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人教A版数学必修一第二章 基本初等函数(Ⅰ) (2)

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高中数学学习材料

（灿若寒星 精心整理制作）

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

§2.1 指数函数

2．1.1 指数与指数幂的运算

课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

1．如果____________________，那么x叫做a的n次方根．

2．式子na叫做________，这里n叫做__________，a叫做____________．

3．(1)n∈N*时，(na)n＝____.

(2)n为正奇数时，nan＝____；n为正偶数时，nan＝______.

4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝__________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna＝_______________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；

(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂________________．

5．有理数指数幂的运算性质：

(1)aras＝______(a>0，r、s∈Q)；

(2)(ar)s＝______(a>0，r、s∈Q)；

(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．

一、选择题

1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( )

A．①③④ B．②③④ C．②③ D．③④

2．若2

A．5－2a B．2a－5

C．1 D．－1

3．在(－12)－1、122、1212、2－1中，最大的是( )

A．(－12)－1 B．122

C．1212 D．2－1

4．化简3aa的结果是( )

A．a B．12a

C．a2 D．13a

5．下列各式成立的是(

)

A.3m2＋n2＝23mn B．(ba)2＝12a12b

C.6－32＝133 D.34＝132

6．下列结论中，正确的个数是( )

①当a<0时，322a＝a3；

②nan＝|a|(n>0)；

③函数y＝122x－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；

④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.

A．0 B．1

C．2

D．3

题

号 1 2 3 4 5

6

答

案

二、填空题

7.614－3338＋30.125的值为________．

8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则22yxa＝________.

9．若x>0，则(214x＋323)(214x－323)－412x·(x－12x)＝________.

三、解答题

10．(1)化简：3xy2·xy－1·xy·(xy)－1(xy≠0)；

(2)计算：122＋－402＋12－1－1－50·238.

11．设－3

能力提升

12．化简：413322333842aabbaba÷(1－23ba)×3a.

13．若x>0，y>0，且x－xy－2y＝0，求2x－xyy＋2xy的值．

1.nan与(na)n的区别

(1)nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，nan＝a；当n为大于1的偶数时，nan＝|a|.

(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，(na)n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，(na)n＝a，a≥0，由此看只要(na)n有意义，其值恒等于a，即(na)n＝a.

2．有理指数幂运算的一般思路

化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．

3．有关指数幂的几个结论

(1)a>0时，ab>0；

(2)a≠0时，a0＝1；

(3)若ar＝as，则r＝s；

(4)a±212a12b＋b＝(12a±12b)2(a>0，b>0)；

(5)(

12a＋12b)(12a－12b)＝a－b(a>0，b>0)．

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

§2.1 指数函数

2．1.1 指数与指数幂的运算

知识梳理

1．xn＝a(n>1，且n∈N*) 2.根式 根指数 被开方数

3．(1)a (2)a |a| 4.(1)nam (2)1amn (3)0 没有意义

5．(1)ar＋s (2)ars (3)arbr

作业设计

1．D [①错，∵(±2)4＝16，

∴16的4次方根是±2；

②错，416＝2，而±416＝±2.]

2．C [原式＝|2－a|＋|3－a|，

∵2

3．C [∵(－12)－1＝－2, 122＝22，1212＝2，2－1＝12，

∵2>22>12>－2， ∴1212>122>2－1>(－12)－1.]

4．B [原式＝132aa＝31322aa.]

5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；(ba)2＝b2a2，B选项错；6－32>0，133<0，C选项错．故选D.]

6．B [①中，当a<0时，

3312222aa＝(－a)3＝－a3，

∴①不正确；

②中，若a＝－2，n＝3，

则3－23＝－2≠|－2|，∴②不正确；

③中，有 x－2≥0，3x－7≠0，即x≥2且x≠73，

故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确；

④中，∵100a＝5,10b＝2，

∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10，即102a＋b＝10.

∴2a＋b＝1.④正确．]

7.32

解析 原式＝522－3323＋3123

＝52－32＋12＝32.

8．95

解析 22yxa＝(ax)2·12ya＝32·125＝95.

9．－23

解析 原式＝412x－33－412x＋4＝－23.

10．解 (1)原式＝11132122xyxyxy·(xy)－1

＝13x·2111136622yxyxy

＝13x·13x＝ 1， x>0－1，

x<0.

(2)原式＝12＋12＋2＋1－22

＝22－3.

11．解 原式＝x－12－x＋32

＝|x－1|－|x＋3|，

∵－3

当1≤x<3时，

原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.

∴原式＝ －2x－2 －3

12．解 原式＝111333212133338242aababbaaa×13a

13．解 ∵x－xy－2y＝0，x>0，y>0，

∴(x)2－xy－2(y)2＝0，

∴(x＋y)(x－2y)＝0，

由x>0，y>0得x＋y>0，

∴x－2y＝0，∴x＝4y，

∴2x－xyy＋2xy＝8y－2yy＋4y＝65.

