图形的相似讲义

北师大版九年级上册第四单元相似图形培优讲义知识点一．比例的性质1．若，则的值为（）A．B．C．1D．32．已知，则的值为（）A．B．C．D．3．已知，则＝（）A．B．C．D．4．若＝，则的值为．5．已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝．6．已知，则的值为．7．已知，则＝．8．已知：＝k，则k＝．知识点二．比例线段9．下列各组线段中是成比例线段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，4cmC．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，3cm知识点三．平行线分线段成比例10．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，若，则＝．11．如图，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是．12．如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD 与AC交于点N，则FN：ND＝．13．如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝3：4，DF ＝12，求EF的长．14．如图，AB∥CD∥EF．若AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，求线段BE的长．知识点四．相似多边形的性质15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB＝4，则矩形ABCD的面积为．知识点五．相似三角形的性质16．已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为．17．如果两个相似三角形的最长边分别是35cm和14cm．它们的周长之差为60cm，那么这两个三角形的周长之和是cm．18．两三角形的相似比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较小三角形的周长为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．20．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，求△A'B'C'的周长．21．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）直接写出：OA＝，OB＝；（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．知识点六．相似三角形的判定22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（）A．1B．2C．3D．423．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C．D．24．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠D C．＝D．∠C＝∠AED25．如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明△ABC与△ADE相似（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．26．如图，在△ABC中，BA＝BC＝10cm，AC＝15cm，点P从点A出发，沿AB方向以4cm/s的速度向点B 运动；同时点Q从点C出发，沿CA方向以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x（x＞0）s，当△APQ与△CQB相似时，x的值为．27．如图：点M是Rt△ABC的斜边BC上不与B、C重合的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，这样的直线共有条．28．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．29．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x s．（1）当PQ∥BC时，求x的值．（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝7cm，现有动点P从点A出发，沿线段AC向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向终点B运动，连接PQ．如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t s．（1）当t为多少时，PQ的长度等于cm？（2）当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？31．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在BD上移动，以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．知识点七．相似三角形的判定与性质32．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝4，点D在BC上，连接AD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝2BE，AF＝2DF，则在△AEF中，EF边上的高为（）A．B．C．2D．433．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F，若BF＝2，则BD的长度是（）A．4B．5C．6D．834．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1B．C．﹣1D．+135．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝3BD，，则的值为（）A．1B．3C．D．36．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．37．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，则FC的长是．38．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．39．如图，在▱ABCD中，，连接BE，交AC于点F，AC＝10，则CF的长为．40．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点D是边AC上一动点，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，当最大时，AD的长为．41．如图，在菱形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，∠AEB＝∠C．（1）求证：△ABE∽△BEC；（2）若AE＝4，BE＝8，求CE的长．42．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△AGE∽△AFB．（2）若，GE＝2，求BF的长．知识点八．相似三角形的应用（共9小题）43．小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度．如图，小雅把高度为0.4米的支架（CD）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点D处，再把镜子水平放在支架上的点C处，小希站在F处，眼睛到地面的距离EF＝1.65米，这时恰好在镜子里看到树的顶端A．小组其他同学用皮尺分别量得BD＝6米，DF＝2AB，CD，EF均垂直于地面BD，且B，D，F在同一条直线上，请你根据以上数据，帮忙求出这棵树AB的高度．44．为了测量物体AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.6米，DF为3.5米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算AB的高度．45．学习了“利用相似三角形测高”这一知识后，小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量法门寺合十舍利塔的高度，他们的测量方法如下：如图2，小辰在点C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退，当退行1.2米到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离DE＝1.6米；然后小辰继续后退34.2米到点G处，此时小辰眼睛的水平视线与舍利塔的顶端A所成的角度（即∠AFD）是45°．已知点B，C，E，G在同一水平直线上，点D，F在同一水平直线上，且AB，DE，FG均垂直于BG，求合十舍利塔的高度AB．46．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆AB的高度．如图，他们在广场上的D处放置了一根垂直于地面的标杆CD，然后小明笔直地站在F处，小亮在F和D之间找到一个合适的位置P，并在P点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点A和点C重合．已知，点F、P、D、B在同一条直线上，通过测量，BD＝8.8m，FD＝2.2m，CD＝1.8m，小明的眼睛离地面的高度EF＝1.5m．求旗杆AB的高度．47．周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、PQ的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树MN的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A 观察到木棍顶端点C与树MN的底端点N在同一直线上．已知MN⊥NQ，CD⊥NQ，AB⊥NQ，AB＝1.6m，CD＝1.2m，BD＝3m，图中所有点均在同一平面内，求树MN的高．（光的反射角等于入射角）48．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．49．某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．【测量方案】在地面上选一点A，垂直地面竖立标杆AB，后退2m到E处，此时M、B、E在一直线上；另选一点C，后退4m到F处，此时M、D、F三点也在一直线上．【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为1.5m，且N、A、E、C、F在同一直线上．请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度．50．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：DE＝2：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM 垂直于地面，测得AM＝21m，边DF离地面的距离为1.6m，求树高AB．51．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD．他们的身高分别是1.6m，1.8m（EB＝1.6m，FC＝1.8m），小明在距离树0.3m的B处（AB＝0.3m），看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸经过移动调整位置，当EF⊥ED时爸爸停止移动，这时测得AC＝9.5m．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD．知识点九．作图-相似变换52．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△DAC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）53．如图，在△ABC中，点D在AB边上，请用尺规作图法在边AC上求作点E．使得△ADE∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）54．如图，在△ABC中，∠C＝90°．在AB边上找一点P，使得△PBC∽△PCA．（不写作法，保留作图痕迹）知识点十．位似变换55．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，2），B（6，1），以原点O为位似中心，相似比为3，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是．56．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O．若，四边形ABCD的面积为27，则四边形EFGH的面积为．57．△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是．58．以坐标原点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF且相似比为1：2，点C（2，3）的对应点F在第一象限，则点F的坐标为．59．△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，且△ABC与△DEF的相似比是2：1，则点C（6，8）的对应点F的坐标为．知识点十一．作图-位似变换60．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（5，﹣1），C（5，3）．（1）点B关于原点对称的点的坐标为；（2）请以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1．。

