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导数在研究函数中的应用

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《导数在研究函数中的应用（一）》的教案

教材 《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修1-1.

课题 3.3导数在研究函数中的应用（一）.

教学目标

(一)知识与技能目标

1.正确理解利用导数判断函数的单调性原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

（二）过程与方法目标

1.通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法；

2.培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，掌握数形结合、分类讨论思想.

（三）情感态度与价值观目标

1.通过教学过程让学生多动手、多观察、勤思考、善总结；

2.培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育.

教学重点、难点

重点：掌握利用导数判断函数单调性的方法.

难点：理解利用导数判断函数单调性的原理.

教学过程设计

（一）课题导入

师：同学们，上一节课我们已经学习了导数，请一位同学来回顾一下我们是怎样定义导数的.

生：导数的定义：设函数()yfx在区间(,)ab上有定义，0(,)xab，当x无限趋近于0时，有

0000()()limlimxxfxxfxyAxx（常数），

则称()fx在点0xx处可导，称A为函数()fx在点0xx处的导数，记作0()fx.

师：我们都知道导数是函数变化率，它刻画了函数变化的趋势，也就是上升或下降的陡峭程度，同学们还记不记得函数的单调性，它是这样定义的：如果函数()fx对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值1x，2x，当12xx时，都有1212()()(()())fxfxfxfx，那么()fx在这个区间上是增（减）函数，函数的单调性同样是对函数变化的一种刻画，那么我们来发散一下思维想一想导数与函数的单调性是不是有什么联系呢？这节课我们就一起来探究导数在研究函数中的应用之一：利用导数判断函数的单调性.

（二）讲授新课

师：我们先以增函数为例来看一下，如果函数)(xf在区间),(ba上是增函数，那么对任意1x,2x),(ba，当1x2x时，)()(21xfxf，即21xx与)()(21xfxf同号，从而有

0)()(2121xxxfxf，

即

0xy. 通过回顾，我们发现研究导数时也出现了yx，我们猜想一下导数大于0与函数单调递增是密切相关的.

生：那导数大于0与函数单调递增到底有着什么样的关系呢？

师：我们先来看一下熟悉的函数342xxy的图像，通过观察可以发现：在区间),2(内，切线的斜率为正，函数)(xfy的值随着x的增大而增大，也就是说0y时，函数)(xfy在区间),2(内为增函数；而在区间)2,(内，切线的斜率为负，函数)(xfy的值随着x的增大而减小，也就是说0y时，函数)(xfy在区间)2,(内为减函数.

师:这是一个特殊函数的情况，我们同学能不能根据这个特殊函数归纳出一般情况下导数与函数的单调性有着什么样的关系？

生：设函数)(xfy在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y，那么)(xfy为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y，那么)(xfy为这个区间内的减函数.

上述结论可以用下图直观理解.

y y

()0fx

()0fx

0 a x b x 0 ax b x

师：现在我们知道了导数大于0可以推出函数在此区间内为增函数，导数小于0可以推出函数在此区间内为减函数，这并不是一个等价条件，我们希望能将导数与函数的单调性写成等价条件，如下：

可导函数()fx在(,)xab内是增函数（减函数）

()0(()0)fxfx且()fx在(,)ab内的任意区间内不恒等于0.

等价条件为什么是这样的请同学们课后思考并细细体会，下面我们一起来看几道例题.

例1 确定函数422xxy在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

解 22xy.

令022x，解得1x.因此，当),1(x时，函数422xxy为增函数.

同理可得，当)1,(x时，函数422xxy为减函数.

说明：老师讲解，让学生自己画图来对比一下，确定解法是否正确. yx12345-112345-1oyx12345671234-1o例2 (请两位同学上黑板板演)确定函数762)(23xxxf在哪些区间上是增函数.

解 xxxf126)(2.

令0)(xf，解得0x或2x.

因此，在区间)0,(上，0)(xf，)(xf是增函数；在区间),2(上，0)(xf，)(xf也是增函数.

说明：学生板演，老师用几何画板画出精确的图让学生观察.

例3 确定函数xxfsin)(，x（,02π）的单调减区间.

解 xxfcos)(.

令0)(xf，即0cosx，又x（,02π），所以x（21π，23π）.

故区间（21π，23π）是函数xxfsin)(，x（,02π）的单调减区间.

说明：老师讲解，并给出图形直观显示.

（三）加强训练

1.讨论函数)(xf的单调性：

（1）bkxxf)(

（2）xkxf)(

分析：①注意数形结合思想，讨论k的情形(0;0;0)kkk；

②注意写单调区间时不能将区间并在一起写.

2.用导数证明xexfx)(在区间(,0]上是减函数.

证明 ()1xfxe.

