d
e 2
原式?
-=
10
d e 2
y y y
1
2
e 2
1y
--=.)e
11(21-=
13、解 交换积分次序，
原式?
?
+=
y x y xy
y 0
3
10
d 1d ?
+=1032d 121y y y 10
3131
y +=3
1
2-=
。 14、解 交换积分次序，原式x x x y x
x
x x d s i n d s i n d 1011
10
2??
?
+==
1c o s 1s i n -=。
15、解 分离变量，0d d =+y y x x ，积分得 C y x =+2
2
， 将4)3(=y 代入，得 25=C ， 所求特解为 252
2
=+y x .
16、解 方程改写为 ,e 1x
y x y x
=
+'（1分） ]d e e [e d d C x x
y x
x x x x +???=?-（3分）.e ]d e [1x C C x x x x +=+=?
17、解 原方程为2
x x y x y -=+'e 22，
?+??=--)d e e 2(e d 2x d 2x C x x y x
x x 2)d 2(e C x x 2x +=?-)(e 2C x 2x +=-
18、解 1
41222
2+=++'x x y x x y 原方程为：，
?+?+?=++-
)d e 14(e
d 1222d 1222C x x x y x x x
x
x x
)3
4
(1132C x x ++= D 12x O y x
y =
1=xy
19、解 原方程改写为 x
y x x y 1
ln 1=+
'，通解为 ]d ln [ln 1)d e 1(e ln d ln d C x x x x C x x y x x x x
x x +=+??=??-)ln 2
1(ln 12
C x x +=，
将1)e (=y 代入，得21=C ，故所求特解为)ln 1
(ln 21x
x y +=。
四、应用题
1、解 3
1
d )(1
02
=-=?x x x S ，ππ
10
3
d ])()[(10
222=
-=?
x x x V x 2、解 61d )(0
12
=--=?-x x x S ，ππ15
2d ])([012
22=--=?-x x x V x
3、解（1）0),,(3
>a a a A 设，则切线的斜率231-=a k ，切线方程：a x a y 3
2312+=-切线与x 轴交点
为)0,2(3a -，S 4
343d )]23([43
03==--=?a y a ay y a ，解得1=a ，)1,1(A .
（2）切线方程：3231+=x y ，πππ5
2d )(d )3231(2
103212=-+=∴??-x x x x V x
4、解：目标函数为 y
y
x x y x L +++=1025550),(，约束条件 25=+y x =F )25(1025550-+++++y x y
y
x x λ 令 0)5(2502=++=
'λx F x ，0)10(250
2
=++='λx F y
，25=+y x 解得唯一驻点 10 ,15==y x
由实际意义，此时利润的增加最大
5、解：目标函数为 500423029035),(22--++--=-+=xy y x y x C qy px y x L ，
约束条件 502=+y x
=F 50042302903522--++--xy y x y x )502(-++y x λ 令 0429010=+-+-='λy x F x ，0242306=+-+-='λx y F y ，502=+y x 解得唯一驻点 15 ,20==y x ，此时价格210 ,200==q p
由实际意义，此时利润最大
6、解: )1502(005.0),(2
-++=y x y x y x F λ，
?
??
??=+=+='=+=',
1502,02005.0,001.02y x x F xy F y x λλ 得25,100==y x ，唯一，
由实际问题存在产量最大，即当25,100==y x 时产量最大。
7、解 目标函数 yz x Q 2
005.0=，约束条件240032=++z y x ， yz x F 2
005.0=)240032(-+++z y x λ , …（3分）
令
,
001.0=+=??λxyz x
F
,02005.02=+=??λz x y F ,03005.02=+=??λy x z F 240032=++z y x ，
解得唯一驻点200,300,1200===z y x ，由实际问题，此时产量最大。
五、证明题
1、证明：x x f x x f x x f d )(sin d )(sin d )(sin 2
20
???
+=π
ππ
π
而x x f t t f x x f x
t d )(sin d )(sin d )(sin 20
20
2
??
?==
-=π
πππ
π
故
x x f x x f d )(sin 2d )(sin 20
??
=π
π
2、见教材P22例11(2)
3、证明 ??
--==--0
1
10
d )1(1d )1(t t t t x x x x n m n m 令?
?