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高中数学必修1(人教A版)第二章基本初等函数2-3

高中数学必修1(人教A版)第二章基本初等函数2-3

描述：

例题：高中数学必修1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第二章 基本初等函数（I） 2.3 幂函数

一、学习任务

了解幂函数的概念；结合函数 ，，，， 的图象，了解幂函数

的图象变化情况．

二、知识清单

幂函数及其性质 函数不等式的解法

三、知识讲解

1.幂函数及其性质

一般地，形如 的函数叫做幂函数（power function），其中 是自变量， 是常数．

图象

定义域

幂函数的定义域都包含 ．

性质

① 幂函数的图象都通过点 ；

② 当 是奇数时，函数 是奇函数；当 是偶数时，函数 是偶函数；

③ 当 时，函数 在 上是单调递增函数；当 时，函数 在

上是单调递减函数；

④ 在第一象限内，当 时，函数 的图象向上与 轴无限接近，向右与 轴无限

接近．y=xy=x2

y＝x3

y=1

xy=x1

2

y=xaxa

(0,+∞)

(1,1)

ay=xaay=xa

a>0y=xa(0,+∞)a<0y=xa

(0,+∞)

a<0y=xayx

幂函数 的图象过点 ，那么 的值为______．

解：．f(x)(4,)1

2f(8)

2√

4．

设 ，则 ，所以 ．故

．

4

f(x)=xαf(4)==4α1

2α=−1

2f(8)==8−1

22√

4

已知 是幂函数，求 的值．

解：因为 是幂函数，所以

解得

所以y=(+2m−2)+2n−3m2

x1

−1m2m,n

y=(+2m−2)+2n−3m2

x1

−1m2

⎧

⎩⎨+2m−2=1,m2

−1≠0,m2

2n−3=0,

⎧

⎩⎨m=−3,

n=,3

2

⎧

⎩⎨m=−3,

n=.3

2

（1）给定一组函数解析式：① ；② ；③ ；④ ；⑤

；⑥ ；⑦，及下图中的一组函数图象，请把图象对应的解析式序号填在

图象下面的括号内．

解：⑥④③②⑦①⑤y=x3

4y=x2

3y=x−3

2y=x−2

3

y=x3

2y=x−1

3y=x1

3

1

描述：

例题：2.函数不等式的解法

函数不等式的解法

若 为增函数，且对于定义域内的两个数 、 ，满足 成立，则

．若

为减函数，且对于定义域内的两个数

高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数与对数运算教材梳理素材 新人教A版必修1

高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数与对数运算教材梳理素材 新人教A版必修1

1 2.2.1 对数与对数运算

疱丁巧解牛

知识·巧学·升华

一、对数

1.对数

一般地，如果ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式ab=N，用a、N表示b的运算叫对数运算，记作b=logaN.

对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、×、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念．

（1）会依据定义把指数式写成对数式.

例如：∵32=9，∴2是以3为底9的对数.记作log39=2；

∵41=4，∴1是以4为底4的对数.记作log44=1；

∵20=1，∴0是以2为底1的对数.记作log21=0；

∵318=21，∴-31是以8为底21的对数.记作log821=-31.

（2）logaN=b中规定底数a＞0且a≠1.

这是因为若a＜0，则N为某些值时，b不存在，如log（-2）21；若a=0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值.总之，就规定了a＞0且a≠1.

(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数.

在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题．因为底数a＞0且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R，ab＞0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N＞0.

（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称.

记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a、b求N；根式进行的是开方运算，由N、b求a；对数式进行的是对数运算，由a、N求b.

高中数学人教A版必修1第一章1.3函数的基本性质辅导讲义

高中数学人教A版必修1第一章1.3函数的基本性质辅导讲义

函数的基本性质

学生姓名： 年级： 上课日期：

内容

摘要 1. 函数的单调性

2. 函数的奇偶性

教学过程 考点一： 函数单调性

1.1 如下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(xfy的图象，根据图象说出)(xfy的单调区间，以及函数)(xfy的最值。

2.1 写出下列函数的单调区间并求其最值。

（1）22yxx （2）]3,1(,11xxy （3）

]5,0(,432xxxy531-2-5xOy

2.1证明：11)(xxf在区间上是单调增函数。

3.1 讨论函数f（x）=21xax（a≠21）在（－2，+∞）上的单调性.

增函数：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx ，当x1

减函数：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx ，当x1f(x2)，那么就说函数()fx 在区间D上是减函数。

1.1根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间

)0,(

2.1．设函数f(x)是（-∞，+∞）上的减函数，若a∈R, 则 （ ）

A、f(a)>f(2a); B、f(a2)

C、 f(a2+a)

2.2 证明函数f(x)=xx1在，43内是单调递减；

2.3设二次函数f(x)=x2-(2a+1)x+3

（1）若函数f(x)的单调增区间为[2,+∞),求实数a的值；

人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_26

人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数 习题2.1》_26

指数函数教学设计

案例名称 指数函数教学设计

科目 教学对象 高一学生 提供者

课时 1课时

一、教材内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B版）第三章第一节第二课时（3.1.2）《指数函数》，是在学生系统学习了函数的基本概念、表示方法、单调性、奇偶性及一次、二次函数图象，掌握了实指数幂及其运算的基础上引入的。

指数函数是高中阶段接触的第一类重要的基本初等函数，本节课将从细胞分裂和放射性物质衰变的实际问题引入，引出指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础。另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这一节具有很大的现实价值。

二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）

1. 知识和技能：

⑴理解指数函数的概念

⑵掌握指数函数的图像、相关性质及简单的运算及应用

2. 过程与方法：

⑴通过观察函数图像归纳总结出指数函数的性质

⑵引导学生进一步体会数形结合的思想，培养学生的识图能力和分析、归纳、总结的技巧

3. 情感、态度、价值观

⑴通过实例引入，让学生深切感受到生活中处处有数学，激发学习的兴趣和动力

⑵学习过程中经历了通过图像探究函数性质的过程，使学生体会到认识事物的特殊性与一般性之间的关系

⑶通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神

三、教学重点与难点

1.教学重点：理解指数函数的定义,把握图象和性质.

2.教学难点：理解掌握底数对指数函数的影响

四、学习者特征分析 1. 智力因素 :

⑴知识基础：系统学习了函数的基本概念、表示方法、单调性、奇偶性及一次、二次函数图象及性质，掌握了实指数幂及其运算

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