因为(,0]x，所以01xe，进而()10xfxe，但()1xfxe在(,0]不恒等于0，故xexfx)(在区间)0,(上是减函数.

说明：这道题与书上的练习略有区别，可以让学生对比一下导数与函数单调性的充分性与充要性，从而深刻体会导数与函数单调性的充要性.

3.求函数1)(23mxxxf的单调减区间.

分析：（1）学生观察题目，发现与上例不同之处？如何解决？

（2）学生解题得出结果；

（3）反思：解关于含参数的导函数问题，应对参数进行讨论（抓住“讨论点”以及其完整性）。

解 2()32fxxmx. yx1234567-1123456-1oyx1-11234567o 当0m时，令()0fx，解得203mx；

当0m时，2()30fxx；

当0m时，令()0fx，解得203mx.

综上所述，当0m时，函数1)(23mxxxf的单调减区间是2[0,]3m；当0m时，函数1)(23mxxxf的单调减区间是2[,0]3m.

（四）小结

1.利用导数研究函数的单调性的步骤，并与不等式、不等式的解法相结合，注重对参数的讨论；

求单调性按如下步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）0y对应增区间，0y对应减区间.

2.函数单调性与导数关系的充要性；

3.本节课用到的数学思想方法：数形结合、分类讨论思想.

（五）布置作业

1.（必做题）课本P76练习2 课本P80习题3.3 1,2(1)(3)；

2.（选做题）已知函数1)(3axxxf

（1）若在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a使)(xf在)1,1(上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

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导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用

Ｇ　孽堕Ｚ　难点攻略　＇■一Ａ　ＫＡｏ　ＨＥｌ　ＨＡ　…｝。¨ｎ　＿＾　Ｈ　．　导数进入高中教材后，显示了它强大的生命力，可用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，　以及利用导数解决生活中的优化问题；还可以与函数、不等式、方程、三角函数、数列、解析几何等知识交汇　●　融合．在考查基础知识之上，与导数有关的题往往呈现观点高、应用性强、综合性强的特点．　导数在研究函数中的应用　

高考对此部分内容的考查主要　体现在：①考查导数的简单应用：运　用导数解决函数的单调性问题，利　用导数解决函数的极值问题，利用　导数解决函数的最值问题等；②考　查导数的综合应用能力：含参数的　函数问题，函数的实际应用，以及和　ｉ　不等式、方程根的分布、解析几何等　知识的交汇．　重点：了解函数单调性和导数　的关系．能利用导数研究函数的单　调性，会求函数的单调区间；了解函　数在某点取得极值的必要条件和充　分条件；会用导数求函数的极大值、　１．要重视基础．该部分内容突　出一个“用”字，其中利用导数判断　单调性起着基础性的作用，对导数　在解决函数单调性、最值、极值等方　面的应用．要做到抓主线，攻重点，　熟知方法，并不断进行训练．要注意　概念辨析和知识理解，如：①若已知　ｆ（ｘ）在区间Ｄ上单调递增（减），则转　化为不等式厂　（　）≥０（厂　（　）≤０）在　区间Ｄ上恒成立，而不　）＞０（厂　（　）＜　０）在区间Ｄ上恒成立．②可导函数　在极值点的导数值为零，但导数值　为零的点未必是极值点．如函数　ｆ（ｘ）　在ｘ＝Ｏ处有厂　（０）＝０，但ｘ＝Ｏ不　是函数　）＝Ｘ３的极值点．　２．要把握思想．高考对导数的　基础知识进行考查的同时，还注重　考查能力，特别是解导数解答题，往　往要站在数学思想方法的高度去考　虑问题．对求解目标的理解应该如　何转化。如不等式恒成立问题是否　要分离参数，含参数问题是否要分　类讨论．能不能用数形结合的思想　将抽象的知识变得直观．数学思想　方法是数学知识的高度概括，是把　知识转化为能力的体现，由此，对导　数中体现出来的数形结合、等价转　化等思想方法，要注意提炼出来，总　．．．．…．．．……・・…．…．・・・．．．．．．　…．．．．．…－・蒜　０福建泉港第一中学庄琼兰　极小值：会求函数在闭区间上的最　大值、最小值．　难点：用分类讨论的思想分析　解决含参数的函数问题，用数形结　合的思想和转化变换的思想研究　函数、方程、不等式等知识之间的　联系．　结到位．并不断进行训练．　３．要加强交汇．注意导数与函　数、方程、不等式等知识的交汇，由　导数方法研究方程、不等式时，一般　是先构造一个函数，这里要考虑是　直接构造．还是转化构造，借助适当　的函数形式展开研究．发挥好导数　研究函数问题的工具作用，要把知　识与知识相互结合起来，把知识与　方法也相互结合起来，以此不断提　升解决问题的能力．　４．对于有些函数问题，若一阶　求导不能解决，则可以思考是否需　要二阶求导．

