最新人教版八年级数学下册 第1课时 二次根式的乘法

第十六章 二次根式

16.1 二次根式

第1课时 二次根式的概念

学习目标：1.理解二次根式的概念；

2.掌握二次根式有意义的条件；

3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.

重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.

难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.

一、知识链接

1.什么叫作平方根？

2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？

二、新知预习

1. 用带根号的式子填空:

(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 m；若面积为S m2，则边长为______ m．

(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．

2.自主归纳：

（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如0aa____的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号.

（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.

三、自学自测

1.下列各式中是二次根式的是（ ） 自主学习 教学备注

学生在课前完成自主学习部分 教学备注

配套PPT讲授

1.情景引入

（见幻灯片3-8）

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片9-16）

图 图

A.33 B.4 C.3π D.31

2.二次根式5x有意义的条件是_____________.

四、我的疑惑

____________________________________________________________

一、要点探究

探究点1：二次根式的意义及有意义的条件

问题1 2,,3,5hS分别表示什么意义？

问题2 这些式子有什么共同特征？

二 次 根 式 复习课

【知识点汇总】

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而

第十六章 二次根式

16.1 二次根式

第1课时 二次根式的概念

【学习目标】1．理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

2. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题

【学习过程】

一、复习回顾1、口答：4的平方根是多少？4的算术平方根是多少？

2、填空：9的算术平方根是 ；23= ；

二、新知探究

（一）概念的形成

1、请同学们预习完成教材中的有关问题，写出这些问题的结果： ；

2、观察上述式子，你有什么发现？

3、您能说说什么样的式子叫二次根式？什么叫二次根号？什么叫被开方数？

4、请指出第一问所列式子的被开方数。

5、你知道在定义中为什么a≥0吗？

特别提示：因为负数没有平方根（算术平方根），所以当a<0，a没有意义。

（二）概念的应用

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、4、xy（x≥0，y•≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、4、xy（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42．

例2．当x是多少时，31x在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x才能有意义．

【学习流程】

①复习回顾：5分钟；②新知探究：15分钟；③巩固练习：10分钟

④拓展应用：10分钟；⑤课堂小结：3分钟；⑥布置作业：2分钟.

三、巩固练习： 教材练习

四、应用拓展： 例3．当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？

分析：要使23x+11x在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的≥0和11x中的x+1≠0．巩固练习：10分钟

第十六章 二次根式

16.2 二次根式的乘除

第1课时 二次根式的乘法

学习目标：1.理解二次根式的乘法法则；

2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.

重点：理解二次根式的乘法法则：0,0baabba.

难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质解题.

一、知识回顾

1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？

2.使式子2a有意义的条件是_________.

一、要点探究

探究点1：二次根式的乘法

算一算 计算下列各式，并观察三组式子的结果：

_____;94____;_______94)1(

_____;2516____;_______2516)2( 课堂探究 自主学习 教学备注

学生在课前完成自主学习部分

配套PPT讲授

1.情景引入

（见幻灯片3-5）

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片6-15）

._____3625____;_______3625)3(

思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？

猜测 ()_____0,0abab?吵，你能证明这个猜测吗？

要点归纳：一般地，二次根式相乘，_________不变，________相乘.

语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.

典例精析

例1(教材P6例1变式题)计算：235.

方法总结:二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即0,0,0)abkabkabk（

例2 计算:

(1)2537； 1(2)427-3.2

方法总结:当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即0,0manbmnabab

例3 比较大小(一题多解): 教学备注

配套PPT讲授

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片6-15）