导数在研究函数中的应用

Ｇ　孽堕Ｚ　难点攻略　＇■一Ａ　ＫＡｏ　ＨＥｌ　ＨＡ　…｝。¨ｎ　＿＾　Ｈ　．　导数进入高中教材后，显示了它强大的生命力，可用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，　以及利用导数解决生活中的优化问题；还可以与函数、不等式、方程、三角函数、数列、解析几何等知识交汇　●　融合．在考查基础知识之上，与导数有关的题往往呈现观点高、应用性强、综合性强的特点．　导数在研究函数中的应用　

高考对此部分内容的考查主要　体现在：①考查导数的简单应用：运　用导数解决函数的单调性问题，利　用导数解决函数的极值问题，利用　导数解决函数的最值问题等；②考　查导数的综合应用能力：含参数的　函数问题，函数的实际应用，以及和　ｉ　不等式、方程根的分布、解析几何等　知识的交汇．　重点：了解函数单调性和导数　的关系．能利用导数研究函数的单　调性，会求函数的单调区间；了解函　数在某点取得极值的必要条件和充　分条件；会用导数求函数的极大值、　１．要重视基础．该部分内容突　出一个“用”字，其中利用导数判断　单调性起着基础性的作用，对导数　在解决函数单调性、最值、极值等方　面的应用．要做到抓主线，攻重点，　熟知方法，并不断进行训练．要注意　概念辨析和知识理解，如：①若已知　ｆ（ｘ）在区间Ｄ上单调递增（减），则转　化为不等式厂　（　）≥０（厂　（　）≤０）在　区间Ｄ上恒成立，而不　）＞０（厂　（　）＜　０）在区间Ｄ上恒成立．②可导函数　在极值点的导数值为零，但导数值　为零的点未必是极值点．如函数　ｆ（ｘ）　在ｘ＝Ｏ处有厂　（０）＝０，但ｘ＝Ｏ不　是函数　）＝Ｘ３的极值点．　２．要把握思想．高考对导数的　基础知识进行考查的同时，还注重　考查能力，特别是解导数解答题，往　往要站在数学思想方法的高度去考　虑问题．对求解目标的理解应该如　何转化。如不等式恒成立问题是否　要分离参数，含参数问题是否要分　类讨论．能不能用数形结合的思想　将抽象的知识变得直观．数学思想　方法是数学知识的高度概括，是把　知识转化为能力的体现，由此，对导　数中体现出来的数形结合、等价转　化等思想方法，要注意提炼出来，总　．．．．…．．．……・・…．…．・・・．．．．．．　…．．．．．…－・蒜　０福建泉港第一中学庄琼兰　极小值：会求函数在闭区间上的最　大值、最小值．　难点：用分类讨论的思想分析　解决含参数的函数问题，用数形结　合的思想和转化变换的思想研究　函数、方程、不等式等知识之间的　联系．　结到位．并不断进行训练．　３．要加强交汇．注意导数与函　数、方程、不等式等知识的交汇，由　导数方法研究方程、不等式时，一般　是先构造一个函数，这里要考虑是　直接构造．还是转化构造，借助适当　的函数形式展开研究．发挥好导数　研究函数问题的工具作用，要把知　识与知识相互结合起来，把知识与　方法也相互结合起来，以此不断提　升解决问题的能力．　４．对于有些函数问题，若一阶　求导不能解决，则可以思考是否需　要二阶求导．

山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

班级 小组 姓名 使用时间 2015年 5月 7日 编号第

课

题 导数在函数中的应用及优化问题 编制人 张 怡

审核人 孙延海

考纲要求 1.利用导数解决生活中的优化问题.

2.导数与方程、函数零点、不等式知识综合应用.

教 学 过 程

再现型题组 1. 已知函数Rxaaxxaxxf,2131)(23，其中0a

（1）求函数)(xf的单调区间；

（2）若函数)(xf在区间)0,2(内恰有两个零点，求a的取值范围.

2.从边长为cmcm1610的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为

A.312cm B. 372cm C. 3144cm D. 3160cm

山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

巩固型题组 【例1】设函数)0,(12)(22tRxtxttxxf.

（1）求)(xf的最小值)(th；

（2）若mtth2)(对t∈(0, 2)恒成立，求实数m的取值范围.

【例2】某产品每件成本为6元，每件售价为x元（116x），年销量为u万件，若已知u8585与2)421(x成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.

（1）求年销售利润y关于售价x的函数关系式；

（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润. 山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

提高型题组 【练1】已知函数)()(2aaxxexfx,其中a是常数.

（1）当1a时，求曲线)(xfy在点))1(,1(f处切线方程；

（2）若存在实数k，使得关于x的方程kxf)(在),0[上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

导数在研究函数中的应用

学习目标：

1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.

2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.

3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）

重难点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.

知识点一：函数的单调性

(一) 导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，

①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．

注意：

1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。

2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.

3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.

4．注意导函数图象与原函数图象间关系.

（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：

1. 确定函数的定义域； 2. 求导数；

3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。

2009------2010学年高一数学必修3导学案 使用时间2010.2 编制人：阮雪剑 张春鑫 审核人： 领导签字： 班级： 小组 ： 姓名： 组内评价： 教师评价：

建立数学模型 导数在实际问题中的应用

学习目标：

掌握导数在解决实际问题中的应用

学习重点难点：

掌握导数在解决实际问题中的应用．

自主学习：

一、知识再现：

利用导数求函数极值和最值的方法

二、新课探究：

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

三、例题解析：

例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

箱高602xhcm，解法一：设箱底边长为xcm，则得箱子容积

260)(322xxhxxV )600(x． 23()602xVxx )600(x 令 23()602xVxx＝0，

解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3