导数在研究函数中的应用 2

导数在研究函数中的应用 2

基础强化练习　

班级　姓名　得分　

导数在研究函数中的应用　

一、填空题（本大题共１０小题，每小题５分，共计５Ｏ分）　

１．函数　—ｚ。－－３ｘ。的减区间是　．　

２．函数ｙ＝ｘ＋ｃ。ｓ　ｚ在［一号，号］上的值域是　

３．函数　一＿＿＝ｉｎ　ｘ在（０，＋。。）上的极大值是　

４．函数厂（ｚ）一吉ｚ２一ｌｎ　ｘ在［１，ｅ］上的最小值为　

５．若函数厂（　）￣ａ．２７。一ｚ在Ｒ上不是单调函数，则实数ａ的取值范围是　．　

６．已知函数厂（ｚ）一ｚ＋ｌｎ　ｚ，ｇ（ｚ）一１＋ｌｎ　ｚ，　（ｚ）一　＋ｚ的零点分别为ｎ，６，ｆ，则ａ，　

ｂ，ｃ的由大到小的关系为　．（请用不等关系连接）　

７．若曲线厂（ｚ）一ｎｚ　￣ｌｎ　ｚ存在垂直于Ｙ轴的切线，则实数口的取值范围是　

８．若厂（ｚ）一ｚ。－－ａＸ　一６ｚ＋以　在　一１处有极值１０，则口，ｂ的值分别为　

９．已知函数厂（ｚ）＝ａｘ－－ｉｎ　ｚ在区间（０，ｅ］上有最小值３，则实数ａ的值为　

１Ｏ．有下列命题：　

①ｘ＝Ｏ是函数　＝＝＝ｚ。的极值点；　

②三次函数厂（ｚ）一ｎ　。＋　＋ｃｚ＋　有极值点的充要条件是ｂ　－－３ａｃ￣Ｏ；　

③奇函数－厂（ｚ）一　ｒ。＋（ｍ一１）ｚ　＋４８（ｍ一２）　＋　在区间（－－４，４）上是单调减函数；　

④若函数ｇ（ｚ）一（ｚ一１）（ｚ一２）…（　一２　０１３）（ｚ一２　０１４），则ｇ　（２　０１４）一２　０１３　１．　

其中真命题有　．（填写正确结论的序号）　

二、解答题（本大题共３小题，共计５０分）　

１１．（本小题满分１４分）已知函数ｆ（ｚ）＝＝＝２ｘ。一ｐｘ。一ｑｘ的图象与ｚ轴相切于点　

（１，Ｏ），求厂（ｚ）的单调区间．　

・　１５　・　勘｝　ｍ　

吕》　

豳　

圆　

蒜　

国Ⅱ｝　ＩＩ　Ｉ　

卜）　０　‘一九　

０　

回０｝

　１２．（本小题满分１６分）设定义在Ｒ上的函数，（ｚ）一以　。＋ｂｘ　＋ｃ　＋　满足：①函数　

厂（ｚ）的图象过点Ｐ（３，－－６）；②函数－厂（ｚ）在ｚ　，ｚｚ处取得极值，且ｌ　－３７　ｌ一４；③函数　

导数在函数中的应用

导数在函数中的应用

河北景县中学

高二数学

试卷

使用日期 2016 年 12 月 日 命题人 张晋 审题人 曹文静

（高二数学第1页共4页） （高二数学第2页共4页） 题目： 导数及其应用

考试时间:_120_ 分值: 150

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数xxxxf2ln)(的图象在点)2,1(处的切线方程为( )

A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0

2．已知,2015)(),ln2014()(0/xfxxxf则0x( )

A．2e B．1 C．2ln D．e

3. 下列求导运算正确的是( )．

A. 2/31)3(xxx B．2ln1)(log/2xx

C．exx3/log3)3( D．xxxxsin2)cos(/2

4．若a>2，则方程13x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )

A．0个根 B．1个根 C．2个根 D．3个根

5．函数xxxfln)(的单调递减区间为( )

A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

6. 20sinxdx等于( )．

A．0 B．1 C．2 D．4

7．设函数fx的导函数为fx，且221fxxxf，则0f等于 ( )

A、0 B、4 C、2 D、2

导数在研究函数中的应用 3

导数在研究函数中的应用 3

1 导数在研究函数中的应用

一、 考情分析

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；

2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；

3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.

二、 知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数

条件 f′(x0)＝0

x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0

图象

形如山峰

形如山谷

极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值

极值点 x0为极大值点 x0为极小值点

3.函数的最值与导数

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

[微点提醒]

1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.