第四章 图形的相似4.1 成比例线段【知识点】1. 线段的比：两条线段长度之比称为线段的比（单位一致）。

2.比例线段：若四条线段a 、b 、c 、d 满足d c b a =，则称四条线段a 、b 、c 、d 为成比例线段。

2. 判断线段是否成比例的方法：①一排（从小到大或从大到小排序）②二算（计算比值是否相等）③三判断（判断是否成比例）。

注意：当四条线段成比例时，若其中一条长度未知，那么在确定比例关系时，有多种对应情况，需要分类讨论。

3.比例中项：若db b a =（或ad b =2），则称b 为比例中项。

4.比例基本定义：若a 、b 、c 、d 满足d c b a =（或a ：b=c ：d ），则称a 、b 、c 、d 为比例的项，a 、d 为比例外项，b 、c 为比例内项。

5.比例基本性质：若dc b a =（或a ：b=c ：d ），则ad=bc ； 若ad=bc （a 、b 、c 、d 都不为0），则d c b a =。

3. 合分比性质：若d c b a =，则d d c b b a ±=±；若d c b a =，则dkd c b kb a ±=±。

4. 等比性质：若ba n f db m ec a n m f ed c b a =⋯++++⋯+++=⋯===则,（b+d+f+...+n ≠0）。

考点1 线段的比1.如果在比例1：10000000的地图上，A 、B 两地的图上距离为2.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离为 _千米．2.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则在图上距离和实际距离的比是（ ）A.1:2000B. 1:200C. 200:1D. 2000:1考点2 比例线段1.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，则 d 的长度为( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm2.下列四条线段中，不能成比例的是 ( )．A ．a=3，b=6，c=2，d=6B ．a=4，b=6，c=5，d=10C ．a=1，b=2，c=6，d=3D ．a=2，b=5，b=15，d=323.已知三条线段a 、b 、c ，其中 a=1cm ，b=4cm ，c 是 a 、b 的比例中项，则c= cm4.已知三条线段的长分别为 1.5，2，3，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是 ( )A ．1B ．2.25C ．4D ．25.如图，在平行四边形 ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC 找出图中的一组比例线段，并说明理由．考点3 比例性质1.已知 xy=mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 ( )A.y m n x = B ．x n m y = C ．y n m x = D ．ny m x = 2.若 35b a =，则 bb -a = _． 3.已知 a ：b ：c=2:3:4，则b ac a -+= ． 4.已知53f e d c b a ===，b+d+f=50，那么a+c+e= .5.已知k c b a b c a a c b =+=+=+，则 k=6.把一张矩形纸片沿图中虚线裁成三张大小相同的矩形纸片，若得到的小矩形纸片长边与短边的比等于原来大矩形纸片的长边与短边的比，则大矩形纸片的长与宽之比为7.已知线段a 、b 、c ，满足623c b a == ，且a+2b+c=26，求c b a +的值．8.在△ABC 和△DEF 中，已知43===FD CA EF BC DE AB ,且△ABC 的周长为18，求△DEF 的周长。

第四章图形的相似第1讲相似三角形常见模型一．知识梳理(一)【知识回顾】相似三角的判定方法1.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2.如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3.如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（二）相似三角形基本类型1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型二.实战演练训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．典例分析训练角度2 相交线型2.如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE 与△ABC相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.训练角度4 旋转型4.如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.1.下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似2.如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．=D．=3.如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对课堂训练4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）5.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正确的有（）个．A.4B.3C.2D.16.若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是__________.7.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。