-=
-=
10
10
d )1(d )1(x x x t t t m n n m
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限
2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010<
0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
《微积分Ⅱ》课外练习题 一、选择： 1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．无关条件 2. 二元函数定义域是． ( ) B． D． 比较大小：． ( ) B． C． D．不确定 4.微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 5.下列广义积分发散的是． ( ) A． B． C． D． 6.是级数收敛的条件． ( ) A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( ) 最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对 微分方程是微分方程． ( ) A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次 9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。记，，，则的大小顺序是 ． ( ) C. D. 10. 函数的连续区域是． ( ) B. D.
1. ． ( ) B. C. D. 12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D． ．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D． ．微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 ．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． ．设，则 ( ) A． B． C． D． ．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D． 18．下列等式正确的是． ( ) A．B． C．D． 19．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． 20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( ) A．B．C．D．|| ．． ( ) A． B． C． D． 22．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D．
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+
《微积分》期末复习指导 一、复习要求和重点 函数 ⒈理解函数概念，了解函数的两要素 定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。 ⒉掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。 ⒊了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。 ⒋了解复合函数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。 ⒌了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。 ⒍知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）。 ⒎了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。 ⒏会列简单应用问题的函数关系式。 本章重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数。 一元函数微分学 ⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件： 且 ⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即。 ⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。 两个重要极限的一般形式是： ， ⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念。知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 ⒌理解导数定义，会求曲线的切线。知道可导与连续的关系。 ⒍熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单隐函数的导数。 ⒎了解微分概念，即。会求函数的微分。 ⒏知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。 本章重点：导数概念，极限、导数和微分的计算。 导数的应用 ⒈掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。 ⒉了解函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法。知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。
第十章 曲线积分与曲面积分答案 一、选择题 1．曲线积分 ()sin ()cos x L f x e ydx f x ydy ??--? ??与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = B A ． 1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1 ()2 x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则 C ydx xdy x y -+=+? C Ａ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2 2 41x y +=的正向，则 22 4C ydx xdy x y -+=+? D A ．2π- B 。 2π C 。0 D. π ４。∑为ＹOZ 平面上2 2 1y z +≤，则 2 22()x y z ds ∑ ++=?? D Ａ。０ B ． π C ． 14 π Ｄ． 12 π 5。设2 2 2 :C x y a +=，则 2 2()C x y ds +=? C A.22a π B. 2 a π C 。 3 2a π Ｄ． 3 4a π ６。 设∑为球面2 2 2 1x y z ++=，则曲面积分 ∑ ［ B ］ Ａ.4π B ．2π C.π D.12 π ７。 设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分 ? =L yds ［ Ｃ ］ A 。 21 B ． 2 1 - C. 22 Ｄ。 22- 8. 设I=? L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧, 则Ｉ=［D ] A 。 655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。 12 1 55- 9． 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ． ?-l ydy xdx 21; B 。 ?-l xdx ydy 2 1 ;
微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
期末复习题 一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数，则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ，则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =，则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y ＝ . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-，则=)(x f （ ） (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（ ）B （A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ） )(d )(x f t t F x a ='? （D ）)()(]d )([a f x f t t F x a -=''?
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜
1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 0 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分 ) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义
(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 211 x y I +≤= ?? ,22212 x y I ≤+≤=??, 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.
期末复习指导 第五章 不定积分 1.积分的概念、性质 若()()F x f x ' =，则称()F x 是()f x 的一个原函数。 不定积分与导数或微分互为逆运算。 （1） 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）： / ()()()()f x dx f x d f x dx f x dx ????==??????或 （2） 对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差 一个积分常数： / ()()()()F x dx F x C dF x F x C =+=+??或。 2.不定积分和定积分的第一类换元法 ()()()()f x x dx f x d x ????'=? ????????? ()()()()()x t f t dt F t C t x F x C ???==+=+????? ()()()() b b a a f x x dx f x d x ????'=????????? ? ()()()()() x t f t dt F t F F β β αα ?βα===-? 注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成； （2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积 分变量无关，运算时不需要“回代”； 3.不定积分、定积分的第二类换元法 a 、根式代换
解题思路：“去根号”； 解题方法：令 t =m m b dt x ct a -=-，有m m b dt dx dt ct a '??-= ?-??； 特别地，t =，解出n t b x a -=，有1n n dx t dt a -=； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； b 、代换 二次函数） 解题思路：“去根号”； 解题方法： （1） 令sin x a t =，有cos dx a tdt =； （2） 令tan x a t =，有2 sec dx a tdt =； （3） 令sec x a t =，有sec tan dx a t tdt =； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； 例题： 注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。 4.不定积分、定积分的分部积分法